LINEAR 2

כל המשפטים

105 משפטים, למות ומסקנות — הניסוח המדויק מהמצגת, עם ההוכחה צעד אחר צעד בדיוק כפי שנחשפה בכיתה.

שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 1

האפס עובר לאפס

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית. אזי: T(0V)=0WT(0_V) = 0_W
00 תמיד עובר ל- 00 !
לינאריות: T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)T(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2) = \alpha_1 T(v_1) + \alpha_2 T(v_2)
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 2

TAT_A היא העתקה לינארית

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. תהי A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(\mathbb{F}).
אזי ההעתקה TAT_A היא העתקה לינארית.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 3

הגרעין הוא תת-מרחב

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
אזי: הגרעין של TT (Ker(T)Ker(T)) הוא תמ"ו של VV.
תזכורת: UU תמ"ו של WW אם:
∀w1,w2∈W , ∀α,β∈F\forall w_1, w_2 \in W\ ,\ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}
(1) 0W∈U0_W \in U
(2) w1,w2∈U→αw1+βw2∈Uw_1, w_2 \in U \to \alpha w_1 + \beta w_2 \in U
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 4

התמונה היא תת-מרחב

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
אזי: התמונה של TT (Im(T)Im(T)) היא תמ"ו.
תזכורת: UU תמ"ו של WW אם:
∀w1,w2∈W , ∀α,β∈F\forall w_1, w_2 \in W\ ,\ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}
(1) 0W∈U0_W \in U
(2) w1,w2∈U→αw1+βw2∈Uw_1, w_2 \in U \to \alpha w_1 + \beta w_2 \in U
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 5

העתקת האפס היא לינארית

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל שדה F\mathbb{F}.
ותהי T:V→WT: V \to W העתקת האפס. אזי TT העתקה לינארית.
לינאריות: T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)T(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2) = \alpha_1 T(v_1) + \alpha_2 T(v_2)
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 6

העתקת הזהות היא לינארית

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מרחב וקטורי מעל שדה F\mathbb{F}.
אזי idVid_V העתקה לינארית.
לינאריות: T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)T(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2) = \alpha_1 T(v_1) + \alpha_2 T(v_2)
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 7

אריתמטיקה של העתקות לינאריות

הוכח בכיתה
• יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהיינה T,S:V→WT,S: V \to W העתקות לינארית.
• יהיו α,β∈F\alpha,\beta \in \mathbb{F}. אזי: αT+βS\alpha T + \beta S העתקה לינארית.
צירוף לינארי של העתקות לינאריות הוא העתקה לינארית.
AOLT (Arithmetic of linear transformation)AOLT\ (Arithmetic\ of\ linear\ transformation)
1. (S+T)(v)=S(v)+T(v)(S + T)(v) = S(v) + T(v)
2. (αT)(v)=αT(v)(\alpha T)(v) = \alpha T(v)
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
מסקנה 1

Hom(V,W)Hom(V,W) תת-מרחב של WVW^V

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
אזי Hom(V,W)Hom(V,W) הוא תמ"ו של WVW^V.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 8

הרכבה של העתקות לינאריות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,W,UV,W,U מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהיינה T:V→WT: V \to W , S:W→US: W \to U העתקות לינאריות.
אזי S∘TS \circ T היא העתקה לינארית.
תזכורת (הרכבת פונקציות): עבור פונקציות f:A→Bf: A \to B , g:B→Cg: B \to C ההרכבה g∘f:A→Cg \circ f: A \to C היא פונקציה המוגדרת כך: (g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)).
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 9

ההופכית של העתקה לינארית היא לינארית

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
נניח ש- TT הפיכה. אזי T−1T^{-1} היא העתקה לינארית.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 10

חח"ע אם"ם הגרעין טריוויאלי

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
אזי TT חח"ע אם"ם Ker(T)={0V}Ker(T) = \{0_V\}.
בהעתקה חח"ע רק 00 עובר ל- 00 !
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 11

פורשת לפורשת

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
יהיו v1,…,vm∈Vv_1, \dots ,v_m \in V וקטורים שפורשים את VV.
אזי T(v1),…,T(vm)T(v_1), \dots ,T(v_m) פורשים את Im(T)Im(T).
שימו לב: T(v1),…,T(vm)T(v_1), \dots ,T(v_m) לא בהכרח פורשים את WW.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 12

בת"ל לבת"ל

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית חח"ע.
יהיו v1,…,vk∈Vv_1, \dots ,v_k \in V וקטורים בת"ל. אזי T(v1),…,T(vk)T(v_1), \dots ,T(v_k) בת"ל.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 13

בסיס לבסיס

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
יהיו v1,…,vn∈Vv_1, \dots ,v_n \in V בסיס ל- VV.
אזי TT הפיכה אם"ם T(v1),…,T(vn)T(v_1), \dots ,T(v_n) בסיס של WW.
TT הפיכה אם"ם היא מעתיקה בסיס לבסיס.
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
משפט 1

קיום ויחידות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
נניח ש- VV נוצר סופית ויהי v1,…,vnv_1, \dots ,v_n בסיס של VV.
יהיו w1,…,wn∈Ww_1, \dots ,w_n \in W.
אזי קיימת ה"ל יחידה T:V→WT: V \to W כך ש- T(vi)=wiT(v_i) = w_i לכל 1≤i≤n1 \leq i \leq n.
w1,…,wnw_1, \dots ,w_n לא בהכרח בסיס של WW.
המימד של WW אינו בהכרח nn.
v1,…,vnv_1, \dots , v_n - בסיס ; w1,…,wnw_1, \dots , w_n - סתם
v↦T(v)v \mapsto T(v) , α1v1+⋯+αnvn↦α1w1+⋯+αnwn\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n \mapsto \alpha_1 w_1 + \cdots + \alpha_n w_n
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
משפט 2

משפט המימדים השני

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. נניח ש- VV נוצר סופית.
תהי T:V→WT: V \to W ה"ל.
אזי: dim⁡V=dim⁡Ker T+dim⁡Im T\dim V = \dim Ker\,T + \dim Im\,T
תזכורת: אם k=0k = 0 הרי ש- v1,…,vk=∅v_1, \dots ,v_k = \emptyset
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
מסקנות חשובות

משפט המימדים - מסקנות חשובות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
נניח ש- V,WV,W נוצרים סופית. תהי T∈Hom(V,W)T \in Hom(V,W). אזי:
1. כאשר dim⁡V=dim⁡W\dim V = \dim W מתקיים: TT חח"ע אם"ם TT על.
2. כאשר dim⁡V<dim⁡W\dim V < \dim W מתקיים: TT אינה על.
3. כאשר dim⁡V>dim⁡W\dim V > \dim W מתקיים: TT אינה חח"ע.
dim⁡V=dim⁡Ker T+dim⁡Im T\dim V = \dim Ker\,T + \dim Im\,T
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
מסקנה 4

Rank-nullity theorem

הוכח בכיתה
• תהי A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(\mathbb{F}). אזי dim⁡null(A)+rank(A)=n\dim null(A) + rank(A) = n
Rank−nullity theoremRank-nullity\ theorem
dim⁡V=dim⁡Ker T+dim⁡Im T\dim V = \dim Ker\,T + \dim Im\,T
מספר המשתנים, מספר המובילים, מספר החופשיים
הדירוג שומר על מרחב השורות ולא בהכרח על מרחב העמודות, אבל הוא כן שומר על המימד שלו!
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 1

V≅FnV \cong \mathbb{F}^n

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מרחב וקטורי מעל F\mathbb{F}.
נניח ש- VV נוצר סופית וש- dim⁡V=n≥1\dim V = n \geq 1.
אזי: V≅FnV \cong \mathbb{F}^n
כל המרחבים הוקטורים מאותו מימד הם איזומורפיים זה לזה!
משפט הקיום והיחידות: בהנתן שני מרחבים, אם יש בסיס באחד ובחרנו לו תמונות כלשהן, קיימת ה"ל יחידה שמעתיקה את הבסיס לתמונות שבחרנו.
צריך להוכיח שיש איזומורפיזם ביניהם.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
מסקנה 1

שוויון מימדים אם"ם איזומורפיזם

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל F\mathbb{F}.
אזי: dim⁡V=dim⁡W\dim V = \dim W אם ורק אם V≅WV \cong W.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 2

לינאריות וקטור הקואורדינטות

הוכח בכיתה
יהי VV מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F} ממימד nn.
יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV.
יהיו u,v∈Vu,v \in V , α,β∈F\alpha,\beta \in \mathbb{F}.
אזי מתקיים: [αu+βv]A=α[u]A+β[v]A[\alpha u + \beta v]_{\mathcal{A}} = \alpha [u]_{\mathcal{A}} + \beta [v]_{\mathcal{A}}
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 3

ההתאמה v↦[v]Av \mapsto [v]_{\mathcal{A}} היא איזומורפיזם

הוכח בכיתה
יהי VV מ"ו נוצר סופית מעל שדה F\mathbb{F}. יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV.
נתבונן בפונקציה T:V→FnT: V \to \mathbb{F}^n המוגדרת כך: T(v)=[v]AT(v) = [v]_{\mathcal{A}} לכל v∈Vv \in V.
אזי TT היא איזומורפיזם.
ההתאמה בין וקטור לבין וקטור הקואורדינטות שלו ביחס לבסיס מסוים היא איזומורפיזם.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 4

וקטור קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי

הוכח בכיתה
יהי n∈Nn \in \mathbb{N} ויהי F\mathbb{F} שדה.
יהי En=(e1⃗,…,en⃗)\mathcal{E}_n = (\vec{e_1}, \dots , \vec{e_n}) הבסיס הסטנדרטי של Fn\mathbb{F}^n.
יהי v⃗∈Fn\vec{v} \in \mathbb{F}^n. אזי מתקיים: [v⃗]En=v⃗[\vec{v}]_{\mathcal{E}_n} = \vec{v}
וקטור קואורדינטות לפי בסיס סטנדרטי הוא הוקטור עצמו!
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 5

לינאריות המטריצה המייצגת

הוכח בכיתה
• יהיו V,WV,W מ"ו נוצרים סופית מעל שדה F\mathbb{F}.
• יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) , B=(w1,…,wm)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_m) בסיסים סדורים של V,WV,W בהתאמה.
• תהיינה S,T:V→WS,T: V \to W שתי ה"ל ויהיו α,β∈F\alpha,\beta \in \mathbb{F}.
• אזי: [αT+βS]BA=α[T]BA+β[S]BA[\alpha T + \beta S]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \alpha [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} + \beta [S]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 6

ψ\psi היא איזומורפיזם

הוכח בכיתה
• יהיו V,WV,W מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F}.
• יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n), B=(w1,…,wm)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_m) בסיסים סדורים ל- V,WV,W בהתאמה.
• נגדיר העתקה ψ:Hom(V,W)→Mm×n(F)\psi: Hom(V,W) \to M_{m \times n}(\mathbb{F}) באופן הבא:
ψ(T)=[T]BAלכל T∈Hom(V,W)\psi(T) = [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}\quad \text{לכל } T \in Hom(V,W)
• אזי ψ\psi היא איזומורפיזם.
ψ\psi מקבלת העתקה TT ומחזירה את המטריצה המייצגת שלה לפי הבסיסים A,B\mathcal{A},\mathcal{B}.
שימו לב: זה מוכיח חח"ע ועל בבת אחת.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
מסקנה 2

Hom(V,W)≅Mm×n(F)Hom(V,W) \cong M_{m \times n}(\mathbb{F})

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל F\mathbb{F}.
אזי: Hom(V,W)≅Mm×n(F)Hom(V, W) \cong M_{m \times n}(\mathbb{F})
כאשר dim⁡V=n\dim V = n, dim⁡W=m\dim W = m.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
מסקנה 3

מימד Hom(V,W)Hom(V,W)

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל F\mathbb{F}.
אזי: dim⁡Hom(V,W)=n⋅m=dim⁡V⋅dim⁡W\dim Hom(V, W) = n \cdot m = \dim V \cdot \dim W
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 7

הכפלה במטריצה מייצגת

הוכח בכיתה
יהיו V,WV,W מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F}.
יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) , B=(w1,…,wm)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_m) בסיסים סדורים של V,WV,W בהתאמה
ותהי T:V→WT: V \to W ה"ל.
אזי לכל v∈Vv \in V מתקיים: [T]BA⋅[v]A=[T(v)]B[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} \cdot [v]_{\mathcal{A}} = [T(v)]_{\mathcal{B}}.
במקום להפעיל העתקה נוכל לכפול את וקטור הקואורדינטות במטריצה.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 8

המטריצה המייצגת של העתקת הזהות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F}. יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV.
אזי מתקיים: [id]AA=In[id]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} = I_n.
תזכורת: id:V→Vid: V \to V הינה העתקת הזהות.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 9

מכפלת מטריצות מייצגות

הוכח בכיתה
יהיו V,W,UV,W,U מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F} ויהיו A,B,C\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C} בסיסים סדורים של V,W,UV,W,U בהתאמה.
תהיינה T:V→WT: V \to W , S:W→US: W \to U ה"ל. אזי [S]CB⋅[T]BA=[S∘T]CA[S]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \cdot [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = [S \circ T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{A}}
זה כמו האות מ בעברית (בכתב:)
כשמכפילים מטריצות זה כמו להכפיל את השמאלית בכל אחת מעמודות הימנית (סמסטר א')
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 10

המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית

הוכח בכיתה
יהיו V,WV,W מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F}.
יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) , B=(w1,…,wn)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_n) בסיסים סדורים של V,WV,W בהתאמה
ותהי T:V→WT: V \to W ה"ל הפיכה.
אזי: ([T]BA)−1=[T−1]AB\left([T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}\right)^{-1} = [T^{-1}]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}
ההופכית של מטריצה שמייצגת העתקה היא המייצגת של ההעתקה ההופכית.
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
משפט 3

יחס הדמיון הוא יחס שקילות

הוכח בכיתה
תהיינה A,B,C∈Mn(F)A,B,C \in M_n(\mathbb{F}). אזי:
(1) רפלקסיביות: A∼AA \sim A.
(2) סימטריה: אם A∼BA \sim B אז B∼AB \sim A
(3) טרנזיטיביות: אם A∼BA \sim B וגם B∼CB \sim C אז A∼CA \sim C
יחס הדמיון הוא יחס שקילות!
A∼BA \sim B אם קיימת P∈Mn(F)P \in M_n(\mathbb{F}) הפיכה שעבורה B=P−1APB = P^{-1}AP
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
משפט 2

מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה

הוכח בכיתה
יהי α∈F\alpha \in \mathbb{F} ותהי A∈Mn(F)A \in M_n(\mathbb{F}). אם A∼αInA \sim \alpha I_n אז A=αInA = \alpha I_n.
מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה.
A∼BA \sim B אם קיימת P∈Mn(F)P \in M_n(\mathbb{F}) הפיכה שעבורה B=P−1APB = P^{-1}AP
דוגמה: המטריצות (2102)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} , (2002)\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} אינן דומות!
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
מסקנות

שני מקרים פרטיים חשובים

הוכח בכיתה
מסקנות (2 מקרים פרטיים חשובים:)
(1) α=0F\alpha = 0_{\mathbb{F}}: אם A∼0nA \sim 0_n אז A=0nA = 0_n.
(2) α=1F\alpha = 1_{\mathbb{F}}: (2) אם A∼InA \sim I_n אז A=InA = I_n.
המטריצה היחידה שדומה למטריצת האפס היא מטריצת האפס.
המטריצה היחידה שדומה למטריצת היחידה היא מטריצת היחידה.
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
משפט 3

תכונות הנשמרות תחת דמיון

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ותהיינה A,B∈Mn(F)A,B \in M_n(\mathbb{F}) המקיימות A∼BA \sim B. אזי:
1. trace(A)=trace(B)trace(A) = trace(B)
2. det⁡(A)=det⁡(B)\det(A) = \det(B)
3. At∼BtA^t \sim B^t
4. לכל k∈Nk \in \mathbb{N} מתקיים Ak∼BkA^k \sim B^k.
5. אם A,BA,B הפיכות אז A−1∼B−1A^{-1} \sim B^{-1}.
למטריצות דומות יש אותה דטרמיננטה ואותה עקבה!
מהיות A∼BA \sim B , קיימת P∈Mn(F)P \in M_n(\mathbb{F}) הפיכה שעבורה B=P−1APB = P^{-1}AP. רלוונטי לכל הסעיפים!
trace(AB)=trace(BA)trace(AB) = trace(BA)
(A⋅B)t=Bt⋅At(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t
(A−1)t=(At)−1(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
משפט 4

מטריצות דומות מייצגות את אותו אופרטור

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מ"ו נ"ס ממימד n∈Nn \in \mathbb{N} מעל F\mathbb{F}. יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV.
תהיינה K1,K2∈Mn(F)K_1,K_2 \in M_n(\mathbb{F}).
אזי K1∼K2K_1 \sim K_2 אם"ם קיים אופרטור לינארי T∈Hom(V,V)T \in Hom(V,V) ו- B\mathcal{B} בסיס סדור של VV כך שמתקיים:
K1=[T]AA , K2=[T]BB.K_1 = [T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}\ ,\ K_2 = [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}.
טענה: שתי מטריצות הן דומות אם"ם הן מייצגות את אותו אופרטור לינארי בבסיסים שונים.
האופרטור הוא זה שמגדיר את מחלקות השקילות!
המטריצה PP היא מטריצת המעבר בין הבסיסים!
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
משפט 4

שתי מטריצות דומות אם"ם הן מייצגות את אותו אופרטור לינארי

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מ"ו נ"ס ממימד n∈Nn\in\mathbb{N} מעל F\mathbb{F} . יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A}=(v_1,\dots,v_n) בסיס סדור של VV .
תהיינה K1,K2∈Mn(F)K_1,K_2\in M_n(\mathbb{F}) .
אזי K1∼K2K_1\sim K_2 אם"ם קיים אופרטור לינארי T∈Hom(V,V)T\in\mathrm{Hom}(V,V) ו-B\mathcal{B} בסיס סדור של VV כך שמתקיים:
K1=[T]AA , K2=[T]BBK_1=[T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}\ ,\ K_2=[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} .
שתי מטריצות הן דומות אם"ם הן מייצגות את אותו אופרטור לינארי בבסיסים שונים.
האופרטור הוא זה שמגדיר את מחלקות השקילות!
המטריצה P\boldsymbol{P} היא מטריצת המעבר בין הבסיסים!
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
משפט 1

תכונות של מטריצות אלכסוניות (הוכחה בלינארית 1.)

יהיו α1,…,αn,β1,…,βn∈F\boldsymbol{\alpha_1},\dots,\boldsymbol{\alpha_n},\boldsymbol{\beta_1},\dots,\boldsymbol{\beta_n}\in\mathbb{F} אזי:
1. diag(α1,..,αn)+diag(β1,…,βn)=diag(α1+β1,…,αn+βn)diag(\boldsymbol{\alpha_1},..,\boldsymbol{\alpha_n})+diag(\boldsymbol{\beta_1},\dots,\boldsymbol{\beta_n})=diag(\alpha_1+\beta_1,\dots,\alpha_n+\beta_n)
2. diag(α1,..,αn)⋅diag(β1,…,βn)=diag(α1⋅β1,…,αn⋅βn)diag(\boldsymbol{\alpha_1},..,\boldsymbol{\alpha_n})\cdot diag(\boldsymbol{\beta_1},\dots,\boldsymbol{\beta_n})=diag(\alpha_1\cdot\beta_1,\dots,\alpha_n\cdot\beta_n)
3. לכל k∈Nk\in\mathbb{N} מתקיים: (diag(α1,..,αn))k=diag(α1k,…,αnk)\big(diag(\boldsymbol{\alpha_1},..,\boldsymbol{\alpha_n})\big)^k=diag(\alpha_1^k,\dots,\alpha_n^k)
4. det⁡(diag(α1,..,αn))=α1⋅⋯⋅αn\det\big(diag(\boldsymbol{\alpha_1},..,\boldsymbol{\alpha_n})\big)=\alpha_1\cdot\dots\cdot\alpha_n .
5. אם α1,…,αn≠0F\alpha_1,\dots,\alpha_n\ne 0_{\mathbb{F}} אזי diag(α1,..,αn)diag(\boldsymbol{\alpha_1},..,\boldsymbol{\alpha_n}) הפיכה ומתקיים: (diag(α1,..,αn))−1=diag(α1−1,…,αn−1)\big(diag(\alpha_1,..,\alpha_n)\big)^{-1}=diag(\alpha_1^{-1},\dots,\alpha_n^{-1})
דוגמה: תהי D=(100020003)\boldsymbol{D}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix} אזי D10=(110000210000310)\boldsymbol{D^{10}}=\begin{pmatrix}1^{10}&0&0\\0&2^{10}&0\\0&0&3^{10}\end{pmatrix} , D−1=(10001200013)\boldsymbol{D^{-1}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
משפט 2

תנאי שקול ללכסינות

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . אזי:
∙\bullet AA לכסינה אם ורק אם קיים בסיס v⃗1,…,v⃗n∈Fn\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\in\mathbb{F}^n של וקטורים עצמיים של AA .
∙\bullet בנוסף, אם λ1,…,λn∈F\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{F} הם הע"ע של AA בהתאמה ואם נבחר את P=(v⃗1,…,v⃗n)P=(\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n) אזי P−1AP=diag(λ1,…,λn)P^{-1}AP=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) .
איך הכל מתחבר? אם A\boldsymbol{A} לכסינה, אז היא דומה למטריצה אלכסונית D\boldsymbol{D} ומתקיים:
D=P−1AP\boldsymbol{D}=\boldsymbol{P^{-1}AP} (P\boldsymbol{P} נקראת גם המטריצה המלכסנת)
(λ10⋱0λn)=(■…■⋮⋱⋮■…■)⋅A⋅(∣∣v⃗1…v⃗n∣∣)\begin{pmatrix}\boldsymbol{\lambda_1}& &\boldsymbol{0}\\ &\ddots& \\ \boldsymbol{0}& &\boldsymbol{\lambda_n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\blacksquare&\dots&\blacksquare\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \blacksquare&\dots&\blacksquare\end{pmatrix}\cdot\boldsymbol{A}\cdot\begin{pmatrix}|& &|\\ \boldsymbol{\vec{v}_1}&\dots&\boldsymbol{\vec{v}_n}\\ |& &|\end{pmatrix} בסיס ל-Fn\mathbb{F}^n
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
משפט 3

לערכים עצמיים שונים מתאימים וקטורים עצמיים בת"ל

הוכח בכיתה
תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . יהיו λ1,…,λk∈F\lambda_1,\dots,\lambda_k\in\mathbb{F} kk ערכים עצמיים שונים של AA ויהיו v⃗1,…,v⃗k∈Fn\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k\in\mathbb{F}^n וקטורים עצמיים המתאימים להם. כלומר Av⃗i=λiv⃗iA\vec{v}_i=\lambda_i\vec{v}_i לכל 1≤i≤k1\le i\le k .
אזי v1,…,vkv_1,\dots,v_k בת"ל.
לערכים עצמיים שונים מתאימים וקטורים עצמיים שונים ובת"ל!
k\boldsymbol{k} הוא מספר הערכים העצמיים השונים של A\boldsymbol{A} .
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
מסקנה 1

nn ע"ע שונים גוררים לכסינות

∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . אם ל-AA יש n\boldsymbol{n} ע"ע שונים זה מזה אזי A\boldsymbol{A} לכסינה.
לערכים עצמיים שונים מתאימים וקטורים עצמיים שונים ובת"ל!
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
משפט 4

המרחב העצמי הוא תמ"ו ושווה ל-Null(λIn−A)Null(\lambda I_n-A)

הוכח בכיתה
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, תהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} ותהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . אזי: VλV_\lambda הוא תמ"ו של Fn\mathbb{F}^n .
∙\bullet בנוסף: Vλ=Null(λIn−A)\boldsymbol{V_\lambda}=\boldsymbol{Null}(\boldsymbol{\lambda I_n}-\boldsymbol{A})
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
משפט 1

הע"ע הם שורשים של הפולינום האופייני

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) ויהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} .
אזי: λ\lambda ע"ע של AA אם"ם pA(λ)=0Fp_A(\lambda)=0_{\mathbb{F}} .
הע"ע הם שורשים של הפולינום האופייני.
pA(λ)=det⁡(λIn−A)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\mathbf{\det}(\boldsymbol{\lambda I_n}-\boldsymbol{A})
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
למה 1

דטרמיננטה של מטריצת פולינומים ממעלה ראשונה

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} . תהי A∈Mn(F1[x])A\in M_n(\mathbb{F}_1[x]) .
אזי det⁡(A)∈Fn[x]\det(A)\in\mathbb{F}_n[x] .
הערה: A\boldsymbol{A} היא מטריצה שאיבריה הם פולינומים ממעלה ראשונה לכל היותר.
למשל: deg⁡∣1−x31+x2∣=1\deg\begin{vmatrix}1-x&3\\1+x&2\end{vmatrix}=1 , deg⁡∣1+x121−x∣=2\deg\begin{vmatrix}1+x&1\\2&1-x\end{vmatrix}=2
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
משפט 2

הפולינום האופייני הוא מתוקן ממעלה nn

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} . תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
אזי pAp_A הוא פולינום מתוקן ממעלה n\boldsymbol{n} .
הפולינום האופייני הוא מתוקן והוא ממעלה n\boldsymbol{n} בדיוק!
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
משפט 3

נוסחת BinetBinet לסדרת פיבונאצ'י

הוכח בכיתה
∙\bullet נתבונן בסדרת פיבונאצ'י המוגדרת על ידי נוסחת הנסיגה הבאה: {Fn=Fn−1+Fn−2∀n≥2F1=1F0=0\begin{cases}F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\quad \forall n\ge2\\ F_1=1\\ F_0=0\end{cases}
∙\bullet אזי לכל n∈Nn\in\mathbb{N} מתקיים: Fn=(1+52)n−(1−52)n5\boldsymbol{F_n}=\dfrac{\left(\dfrac{\boldsymbol{1+\sqrt{5}}}{\boldsymbol{2}}\right)^{\boldsymbol{n}}-\left(\dfrac{\boldsymbol{1-\sqrt{5}}}{\boldsymbol{2}}\right)^{\boldsymbol{n}}}{\boldsymbol{\sqrt{5}}}
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
משפט 4

הפולינום האופייני של מטריצת בלוקים משולשית

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי AA מטריצת בלוקים משולשית, שהבלוקים שלה הם מטריצות ריבועיות A1,…,AkA_1,\dots,A_k .
∙\bullet כלומר AA היא מהצורה: A=(A1∗…∗A2…⋮⋱∗0Ak)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}A_1&*&\dots&*\\ &A_2&\dots&\vdots\\ &&\ddots&*\\ \boldsymbol{0}&&&A_k\end{pmatrix}
∙\bullet אזי: pA(λ)=pA1(λ)⋅⋯⋅pAk(λ)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\boldsymbol{p_{A_1}}(\boldsymbol{\lambda})\cdot\dots\cdot\boldsymbol{p_{A_k}}(\boldsymbol{\lambda})
הפולינום האופייני של מטריצת בלוקים משולשית הוא מכפלת הפולינומים האופייניים של הבלוקים.
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
מסקנה 1

ע"ע וז"ע של מטריצה אלכסונית

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A=diag(λ1,…,λn)A=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) מטריצה אלכסונית.
∙\bullet אזי AA לכסינה, הערכים העצמיים של AA הם λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n והזוגות העצמיים של AA הם (λ1,e⃗1),…,(λn,e⃗n)(\lambda_1,\vec{e}_1),\dots,(\lambda_n,\vec{e}_n) .
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
מסקנה 2

ע"ע של מטריצה משולשית עליונה

∙\bullet תהי AA מטריצה משולשית עליונה. אזי הערכים העצמיים של AA הם איברי האלכסון שלה.
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
משפט 5

למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} . תהיינה A,B∈Mn(F)A,B\in M_n(\mathbb{F}) , המקיימות A∼BA\sim B .
אזי pA(λ)=pB(λ)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\boldsymbol{p_B}(\boldsymbol{\lambda}) .
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
מסקנה 3

פירוק חלקי של הפולינום האופייני

∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . נניח ש-λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k הם ערכים עצמיים שונים של AA .
∙\bullet אזי קיים k(x)∈F(x)k(x)\in\mathbb{F}(x) כך ש-pA(λ)=(λ−λ1)⋅⋯⋅(λ−λk)⋅k(x)p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdot\dots\cdot(\lambda-\lambda_k)\cdot k(x)
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
מסקנה 4

כל פולינום מעל המרוכבים מתפרק לגורמים לינאריים

∙\bullet יהי p(x)∈C[x]p(x)\in\mathbb{C}[x] . נניח ש-n=deg⁡p(x)≥1n=\deg p(x)\ge1 .
∙\bullet אזי קיימים α1,…,αn∈C\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{C} וקיים c∈Cc\in\mathbb{C} כך ש-p(x)=c(x−α1)⋅⋯⋅(x−αn)\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{c}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\alpha_1})\cdot\dots\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\alpha_n})
כל פולינום מעל המרוכבים ניתן לפירוק לגורמים לינאריים.
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
מסקנה 5

הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים מעל המרוכבים

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(C)A\in M_n(\mathbb{C}) .
∙\bullet אזי קיימים λ1,…,λn∈C\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{C} כך ש-pA(λ)=(λ−λ1)⋅⋯⋅(λ−λn)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=(\boldsymbol{\lambda}-\boldsymbol{\lambda_1})\cdot\dots\cdot(\boldsymbol{\lambda}-\boldsymbol{\lambda_n})
כל פ"א מתפרק לגורמים לינאריים מעל המרוכבים.
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
מסקנה 1

ע"ע וז"ע של מטריצה אלכסונית

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A=diag(λ1,…,λn)A=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) מטריצה אלכסונית.
∙\bullet אזי AA לכסינה, הערכים העצמיים של AA הם λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n והזוגות העצמיים של AA הם (λ1,e⃗1),…,(λn,e⃗n)(\lambda_1,\vec{e}_1),\dots,(\lambda_n,\vec{e}_n) .
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
מסקנה 2

ע"ע של מטריצה משולשית עליונה

∙\bullet תהי AA מטריצה משולשית עליונה. אזי הערכים העצמיים של AA הם איברי האלכסון שלה.
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
משפט 5

למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} . תהיינה A,B∈Mn(F)A,B\in M_n(\mathbb{F}) , המקיימות A∼BA\sim B .
אזי pA(λ)=pB(λ)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\boldsymbol{p_B}(\boldsymbol{\lambda}) .
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
מסקנה 3

פירוק חלקי של הפולינום האופייני

∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . נניח ש-λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k הם ערכים עצמיים שונים של AA .
∙\bullet אזי קיים k(x)∈F(x)k(x)\in\mathbb{F}(x) כך ש-pA(λ)=(λ−λ1)⋅⋯⋅(λ−λk)⋅k(x)p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdot\dots\cdot(\lambda-\lambda_k)\cdot k(x)
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
מסקנה 4

כל פולינום מעל המרוכבים מתפרק לגורמים לינאריים

∙\bullet יהי p(x)∈C[x]p(x)\in\mathbb{C}[x] . נניח ש-n=deg⁡p(x)≥1n=\deg p(x)\ge1 .
∙\bullet אזי קיימים α1,…,αn∈C\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{C} וקיים c∈Cc\in\mathbb{C} כך ש-p(x)=c(x−α1)⋅⋯⋅(x−αn)\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{c}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\alpha_1})\cdot\dots\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\alpha_n})
כל פולינום מעל המרוכבים ניתן לפירוק לגורמים לינאריים.
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
מסקנה 5

הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים מעל המרוכבים

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(C)A\in M_n(\mathbb{C}) .
∙\bullet אזי קיימים λ1,…,λn∈C\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{C} כך ש-pA(λ)=(λ−λ1)⋅⋯⋅(λ−λn)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=(\boldsymbol{\lambda}-\boldsymbol{\lambda_1})\cdot\dots\cdot(\boldsymbol{\lambda}-\boldsymbol{\lambda_n})
כל פ"א מתפרק לגורמים לינאריים מעל המרוכבים.
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
משפט 1

GM(α)=n−rank(αIn−A)GM(\alpha)=n-rank(\alpha I_n-A)

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) ויהי α∈F\alpha\in\mathbb{F} . אזי:
GM(α)=n−rank(α⋅In−A)\boldsymbol{GM}(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{n}-\boldsymbol{rank}(\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{I_n}-\boldsymbol{A})
מספר המשתנים החופשיים שווה ל-n−rank\boldsymbol{n}-\boldsymbol{rank}(מטריצה)
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
משפט 2

ר"ג ≤\le ר"א

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} . תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . ויהי α∈F\alpha\in\mathbb{F} .
אזי GM(α)≤AM(α)\boldsymbol{GM}(\boldsymbol{\alpha})\le\boldsymbol{AM}(\boldsymbol{\alpha}) .
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
משפט 3

איחוד הבסיסים של מרחבים עצמיים של ע"ע שונים הוא בת"ל

הוכח בכיתה
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} . תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
∙\bullet יהיו λ1,…,λk∈F\lambda_1,\dots,\lambda_k\in\mathbb{F} ע"ע של AA השונים זה מזה.
∙\bullet יהיו Vλ1,Vλ2…,VλkV_{\lambda_1},V_{\lambda_2}\dots,V_{\lambda_k} המרחבים העצמיים המתאימים ל-λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k .
∙\bullet יהיו l1,…,lkl_1,\dots,l_k הריבויים הגיאומטריים של λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k בהתאמה.
∙\bullet נסמן: l1+l2+⋯+lk=rl_1+l_2+\dots+l_k=r
∙\bullet נסמן את הבסיסים של Vλ1,…,VλkV_{\lambda_1},\dots,V_{\lambda_k} באופן הבא:
v⃗1,…,v⃗l1∈Vλ1\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_{l_1}\in V_{\lambda_1} בסיס ל-Vλ1V_{\lambda_1}
v⃗l1+1,…,v⃗l1+l2∈Vλ2\vec{v}_{l_1+1},\dots,\vec{v}_{l_1+l_2}\in V_{\lambda_2} בסיס ל-Vλ2V_{\lambda_2}
⋮\vdots
v⃗l1+l2+⋯+lk−1+1,…,v⃗r∈Vλk\vec{v}_{l_1+l_2+\dots+l_{k-1}+1},\dots,\vec{v}_r\in V_{\lambda_k} בסיס ל-VλkV_{\lambda_k}
∙\bullet אזי v⃗1,…,v⃗r\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_r בת"ל.
איחוד הבסיסים של מרחבים עצמיים של ע"ע שונים הוא קבוצה בת"ל.
(סכום המרחבים העצמיים הוא סכום ישר)
k\boldsymbol{k} הוא מספר הערכים העצמיים השונים של A\boldsymbol{A} .
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
משפט 4

שלושה תנאים שקולים ללכסינות

הוכח בכיתה
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} ותהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
∙\bullet יהיו λ1,…,λk∈F\lambda_1,\dots,\lambda_k\in\mathbb{F} כל הע"ע של AA השונים זה מזה.
∙\bullet יהיו l1,…,lkl_1,\dots,l_k הריבויים הגיאומטריים של λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k בהתאמה.
אזי שלושת התנאים הבאים שקולים:
1. l1+l2+⋯+lk=nl_1+l_2+\dots+l_k=n .
2. AA לכסינה.
3. הפולינום האופייני של AA מתפרק לגורמים לינאריים באופן הבא: pA(λ)=(λ−λ1)l1⋅⋯⋅(λ−λk)lkp_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{l_1}\cdot\dots\cdot(\lambda-\lambda_k)^{l_k}
סכום הר"ג הוא n\boldsymbol{n} ⇕\Updownarrow המטריצה לכסינה ⇕\Updownarrow הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים כמתואר
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
מסקנה 1

מעל C\mathbb{C} : AA לכסינה אם"ם לכל ע"ע GM(λ)=AM(λ)GM(\lambda)=AM(\lambda)

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(C)A\in M_n(\mathbb{C}) . אזי AA לכסינה אם ורק אם לכל ערך עצמי λ\lambda של AA מתקיים GM(λ)=AM(λ)\boldsymbol{GM}(\boldsymbol{\lambda})=\boldsymbol{AM}(\boldsymbol{\lambda}) .
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
למה 1

העלאה בחזקה משמרת זוג עצמי

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) , תהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} .
∙\bullet נניח ש-(λ,v⃗)(\lambda,\vec{v}) הוא זוג עצמי של AA .
∙\bullet אזי: לכל k∈Nk\in\mathbb{N} מתקיים: (λk,v⃗)(\boldsymbol{\lambda^k},\boldsymbol{\vec{v}}) הוא זוג עצמי של Ak\boldsymbol{A^k} .
לא פורמלי: העלאה בחזקה משמרת את הקשר בין מטריצה לערך העצמי שלה.
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
משפט 1

הצבה בפולינום משמרת זוג עצמי

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) , תהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} ויהי p(x)∈F[x]p(x)\in\mathbb{F}[x] .
∙\bullet נניח ש-(λ,v⃗)(\lambda,\vec{v}) הוא זוג עצמי של AA .
∙\bullet אזי: (p(λ),v⃗)(\boldsymbol{p}(\boldsymbol{\lambda}),\boldsymbol{\vec{v}}) הוא זוג עצמי של p(A)\boldsymbol{p}(\boldsymbol{A}) .
לא פורמלי: הצבה בפולינום משמרת את הקשר בין מטריצה לערך העצמי שלה.
תזכורת: p(A)\boldsymbol{p}(\boldsymbol{A}) זו מטריצה!
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
מסקנה 1

אם AA לכסינה אז p(A)p(A) לכסינה באותה מטריצה מלכסנת

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) ויהי p(x)∈F[x]p(x)\in\mathbb{F}[x] .
∙\bullet נניח ש-AA לכסינה.
∙\bullet אזי p(A)p(A) לכסינה והמטריצה המלכסנת זהה.
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
משפט 2

משפט קיילי המילטון

הוכח בכיתה
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, יהי n∈Nn\in\mathbb{N} .
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) ויהי pA(λ)p_A(\lambda) הפולינום האופייני של AA .
∙\bullet אזי pA(A)=0np_A(A)=0_n .
כל מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה.
דוגמאות: A=I3\boldsymbol{A}=I_3 : pA(λ)=∣λ−1000λ−1000λ−1∣=(λ−1)3\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\begin{vmatrix}\lambda-1&0&0\\0&\lambda-1&0\\0&0&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)^3 , pA(I3)=(I3−I3)3=03\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{I_3})=(I_3-I_3)^3=0_3
A=(123456789)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix} : pA(λ)=∣λ−1−2−3−4λ−5−6−7−8λ−9∣=⋯=λ(λ2−15λ−18)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2&-3\\-4&\lambda-5&-6\\-7&-8&\lambda-9\end{vmatrix}=\dots=\lambda(\lambda^2-15\lambda-18) , pA(A)=A(A2−15A−18I3)=⋯=03\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{A})=A(A^2-15A-18I_3)=\dots=0_3
רקע היסטורי: במאמר משנת 1855 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות מסדר 2×22\times2 .
הוא מציין שבדק את הטענה גם עבור מטריצות מסדר 3×33\times3 אך "לא מצא לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל סדר".
מעט לאחר מכן גילה המילטון את נכונות המשפט עבור מטריצות מסדר 4×44\times4 .
את המקרה הכללי הוכיח פרדיננד ג'ורג' פרובניוס ב-1878 .
ארתור קיילי 1821-1895 , וויליאם רואן המילטון 1805-1865
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
משפט 3

TT לכסינה אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה לכסינה

הוכח בכיתה
∙\bullet יהי VV מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F} ויהי T:V→VT:V\to V אופרטור לינארי.
∙\bullet יהי A\mathcal{A} בסיס סדור של VV .
∙\bullet אזי TT לכסינה אם ורק אם [T]AA[T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} לכסינה.
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
משפט 4

תתי-מרחבים שמורים תחת TT

הוכח בכיתה
∙\bullet יהי VV מ"ו מעל שדה F\mathbb{F} ויהי T:V→VT:V\to V אופרטור לינארי. אזי:
1. VV שמור תחת TT .
2. {0V}\{0_V\} שמור תחת TT .
3. Ker(T)Ker(T) שמור תחת TT .
4. Im(T)Im(T) שמור תחת TT .
5. לכל λ∈F\lambda\in\mathbb{F} , המרחב העצמי VλV_\lambda שמור תחת TT .
W\boldsymbol{W} שמור תחת T\boldsymbol{T} אם לכל w∈W\boldsymbol{w}\in\boldsymbol{W} מתקיים: T(w)∈W\boldsymbol{T}(\boldsymbol{w})\in\boldsymbol{W}
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 1

Fn\mathbf{F}^n עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית הוא ממ"פ

הוכח בכיתה
לכל v⃗=(v1⋮vn),u⃗=(u1⋮un),w⃗=(w1⋮wn)∈Fn\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n\end{pmatrix},\vec u=\begin{pmatrix}u_1\\ \vdots\\ u_n\end{pmatrix},\vec w=\begin{pmatrix}w_1\\ \vdots\\ w_n\end{pmatrix}\in\mathbf{F}^n ולכל α∈F\alpha\in\mathbf{F}
Fn\mathbf{F}^n יחד עם ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle הינו מרחב מכפלה פנימית.
⟨v⃗,u⃗⟩=∑i=1nviuˉi\langle\vec v,\vec u\rangle=\sum_{i=1}^{n}v_i\bar u_i
הערה: ניתן להוכיח את כל התכונות גם בהתבסס על ההגדרה: ⟨v⃗,u⃗⟩=(u⃗)‾ t⋅v⃗\langle\vec v,\vec u\rangle=\overline{(\vec u)}^{\,t}\cdot\vec v במקום לפי הסיגמאות. נסו לבד!
אפשר גם להוכיח בבת אחת לפי תבנית של לינאריות.
1. z1+z2‾=zˉ1+zˉ2\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2 2. z1⋅z2‾=zˉ1⋅zˉ2\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2 3. zˉˉ=z\bar{\bar z}=z
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 2

המכפלה הסטנדרטית ב-Mm×n(F)M_{m\times n}(\mathbf{F}) היא מכפלה פנימית (ללא הוכחה)

יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה.
לכל A,B∈Mm×n(F)A,B\in M_{m\times n}(\mathbf{F}) ההגדרה מהעמוד הקודם מהווה מכפלה פנימית על Mm×n(F)M_{m\times n}(\mathbf{F}).
⟨A,B⟩=trace(Bt‾A)\langle A,B\rangle=trace\left(\overline{B^t}A\right)
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 3

הכללת לינאריות בשני הרכיבים

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. אזי לכל u1,…,uk,v∈Vu_1,\dots,u_k,v\in V ולכל α1,…,αk∈F\alpha_1,\dots,\alpha_k\in\mathbf{F} מתקיים:
א. ⟨α1u1+⋯+αkuk,v⟩=α1⟨u1,v⟩+⋯+αk⟨uk,v⟩\langle\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k,v\rangle=\alpha_1\langle u_1,v\rangle+\cdots+\alpha_k\langle u_k,v\rangle (הכללת לינאריות ברכיב הראשון)
ב. ⟨v,α1u1+⋯+αkuk⟩=α1‾⟨v,u1⟩+⋯+αk‾⟨v,uk⟩\langle v,\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k\rangle=\overline{\alpha_1}\langle v,u_1\rangle+\cdots+\overline{\alpha_k}\langle v,u_k\rangle (ברכיב השני המקדמים הם צמודים)
1. z1+z2‾=zˉ1+zˉ2\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2
2. z1⋅z2‾=zˉ1⋅zˉ2\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 4

מכפלה פנימית עם וקטור האפס

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}.
אזי לכל v∈Vv\in V מתקיים ⟨v,0V⟩=⟨0V,v⟩=0F\langle v,0_V\rangle=\langle 0_V,v\rangle=0_{\mathbf{F}}.
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 5

צמצום במכפלה פנימית

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}.
1. יהיו u1,u2∈Vu_1,u_2\in V. אם לכל v∈Vv\in V מתקיים: ⟨u1,v⟩=⟨u2,v⟩\langle u_1,v\rangle=\langle u_2,v\rangle אזי u1=u2u_1=u_2.
2. יהיו v1,v2∈Vv_1,v_2\in V. אם לכל u∈Vu\in V מתקיים: ⟨u,v1⟩=⟨u,v2⟩\langle u,v_1\rangle=\langle u,v_2\rangle אזי v1=v2v_1=v_2.
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 6

תכונות הנורמה

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. אזי:
1. לכל α∈F\alpha\in\mathbf{F}, u∈Vu\in V מתקיים ∥αu∥=∣α∣⋅∥u∥\|\alpha u\|=|\alpha|\cdot\|u\|
2. לכל u∈Vu\in V מתקיים: ∥u∥=0 ⇔ u=0V\|u\|=0\ \Leftrightarrow\ u=0_V
נסמן: z=x+yiz=x+yi. מתקיים: z⋅zˉ=x2+y2=∣z∣2z\cdot\bar z=x^2+y^2=|z|^2
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 7

אי-שוויון קושי-שוורץ

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי מ"ו VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. יהיו u,v∈Vu,v\in V. אזי: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\|
השוויון מתקיים אם"ם u,vu,v ת"ל.
תזכורות: 1. w=u−⟨u,v⟩∥v∥2⋅vw=u-\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}\cdot v 2. ⟨w,v⟩=0\langle w,v\rangle=0
צ"ל: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\|
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
משפט 1

אי-שוויון קושי-שוורץ

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי מ"ו VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. יהיו u,v∈Vu,v\in V. אזי: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\|
השוויון מתקיים אם"ם u,vu,v ת"ל.
תזכורות: 1. w=u−⟨u,v⟩∥v∥2⋅vw=u-\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}\cdot v 2. ⟨w,v⟩=0\langle w,v\rangle=0
צ"ל: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\|
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
משפט 2

אי-שוויון המשולש

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי מ"ו VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. יהיו u,v∈Vu,v\in V. אזי: ∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|
∥v∥=⟨v,v⟩\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} , ∥v∥2=⟨v,v⟩\|v\|^2=\langle v,v\rangle
נסמן z=x+yiz=x+yi. (1) z+zˉ=2x=2Re(z)z+\bar z=2x=2Re(z)
(2) Re z=x≤∣x∣=x2≤x2+y2=∣z∣Re\ z=x\le|x|=\sqrt{x^2}\le\sqrt{x^2+y^2}=|z|
אינטואיציה ב-R2\mathbb{R}^2 (מ"פ סטנדרטית)
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
משפט 3

נוסחת הזווית ב-R2\mathbb{R}^2

הוכח בכיתה
לכל x⃗,y⃗∈R2\vec x,\vec y\in\mathbb{R}^2 מתקיים: ⟨x⃗,y⃗⟩=cos⁡θ⋅∥x⃗∥⋅∥y⃗∥\langle\vec x,\vec y\rangle=\cos\theta\cdot\|\vec x\|\cdot\|\vec y\|
כאשר 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi היא הזווית בין x⃗\vec x ל-y⃗\vec y.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
מסקנה 1

אורתוגונליות מול אנכיות

יהי VV מרחב אוקלידי. אזי x⃗,y⃗\vec x,\vec y אורתוגונליים אם"ם הם מאונכים או שלפחות אחד מהם 0⃗\vec 0.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
משפט 4

משפט פיתגורס

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ ויהיו u,v∈Vu,v\in V. נניח ש-u,vu,v אורתוגונליים. אזי מתקיים:
∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2
דוגמה: ראינו שהוקטורים (21),(−36)\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\ 6\end{pmatrix} הם אורתוגונלים. מתקיים: ∥(21)+(−36)∥2=∥(−17)∥2=50\left\|\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\ 6\end{pmatrix}\right\|^2=\left\|\begin{pmatrix}-1\\ 7\end{pmatrix}\right\|^2=50
∥(21)∥2+∥(−36)∥2=5+45=50\left\|\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\right\|^2+\left\|\begin{pmatrix}-3\\ 6\end{pmatrix}\right\|^2=5+45=50
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
מסקנה 1

נרמול קבוצה אורתוגונלית

אם הוקטורים u1,…,uk≠0Vu_1,\dots,u_k\neq 0_V אורתוגונליים אזי: הוקטורים u1∥u1∥,…,uk∥uk∥\dfrac{u_1}{\|u_1\|},\dots,\dfrac{u_k}{\|u_k\|} הם אורתונורמליים.
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
משפט 2

הכללת משפט פיתגורס

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ ותהי {u1,…,uk}⊆V\{u_1,\dots,u_k\}\subseteq V קבוצה אורתוגונלית. אזי מתקיים:
∥u1+⋯+uk∥2=∥u1∥2+⋯+∥uk∥2\|u_1+\cdots+u_k\|^2=\|u_1\|^2+\cdots+\|u_k\|^2
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
משפט 3

קבוצה אורתוגונלית ללא 0V0_V היא בת"ל

הוכח בכיתה
יהי VV מרחב מכפלה פנימית. יהיו 0V≠u1,…,uk∈V0_V\neq u_1,\dots,u_k\in V.
נניח ש-u1,…,uku_1,\dots,u_k אורתוגונליים.
אזי u1,…,uku_1,\dots,u_k הם בת"ל.
כל קבוצה אורתוגונלית ללא 0V0_V היא בת"ל.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
מסקנה 2

קבוצה אורתונורמלית היא בת"ל

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס ויהיו u1,…,uk∈Vu_1,\dots,u_k\in V. נניח ש-u1,…,uku_1,\dots,u_k הם אורתונורמליים.
אזי u1,…,uku_1,\dots,u_k בת"ל.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
משפט 4

נוסחת המקדמים בבסיס אורתוגונלי

הוכח בכיתה
יהי VV מרחב מכפלה פנימית ויהיו 0V≠u1,…,uk∈V0_V\neq u_1,\dots,u_k\in V.
נניח ש-u1,…,uku_1,\dots,u_k אורתוגונליים.
יהי v∈span{u1,…,uk}v\in span\{u_1,\dots,u_k\}.
אזי מתקיים: v=∑i=1k⟨v,ui⟩∥ui∥2uiv=\sum_{i=1}^{k}\dfrac{\langle v,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i
כשהבסיס אורתוגונלי, ניתן לבטא כל מקדם של הצירוף הלינארי בעזרת מ"פ ונורמה.
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
מסקנה 3

נוסחת המקדמים בבסיס אורתונורמלי

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס ויהיו u1,…,unu_1,\dots,u_n בסיס אורתונורמלי של VV. יהי v∈Vv\in V. אזי מתקיים:
v=∑i=1n⟨v,ui⟩uiv=\sum_{i=1}^{n}\langle v,u_i\rangle u_i
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
משפט 5

תכונות ההיטל

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ. יהיו u1,…,uk∈Vu_1,\dots,u_k\in V וקטורים אורתונורמלים.
יהי v∈Vv\in V. יהי v~\tilde v ההיטל האורתוגונלי של vv על u1,…,uku_1,\dots,u_k. אזי:
1. ∥v~∥2=∑i=1k∣⟨v,ui⟩∣2\|\tilde v\|^2=\sum_{i=1}^{k}|\langle v,u_i\rangle|^2
2. לכל 1≤j≤k1\le j\le k מתקיים: ⟨v−v~,uj⟩=0\langle v-\tilde v,u_j\rangle=0 (האנך v−v~v-\tilde v מאונך לכל וקטור שפורש את המישור)
3. לכל u∈span{u1,…,uk}u\in span\{u_1,\dots,u_k\} מתקיים: ⟨v−v~,u⟩=0\langle v-\tilde v,u\rangle=0 (האנך v−v~v-\tilde v מאונך לכל וקטור במישור)
4. לכל w∈Ww\in W מתקיים ∥v−v~∥≤∥v−w∥\|v-\tilde v\|\le\|v-w\|. בנוסף, שוויון מתקיים אם ורק אם w=v~w=\tilde v. (זה הוקטור הקצר ביותר מקצה vv אל WW)
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
משפט 6

אי שוויון בסל

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס ויהי WW תמ"ו של VV.
אזי לכל v∈Vv\in V מתקיים: ∥v∥≥∥v~∥\|v\|\ge\|\tilde v\|
בנוסף, שוויון מתקיים אם ורק אם v=v~v=\tilde v.
v~=projW(v)\tilde v=proj_W(v)
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
מסקנה 4

שוויון פרסבל

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס ויהיו u1,…,unu_1,\dots,u_n בסיס אורתונורמלי של VV. יהי v∈Vv\in V. אזי מתקיים:
∥v∥2=∑i=1n∣⟨v,ui⟩∣2\|v\|^2=\sum_{i=1}^{n}|\langle v,u_i\rangle|^2
v~=proju1,…,un(v)\tilde v=proj_{u_1,\dots,u_n}(v)
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
מסקנה 5

ההיטל אינו תלוי בבחירת הבסיס האורתונורמלי

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס ויהי WW תמ"ו של VV.
יהיו u1,…,uku_1,\dots,u_k ו-u~1,…,u~k\tilde u_1,\dots,\tilde u_k שני בסיסים אורתונורמליים של WW.
יהי v∈Vv\in V. אזי מתקיים: proju1,…,un(v)=proju~1,…,u~n(v)proj_{u_1,\dots,u_n}(v)=proj_{\tilde u_1,\dots,\tilde u_n}(v)
משפט 5 סעיף 4: לכל w∈Ww\in W מתקיים ∥v−v~∥≤∥v−w∥\|v-\tilde v\|\le\|v-w\|
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 12 · הרצאה 12 · תהליך גרם-שמידט
משפט 1

ההיטל של וקטור שנמצא בתת-המרחב הוא הוא עצמו

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס. יהיו u1,…,uk∈Vu_1,\dots,u_k\in V וקטורים אורתונורמלים.
יהי v∈span{u1,…,uk}v\in span\{u_1,\dots,u_k\}. אזי proju1,…,uk(v)=vproj_{u_1,\dots,u_k}(v)=v.
אם vv עצמו הוא בתת המרחב אז הוא ההיטל של עצמו.
∑i=1k⟨v,ui⟩ui\sum_{i=1}^{k}\langle v,u_i\rangle u_i
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 12 · הרצאה 12 · תהליך גרם-שמידט
משפט 1

תהליך האורתוגונליזציה של גרם-שמידט

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס. יהיו v1,…,vn∈Vv_1,\dots,v_n\in V בסיס של VV.
נגדיר וקטורים u1,…,un∈Vu_1,\dots,u_n\in V בצורה הבאה באופן אינדוקטיבי:
1. נגדיר את הוקטור הראשון בבסיס: u1=v1u_1=v_1
2. לכל 2≤k≤n2\le k\le n נגדיר: uk=vk−∑i=1k−1⟨vk,ui⟩∥ui∥2uiu_k=v_k-\sum_{i=1}^{k-1}\dfrac{\langle v_k,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i
ואז מתקיים:
u1,…,unu_1,\dots,u_n מהווים בסיס אורתוגונלי של VV.
לכל 1≤k≤n1\le k\le n מתקיים: span{u1,…,uk}=span{v1,…,vk}span\{u_1,\dots,u_k\}=span\{v_1,\dots,v_k\}
נרצה לקחת בסיס של VV ולייצר ממנו בסיס אורתוגונלי.
שימו לב, למעשה מחסרים מ-vv את כל ההיטלים שלו על הוקטורים הקודמים.
u1=v1u_1=v_1 , uk=vk−∑i=1k−1⟨vk,ui⟩∥ui∥2uiu_k=v_k-\sum_{i=1}^{k-1}\dfrac{\langle v_k,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i
תהליך גרם–שמידט
v₁v₂
נתונים שני וקטורים בת״ל v₁, v₂ — אבל הם לא ניצבים זה לזה.
שבוע 12 · הרצאה 12 · תהליך גרם-שמידט
מסקנה 1

קיום בסיס אורתוגונלי

לכל מרחב מכפלה פנימית נוצר סופית יש בסיס אורתוגונלי.
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 12 · הרצאה 12 · תהליך גרם-שמידט
מסקנה 2

גרם שמידט אינו משנה קבוצה אורתוגונלית

הוכח בכיתה
אם v1,…,vnv_1,\dots,v_n אורתוגונליים, אז vk=ukv_k=u_k לכל 1≤k≤n1\le k\le n.
כלומר אם הבסיס הוא מראש קבוצה אורתוגונלית אז תהליך גרם שמידט לא משנה אותה.
תהליך גרם–שמידט
v₁v₂
נתונים שני וקטורים בת״ל v₁, v₂ — אבל הם לא ניצבים זה לזה.
שבוע 12 · הרצאה 12 · תהליך גרם-שמידט
מסקנה 3

קיום בסיס אורתונורמלי

לכל מרחב מכפלה פנימית נוצר סופית יש בסיס אורתונורמלי.
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
משפט 1

⟨Ax⃗,y⃗⟩=⟨x⃗,Aty⃗⟩\langle A\vec x,\vec y\rangle=\langle\vec x,A^t\vec y\rangle

הוכח בכיתה
תהי A∈Mm×n(R)A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}). אזי לכל x⃗∈Rn,y⃗∈Rm\vec x\in\mathbb{R}^n,\vec y\in\mathbb{R}^m מתקיים: ⟨Ax⃗,y⃗⟩=⟨x⃗,Aty⃗⟩\langle A\vec x,\vec y\rangle=\langle\vec x,A^t\vec y\rangle
Am×nA_{m\times n} , Bn×pB_{n\times p}: (AB)ij=∑k=1n(A)ik⋅(B)kj(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}(A)_{ik}\cdot(B)_{kj}
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
מסקנה 1

העברת מטריצה סימטרית בין רכיבי המכפלה

אם A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) היא מטריצה סימטרית אז ⟨Ax⃗,y⃗⟩=⟨x⃗,Ay⃗⟩\langle A\vec x,\vec y\rangle=\langle\vec x,A\vec y\rangle
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
משפט 2

משוואת הריבועים הפחותים AtAx⃗0=Atb⃗A^tA\vec x_0=A^t\vec b

הוכח בכיתה
תהי A∈Mm×n(R)A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}) ויהי b⃗∈Rm\vec b\in\mathbb{R}^m.
יהי x⃗0∈Rn\vec x_0\in\mathbb{R}^n הוקטור שעבורו ∥Ax⃗−b⃗∥\|A\vec x-\vec b\| מינימלי.
אזי: AtAx⃗0=Atb⃗A^tA\vec x_0=A^t\vec b
השימוש: להגיע לקירוב הכי טוב עבור מערכת לא פתירה.
המטרה: להציג כהיטל. לכן צריך להגדיר תת-מרחב.
W={Ax⃗∣x⃗∈Rn}=Col(A)W=\{A\vec x\mid\vec x\in\mathbb{R}^n\}=Col(A) , w0=Ax⃗0w_0=A\vec x_0 , w=Ax⃗w=A\vec x , w0=projWb⃗w_0=proj_W\vec b
קירוב בריבועים פחותים
נקודות מדידה שלא יושבות על אף ישר אחד.
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
משפט 3

ערכים עצמיים של מטריצה סימטריה ממשית הם ממשיים

הוכח בכיתה
תהי A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) מטריצה סימטרית. יהי λ∈C\lambda\in\mathbb{C} ערך עצמי של AA. אזי λ∈R\lambda\in\mathbb{R}.
המשפט הספקטרלי
מטריצה סימטרית פועלת על מעגל היחידה…
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
מסקנה 2

לכל מטריצה סימטרית יש ערך עצמי ממשי

הוכח בכיתה
לכל מטריצה סימטרית A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) יש ערך עצמי ממשי.
המשפט הספקטרלי
מטריצה סימטרית פועלת על מעגל היחידה…
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
משפט 4

מרחבים עצמיים של מטריצה סימטרית הם אורתוגונליים

הוכח בכיתה
תהי A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) מטריצה סימטרית. יהיו λ1,λ2∈R\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R} שני ערכים עצמיים שונים של AA.
אזי Vλ1,Vλ2V_{\lambda_1},V_{\lambda_2} הם תתי מרחבים אורתוגונליים.
המשפט הספקטרלי
מטריצה סימטרית פועלת על מעגל היחידה…
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
משפט 5

OO אורתוגונלית אם"ם OtO=InO^tO=I_n

הוכח בכיתה
תהי O∈Mn(R)O\in M_n(\mathbb{R}). אזי OO היא מטריצה אורתוגונלית אם ורק אם OtO=InO^tO=I_n.
מטריצה אורתוגונלית היא הופכית של המשוחלפת שלה!
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
משפט 6

משפט הפירוק הספקטרלי - ללא הוכחה

תהי A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) מטריצה סימטרית.
אזי AA לכסינה.
בנוסף, קיימת מטריצה אורתוגונלית O∈Mn(R)O\in M_n(\mathbb{R}) כך ש-OtAOO^tAO היא אלכסונית.
המשפט הספקטרלי
מטריצה סימטרית פועלת על מעגל היחידה…