MentoraLINEAR 2

שבוע 4 — דמיון מטריצות

מטריצת מעבר, יחס הדמיון ותכונות נשמרות

מטריצת מעברדמיון מטריצותשמורות דמיון

רקע — על מה השבוע הזה

אותה העתקה נראית אחרת בבסיסים שונים — וזה בדיוק מה שיחס הדמיון מתאר. מטריצת המעבר היא ה"מילון" שמתרגם בין שתי השפות. הרעיון הזה הוא מה שנותן משמעות ללכסון: לכסון = חיפוש הבסיס שבו ההעתקה נראית הכי פשוט.

מטריצת מעברדמיון מטריצותשמורות דמיון

הגדרות (1)

הניסוח המלא מהמצגת
הגדרהדמיון מטריצות
יהי F\mathbb{F} שדה ותהיינה A,B∈Mn(F)A,B \in M_n(\mathbb{F}).
נאמר ש- A,BA,B דומות ונסמן A∼BA \sim B אם קיימת מטריצה הפיכה P∈Mn(F)P \in M_n(\mathbb{F}) כך ש- B=P−1APB = P^{-1}AP.

משפטים ומסקנות (5)

ניסוחים בלבד — ההוכחות בלשונית ההרצאה
משפט 3יחס הדמיון הוא יחס שקילותצריך לדעת להוכיח
תהיינה A,B,C∈Mn(F)A,B,C \in M_n(\mathbb{F}). אזי:
(1) רפלקסיביות: A∼AA \sim A.
(2) סימטריה: אם A∼BA \sim B אז B∼AB \sim A
(3) טרנזיטיביות: אם A∼BA \sim B וגם B∼CB \sim C אז A∼CA \sim C
משפט 2מטריצה סקלרית דומה רק לעצמהצריך לדעת להוכיח
יהי α∈F\alpha \in \mathbb{F} ותהי A∈Mn(F)A \in M_n(\mathbb{F}). אם A∼αInA \sim \alpha I_n אז A=αInA = \alpha I_n.
מסקנותשני מקרים פרטיים חשוביםצריך לדעת להוכיח
מסקנות (2 מקרים פרטיים חשובים:)
(1) α=0F\alpha = 0_{\mathbb{F}}: אם A∼0nA \sim 0_n אז A=0nA = 0_n.
(2) α=1F\alpha = 1_{\mathbb{F}}: (2) אם A∼InA \sim I_n אז A=InA = I_n.
משפט 3תכונות הנשמרות תחת דמיוןצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ותהיינה A,B∈Mn(F)A,B \in M_n(\mathbb{F}) המקיימות A∼BA \sim B. אזי:
1. trace(A)=trace(B)trace(A) = trace(B)
2. det⁡(A)=det⁡(B)\det(A) = \det(B)
3. At∼BtA^t \sim B^t
4. לכל k∈Nk \in \mathbb{N} מתקיים Ak∼BkA^k \sim B^k.
5. אם A,BA,B הפיכות אז A−1∼B−1A^{-1} \sim B^{-1}.
משפט 4מטריצות דומות מייצגות את אותו אופרטורצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מ"ו נ"ס ממימד n∈Nn \in \mathbb{N} מעל F\mathbb{F}. יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV.
תהיינה K1,K2∈Mn(F)K_1,K_2 \in M_n(\mathbb{F}).
אזי K1∼K2K_1 \sim K_2 אם"ם קיים אופרטור לינארי T∈Hom(V,V)T \in Hom(V,V) ו- B\mathcal{B} בסיס סדור של VV כך שמתקיים:
K1=[T]AA , K2=[T]BB.K_1 = [T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}\ ,\ K_2 = [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}.

הערות (2)

הערה 1 — ניסוח שקול לדמיון מטריצות
ניסוח שקול לדמיון מטריצות: A,BA,B דומות אם קיימת מטריצה הפיכה P∈Mn(F)P \in M_n(\mathbb{F}) כך ש-
PB=APPB = AP
אינטואיציה להמשך
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מ"ו נ"ס ממימד nn מעל F\mathbb{F}.
יהיו A,B,C,D,…\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C},\mathcal{D}, \dots בסיסים סדורים של VV. יהיו Tj:V→VT_j: V \to V אופרטורים לינאריים (j∈Nj \in \mathbb{N}).
• נתבונן בכל אחד מהאופרטורים.
• נחשוב על כל המטריצות המייצגות אותו לפי הבסיסים השונים (כולן מטריצות ריבועיות מסדר nn).
• כל המטריצות האלה דומות רק זו לזו.
• כלומר ההעתקה הלינארית (האופרטור) היא זו שמגדירה את מחלקות השקילות של יחס הדמיון!

אם נתון לי… אז אני יודעת

7 מסקנות · זה מה שכותבים בשורה הראשונה של הפתרון
נתון ש-A∼BA\sim B
  • קיימת PP הפיכה כך ש-B=P−1APB=P^{-1}AP, כלומר PB=APPB=AP (הערה 1) — הניסוח השני נוח יותר לחישוב
  • det⁡(A)=det⁡(B)\det(A)=\det(B) ו-trace(A)=trace(B)trace(A)=trace(B) (משפט 3)
  • At∼BtA^t\sim B^t, ולכל kk גם Ak∼BkA^k\sim B^k — באותה PP
  • אם הן הפיכות אז A−1∼B−1A^{-1}\sim B^{-1}, וגם: AA הפיכה אם"ם BB הפיכה (כי det⁡\det שווה)
דמיון מוגדר רק בין מטריצות ריבועיות מאותו סדר ומעל אותו שדה. ומה שלא נשמר: המטריצות עצמן, העמודות, והווקטורים.
נתון ש-A∼αInA\sim\alpha I_n (בפרט A∼InA\sim I_n או A∼0nA\sim0_n)
  • A=αInA=\alpha I_n — מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה (משפט 2)
  • ובפרט: A∼In⇒A=InA\sim I_n\Rightarrow A=I_n וגם A∼0n⇒A=0nA\sim0_n\Rightarrow A=0_n (מסקנות)
זה הכלי הכי חד להפרכת דמיון: אם אחת מהמטריצות סקלרית והשנייה לא — הן בוודאות אינן דומות, ואין צורך בשום חישוב נוסף.
צריך להפריך ש-A∼BA\sim B
  • מספיק להראות det⁡(A)≠det⁡(B)\det(A)\neq\det(B)
  • או trace(A)≠trace(B)trace(A)\neq trace(B)
  • או שאחת מהן סקלרית והשנייה לא (משפט 2)
שוויון det⁡\det ו-tracetrace אינו מספיק לדמיון. הדוגמה הנגדית של הקורס: I2I_2 מול (1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} — אותו det⁡\det, אותו tracetrace, ובכל זאת אינן דומות.
K1=[T]AAK_1=[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}} ו-K2=[T]BBK_2=[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}} לאותו אופרטור TT
  • K1∼K2K_1\sim K_2 (משפט 4)
  • המטריצה המדמה היא מטריצת המעבר בין הבסיסים
  • ולהפך: אם K1∼K2K_1\sim K_2 אז הן מייצגות אותו אופרטור בשני בסיסים — זהו האם"ם המרכזי של השבוע
המשפט הוא על מטריצות מייצגות של אופרטור (V→VV\to V) עם אותו בסיס בשני הצדדים. [T]BA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} עם A≠B\mathcal{A}\neq\mathcal{B} אינו רלוונטי כאן.
צריך למצוא PP שמדמה בין AA ל-BB
  • כתבי AP=PBAP=PB — משוואה לינארית באיברי PP, בלי הופכיות
  • פתרי את המערכת, קבלי משפחת פתרונות
  • בחרי מתוכה PP אחת עם det⁡(P)≠0\det(P)\neq0
לא כל פתרון של AP=PBAP=PB הוא הפיכה — P=0P=0 תמיד פותרת. חייבים לבחור פתרון הפיך ולציין זאת במפורש.
AA הפיכה ו-A∼BA\sim B
  • det⁡(B)=det⁡(A)≠0\det(B)=\det(A)\neq0 ולכן BB הפיכה
  • A−1∼B−1A^{-1}\sim B^{-1} באותה PP
  • לכל k∈Nk\in\mathbb{N}: Ak∼BkA^k\sim B^k
יחס הדמיון מופיע בשאלה תיאורטית
  • הוא יחס שקילות: A∼AA\sim A; אם A∼BA\sim B אז B∼AB\sim A; ואם A∼B∼CA\sim B\sim C אז A∼CA\sim C (משפט 3)
  • ולכן מותר "לשרשר" דמיונות ולהפוך כיוון בלי הצדקה נוספת
  • מחלקות השקילות מתאימות בדיוק לאופרטורים לינאריים (משפט 4)

איך מפריכים

מהבדיקה הזולה ביותר לכיוון היקרה
להפריך ש-A∼BA\sim B
  1. 1הזול ביותר — גודל וסדר: אם המטריצות אינן ריבועיות מאותו סדר, דמיון כלל אינו מוגדר.
  2. 2חשבי det⁡\det לשתיהן. שונה — סיימת (משפט 3).
  3. 3חשבי tracetrace לשתיהן (סכום האלכסון, שנייה אחת). שונה — סיימת.
  4. 4בדקי אם אחת סקלרית (αIn\alpha I_n): אם כן והשנייה לא — סיימת לפי משפט 2. זה בדיוק מה שסוגר את המקרה det⁡\det ו-tracetrace שווים.
  5. 5אם כל אלה עברו — עדיין ייתכן שהן לא דומות, אבל בשבוע הזה אין עוד כלי; נסי לפתור AP=PBAP=PB ולהראות שכל פתרון אינו הפיך.
להפריך שתכונה נשמרת תחת דמיון
  1. 1קחי את הזוג הסטנדרטי A=(1101)A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} ו-PP פשוטה, וחשבי P−1APP^{-1}AP.
  2. 2הראי שהתכונה המוצעת (למשל "אותם איברי אלכסון", "אותן עמודות", "סימטריות") נשברת.
  3. 3לתכונות שכן נשמרות (det⁡,trace\det,trace, חזקות, שחלוף, הופכית) — אין דוגמה נגדית; אלה משפט 3.

איך מוכיחים

המהלכים שעובדים בשבוע הזה
להוכיח ש-A∼BA\sim B
  1. 1קודם בדיקת סבירות: det⁡\det ו-tracetrace שווים? אם לא — אין מה להוכיח.
  2. 2הדרך הישירה: פתרי AP=PBAP=PB כמערכת לינארית ובחרי פתרון עם det⁡(P)≠0\det(P)\neq0.
  3. 3הדרך העקיפה: הראי ששתיהן מייצגות את אותו אופרטור TT בשני בסיסים (משפט 4).
  4. 4בסיום: רשמי את PP במפורש, הראי ש-PP הפיכה, וכתבי P−1AP=BP^{-1}AP=B.
להוכיח טענה כללית על מטריצות דומות
  1. 1התחילי מ-B=P−1APB=P^{-1}AP עם PP הפיכה — זו ההגדרה ואין דרך אחרת.
  2. 2הציבי את הביטוי הזה בתוך הטענה ופתחי.
  3. 3השתמשי ב"טלסקופ": Bk=(P−1AP)k=P−1AkPB^k=(P^{-1}AP)^k=P^{-1}A^kP כי ה-PP באמצע מצטמצמים.
  4. 4לזהויות עם det⁡\det/tracetrace — הפעילי אותם על שני האגפים והשתמשי בכפליות.
להוכיח ש-A=αInA=\alpha I_n
  1. 1נסי להראות ש-AA דומה למטריצה סקלרית — ואז משפט 2 סוגר מיד.
  2. 2זה קורה בדרך כלל כשמראים A∼DA\sim D עם DD אלכסונית וכל איברי האלכסון שווים.
  3. 3לחלופין הראי שהמטריצה המייצגת של האופרטור היא αI\alpha I בכל בסיס.

מסקנות — מה לוקחים מהשבוע

  • 1A ~ B ⟺ קיימת P הפיכה כך ש-B = P⁻¹AP ⟺ שתיהן מייצגות את אותו אופרטור בבסיסים שונים.
  • 2שמורות דמיון: det, tr, דרגה, פולינום אופייני, ע"ע עם ריבויים, הפיכות.
  • 3מה שלא נשמר: הווקטורים העצמיים עצמם, והכניסות של המטריצה.
  • 4מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה — כי P⁻¹(λI)P = λI לכל P.
מטלה 5
לתרגל את החומר של השבוע
שקפי הרצאה 4
המצגת המקורית במלואה
שבוע 3:קואורדינטות ומטריצה מייצגתלכסון:שבוע 5