אלגברה לינארית 2

שבוע	הנושא	הנקודה המרכזית	היקף	מטלה
0	חזרה מסמסטר א׳ מטריצה מצורפת וכלל קרמר	adj(A) תמיד מוגדרת — גם כשהמטריצה לא הפיכה. רק החלוקה ב-det דורשת הפיכות.	—	מטלה 1 ←
1	העתקות לינאריות הגדרה, גרעין ותמונה, אריתמטיקה והפיכות	לינאריות = שמירה על צירוף לינארי. מספיק לבדוק תנאי אחד: T(αv₁+βv₂)=αT(v₁)+βT(v₂).	8 הגדרות14 משפטים23 הוכחות	מטלה 2 ←
2	קיום ויחידות ומשפט המימדים הגדרת ה"ל על בסיס, משפט המימדים השני, איזומורפיזם	משפט המימדים הוא על dim V — מימד התחום. זו הטעות הקלאסית במבחן.	2 הגדרות4 משפטים9 הוכחות	מטלה 3 ←
3	קואורדינטות ומטריצה מייצגת וקטור קואורדינטות, המטריצה המייצגת והרכבה	הכלל המרכזי: [T(v)]_B = [T]^A_B · [v]_A — המטריצה פועלת על הקואורדינטות, לא על הווקטור.	5 הגדרות13 משפטים19 הוכחות	מטלה 4 ←
4	דמיון מטריצות מטריצת מעבר, יחס הדמיון ותכונות נשמרות	A ~ B ⟺ קיימת P הפיכה כך ש-B = P⁻¹AP ⟺ שתיהן מייצגות את אותו אופרטור בבסיסים שונים.	1 הגדרות5 משפטים11 הוכחות	מטלה 5 ←
5	לכסון ערכים ווקטורים עצמיים, מרחב עצמי, קריטריון ראשון ללכסינות	A לכסינה ⟺ קיים בסיס של המרחב שכולו וקטורים עצמיים. לא מספיק שיהיו הרבה ו"ע.	5 הגדרות6 משפטים9 הוכחות	מטלה 6 ←
6	הפולינום האופייני הגדרה, מטריצות בלוקים, דמיון ופיבונאצ׳י	p_A(λ) = det(λI − A) — בסדר הזה. ההיפך הופך סימנים ומקלקל את המתוקנוּת.	3 הגדרות11 משפטים13 הוכחות	מטלה 7 ←
7	ריבוי אלגברי וגיאומטרי GM ≤ AM והקריטריון המלא ללכסינות	GM(λ) = n − rank(λI − A), ותמיד 1 ≤ GM(λ) ≤ AM(λ).	2 הגדרות11 משפטים15 הוכחות	מטלה 8 ←
8	קיילי–המילטון ותת-מרחב שמור הצבת מטריצה בפולינום, לכסון אופרטורים, תת-מרחבים שמורים	p_A(A) = 0. מכאן מקבלים A⁻¹ כפולינום ב-A, וגם דרך לחשב A^k בלי לכסון.	5 הגדרות6 משפטים11 הוכחות	מטלה 9 ←
9	מרחב מכפלה פנימית האקסיומות, נורמה מושרית וקושי–שוורץ	מעל ℂ: לינאריות ברכיב הראשון, צמידות בשני — ⟨v,αw⟩ = ᾱ⟨v,w⟩.	5 הגדרות7 משפטים16 הוכחות	מטלה 10 ←
10	אורתוגונליות זווית, אי-שוויון המשולש, פיתגורס וקבוצות אורתוגונליות	קבוצה אורתוגונלית שאינה מכילה את 0 היא תמיד בת"ל.	5 הגדרות5 משפטים17 הוכחות	מטלה 11 ←
11	היטל, בסל ופרסבל בסיס אורתונורמלי, ההיטל הניצב ותכונותיו	בבסיס אורתונורמלי המקדמים הם פשוט מכפלות פנימיות — בלי לפתור מערכת.	1 הגדרות10 משפטים17 הוכחות	מטלה 12 ←
12	גרם–שמידט התהליך, קיום בסיס אורתוגונלי והמשלים הניצב	u_k = v_k − Σ_{i<k} (⟨v_k,u_i⟩/‖u_i‖²)·u_i — שימי לב לריבוע במכנה.	1 הגדרות5 משפטים6 הוכחות	—
13	מטריצות סימטריות ולכסון אורתוגונלי המשפט הספקטרלי וקירוב בריבועים פחותים	O אורתוגונלית ⟺ OᵗO = I ⟺ O⁻¹ = Oᵗ ⟺ העמודות בסיס אורתונורמלי. ואז det O = ±1.	1 הגדרות8 משפטים10 הוכחות	—

העובדות והמלכודות פענוח סימונים אנימציות