MentoraLINEAR 2

שבוע 3 — קואורדינטות ומטריצה מייצגת

וקטור קואורדינטות, המטריצה המייצגת והרכבה

וקטור קואורדינטותמטריצה מייצגתהרכבהאיזומורפיזם

רקע — על מה השבוע הזה

כאן נסגר המעגל בין העולם המופשט לעולם החישובי. וקטור הקואורדינטות הופך כל וקטור מופשט (פולינום, מטריצה, פונקציה) לעמודת מספרים, והמטריצה המייצגת הופכת כל העתקה לינארית למטריצה. מרגע זה כל שאלה על העתקות ניתנת לפתרון בדירוג.

וקטור קואורדינטותמטריצה מייצגתהרכבהאיזומורפיזם

הגדרות (5)

הניסוח המלא מהמצגת
הגדרות - תזכורתאיזומורפיזם, אוטומורפיזם ומרחבים איזומורפיים
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטורים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W.
נאמר ש- TT היא איזומורפיזם אם: 1. TT היא העתקה לינארית.
2. TT הפיכה (חח"ע ועל).
אם V=WV = W נאמר ש- TT היא אוטומורפיזם.
נאמר ש- V,WV,W הם איזומורפיים ונסמן V≅WV \cong W אם קיימת T:V→WT: V \to W שהיא איזומורפיזם.
הגדרהבסיס סדור
• יהי VV מ"ו נוצר סופית מעל שדה F\mathbb{F}.
• בסיס סדור של VV מוגדר להיות A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) כאשר v1,…,vn∈Vv_1, \dots ,v_n \in V הינם בסיס של VV.
• כלומר בסיס סדור הוא בסיס שסדר הוקטורים בו נתון מראש (nn-יה סדורה).
הגדרהוקטור קואורדינטות
• יהי VV מ"ו נוצר סופית מעל שדה F\mathbb{F}.
• יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV ויהי v∈Vv \in V.
• vv ניתן להצגה יחידה כצ"ל של איברי הבסיס, כלומר קיימים α1,…,αn∈F\alpha_1, \dots ,\alpha_n \in \mathbb{F} יחידים כך שמתקיים:
v=α1v1+⋯+αnvnv = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n
וקטור הקואורדינטות של vv ביחס לבסיס A\mathcal{A}, אשר יסומן [v]A[v]_{\mathcal{A}}, הוא וקטור העמודה [v]A=(α1⋮αn)∈Fn[v]_{\mathcal{A}} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^n.
הגדרהמטריצה מייצגת של העתקה לינארית
• יהיו V,WV,W מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F}.
• יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) , B=(w1,…,wm)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_m) בסיסים סדורים של V,WV,W בהתאמה.
• תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
• המטריצה המייצגת של ההעתקה TT ביחס לבסיסים A\mathcal{A} ו- B\mathcal{B}, אשר תסומן [T]BA[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}},
היא המטריצה מסדר m×nm \times n שהעמודה ה- jj שלה היא וקטור הקואורדינטות [T(vj)]B[T(v_j)]_{\mathcal{B}}.
[T]BA=(∣∣∣[T(v1)]B[T(v2)]B…[T(vn)]B∣∣∣)[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ [T(v_1)]_{\mathcal{B}} & [T(v_2)]_{\mathcal{B}} & \dots & [T(v_n)]_{\mathcal{B}} \\ | & | & & | \end{pmatrix}
הגדרהמטריצת מעבר
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי n∈Nn \in \mathbb{N}. יהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F}.
יהיו A,B\mathcal{A},\mathcal{B} בסיסים סדורים של VV.
PP תקרא מטריצת המעבר מ- A\mathcal{A} ל- B\mathcal{B} אם מתקיים P=[id]BAP = [id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}

משפטים ומסקנות (13)

ניסוחים בלבד — ההוכחות בלשונית ההרצאה
משפט 1V≅FnV \cong \mathbb{F}^nצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מרחב וקטורי מעל F\mathbb{F}.
נניח ש- VV נוצר סופית וש- dim⁡V=n≥1\dim V = n \geq 1.
אזי: V≅FnV \cong \mathbb{F}^n
מסקנה 1שוויון מימדים אם"ם איזומורפיזםצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל F\mathbb{F}.
אזי: dim⁡V=dim⁡W\dim V = \dim W אם ורק אם V≅WV \cong W.
משפט 2לינאריות וקטור הקואורדינטותצריך לדעת להוכיח
יהי VV מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F} ממימד nn.
יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV.
יהיו u,v∈Vu,v \in V , α,β∈F\alpha,\beta \in \mathbb{F}.
אזי מתקיים: [αu+βv]A=α[u]A+β[v]A[\alpha u + \beta v]_{\mathcal{A}} = \alpha [u]_{\mathcal{A}} + \beta [v]_{\mathcal{A}}
משפט 3ההתאמה v↦[v]Av \mapsto [v]_{\mathcal{A}} היא איזומורפיזםצריך לדעת להוכיח
יהי VV מ"ו נוצר סופית מעל שדה F\mathbb{F}. יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV.
נתבונן בפונקציה T:V→FnT: V \to \mathbb{F}^n המוגדרת כך: T(v)=[v]AT(v) = [v]_{\mathcal{A}} לכל v∈Vv \in V.
אזי TT היא איזומורפיזם.
משפט 4וקטור קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטיצריך לדעת להוכיח
יהי n∈Nn \in \mathbb{N} ויהי F\mathbb{F} שדה.
יהי En=(e1⃗,…,en⃗)\mathcal{E}_n = (\vec{e_1}, \dots , \vec{e_n}) הבסיס הסטנדרטי של Fn\mathbb{F}^n.
יהי v⃗∈Fn\vec{v} \in \mathbb{F}^n. אזי מתקיים: [v⃗]En=v⃗[\vec{v}]_{\mathcal{E}_n} = \vec{v}
משפט 5לינאריות המטריצה המייצגתצריך לדעת להוכיח
• יהיו V,WV,W מ"ו נוצרים סופית מעל שדה F\mathbb{F}.
• יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) , B=(w1,…,wm)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_m) בסיסים סדורים של V,WV,W בהתאמה.
• תהיינה S,T:V→WS,T: V \to W שתי ה"ל ויהיו α,β∈F\alpha,\beta \in \mathbb{F}.
• אזי: [αT+βS]BA=α[T]BA+β[S]BA[\alpha T + \beta S]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \alpha [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} + \beta [S]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}
משפט 6ψ\psi היא איזומורפיזםצריך לדעת להוכיח
• יהיו V,WV,W מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F}.
• יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n), B=(w1,…,wm)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_m) בסיסים סדורים ל- V,WV,W בהתאמה.
• נגדיר העתקה ψ:Hom(V,W)→Mm×n(F)\psi: Hom(V,W) \to M_{m \times n}(\mathbb{F}) באופן הבא:
ψ(T)=[T]BAלכל T∈Hom(V,W)\psi(T) = [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}\quad \text{לכל } T \in Hom(V,W)
• אזי ψ\psi היא איזומורפיזם.
מסקנה 2Hom(V,W)≅Mm×n(F)Hom(V,W) \cong M_{m \times n}(\mathbb{F})צריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל F\mathbb{F}.
אזי: Hom(V,W)≅Mm×n(F)Hom(V, W) \cong M_{m \times n}(\mathbb{F})
כאשר dim⁡V=n\dim V = n, dim⁡W=m\dim W = m.
מסקנה 3מימד Hom(V,W)Hom(V,W)צריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל F\mathbb{F}.
אזי: dim⁡Hom(V,W)=n⋅m=dim⁡V⋅dim⁡W\dim Hom(V, W) = n \cdot m = \dim V \cdot \dim W
משפט 7הכפלה במטריצה מייצגתצריך לדעת להוכיח
יהיו V,WV,W מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F}.
יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) , B=(w1,…,wm)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_m) בסיסים סדורים של V,WV,W בהתאמה
ותהי T:V→WT: V \to W ה"ל.
אזי לכל v∈Vv \in V מתקיים: [T]BA⋅[v]A=[T(v)]B[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} \cdot [v]_{\mathcal{A}} = [T(v)]_{\mathcal{B}}.
משפט 8המטריצה המייצגת של העתקת הזהותצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F}. יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV.
אזי מתקיים: [id]AA=In[id]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} = I_n.
משפט 9מכפלת מטריצות מייצגותצריך לדעת להוכיח
יהיו V,W,UV,W,U מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F} ויהיו A,B,C\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C} בסיסים סדורים של V,W,UV,W,U בהתאמה.
תהיינה T:V→WT: V \to W , S:W→US: W \to U ה"ל. אזי [S]CB⋅[T]BA=[S∘T]CA[S]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \cdot [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = [S \circ T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{A}}
משפט 10המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכיתצריך לדעת להוכיח
יהיו V,WV,W מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F}.
יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) , B=(w1,…,wn)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_n) בסיסים סדורים של V,WV,W בהתאמה
ותהי T:V→WT: V \to W ה"ל הפיכה.
אזי: ([T]BA)−1=[T−1]AB\left([T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}\right)^{-1} = [T^{-1}]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}

הערות (3)

הערה - תזכורת — איזומורפיזם הוא יחס שקילות
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,W,UV,W,U מרחבים וקטורים מעל F\mathbb{F}. אזי:
1. V≅VV \cong V
2. אם V≅WV \cong W אז W≅VW \cong V
3. אם V≅WV \cong W וגם W≅UW \cong U אז V≅UV \cong U
מה עושים מכאן? - אינטואיציה
• יהיו V,WV,W מ"ו נוצרים סופית מעל שדה F\mathbb{F}.
• יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n), B=(w1,…,wm)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_m) בסיסים סדורים ל- V,WV,W בהתאמה.
• ראינו כבר שלכל העתקה T:V→WT: V \to W ניתן להתאים מטריצה מייצגת [T]BA[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} אחת.
• נרצה לחזק את הקשר בין העתקות לבין מטריצות, כך שנוכל לעבוד עם מטריצות במקום עם העתקות.
• לכן נבנה פונקציה שמתאימה בין העתקה לבין המטריצה המייצגת שלה.
ψ:Hom(V,W)→Mm×n(F)\psi: Hom(V, W) \to M_{m \times n}(\mathbb{F})
הערה — מטריצת מעבר הפיכה
תהי P=[id]BAP = [id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} מטריצת מעבר.
אזי לפי משפט 10, מתקיים ש- PP הפיכה ו- P−1=[id]ABP^{-1} = [id]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}.

אם נתון לי… אז אני יודעת

8 מסקנות · זה מה שכותבים בשורה הראשונה של הפתרון
נתון בסיס סדור A=(v1,…,vn)\mathcal{A}=(v_1,\dots,v_n) של VV
  • לכל v∈Vv\in V יש הצגה יחידה כצ"ל של הבסיס, ולכן [v]A[v]_{\mathcal{A}} מוגדר היטב
  • [αu+βv]A=α[u]A+β[v]A[\alpha u+\beta v]_{\mathcal{A}}=\alpha[u]_{\mathcal{A}}+\beta[v]_{\mathcal{A}} (משפט 2)
  • ההתאמה v↦[v]Av\mapsto[v]_{\mathcal{A}} היא איזומורפיזם V→FnV\to\mathbb{F}^n (משפט 3)
  • ולכן כל שאלה על בת"ל / פרישה / מימד ב-VV הופכת לאותה שאלה על וקטורי עמודה ב-Fn\mathbb{F}^n
הבסיס סדור — שינוי סדר הווקטורים משנה את [v]A[v]_{\mathcal{A}}. וכן: [v⃗]En=v⃗[\vec v]_{\mathcal{E}_n}=\vec v רק לבסיס הסטנדרטי (משפט 4).
נתונה המטריצה המייצגת [T]BA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}
  • העמודה ה-jj שלה היא [T(vj)]B[T(v_j)]_{\mathcal{B}} — זו ההגדרה
  • גודלה m×nm\times n כאשר n=dim⁡Vn=\dim V (התחום) ו-m=dim⁡Wm=\dim W (הטווח)
  • [T]BA⋅[v]A=[T(v)]B[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\cdot[v]_{\mathcal{A}}=[T(v)]_{\mathcal{B}} (משפט 7) — "המטריצה עובדת על הקואורדינטות"
  • ולכן אפשר לחשב T(v)T(v) בלי לגעת ב-TT עצמה
הסימון: עליון = תחום, תחתון = טווח. אם החלפת ביניהם, גם גודל המטריצה יתהפך — זו בדיקת שפיות מהירה.
מופיעה הרכבה S∘TS\circ T
  • [S∘T]CA=[S]CB⋅[T]BA[S\circ T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{C}}=[S]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}\cdot[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} (משפט 9)
  • הבסיס האמצעי B\mathcal{B} "מצטמצם" — וזו הבדיקה שהסדר נכון
  • ובפרט: מכפלת מטריצות מייצגת הרכבה, ולא להפך
הסדר חייב להתאים: [S]CB[T]BA[S]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} ולא הפוך. אם הכתבים לא מצטמצמים — הכפל אינו מוגדר או שהחלפת סדר.
TT הפיכה
  • ([T]BA)−1=[T−1]AB\left([T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\right)^{-1}=[T^{-1}]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}} (משפט 10)
  • ובפרט המטריצה המייצגת הפיכה, ולכן det⁡([T]BA)≠0\det\left([T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\right)\neq0
  • המטריצה ריבועית, ולכן dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W
בהיפוך המטריצה מתהפכים גם הבסיסים. מי שכותב [T−1]BA[T^{-1}]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} מאבד נקודות גם אם החישוב נכון.
נתונה מטריצת מעבר P=[id]BAP=[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}
  • העמודה ה-jj שלה היא [vj]B[v_j]_{\mathcal{B}}, כאשר vjv_j הוא הווקטור ה-jj ב-A\mathcal{A}
  • P [v]A=[v]BP\,[v]_{\mathcal{A}}=[v]_{\mathcal{B}} — היא מתרגמת קואורדינטות מ-A\mathcal{A} ל-B\mathcal{B}
  • PP הפיכה ו-P−1=[id]ABP^{-1}=[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}} (הערה בסוף ההרצאה, לפי משפט 10)
  • [id]AA=In[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}=I_n (משפט 8)
מטריצת המעבר "מ-A\mathcal{A} ל-B\mathcal{B}" נכתבת [id]BA[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} — התחום למעלה. קל להפוך, ואז מקבלים את המטריצה ההופכית.
dim⁡V=n\dim V=n, dim⁡W=m\dim W=m (נוצרים סופית)
  • ψ(T)=[T]BA\psi(T)=[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} היא איזומורפיזם (משפט 6)
  • Hom(V,W)≅Mm×n(F)Hom(V,W)\cong M_{m\times n}(\mathbb{F}) (מסקנה 2)
  • dim⁡Hom(V,W)=n⋅m\dim Hom(V,W)=n\cdot m (מסקנה 3)
  • ולכן שאלות "כמה" על העתקות הופכות לספירת מימדים של מטריצות
VV נוצר סופית ו-dim⁡V=n≥1\dim V=n\ge1
  • V≅FnV\cong\mathbb{F}^n (משפט 1)
  • dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W אם"ם V≅WV\cong W (מסקנה 1)
  • ולכן מותר "לעבוד ב-Fn\mathbb{F}^n" גם כשהמרחב הוא פולינומים או מטריצות
האיזומורפיזם תלוי בבחירת בסיס. מסקנות על וקטורים קונקרטיים צריכות להיאמר ביחס לאותו בסיס לאורך כל הפתרון.
T=TAT=T_A והבסיסים הם הסטנדרטיים
  • [TA]EmEn=A[T_A]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_m}=A — המטריצה המייצגת היא AA עצמה
  • ולכן חישוב [T][T] בבסיסים אחרים = מעבר בין בסיסים בלבד

איך מפריכים

מהבדיקה הזולה ביותר לכיוון היקרה
להפריך שמטריצה נתונה KK מייצגת את TT ביחס לבסיסים A,B\mathcal{A},\mathcal{B}
  1. 1הזול ביותר — גודל: KK חייבת להיות dim⁡W×dim⁡V\dim W\times\dim V. אם הממדים לא מתאימים, סיימת.
  2. 2ואז — עמודה אחת: חשבי T(v1)T(v_1) ופרקי לפי B\mathcal{B}. אם התוצאה שונה מהעמודה הראשונה של KK — הופרך.
  3. 3לחלופין — הצבה אחת: קחי vv נוח, חשבי K[v]AK[v]_{\mathcal{A}} והשווי ל-[T(v)]B[T(v)]_{\mathcal{B}} (משפט 7).
  4. 4רק אם הכול תואם — עברי על שאר העמודות.
להפריך ש-B\mathcal{B} הוא הבסיס שביחס אליו התקבלה המטריצה
  1. 1בדקי הפיכות: כל מטריצת מעבר הפיכה. אם det⁡=0\det=0 — היא לא מטריצת מעבר בין בסיסים.
  2. 2בדקי את העמודה הראשונה: היא חייבת להיות [v1]B[v_1]_{\mathcal{B}}.
  3. 3בדקי את מקרה הזהות: אם A=B\mathcal{A}=\mathcal{B} המטריצה חייבת להיות InI_n (משפט 8).

איך מוכיחים

המהלכים שעובדים בשבוע הזה
לחשב את [T]BA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}
  1. 1רשמי את A\mathcal{A} (תחום) ואת B\mathcal{B} (טווח) בסדר הנתון, וקבעי מראש את גודל המטריצה.
  2. 2הפעילי את TT על כל וקטור בסיס של A\mathcal{A} בנפרד.
  3. 3פרקי כל תוצאה כצ"ל של B\mathcal{B} — זה בדרך כלל פתרון מערכת קטנה.
  4. 4שימי את וקטורי הקואורדינטות כעמודות, לפי הסדר.
  5. 5בדיקה: הציבי וקטור אחד ובדקי [T]BA[v]A=[T(v)]B[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{A}}=[T(v)]_{\mathcal{B}}.
לחשב מטריצת מעבר [id]BA[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}
  1. 1זכרי שזו בסך הכול המטריצה המייצגת של idid — אותו אלגוריתם בדיוק.
  2. 2פרקי כל וקטור של A\mathcal{A} לפי B\mathcal{B} ושימי כעמודות.
  3. 3אם אחד הבסיסים סטנדרטי — הפירוק מיידי ([v⃗]E=v⃗[\vec v]_{\mathcal{E}}=\vec v).
  4. 4אם צריך את הכיוון ההפוך — הפכי את המטריצה במקום לחשב מחדש.
לחשב T(v)T(v) או T−1(w)T^{-1}(w) דרך מטריצות
  1. 1חשבי [v]A[v]_{\mathcal{A}}.
  2. 2הכפילי: [T(v)]B=[T]BA[v]A[T(v)]_{\mathcal{B}}=[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{A}}.
  3. 3תרגמי בחזרה: הרכיבים הם המקדמים של וקטורי B\mathcal{B}.
  4. 4ל-T−1T^{-1}: הפכי את המטריצה המייצגת וקראי לה [T−1]AB[T^{-1}]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}} (משפט 10).
לחשב מטריצה מייצגת של הרכבה או של חזקה
  1. 1אל תחשבי את ההרכבה עצמה — הכפילי מטריצות (משפט 9).
  2. 2בחרי בסיסים כך שהאמצעיים יצטמצמו.
  3. 3ל-TkT^k באותו בסיס: העלי את [T]AA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}} בחזקת kk.
  4. 4אם אפשר — בדקי בשתי דרכים (ישירות ודרך המכפלה); זו בדיקה שהמרצה עצמו עשה בתרגיל.

מסקנות — מה לוקחים מהשבוע

  • 1הכלל המרכזי: [T(v)]_B = [T]^A_B · [v]_A — המטריצה פועלת על הקואורדינטות, לא על הווקטור.
  • 2העמודה ה-j של [T]^A_B היא [T(a_j)]_B. זו כל ההגדרה, וממנה בונים הכל.
  • 3בהרכבה הבסיס האמצעי "מצטמצם": [S∘T]^A_C = [S]^B_C·[T]^A_B.
  • 4ψ: Hom(V,W) → M_{m×n}(F) הוא איזומורפיזם — ולכן dim Hom(V,W) = m·n.
מטלה 4
לתרגל את החומר של השבוע
שקפי הרצאה 3
המצגת המקורית במלואה
שבוע 2:קיום ויחידות ומשפט המימדיםדמיון מטריצות:שבוע 4