MentoraLINEAR 2

דפי הנושא — כל התכונות הקטנות במקום אחד

לכל שבוע דף אחד מרוכז: מה נשמר ומה לא, מה עלה בתרגול ולא בהרצאה, מה נובע ממה, ואיפה נופלים. זה הדף שפותחים כשתקועים באמצע תרגיל — לא את כל ההרצאה.

300 תכונות
117 מהתרגול בלבד
82 תבניות
84 מלכודות
0
חזרה מסמסטר א׳
אין הרצאה — זו חזרה על סוף סמסטר א׳: הדטרמיננטה, המטריצה המצורפת שמקיימת A⋅adj(A)=adj(A)⋅A=det⁡(A)⋅InA\cdot\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(A)\cdot A=\det(A)\cdot I_n, וכלל קרמר. בפועל כל השבוע הוא תרגום של שאלות על adj\mathrm{adj} לשאלות על det⁡\det ועל הפיכות.
21 תכונות9 מהתרגול12 מכריעות6 מלכודות
1
העתקות לינאריות
העתקה לינארית היא פונקציה ששומרת על צירופים לינאריים: T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2) — ולכן היא נקבעת לגמרי על בסיס אחד, ושתי הקבוצות שכל השאר נתלה בהן הן Ker T⊆V\mathrm{Ker}\,T\subseteq V ו-Im T⊆W\mathrm{Im}\,T\subseteq W.
21 תכונות9 מהתרגול14 מכריעות6 מלכודות
2
קיום ויחידות ומשפט המימדים
העתקה לינארית נקבעת לחלוטין ע"י מה שהיא עושה לבסיס אחד של VV — ומרגע ש-VV נוצר סופית, המספר dim⁡V\dim V מתפצל בדיוק לשניים: dim⁡ker⁡T+dim⁡Im T\dim\ker T+\dim\mathrm{Im}\,T. לכן כל שאלה על חח"ע / על / הפיכות היא שאלת ספירת מימדים.
20 תכונות8 מהתרגול10 מכריעות6 מלכודות
3
קואורדינטות ומטריצה מייצגת
בחירת בסיסים סדורים מחליפה כל וקטור בעמודת מספרים וכל העתקה במטריצה אחת, כך ש-[T]BA [v]A=[T(v)]B[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\,[v]_{\mathcal{A}}=[T(v)]_{\mathcal{B}} — הפעלת העתקה הופכת לכפל מטריצה, והרכבה הופכת למכפלת מטריצות.
19 תכונות8 מהתרגול11 מכריעות6 מלכודות
4
דמיון מטריצות
A∼BA \sim B פירושו: קיימת PP הפיכה כך ש-B=P−1APB = P^{-1}AP. שקול לחלוטין לאמירה ששתיהן מייצגות את אותו אופרטור בשני בסיסים — ולכן כל מה שהוא תכונה של האופרטור עצמו חייב להיות שווה בשתיהן.
13 תכונות5 מהתרגול8 מכריעות6 מלכודות
5
לכסון
ללכסן = למצוא בסיס של Fn\mathbb{F}^n שכולו וקטורים עצמיים. אם מצאת אותו — PP היא המטריצה שעמודותיה הם הווקטורים האלה, ו-D=diag(λ1,…,λn)D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) היא הע"ע באותו סדר. אם לא קיים בסיס כזה — לא לכסינה. אין אפשרות שלישית.
24 תכונות12 מהתרגול14 מכריעות6 מלכודות
6
הפולינום האופייני
pA(λ)=det⁡(λIn−A)p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A) — מכונה שממירה מטריצה לפולינום מתוקן ממעלה nn בדיוק, ששורשיו הם בדיוק הערכים העצמיים, ושמקדמיו הקיצוניים הם העקבה והדטרמיננטה. משבוע זה והלאה כבר לא מנחשים ע"ע.
22 תכונות11 מהתרגול13 מכריעות6 מלכודות
7
ריבוי אלגברי וגיאומטרי
לכל סקלר λ\lambda מצמידים שני מספרים: ר"א AM(λ)AM(\lambda) — החזקה של (λ−λ0)(\lambda-\lambda_0) בפולינום האופייני, ור"ג GM(λ)=dim⁡Vλ=n−rank(λI−A)GM(\lambda)=\dim V_\lambda=n-\mathrm{rank}(\lambda I-A); תמיד GM≤AMGM\le AM, ו-AA לכסינה אם"ם סכום הריבויים הגיאומטריים הוא nn — כלומר אם"ם הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים וגם GM=AMGM=AM לכל ע"ע.
24 תכונות12 מהתרגול12 מכריעות6 מלכודות
8
קיילי–המילטון ותת-מרחב שמור
מציבים מטריצה בפולינום (p(A)=a0In+a1A+⋯+akAkp(A)=a_0I_n+a_1A+\dots+a_kA^k — האיבר החופשי הופך ל-a0Ina_0I_n), ואז קיילי־המילטון אומר ש-pA(A)=0np_A(A)=0_n: כל מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה, ולכן כל ביטוי פולינומי ב-AA מצטמצם למעלה ≤n−1\le n-1; במקביל, "לכסינות" ו"תת-מרחב שמור" עוברים משפת המטריצות לשפת האופרטורים.
23 תכונות12 מהתרגול13 מכריעות6 מלכודות
9
מרחב מכפלה פנימית
מכפלה פנימית היא פונקציה ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbf{F} (רק מעל R\mathbb{R} או C\mathbb{C}!) עם ארבע תכונות — אדיטיביות והומוגניות ברכיב הראשון, הרמיטיות, וחיוביות לחלוטין — וממנה נגזרים אוטומטית הנורמה ∥v∥=⟨v,v⟩\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} ואי-שוויון קושי-שוורץ ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\| שהשוויון בו מתקיים אם"ם u,vu,v ת"ל.
21 תכונות9 מהתרגול12 מכריעות6 מלכודות
10
אורתוגונליות
אורתוגונליות היא בדיוק ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 (בלי דרישה ש-u,v≠0Vu,v\ne0_V), וכל השבוע הוא ארבעת הדברים שנובעים ממנה או מקושי-שוורץ: הזווית cos⁡θ=⟨u,v⟩∥u∥∥v∥\cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|} מוגדרת היטב, פיתגורס ∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2, אי-שוויון המשולש ∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|, וקבוצה אורתוגונלית שאינה מכילה את 0V0_V היא בת"ל.
22 תכונות10 מהתרגול14 מכריעות6 מלכודות
11
היטל, בסל ופרסבל
בסיס אורתונורמלי הופך כל שאלת קואורדינטות למכפלות פנימיות בלבד, וההיטל projW(v)=∑i=1k⟨v,ui⟩uiproj_W(v)=\sum_{i=1}^{k}\langle v,u_i\rangle u_i הוא הווקטור היחיד ב-WW הקרוב ביותר ל-vv — כי ההפרש v−projW(v)v-proj_W(v) מאונך לכל WW.
23 תכונות11 מהתרגול12 מכריעות6 מלכודות
12
גרם–שמידט
גרם-שמידט הופך כל בסיס לבסיס אורתוגונלי (או אורתונורמלי) בלי לשנות אף spanspan של רישא — ומכאן שלכל ממ"פ נ"ס יש בסיס אורתונורמלי, ולכן ההיטל והמשלים הניצב U⊥U^{\perp} מוגדרים היטב על כל תת-מרחב.
23 תכונות12 מהתרגול11 מכריעות6 מלכודות
13
מטריצות סימטריות ולכסון אורתוגונלי
שני דברים שנפגשים: מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה ממשית שעמודותיה בסיס אורתונורמלי — שקול ל-OtO=InO^tO=I_n — ומטריצה סימטרית ממשית תמיד ניתנת ללכסון אורתוגונלי, כלומר קיימת OO אורתוגונלית עם OtAOO^tAO אלכסונית. במקביל, ריבועים פחותים: כשאין פתרון ל-Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec b, הפתרון "הכי טוב" הוא בדיוק ההיטל של b⃗\vec b על Col(A)Col(A), ומשוואת AtAx⃗0=Atb⃗A^tA\vec x_0=A^t\vec b מוצאת אותו בלי לחשב היטל.
24 תכונות12 מהתרגול11 מכריעות6 מלכודות