MentoraLINEAR 2

שבוע 8 — קיילי–המילטון ותת-מרחב שמור

הצבת מטריצה בפולינום, לכסון אופרטורים, תת-מרחבים שמורים

קיילי–המילטוןתת-מרחב שמורלכסון אופרטורמשולשיות

רקע — על מה השבוע הזה

שני נושאים שנשענים על כל מה שקדם. קיילי־המילטון אומר שכל מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני של עצמה — כלי חזק לחישוב הופכית ולחזקות גבוהות. תת-מרחב שמור הוא תת-מרחב שההעתקה לא "מוציאה" ממנו, ומאפשר לפרק בעיה גדולה לחלקים.

קיילי–המילטוןתת-מרחב שמורלכסון אופרטורמשולשיות

הגדרות (5)

הניסוח המלא מהמצגת
הגדרההצבת מטריצה בפולינום
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, ויהי p(x)∈F[x]p(x)\in\mathbb{F}[x] . נסמן p(x)=a0+a1x+⋯+akxkp(x)=a_0+a_1x+\dots+a_kx^k .
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
∙\bullet נגדיר: p(A)=a0In+a1A+⋯+akAk\boldsymbol{p}(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{a_0I_n}+\boldsymbol{a_1A}+\dots+\boldsymbol{a_kA^k}
הגדרהוקטורים עצמיים, ערכים עצמיים, לכסינות של העתקה
יהי F\mathbb{F} שדה, יהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F} . תהי T∈Hom(V,V)T\in Hom(V,V) ויהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} .
∙\bullet נאמר ש-λ\boldsymbol{\lambda} הוא ערך עצמי של TT אם קיים 0V≠v∈V0_V\ne v\in V כך ש-T(v)=λv\boldsymbol{T}(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{\lambda v}
∙\bullet vv נקרא הוקטור העצמי של TT המתאים לערך העצמי λ\lambda.
∙\bullet הזוג הסדור (v,λ)(\boldsymbol{v},\boldsymbol{\lambda}) נקרא זוג עצמי של TT .
הגדרההעתקה לכסינה
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, יהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F} ותהי T∈Hom(V,V)T\in Hom(V,V) .
∙\bullet נאמר ש-TT לכסינה אם קיים בסיס של VV המורכב מוקטורים עצמיים של TT .
הגדרההמרחב העצמי של אופרטור
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, יהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F} ותהי T∈Hom(V,V)T\in Hom(V,V) .
∙\bullet יהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} .
∙\bullet אזי המרחב העצמי של λ\lambda מוגדר כך: Vλ=Ker(λ⋅id−T)\boldsymbol{V_\lambda}=\boldsymbol{Ker}(\boldsymbol{\lambda}\cdot\boldsymbol{id}-\boldsymbol{T})
הגדרהתת-מרחב שמור תחת TT
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, יהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F} ותהי T:V→VT:V\to V .
∙\bullet יהי WW תת-מרחב של VV .
∙\bullet נאמר ש-WW שמור תחת T\boldsymbol{T} אם לכל w∈Ww\in W מתקיים: T(w)∈W\boldsymbol{T}(\boldsymbol{w})\in\boldsymbol{W}

משפטים ומסקנות (6)

ניסוחים בלבד — ההוכחות בלשונית ההרצאה
למה 1העלאה בחזקה משמרת זוג עצמיצריך לדעת להוכיח
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) , תהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} .
∙\bullet נניח ש-(λ,v⃗)(\lambda,\vec{v}) הוא זוג עצמי של AA .
∙\bullet אזי: לכל k∈Nk\in\mathbb{N} מתקיים: (λk,v⃗)(\boldsymbol{\lambda^k},\boldsymbol{\vec{v}}) הוא זוג עצמי של Ak\boldsymbol{A^k} .
משפט 1הצבה בפולינום משמרת זוג עצמיצריך לדעת להוכיח
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) , תהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} ויהי p(x)∈F[x]p(x)\in\mathbb{F}[x] .
∙\bullet נניח ש-(λ,v⃗)(\lambda,\vec{v}) הוא זוג עצמי של AA .
∙\bullet אזי: (p(λ),v⃗)(\boldsymbol{p}(\boldsymbol{\lambda}),\boldsymbol{\vec{v}}) הוא זוג עצמי של p(A)\boldsymbol{p}(\boldsymbol{A}) .
מסקנה 1אם AA לכסינה אז p(A)p(A) לכסינה באותה מטריצה מלכסנתצריך לדעת להוכיח
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) ויהי p(x)∈F[x]p(x)\in\mathbb{F}[x] .
∙\bullet נניח ש-AA לכסינה.
∙\bullet אזי p(A)p(A) לכסינה והמטריצה המלכסנת זהה.
משפט 2משפט קיילי המילטוןצריך לדעת להוכיח
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, יהי n∈Nn\in\mathbb{N} .
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) ויהי pA(λ)p_A(\lambda) הפולינום האופייני של AA .
∙\bullet אזי pA(A)=0np_A(A)=0_n .
משפט 3TT לכסינה אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה לכסינהצריך לדעת להוכיח
∙\bullet יהי VV מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F} ויהי T:V→VT:V\to V אופרטור לינארי.
∙\bullet יהי A\mathcal{A} בסיס סדור של VV .
∙\bullet אזי TT לכסינה אם ורק אם [T]AA[T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} לכסינה.
משפט 4תתי-מרחבים שמורים תחת TTצריך לדעת להוכיח
∙\bullet יהי VV מ"ו מעל שדה F\mathbb{F} ויהי T:V→VT:V\to V אופרטור לינארי. אזי:
1. VV שמור תחת TT .
2. {0V}\{0_V\} שמור תחת TT .
3. Ker(T)Ker(T) שמור תחת TT .
4. Im(T)Im(T) שמור תחת TT .
5. לכל λ∈F\lambda\in\mathbb{F} , המרחב העצמי VλV_\lambda שמור תחת TT .

הערות (4)

הערה 1 — הצבה במכפלת פולינומים
∙\bullet יהיו p(x),q(x)∈F[x]p(x),q(x)\in\mathbb{F}[x] ותהי A∈Mn(F)A\in M_n(F) .
∙\bullet אזי: (p⋅q)(x)=p(x)⋅q(x)(p\cdot q)(x)=p(x)\cdot q(x)
∙\bullet כמו כן: (p⋅q)(A)=p(A)⋅q(A)(p\cdot q)(A)=p(A)\cdot q(A)
הערה 3 — המטריצה המייצגת בבסיס של ו"ע היא אלכסונית
∙\bullet תהי T:V→VT:V\to V לכסינה ויהי A(v1,…,vn)\mathcal{A}(v_1,\dots,v_n) בסיס סדור של VV המורכב מוקטורים עצמיים של TT .
∙\bullet אזי קיימים λ1,…,λn∈F\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{F} כך שלכל 1≤i≤n1\le i\le n מתקיים T(vi)=λiviT(v_i)=\lambda_iv_i .
∙\bullet לכן: [T]AA=diag(λ1,…,λn)[T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)
הערה 4 — צורת המרחב העצמי
∙\bullet נשים לב שמתקיים:
Vλ=Ker(λ⋅id−T)={v∈V∣λv−T(v)=0V}={v∈V∣T(v)=λv}\boldsymbol{V_\lambda}=\boldsymbol{Ker}(\boldsymbol{\lambda}\cdot\boldsymbol{id}-\boldsymbol{T})=\{v\in V\mid \lambda v-T(v)=0_V\}=\{v\in V\mid T(v)=\lambda v\}
הערה 5 — λ\lambda ע"ע של TT אם"ם λ⋅id−T\lambda\cdot id-T אינה חח"ע
∙\bullet λ∈F\lambda\in\mathbb{F} ערך עצמי של TT אם ורק אם ההעתקה λ⋅id−T\lambda\cdot id-T אינה חח"ע.
∙\bullet אם VV נוצר סופית אז λ∈F\lambda\in\mathbb{F} ערך עצמי של TT אם ורק אם ההעתקה λ⋅id−T\lambda\cdot id-T אינה הפיכה.

אם נתון לי… אז אני יודעת

8 מסקנות · זה מה שכותבים בשורה הראשונה של הפתרון
(λ,v⃗)(\lambda,\vec v) זוג עצמי של AA ו-p(x)p(x) פולינום
  • (p(λ),v⃗)(p(\lambda),\vec v) הוא זוג עצמי של p(A)p(A) (משפט 1)
  • בפרט (λk,v⃗)(\lambda^k,\vec v) זוג עצמי של AkA^k (למה 1)
  • הווקטור העצמי אינו משתנה — רק הערך העצמי עובר דרך הפולינום
ההפך אינו נכון: ו"ע של p(A)p(A) אינו בהכרח ו"ע של AA. למשל כל וקטור הוא ו"ע של A0=IA^0=I.
נתון ש-q(A)=0nq(A)=0_n (המטריצה מאפסת פולינום)
  • לכל ע"ע λ\lambda של AA מתקיים q(λ)=0q(\lambda)=0 — כי q(λ)v⃗=q(A)v⃗=0⃗q(\lambda)\vec v=q(A)\vec v=\vec0 ו-v⃗≠0⃗\vec v\neq\vec0 (משפט 1)
  • ולכן הע"ע של AA נמצאים ברשימה הסופית של שורשי qq
  • ואם ל-qq אין שורשים בשדה — ל-AA אין ע"ע כלל ולכן היא אינה לכסינה שם
לא כל שורש של qq הוא ערך עצמי. הכיוון היחיד שנכון: כל ע"ע הוא שורש. ובנוסף — מ-q(A)=0q(A)=0 ומפירוק q=q1q2q=q_1q_2 לא נובע ש-q1(A)=0q_1(A)=0 או q2(A)=0q_2(A)=0 (דוגמה 2).
AA לכסינה ו-p(x)p(x) פולינום
  • p(A)p(A) לכסינה, ובאותה מטריצה מלכסנת PP בדיוק (מסקנה 1)
  • האלכסון של p(A)p(A) הוא p(λ1),…,p(λn)p(\lambda_1),\dots,p(\lambda_n)
  • ולכן חישוב p(A)p(A) נעשה על DD ולא על AA
צריך לחשב A−1A^{-1}, חזקה גבוהה, או לצמצם מעלת פולינום ב-AA
  • משפט קיילי-המילטון: pA(A)=0np_A(A)=0_n (משפט 2)
  • ולכן AnA^n נכתבת כצירוף של In,A,…,An−1I_n,A,\dots,A^{n-1} — וכל חזקה גבוהה יורדת רקורסיבית
  • ואם AA הפיכה — כפלי את pA(A)=0p_A(A)=0 ב-A−1A^{-1} וקבלי A−1A^{-1} כצירוף של In,A,…,An−1I_n,A,\dots,A^{n-1}
קיילי-המילטון הוא הצבת מטריצה: pA(A)=0np_A(A)=0_n (מטריצת אפס) ולא 00 סקלרי. ואסור לכתוב pA(A)=det⁡(AI−A)p_A(A)=\det(AI-A) — זה חסר משמעות.
T:V→VT:V\to V אופרטור ו-A\mathcal{A} בסיס סדור כלשהו של VV
  • TT לכסינה אם"ם [T]AA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}} לכסינה (משפט 3)
  • ולכן כל שאלה על אופרטור מתורגמת מיד לשאלה על מטריצה
  • ואם A\mathcal{A} מורכב מו"ע — [T]AA=diag(λ1,…,λn)[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) (הערה 3)
המשפט נכון לכל בסיס A\mathcal{A} — אז בוחרים את הנוח ביותר (בדרך כלל הסטנדרטי). אבל הבסיס חייב להיות זהה למעלה ולמטה.
λ\lambda ערך עצמי של אופרטור TT
  • Vλ=ker⁡(λ⋅id−T)={v∣T(v)=λv}≠{0V}V_\lambda=\ker(\lambda\cdot id-T)=\{v\mid T(v)=\lambda v\}\neq\{0_V\} (הערה 4)
  • λ⋅id−T\lambda\cdot id-T אינה חח"ע (הערה 5)
  • ואם VV נוצר סופית — היא גם אינה הפיכה
T:V→VT:V\to V אופרטור לינארי
  • {0V}\{0_V\} ו-VV שמורים תחת TT
  • ker⁡T\ker T ו-Im⁡T\operatorname{Im}T שמורים תחת TT (משפט 4)
  • כל מרחב עצמי VλV_\lambda שמור תחת TT
צריך להראות ש-WW שמור תחת TT
  • לפי ההגדרה: לכל w∈Ww\in W מתקיים T(w)∈WT(w)\in W
  • ומספיק לבדוק זאת על בסיס של WW — השאר נובע מלינאריות וסגירות WW
  • ואם WW הוא אחד מהחשודים הרגילים (ker⁡T\ker T, Im⁡T\operatorname{Im}T, VλV_\lambda) — משפט 4 סוגר מיד

איך מפריכים

מהבדיקה הזולה ביותר לכיוון היקרה
להפריך ש-WW שמור תחת TT
  1. 1קחי וקטור בסיס אחד של WW — הכי פשוט שיש.
  2. 2הפעילי עליו TT ובדקי אם התוצאה מקיימת את התנאי המגדיר של WW.
  3. 3אם לא — סיימת: וקטור אחד קונקרטי עם T(w)∉WT(w)\notin W מספיק.
  4. 4רק אם כל וקטורי הבסיס נשארים ב-WW — עברי להוכחה, כי אז הטענה כנראה נכונה.
להפריך ש-TT (אופרטור) לכסין
  1. 1חשבי [T]AA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}} בבסיס הנוח ביותר — לרוב הסטנדרטי.
  2. 2עברי לחלוטין לשפת מטריצות (משפט 3) והפעילי את הבדיקה של שבוע 7: pAp_A, פירוק, GMGM מול AMAM.
  3. 3קיצור דרך: אם נתון פולינום ש-TT מאפסת ואין לו מספיק שורשים בשדה — אין די ו"ע.
  4. 4קיצור דרך נוסף: אם TT נילפוטנטי (Tk=0T^k=0) ו-T≠0T\neq0 — הע"ע היחיד הוא 00, ולכן לכסינות תגרור T=0T=0, סתירה.
להפריך זהות מוצעת על הצבת מטריצה בפולינום
  1. 1בדקי קודם את החוקים שכן נכונים: (p⋅q)(A)=p(A)q(A)(p\cdot q)(A)=p(A)q(A) (הערה 1) — זהות נכונה, אין דוגמה נגדית.
  2. 2לטענות מהסוג "p(A)=0p(A)=0 גורר שאחד הגורמים מתאפס" — קחי את A=(1232)A=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix} ו-p(x)=(x+1)(x−4)p(x)=(x+1)(x-4): p(A)=0p(A)=0 אבל A+I≠0A+I\neq0 ו-A−4I≠0A-4I\neq0 (דוגמה 2).
  3. 3לטענות "כל שורש של qq הוא ע"ע" — קחי qq ממעלה גבוהה מדי, למשל q(x)=x(x−1)q(x)=x(x-1) עם A=IA=I.

איך מוכיחים

המהלכים שעובדים בשבוע הזה
להוכיח טענה על ערכים עצמיים של p(A)p(A)
  1. 1התחילי מזוג עצמי (λ,v⃗)(\lambda,\vec v) של AA.
  2. 2הפעילי את משפט 1: (p(λ),v⃗)(p(\lambda),\vec v) זוג עצמי של p(A)p(A).
  3. 3אם צריך את הכיוון "כל הע"ע של p(A)p(A)" — כשי AA לכסינה, השתמשי במסקנה 1 (אותה PP) והסתכלי על האלכסון.
  4. 4לחסימת אפשרויות: מ-q(A)=0q(A)=0 נובע q(λ)=0q(\lambda)=0 לכל ע"ע — רשימה סופית.
לחשב A−1A^{-1} או להוריד מעלה בעזרת קיילי-המילטון
  1. 1חשבי pA(λ)=λn+cn−1λn−1+⋯+c0p_A(\lambda)=\lambda^n+c_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+c_0.
  2. 2רשמי pA(A)=0np_A(A)=0_n במפורש: An+cn−1An−1+⋯+c0In=0nA^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_0I_n=0_n.
  3. 3ל-A−1A^{-1}: בודדי את c0Inc_0I_n, כפלי ב-A−1A^{-1}, וחלקי ב-−c0-c_0 (מותר כי c0=±det⁡A≠0c_0=\pm\det A\neq0 כאשר AA הפיכה).
  4. 4לחזקות גבוהות: בודדי את AnA^n והציבי שוב ושוב עד שכל החזקות קטנות מ-nn.
להוכיח ש-WW שמור תחת TT
  1. 1נסי קודם לזהות את WW כ-ker⁡T\ker T, Im⁡T\operatorname{Im}T או VλV_\lambda — אז זה מיידי (משפט 4).
  2. 2אחרת קחי בסיס w1,…,wkw_1,\dots,w_k של WW.
  3. 3הפעילי TT על כל אחד והראי שהתוצאה מקיימת את התנאי של WW.
  4. 4סכמי: לכל w=∑αiwiw=\sum\alpha_iw_i מתקיים T(w)=∑αiT(wi)∈WT(w)=\sum\alpha_iT(w_i)\in W כי WW תמ"ו.
להוכיח שאופרטור TT לכסין
  1. 1בחרי בסיס סדור נוח וחשבי A=[T]AAA=[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}.
  2. 2הוכיחי ש-AA לכסינה בכלים של שבוע 7 (pAp_A, GM=AMGM=AM).
  3. 3הסיקי ש-TT לכסינה (משפט 3).
  4. 4אם ביקשו בסיס של ו"ע — תרגמי את עמודות PP בחזרה לווקטורים ב-VV לפי A\mathcal{A}.

מסקנות — מה לוקחים מהשבוע

  • 1p_A(A) = 0. מכאן מקבלים A⁻¹ כפולינום ב-A, וגם דרך לחשב A^k בלי לכסון.
  • 2אם (λ,v) זוג עצמי של A אז (q(λ),v) זוג עצמי של q(A) לכל פולינום q.
  • 3הגרעין, התמונה, וכל מרחב עצמי — כולם שמורים תחת ההעתקה.
  • 4אופרטור לכסין ⟺ קיים בסיס שבו המטריצה המייצגת [T]^B_B אלכסונית.
מטלה 9
לתרגל את החומר של השבוע
שקפי הרצאה 8
המצגת המקורית במלואה
שבוע 7:ריבוי אלגברי וגיאומטרימרחב מכפלה פנימית:שבוע 9