מטלה 12

ההיטל הוא הרעיון המרכזי של החלק השני של הקורס: בהינתן תת-מרחב W ווקטור v, ההיטל הוא הווקטור הקרוב ביותר ל-v בתוך W, וההפרש ניצב ל-W. מכאן נובעים בסל, פרסבל, וגם הריבועים הפחותים בהמשך.

• 1בבסיס אורתונורמלי המקדמים הם פשוט מכפלות פנימיות — בלי לפתור מערכת.
• 2Proj_W(v) = Σ⟨v,u_i⟩u_i נכון רק לבסיס אורתונורמלי. אחרת מחלקים ב-‖u_i‖².
• 3v − Proj_W(v) ⟂ W, וזו התכונה שמאפיינת את ההיטל באופן יחיד.
• 4בסל: ‖Proj_W(v)‖ ≤ ‖v‖. פרסבל הוא מקרה השוויון, כשהבסיס פורש את כל המרחב.

• ·קבוצה אורתוגונלית שאינה מכילה את 0 היא תמיד בת"ל.
• ·פיתגורס: u ⟂ v ⟺ ‖u+v‖² = ‖u‖² + ‖v‖² (מעל ℝ).
• ·אי-שוויון המשולש נובע ישירות מקושי־שוורץ.
• ·בסיס אורתוגונלי ≠ אורתונורמלי — ההבדל קריטי בנוסחת ההיטל.