MentoraLINEAR 2

הדף שהכי משתלם לדעת בעל־פה

העובדות שחוזרות הכי הרבה במבחנים ולא נמצאות בדף הנוסחאות, ארגז הדוגמאות הנגדיות לשאלות 'הפרך', והמלכודות שהכי מפילות.

20 העובדות שהכי משתלם לדעת בעל‑פה

  1. 1
    TT ה"ל היא חח"ע   ⟺  ker⁡T={0V}\iff \ker T=\{0_V\}.
  2. 2
    משפט המימדים: dim⁡ker⁡T+dim⁡Im⁡T=dim⁡V\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=\dim V (התחום!).
  3. 3
    אם dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W סופי, אז עבור T:V→WT:V\to W: חח"ע   ⟺  \iff על   ⟺  \iff הפיכה.
  4. 4
    V≅WV\cong W (נ"ס)   ⟺  dim⁡V=dim⁡W\iff \dim V=\dim W. בפרט כל מ"ו נ"ס ממימד nn איזומורפי ל‑Fn\mathbb F^n.
  5. 5
    [T(v)]B=[T]BA [v]A[T(v)]_{\mathcal B}=[T]_{\mathcal B}^{\mathcal A}\,[v]_{\mathcal A} — "המטריצה עובדת על הקואורדינטות".
  6. 6
    A∼BA\sim B שומר: det⁡\det, tr⁡\operatorname{tr}, דרגה, פולינום אופייני, ערכים עצמיים (עם ריבויים), הפיכות. לא שומר: ו"ע עצמם.
  7. 7
    אותו פולינום אופייני אינו גורר דמיון. דוגמה נגדית: I2I_2 ו‑(1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.
  8. 8
    מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה.
  9. 9
    pA(λ)p_A(\lambda) מתוקן ממעלה nn; המקדם של λn−1\lambda^{n-1} הוא −tr⁡(A)-\operatorname{tr}(A), והמקדם החופשי הוא (−1)ndet⁡(A)(-1)^n\det(A).
  10. 10
    ע"ע של מטריצה משולשית/אלכסונית = איברי האלכסון.
  11. 11
    GM(λ)=n−rank(λI−A)\mathrm{GM}(\lambda)=n-\mathrm{rank}(\lambda I-A), ותמיד 1≤GM(λ)≤AM(λ)1\le \mathrm{GM}(\lambda)\le \mathrm{AM}(\lambda).
  12. 12
    AA לכסינה   ⟺  \iff pAp_A מתפרק לגורמים לינאריים וגם GM=AM\mathrm{GM}=\mathrm{AM} לכל ע"ע   ⟺  \iff יש בסיס של ו"ע.
  13. 13
    nn ע"ע שונים ⇒\Rightarrow לכסינה (זה תנאי מספיק, לא הכרחי).
  14. 14
    קיילי‑המילטון: pA(A)=0p_A(A)=0. משמש ל‑A−1A^{-1}, ל‑AkA^k בחזקות גבוהות, ולפולינום המינימלי.
  15. 15
    ו"ע של ע"ע שונים הם בת"ל.
  16. 16
    קושי‑שוורץ: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥ ∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|, ושוויון   ⟺  \iff u,vu,v תלויים לינארית. זה כלי מס' 1 להוכחת אי‑שוויונים אלגבריים במבחן.
  17. 17
    קבוצה אורתוגונלית ללא 0⃗\vec 0 היא בת"ל.
  18. 18
    ההיטל הוא הווקטור הקרוב ביותר: ∥v−ProjW(v)∥≤∥v−w∥\|v-\mathrm{Proj}_W(v)\|\le\|v-w\| לכל w∈Ww\in W, ו‑v−ProjW(v)⊥Wv-\mathrm{Proj}_W(v)\perp W.
  19. 19
    OO אורתוגונלית   ⟺  OtO=I  ⟺  O−1=Ot  ⟺  \iff O^tO=I \iff O^{-1}=O^t \iff העמודות בסיס אורתונורמלי. ואז det⁡O=±1\det O=\pm 1.
  20. 20
    מטריצה סימטרית ממשית: כל הע"ע ממשיים, ו"ע של ע"ע שונים אורתוגונליים, והיא תמיד ניתנת ללכסון אורתוגונלי (OtAO=DO^tAO=D).

ארגז הדוגמאות הנגדיות

כשמבקשים "הפרך" — כמעט תמיד אחת מאלה עובדת
"אותו פולינום אופייני ⇒\Rightarrow דמיון"
I2I_2 מול (1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}
"כל מטריצה לכסינה"
(0100)\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} (נילפוטנטית, pA=λ2p_A=\lambda^2, GM(0)=1<2\mathrm{GM}(0)=1<2)
"לכסינה מעל R\mathbb R"
(0−110)\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} (סיבוב 90∘90^\circ; ע"ע ±i\pm i — לכסינה מעל C\mathbb C בלבד)
"A,BA,B לכסינות ⇒AB\Rightarrow AB לכסינה"
(1000)⋅(0110)=(0100)\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} — מכפלת לכסינות שאינה לכסינה
"A,BA,B לכסינות ⇒A+B\Rightarrow A+B לכסינה"
diag(1,2)+(2101)=(3103)\mathrm{diag}(1,2)+\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix} — סכום לכסינות שאינו לכסין
"AB=BAAB=BA תמיד"
כמעט כל שתי מטריצות 2×22\times2
"⟨T(v),v⟩=0\langle T(v),v\rangle=0 לכל vv ⇒T=0\Rightarrow T=0"
סיבוב 90∘90^\circ ב‑R2\mathbb R^2 (נכון מעל C\mathbb C, לא נכון מעל R\mathbb R)
"ker⁡T∩Im⁡T={0}\ker T\cap\operatorname{Im}T=\{0\} תמיד"
T(x,y)=(y,0)T(x,y)=(y,0): ker⁡T=Im⁡T=span{e1}\ker T=\operatorname{Im}T=\mathrm{span}\{e_1\}
"tr⁡(AB)=tr⁡(A)tr⁡(B)\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B)"
A=B=I2A=B=I_2: 2≠42\ne 4
"det⁡(A+B)=det⁡A+det⁡B\det(A+B)=\det A+\det B"
A=B=I2A=B=I_2: 4≠24\neq 2
"איחוד תמ"וים הוא תמ"ו"
לא: span{e1}∪span{e2}\mathrm{span}\{e_1\}\cup\mathrm{span}\{e_2\} ב‑R2\mathbb R^2 — הסכום e1+e2e_1+e_2 אינו באיחוד. (סכום וחיתוך — תמיד כן תמ"ו)
"AA הפיכה ⇒A\Rightarrow A לכסינה"
(1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} הפיכה ולא לכסינה
"כל קבוצה בת"ל היא אורתוגונלית"
(1,0),(1,1)(1,0),(1,1) ב‑R2\mathbb R^2

12 המלכודות שהכי מפילות

  1. 1
    משפט המימדים הוא על dim⁡V\dim V (התחום) — לא על dim⁡W\dim W. שגיאה קלאסית.
  2. 2
    סדר הבסיסים ב‑[T]BA[T]_{\mathcal B}^{\mathcal A} — עליון = תחום, תחתון = טווח. בהרכבה [S∘T]CA=[S]CB[T]BA[S\circ T]_{\mathcal C}^{\mathcal A}=[S]_{\mathcal C}^{\mathcal B}[T]_{\mathcal B}^{\mathcal A} הבסיס האמצעי "מצטמצם".
  3. 3
    GM≤AM\mathrm{GM}\le\mathrm{AM} ולא הפוך. ו‑GM≥1\mathrm{GM}\ge 1 תמיד עבור ע"ע אמיתי.
  4. 4
    לכסינות תלויה בשדה. אותה מטריצה יכולה להיות לכסינה מעל C\mathbb C ולא מעל R\mathbb R. תמיד לשאול "מעל איזה שדה?".
  5. 5
    0⃗\vec 0 אף פעם אינו וקטור עצמי (אבל 00 יכול להיות ערך עצמי — בדיוק כאשר AA לא הפיכה).
  6. 6
    det⁡(λI−A)\det(\lambda I-A) ולא det⁡(A−λI)\det(A-\lambda I) — אחרת הסימן מתהפך ב‑nn אי‑זוגי והפולינום לא מתוקן.
  7. 7
    הצמידות במכפלה פנימית מרוכבת — בקורס הזה לינאריות ברכיב הראשון, צמידות בשני. ⟨v,αw⟩=αˉ⟨v,w⟩\langle v,\alpha w\rangle=\bar\alpha\langle v,w\rangle.
  8. 8
    בגרם‑שמידט מחלקים ב‑∥ui∥2\|u_i\|^2, לא ב‑∥ui∥\|u_i\| — אלא אם כבר נרמלת.
  9. 9
    בסיס אורתוגונלי ≠\ne אורתונורמלי. נוסחת ההיטל ∑⟨v,ui⟩ui\sum\langle v,u_i\rangle u_i נכונה רק לאורתונורמלי; אחרת צריך ∑⟨v,ui⟩∥ui∥2ui\sum\frac{\langle v,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i.
  10. 10
    מעל Zp\mathbb Z_p הכל שונה — 2=02=0 מעל Z2\mathbb Z_2, ולא כל איבר הוא ריבוע. לבדוק שורשים ע"י הצבת כל pp האיברים.
  11. 11
    "הוכח או הפרך" — הפרכה דורשת דוגמה נגדית קונקרטית, לא הסבר למה זה נשמע לא נכון.
  12. 12
    בשאלת "הוכח משפט מההרצאה" — הניסוח נחשב. לכתוב את ההנחות המדויקות (איזה שדה, נ"ס או לא) לפני ההוכחה.