MentoraLINEAR 2

שבוע 5 — לכסון

ערכים ווקטורים עצמיים, מרחב עצמי, קריטריון ראשון ללכסינות

ערך עצמיוקטור עצמימרחב עצמילכסינות

רקע — על מה השבוע הזה

השאלה שמניעה את כל הפרק: האם אפשר למצוא בסיס שבו ההעתקה היא סתם מתיחה בכל ציר? הווקטורים העצמיים הם בדיוק הכיוונים שההעתקה לא מסובבת, והמרחב העצמי אוסף את כולם עבור ערך עצמי נתון.

ערך עצמיוקטור עצמימרחב עצמילכסינות

הגדרות (5)

הניסוח המלא מהמצגת
הגדרהמטריצה אלכסונית
תהי D∈Mn(F)D\in M_n(\mathbb{F}) .
נאמר ש-DD אלכסונית (diagonaldiagonal) אם לכל 1≤i,j≤n1\le i,j\le n המקיימים i≠ji\ne j מתקיים [D]ij=0F[D]_{ij}=0_{\mathbb{F}} .
נסמן D=diag([D]11,…,[D]nn)\boldsymbol{D}=\boldsymbol{diag}([\boldsymbol{D}]_{\boldsymbol{11}},\dots,[\boldsymbol{D}]_{\boldsymbol{nn}}) .
הגדרהלכסון - DiagonalizationDiagonalization
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
∙\bullet נאמר ש-AA לכסינה (diagonalizablediagonalizable) אם קיימת מטריצה אלכסונית D∈Mn(F)D\in M_n(\mathbb{F}) וקיימת מטריצה הפיכה P∈Mn(F)P\in M_n(\mathbb{F}) כך ש-D=P−1AP\boldsymbol{D}=\boldsymbol{P^{-1}AP}
(λ1…0⋮⋱⋮0…λn)∼A\begin{pmatrix}\boldsymbol{\lambda_1} & \dots & \boldsymbol{0} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \boldsymbol{0} & \dots & \boldsymbol{\lambda_n}\end{pmatrix}\sim A
הגדרהוקטורים עצמיים, ערכים עצמיים, זוגות עצמיים של מטריצה
תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) , יהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} .
∙\bullet נאמר ש-λ\boldsymbol{\lambda} הוא ערך עצמי של AA אם קיים 0⃗≠v⃗∈Fn\vec{0}\ne\vec{v}\in\mathbb{F}^n כך ש-Av⃗=λv⃗\boldsymbol{A\vec{v}}=\boldsymbol{\lambda\vec{v}}
∙\bullet v⃗\boldsymbol{\vec{v}} נקרא הוקטור העצמי של AA המתאים לערך העצמי λ\lambda.
∙\bullet הזוג הסדור (λ,v⃗)(\boldsymbol{\lambda},\boldsymbol{\vec{v}}) נקרא זוג עצמי של AA .
הגדרההמרחב העצמי
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, תהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} ותהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
∙\bullet נגדיר את המרחב העצמי של AA המתאים ל-λ\lambda באופן הבא:
Vλ={v⃗∈Fn∣Av⃗=λv⃗}⊆Fn\boldsymbol{V_\lambda}=\{\boldsymbol{\vec{v}}\in\mathbb{F}^{\boldsymbol{n}}\mid \boldsymbol{A\vec{v}}=\boldsymbol{\lambda\vec{v}}\}\subseteq\mathbb{F}^n
הגדרההפולינום האופייני
יהי F\mathbb{F} שדה. תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
נגדיר את הפולינום האופייני של A\boldsymbol{A} באופן הבא: pA(λ)=det⁡(λIn−A)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\mathbf{\det}(\boldsymbol{\lambda I_n}-\boldsymbol{A})

משפטים ומסקנות (6)

ניסוחים בלבד — ההוכחות בלשונית ההרצאה
משפט 4שתי מטריצות דומות אם"ם הן מייצגות את אותו אופרטור לינאריצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מ"ו נ"ס ממימד n∈Nn\in\mathbb{N} מעל F\mathbb{F} . יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A}=(v_1,\dots,v_n) בסיס סדור של VV .
תהיינה K1,K2∈Mn(F)K_1,K_2\in M_n(\mathbb{F}) .
אזי K1∼K2K_1\sim K_2 אם"ם קיים אופרטור לינארי T∈Hom(V,V)T\in\mathrm{Hom}(V,V) ו-B\mathcal{B} בסיס סדור של VV כך שמתקיים:
K1=[T]AA , K2=[T]BBK_1=[T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}\ ,\ K_2=[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} .
משפט 1תכונות של מטריצות אלכסוניות (הוכחה בלינארית 1.)
יהיו α1,…,αn,β1,…,βn∈F\boldsymbol{\alpha_1},\dots,\boldsymbol{\alpha_n},\boldsymbol{\beta_1},\dots,\boldsymbol{\beta_n}\in\mathbb{F} אזי:
1. diag(α1,..,αn)+diag(β1,…,βn)=diag(α1+β1,…,αn+βn)diag(\boldsymbol{\alpha_1},..,\boldsymbol{\alpha_n})+diag(\boldsymbol{\beta_1},\dots,\boldsymbol{\beta_n})=diag(\alpha_1+\beta_1,\dots,\alpha_n+\beta_n)
2. diag(α1,..,αn)⋅diag(β1,…,βn)=diag(α1⋅β1,…,αn⋅βn)diag(\boldsymbol{\alpha_1},..,\boldsymbol{\alpha_n})\cdot diag(\boldsymbol{\beta_1},\dots,\boldsymbol{\beta_n})=diag(\alpha_1\cdot\beta_1,\dots,\alpha_n\cdot\beta_n)
3. לכל k∈Nk\in\mathbb{N} מתקיים: (diag(α1,..,αn))k=diag(α1k,…,αnk)\big(diag(\boldsymbol{\alpha_1},..,\boldsymbol{\alpha_n})\big)^k=diag(\alpha_1^k,\dots,\alpha_n^k)
4. det⁡(diag(α1,..,αn))=α1⋅⋯⋅αn\det\big(diag(\boldsymbol{\alpha_1},..,\boldsymbol{\alpha_n})\big)=\alpha_1\cdot\dots\cdot\alpha_n .
5. אם α1,…,αn≠0F\alpha_1,\dots,\alpha_n\ne 0_{\mathbb{F}} אזי diag(α1,..,αn)diag(\boldsymbol{\alpha_1},..,\boldsymbol{\alpha_n}) הפיכה ומתקיים: (diag(α1,..,αn))−1=diag(α1−1,…,αn−1)\big(diag(\alpha_1,..,\alpha_n)\big)^{-1}=diag(\alpha_1^{-1},\dots,\alpha_n^{-1})
משפט 2תנאי שקול ללכסינותצריך לדעת להוכיח
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . אזי:
∙\bullet AA לכסינה אם ורק אם קיים בסיס v⃗1,…,v⃗n∈Fn\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\in\mathbb{F}^n של וקטורים עצמיים של AA .
∙\bullet בנוסף, אם λ1,…,λn∈F\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{F} הם הע"ע של AA בהתאמה ואם נבחר את P=(v⃗1,…,v⃗n)P=(\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n) אזי P−1AP=diag(λ1,…,λn)P^{-1}AP=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) .
משפט 3לערכים עצמיים שונים מתאימים וקטורים עצמיים בת"לצריך לדעת להוכיח
תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . יהיו λ1,…,λk∈F\lambda_1,\dots,\lambda_k\in\mathbb{F} kk ערכים עצמיים שונים של AA ויהיו v⃗1,…,v⃗k∈Fn\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k\in\mathbb{F}^n וקטורים עצמיים המתאימים להם. כלומר Av⃗i=λiv⃗iA\vec{v}_i=\lambda_i\vec{v}_i לכל 1≤i≤k1\le i\le k .
אזי v1,…,vkv_1,\dots,v_k בת"ל.
מסקנה 1nn ע"ע שונים גוררים לכסינות
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . אם ל-AA יש n\boldsymbol{n} ע"ע שונים זה מזה אזי A\boldsymbol{A} לכסינה.
משפט 4המרחב העצמי הוא תמ"ו ושווה ל-Null(λIn−A)Null(\lambda I_n-A)צריך לדעת להוכיח
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, תהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} ותהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . אזי: VλV_\lambda הוא תמ"ו של Fn\mathbb{F}^n .
∙\bullet בנוסף: Vλ=Null(λIn−A)\boldsymbol{V_\lambda}=\boldsymbol{Null}(\boldsymbol{\lambda I_n}-\boldsymbol{A})

הערות (6)

לכסון-הקדמה לא פורמלית
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
∙\bullet AA יכולה להיות דומה להרבה מטריצות. (כל אלה שמייצגות את אותה העתקה אבל בבסיס שונה).
∙\bullet מכיוון שלמטריצות דומות יש הרבה תכונות משותפות, לפעמים יהיה לנו יותר קל לעבוד עם מטריצה דומה ל-AA במקום עם AA בעצמה.
∙\bullet מבין כל המטריצות ש-AA דומה להן, נרצה למצוא אחת שנוח לעבוד איתה. למשל מטריצה אלכסונית.
∙\bullet אם קיימת מטריצה כזאת, נאמר ש-AA היא לכסינה.
הערה 1 — דטרמיננטה ועקבה של מטריצה לכסינה
אם AA לכסינה, הרי שקיימים λ1,…,λn∈F\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{F} וקיימת מטריצה הפיכה P∈Mn(F)P\in M_n(\mathbb{F}) כך ש-diag(λ1,…,λn)=P−1APdiag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)=P^{-1}AP . למטריצות דומות יש אותה עקבה ואותה דטרמיננטה, לכן:
det⁡ A=λ1⋅⋯⋅λn\mathbf{\det}\,\boldsymbol{A}=\lambda_1\cdot\dots\cdot\lambda_n
trace A=λ1+⋯+λn\mathbf{trace}\,\boldsymbol{A}=\lambda_1+\dots+\lambda_n
הערה 2 — הכיוון ההפוך לא נכון
∙\bullet הכיוון ההפוך לא נכון.
∙\bullet למשל, ברור ש-InI_n לכסינה, אבל יש לה ערך עצמי אחד- λ=1F\lambda=1_{\mathbb{F}}
Inv⃗=λv⃗I_n\vec{v}=\lambda\vec{v}
⇓\Downarrow
0⃗=(λ−1)v⃗\vec{0}=(\lambda-1)\vec{v}
⇓\Downarrow
λ=1F\lambda=1_{\mathbb{F}} (כי v⃗\vec{v} ו"ע)
הערה 3 — המרחב העצמי כאשר λ\lambda אינו ע"ע
אם λ\boldsymbol{\lambda} ערך עצמי של A\boldsymbol{A} , אזי VλV_\lambda היא קבוצת כל הוקטורים העצמיים של λ\lambda ווקטור האפס.
אם λ\boldsymbol{\lambda} לא ערך עצמי של A\boldsymbol{A} , אזי Vλ={0}V_\lambda=\{0\} .
הערה 4 — λ\lambda ע"ע אם"ם dim⁡Vλ≥1\dim V_\lambda\ge1
∙\bullet λ\lambda ערך עצמי של AA אם ורק אם dim⁡Vλ≥1\dim V_\lambda\ge1 .
המחשה גיאומטרית
המחשה גיאומטרית
EigenvectorsEigenvectors , EigenvaluesEigenvalues : Av⃗=λv⃗A\vec{v}=\lambda\vec{v}

אם נתון לי… אז אני יודעת

8 מסקנות · זה מה שכותבים בשורה הראשונה של הפתרון
נתון ש-AA לכסינה
  • קיימות DD אלכסונית ו-PP הפיכה כך ש-D=P−1APD=P^{-1}AP
  • קיים בסיס של Fn\mathbb{F}^n המורכב מווקטורים עצמיים של AA, והם עמודות PP (משפט 2)
  • det⁡A=λ1⋯λn\det A=\lambda_1\cdots\lambda_n ו-trace A=λ1+⋯+λntrace\,A=\lambda_1+\cdots+\lambda_n (הערה 1)
  • Ak=PDkP−1A^k=PD^kP^{-1} — וזו הדרך היחידה לחשב חזקות גבוהות (תרגיל 3)
הסדר בעמודות PP חייב להתאים לסדר הערכים העצמיים ב-DD. החלפת סדר בטעות = מטריצה שגויה.
(λ,v⃗)(\lambda,\vec v) זוג עצמי של AA
  • v⃗≠0⃗\vec v\neq\vec0 ו-Av⃗=λv⃗A\vec v=\lambda\vec v
  • v⃗∈Vλ=Null(λIn−A)\vec v\in V_\lambda=Null(\lambda I_n-A) (משפט 4)
  • ולכן למערכת ההומוגנית (λIn−A)x⃗=0⃗(\lambda I_n-A)\vec x=\vec0 יש פתרון לא טריוויאלי, ו-λIn−A\lambda I_n-A אינה הפיכה
  • לכל α≠0\alpha\neq0 גם αv⃗\alpha\vec v הוא ו"ע של אותו λ\lambda
0⃗\vec0 לעולם אינו וקטור עצמי, אבל λ=0\lambda=0 כן יכול להיות ערך עצמי — בדיוק כאשר AA אינה הפיכה.
ל-A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) יש nn ערכים עצמיים שונים
  • הווקטורים העצמיים המתאימים בת"ל (משפט 3)
  • ולכן הם בסיס של Fn\mathbb{F}^n ו-AA לכסינה (מסקנה 1)
  • ואפשר לכתוב מיד את DD — האלכסון הוא הערכים העצמיים
הכיוון ההפוך אינו נכון (הערה 2): InI_n לכסינה ויש לה ערך עצמי אחד בלבד. "פחות מ-nn ע"ע" אינו מפריך לכסינות.
נתונים ע"ע שונים λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k עם ו"ע v⃗1,…,v⃗k\vec v_1,\dots,\vec v_k
  • v⃗1,…,v⃗k\vec v_1,\dots,\vec v_k בת"ל (משפט 3)
  • ולכן k≤nk\le n
  • ואם k=nk=n — קיבלת בסיס, כלומר לכסינות
נתון λ∈F\lambda\in\mathbb{F} ורוצים לדעת אם הוא ע"ע
  • Vλ=Null(λIn−A)V_\lambda=Null(\lambda I_n-A) הוא תמ"ו של Fn\mathbb{F}^n (משפט 4)
  • λ\lambda הוא ע"ע אם"ם dim⁡Vλ≥1\dim V_\lambda\ge1 (הערה 4)
  • ואם λ\lambda אינו ע"ע — Vλ={0⃗}V_\lambda=\{\vec0\} (הערה 3)
  • לחישוב: דרגי את λIn−A\lambda I_n-A ובדקי אם יש משתנה חופשי
DD אלכסונית
  • DD לכסינה (בוחרים P=InP=I_n)
  • הערכים העצמיים הם איברי האלכסון והזוגות העצמיים הם (λj,e⃗j)(\lambda_j,\vec e_j)
  • חיבור, כפל, חזקה והופכית של אלכסוניות הם אלכסוניים ומחושבים איבר-איבר (משפט 1)
  • אלכסוניות מתחלפות בכפל
נתון פולינום שמאפס את AA (למשל A2=−InA^2=-I_n)
  • אם (λ,v⃗)(\lambda,\vec v) זוג עצמי אז A2v⃗=λ2v⃗A^2\vec v=\lambda^2\vec v, ולכן λ2=−1\lambda^2=-1
  • מעל R\mathbb{R} אין פתרון — ולכן ל-AA אין ע"ע כלל
  • בלי ע"ע אין בסיס של ו"ע, ולכן AA אינה לכסינה מעל R\mathbb{R} (תרגיל 4)
המסקנה תלויה בשדה: אותה AA בדיוק כן יכולה להיות לכסינה מעל C\mathbb{C}, שם λ=±i\lambda=\pm i. תמיד לשאול "מעל איזה שדה".
מבקשים לחשב A50A^{50}, AkA^k או ביטוי בחזקות
  • לכסני: A=PDP−1A=PDP^{-1} ולכן Ak=PDkP−1A^k=PD^kP^{-1}
  • DkD^k מחושבת איבר-איבר על האלכסון (משפט 1)
  • בשדה סופי — צמצמי מודולו pp רק את איברי האלכסון (תרגיל 3)

איך מפריכים

מהבדיקה הזולה ביותר לכיוון היקרה
להפריך ש-AA לכסינה (בכלים של השבוע, לפני הפולינום האופייני)
  1. 1למטריצות 2×22\times2 — הזול ביותר: DD הדומה ל-AA חייבת לקיים λ1+λ2=trace(A)\lambda_1+\lambda_2=trace(A) ו-λ1λ2=det⁡(A)\lambda_1\lambda_2=\det(A). פתרי את שתי המשוואות.
  2. 2אם הפתרון היחיד הוא λ1=λ2=α\lambda_1=\lambda_2=\alpha — אז D=αI2D=\alpha I_2. ואם A≠αI2A\neq\alpha I_2 — סיימת: מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה (זה בדיוק תרגיל 2).
  3. 3אם למשוואות אין פתרון בשדה (למשל λ2=−1\lambda^2=-1 מעל R\mathbb{R}) — אין ע"ע ולכן אין לכסינות.
  4. 4אם נתון פולינום מאפס: הסיקי ממנו אילו λ\lambda אפשריים, ובדקי אם יש כאלה בשדה.
  5. 5אחרת — חשבי את Vλ=Null(λI−A)V_\lambda=Null(\lambda I-A) לכל ע"ע שמצאת, וסכמי מימדים: אם הסכום קטן מ-nn, אין בסיס של ו"ע.
להפריך ש-v⃗\vec v הוא וקטור עצמי / ש-λ\lambda הוא ערך עצמי
  1. 1ל-v⃗\vec v: בדקי קודם v⃗≠0⃗\vec v\neq\vec0 — 0⃗\vec0 פסול בהגדרה.
  2. 2הכפילי Av⃗A\vec v פעם אחת ובדקי אם התוצאה כפולה סקלרית של v⃗\vec v. אם היחסים בין הרכיבים לא קבועים — הופרך.
  3. 3ל-λ\lambda: דרגי את λIn−A\lambda I_n-A. אם היא הפיכה (אין משתנה חופשי) — Vλ={0⃗}V_\lambda=\{\vec0\} ו-λ\lambda אינו ע"ע.

איך מוכיחים

המהלכים שעובדים בשבוע הזה
להוכיח ש-AA לכסינה ולמצוא PP ו-DD
  1. 1מצאי את הערכים העצמיים (בשבוע הזה: מ-tracetrace ו-det⁡\det ב-2×22\times2, או מנתוני השאלה).
  2. 2אם קיבלת nn ע"ע שונים — לכסינות מובטחת מיידית (מסקנה 1).
  3. 3לכל λ\lambda מצאי בסיס ל-Vλ=Null(λIn−A)V_\lambda=Null(\lambda I_n-A).
  4. 4אספי את כל הווקטורים; אם קיבלת nn ווקטורים בת"ל — הם בסיס, ו-PP בנויה מהם כעמודות.
  5. 5רשמי D=diag(λ1,…,λn)D=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) באותו סדר ובדקי AP=PDAP=PD (בלי להפוך את PP).
להוכיח ש-λ\lambda הוא ערך עצמי
  1. 1הכי מהיר: הציגי ו"ע קונקרטי v⃗≠0⃗\vec v\neq\vec0 והראי Av⃗=λv⃗A\vec v=\lambda\vec v בחישוב אחד.
  2. 2לחלופין: הראי ש-λIn−A\lambda I_n-A אינה הפיכה, כלומר שלמערכת ההומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי.
  3. 3אם ביקשו גם את VλV_\lambda — פתרי את המערכת עד הסוף וכתבי בסיס.
להוכיח זהות שמערבת חזקות של AA
  1. 1בדקי אם AA לכסינה; אם כן — עברי ל-DD, שם החזקות טריוויאליות.
  2. 2הוכיחי את הזהות עבור DD (איבר-איבר על האלכסון).
  3. 3חזרי ל-AA ע"י Ak=PDkP−1A^k=PD^kP^{-1} — התכונות נשמרות תחת דמיון (משפט 3, שבוע 4).

מסקנות — מה לוקחים מהשבוע

  • 1A לכסינה ⟺ קיים בסיס של המרחב שכולו וקטורים עצמיים. לא מספיק שיהיו הרבה ו"ע.
  • 2וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם תמיד בת"ל — זה מה שמאפשר להרכיב בסיס.
  • 3V_λ = Null(λI − A) הוא תת-מרחב, ולכן אפשר לדבר על המימד שלו.
  • 4הווקטור 0 לעולם אינו וקטור עצמי, אבל 0 יכול בהחלט להיות ערך עצמי.
מטלה 6
לתרגל את החומר של השבוע
שקפי הרצאה 5
המצגת המקורית במלואה
שבוע 4:דמיון מטריצותהפולינום האופייני:שבוע 6