MentoraLINEAR 2

שבוע 10 — אורתוגונליות

זווית, אי-שוויון המשולש, פיתגורס וקבוצות אורתוגונליות

אורתוגונליותאי-שוויון המשולשפיתגורסמטריצה אורתוגונלית

רקע — על מה השבוע הזה

עם המכפלה הפנימית ביד אפשר סוף סוף לדבר על ניצבות. הפרק מראה שאורתוגונליות היא תכונה חזקה מאוד: היא גוררת אי-תלות לינארית בחינם, והופכת את משפט פיתגורס למשפט על וקטורים מופשטים.

אורתוגונליותאי-שוויון המשולשפיתגורסמטריצה אורתוגונלית

התמונה

לחצי Play או עברי שלב-שלב
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.

הגדרות (5)

הניסוח המלא מהמצגת
הגדרהזווית
יהי VV מרחב אוקלידי ויהיו u,v∈Vu,v\in V המקיימים u,v≠0Vu,v\neq 0_V.
נגדיר את הזווית בין uu ל-vv להיות המספר θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi] כך שמתקיים: cos⁡θ=⟨u,v⟩∥u∥⋅∥v∥\cos\theta=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\cdot\|v\|}
כלומר: θ=arccos⁡⟨u,v⟩∥u∥⋅∥v∥\theta=\arccos\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\cdot\|v\|}
באופן זה נוכל להגדיר זווית בין כל שני איברים בממ"פ (גם בין מטריצות למשל).
ניתן להוכיח שב-R2\mathbb{R}^2 וב-R3\mathbb{R}^3 מושג זה מתלכד עם מושג הזווית המוכר לנו.
הגדרהאורתוגונליות
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F} ויהיו u,v∈Vu,v\in V.
נאמר ש-u,vu,v אורתוגונליים אם מתקיים ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0.
הגדרהמאונכים
יהי VV מרחב אוקלידי. יהיו 0V≠u,v∈V0_V\neq u,v\in V.
נאמר ש-u,vu,v מאונכים ונסמן u⊥vu\perp v אם θ=π2\theta=\dfrac{\pi}{2}.
הגדרהקבוצה אורתוגונלית
יהי VV ממ"פ ותהי A⊆VA\subseteq V.
נאמר ש-AA קבוצה אורתוגונלית אם לכל u,v∈Au,v\in A המקיימים u≠vu\neq v מתקיים ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0.
למשל הקבוצה {(1−10),(001),(110)}\left\{\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\right\} ב-R3\mathbb{R}^3 היא קבוצה אורתוגונלית.
למשל הקבוצה {(110),(1−10),(002)}\left\{\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 2\end{pmatrix}\right\} ב-R3\mathbb{R}^3 היא קבוצה אורתוגונלית.
הגדרהאורתונורמליות
יהי VV מרחב מכפלה פנימית ויהיו u1,…,uk∈Vu_1,\dots,u_k\in V
נאמר ש-u1,…,uku_1,\dots,u_k אורתונורמליים אם:
1. הם אורתוגונליים.
2. הם וקטורי יחידה.
כלומר מתקיים:
לכל 1≤i,j≤k1\le i,j\le k: ⟨ui,uj⟩=δij={0i≠j1i=j\langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij}=\begin{cases}0 & i\neq j\\ 1 & i=j\end{cases}

משפטים ומסקנות (5)

ניסוחים בלבד — ההוכחות בלשונית ההרצאה
משפט 1אי-שוויון קושי-שוורץצריך לדעת להוכיח
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי מ"ו VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. יהיו u,v∈Vu,v\in V. אזי: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\|
השוויון מתקיים אם"ם u,vu,v ת"ל.
משפט 2אי-שוויון המשולשצריך לדעת להוכיח
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי מ"ו VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. יהיו u,v∈Vu,v\in V. אזי: ∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|
משפט 3נוסחת הזווית ב-R2\mathbb{R}^2צריך לדעת להוכיח
לכל x⃗,y⃗∈R2\vec x,\vec y\in\mathbb{R}^2 מתקיים: ⟨x⃗,y⃗⟩=cos⁡θ⋅∥x⃗∥⋅∥y⃗∥\langle\vec x,\vec y\rangle=\cos\theta\cdot\|\vec x\|\cdot\|\vec y\|
כאשר 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi היא הזווית בין x⃗\vec x ל-y⃗\vec y.
מסקנה 1אורתוגונליות מול אנכיות
יהי VV מרחב אוקלידי. אזי x⃗,y⃗\vec x,\vec y אורתוגונליים אם"ם הם מאונכים או שלפחות אחד מהם 0⃗\vec 0.
משפט 4משפט פיתגורסצריך לדעת להוכיח
יהי VV ממ"פ ויהיו u,v∈Vu,v\in V. נניח ש-u,vu,v אורתוגונליים. אזי מתקיים:
∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2

הערות (2)

הערה 2 — הזווית מוגדרת היטב
במרחב אוקלידי, עבור u,v≠0Vu,v\neq 0_V מתקיים ∥u∥⋅∥v∥>0\|u\|\cdot\|v\|>0.
ממשפט 1 (אי-שוויון קושי-שוורץ) מתקיים: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\| ולכן: ∣⟨u,v⟩∥u∥⋅∥v∥∣≤1\left|\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\cdot\|v\|}\right|\le 1 (תכונת ערך מוחלט)
−1≤⟨u,v⟩∥u∥⋅∥v∥≤1-1\le\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\cdot\|v\|}\le 1
לכן קיימת זווית יחידה 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi כך ש-cos⁡θ=⟨u,v⟩∥u∥⋅∥v∥\cos\theta=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\cdot\|v\|} , θ=arccos⁡⟨u,v⟩∥u∥⋅∥v∥\theta=\arccos\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\cdot\|v\|}
כלומר θ\theta מוגדרת היטב.
הערה 3 — זווית ישרה ואורתוגונליות
נשים לב שאם u,v≠0Vu,v\neq 0_V וגם ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 אזי:
cos⁡θ=⟨u,v⟩∥u∥⋅∥v∥=0\cos\theta=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\cdot\|v\|}=0
θ=arccos⁡0=π2\theta=\arccos 0=\dfrac{\pi}{2}

אם נתון לי… אז אני יודעת

8 מסקנות · זה מה שכותבים בשורה הראשונה של הפתרון
נתון ש-u,vu,v אורתוגונליים
  • ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 (זו ההגדרה) וגם ⟨v,u⟩=0\langle v,u\rangle=0
  • ∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2 — משפט פיתגורס (משפט 4)
  • ובמרחב אוקלידי, אם שניהם ≠0V\neq0_V, הזווית ביניהם היא π2\dfrac{\pi}{2} (הערה 3)
פיתגורס דורש אורתוגונליות ולא להפך — במרחב אוניטרי ∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2 יכול להתקיים גם בלי ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 (מספיק Re⟨u,v⟩=0\mathrm{Re}\langle u,v\rangle=0).
השאלה מדברת על הזווית θ\theta בין uu ל-vv
  • cos⁡θ=⟨u,v⟩∥u∥⋅∥v∥\cos\theta=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\cdot\|v\|} ולכן ⟨u,v⟩=∥u∥∥v∥cos⁡θ\langle u,v\rangle=\|u\|\|v\|\cos\theta
  • θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi] והיא מוגדרת היטב — בדיוק בזכות קושי-שוורץ (הערה 2)
  • ההגדרה חלה על כל ממ"פ אוקלידי, גם על מטריצות ופולינומים
זווית מוגדרת רק במרחב אוקלידי ורק עבור u,v≠0Vu,v\neq0_V. במרחב אוניטרי אין זווית — יש אורתוגונליות בלבד.
צריך לחסום את ∣⟨u,v⟩∣|\langle u,v\rangle| או להוכיח אי-שוויון
  • קושי-שוורץ: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\| (משפט 1)
  • שוויון אם"ם u,vu,v ת"ל
  • ולכל u,vu,v: ∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥\|u+v\|\le\|u\|+\|v\| — אי-שוויון המשולש (משפט 2)
נתונה קבוצה אורתונורמלית u1,…,uku_1,\dots,u_k
  • ⟨ui,uj⟩=δij\langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij} — אפס לזרים, אחד לעצמו
  • כל אחד מהם וקטור יחידה: ∥ui∥=1\|u_i\|=1
  • ולכן בכל חישוב מכפלה פנימית רוב האיברים מתאפסים ונשאר סכום קצר
"אורתוגונלית" אינה "אורתונורמלית": קבוצה אורתוגונלית לא חייבת להיות מנורמלת, ואז אי אפשר לוותר על החלוקה ב-∥ui∥2\|u_i\|^2 בנוסחאות.
הזווית בין uu ל-vv היא π\pi
  • קיים α<0\alpha<0 ממשי כך ש-v=αuv=\alpha u
  • ובפרט u,vu,v ת"ל — מקרה השוויון בקושי-שוורץ
נתון ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 ואחד מהם הוא 0V0_V
  • הם אורתוגונליים לפי ההגדרה
  • אבל הם אינם מאונכים — "מאונכים" מוגדר רק לווקטורים שונים מאפס (מסקנה 1)
  • 0V0_V אורתוגונלי לכל וקטור במרחב (משפט 4 משבוע 9)
מבקשים וקטור המאונך לישר או למרחב פרוש
  • כתבי את הישר כ-span{w⃗}span\{\vec w\}
  • ומצאי v⃗\vec v עם ⟨v⃗,w⃗⟩=0\langle\vec v,\vec w\rangle=0 — משוואה אחת
  • אורתוגונליות ל-w⃗\vec w גוררת אורתוגונליות לכל כפולה שלו, כלומר לכל הישר
נתונה קבוצה אורתוגונלית של kk וקטורים
  • הכללת פיתגורס: ∥u1+⋯+uk∥2=∥u1∥2+⋯+∥uk∥2\|u_1+\cdots+u_k\|^2=\|u_1\|^2+\cdots+\|u_k\|^2
  • ואם אין בה 0V0_V — אפשר לנרמל ולקבל קבוצה אורתונורמלית

איך מפריכים

מהבדיקה הזולה ביותר לכיוון היקרה
להפריך שקבוצה נתונה אורתוגונלית/אורתונורמלית
  1. 1לאורתונורמליות — הזול ביותר: חשבי נורמה אחת. אם ∥u1∥≠1\|u_1\|\neq1 סיימת, בלי לגעת בזוגות.
  2. 2ואז זוג אחד: חשבי ⟨u1,u2⟩\langle u_1,u_2\rangle. אם ≠0\neq0 — סיימת.
  3. 3רק אם הזוג הראשון עבר — המשיכי לזוגות הבאים; מספיק זוג אחד שנכשל.
  4. 4שימי לב לצמידה במרוכבים — חישוב בלי צמידה נותן תשובה שגויה ואז "מפריכים" קבוצה תקינה.
להפריך טענה גיאומטרית על זווית
  1. 1בדקי קודם שהמרחב אוקלידי ושהווקטורים ≠0V\neq0_V — אחרת הזווית אינה מוגדרת וזו כבר ההפרכה.
  2. 2חשבי cos⁡θ=⟨u,v⟩∥u∥∥v∥\cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|} עבור דוגמה קונקרטית פשוטה ב-R2\mathbb{R}^2.
  3. 3לטענות "אורתוגונליים גורר מאונכים" — קחי u=0⃗u=\vec0: אורתוגונלי לכול, מאונך לאיש (מסקנה 1).
להפריך את ההפך של פיתגורס במרחב אוניטרי
  1. 1קחי V=CV=\mathbb{C} עם המכפלה הסטנדרטית, u=1u=1, v=iv=i.
  2. 2חשבי ⟨u,v⟩=1⋅iˉ=−i≠0\langle u,v\rangle=1\cdot\bar i=-i\neq0 — הם אינם אורתוגונליים.
  3. 3ובכל זאת ∥u+v∥2=∣1+i∣2=2=1+1=∥u∥2+∥v∥2\|u+v\|^2=|1+i|^2=2=1+1=\|u\|^2+\|v\|^2.
  4. 4מסקנה: הכיוון ההפוך של פיתגורס נכון במרחב אוקלידי בלבד.

איך מוכיחים

המהלכים שעובדים בשבוע הזה
להוכיח שקבוצה אורתוגונלית/אורתונורמלית
  1. 1עברי על כל הזוגות i≠ji\neq j והראי ⟨ui,uj⟩=0\langle u_i,u_j\rangle=0 (בקבוצה סימטרית מספיק i<ji<j).
  2. 2לאורתונורמליות — הוסיפי ∥ui∥=1\|u_i\|=1 לכל ii.
  3. 3אם הקבוצה אורתוגונלית ללא 0V0_V אבל לא מנורמלת — החליפי כל uiu_i ב-ui∥ui∥\frac{u_i}{\|u_i\|}.
  4. 4ודאי שהשתמשת במכפלה הפנימית הנכונה של השאלה, לא בסטנדרטית כברירת מחדל.
לחשב זווית בין שני איברים בממ"פ
  1. 1חשבי ⟨u,v⟩\langle u,v\rangle.
  2. 2חשבי ∥u∥=⟨u,u⟩\|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle} ו-∥v∥\|v\|.
  3. 3הציבי ב-cos⁡θ=⟨u,v⟩∥u∥∥v∥\cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|} וקחי arccos⁡\arccos בטווח [0,π][0,\pi].
  4. 4בדיקה: הערך חייב להיות בין −1-1 ל-11 — אם לא, יש טעות חישוב (זה בדיוק מה שקושי-שוורץ מבטיח).
להוכיח טענה בעזרת פיתגורס או אי-שוויון המשולש
  1. 1זהי אם המבנה הוא "נורמה של סכום" — אז פתחי ל-⟨u+v,u+v⟩\langle u+v,u+v\rangle.
  2. 2אם ידוע שהאיברים אורתוגונליים — האיברים המעורבים נעלמים וקיבלת פיתגורס.
  3. 3לחסם מלמעלה על ∥u+v∥\|u+v\| — אי-שוויון המשולש; לחסם על ∣⟨u,v⟩∣|\langle u,v\rangle| — קושי-שוורץ.
  4. 4לקבוצה של kk איברים אורתוגונליים — הכללת פיתגורס במקום אינדוקציה ידנית.

מסקנות — מה לוקחים מהשבוע

  • 1קבוצה אורתוגונלית שאינה מכילה את 0 היא תמיד בת"ל.
  • 2פיתגורס: u ⟂ v ⟺ ‖u+v‖² = ‖u‖² + ‖v‖² (מעל ℝ).
  • 3אי-שוויון המשולש נובע ישירות מקושי־שוורץ.
  • 4בסיס אורתוגונלי ≠ אורתונורמלי — ההבדל קריטי בנוסחת ההיטל.
מטלה 11
לתרגל את החומר של השבוע
שקפי הרצאה 10
המצגת המקורית במלואה
שבוע 9:מרחב מכפלה פנימיתהיטל, בסל ופרסבל:שבוע 11