MentoraLINEAR 2

שבוע 9 — מרחב מכפלה פנימית

האקסיומות, נורמה מושרית וקושי–שוורץ

מכפלה פנימיתנורמהקושי–שוורץ

רקע — על מה השבוע הזה

עד כאן למרחב הווקטורי לא הייתה גיאומטריה — אי אפשר היה לדבר על אורך או זווית. המכפלה הפנימית מוסיפה בדיוק את זה, ומתוכה נגזרת הנורמה. קושי־שוורץ הוא אי-השוויון שמאפשר בכלל להגדיר זווית, והוא הכלי מספר אחת להוכחת אי-שוויונים במבחן.

מכפלה פנימיתנורמהקושי–שוורץ

התמונה

לחצי Play או עברי שלב-שלב
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.

הגדרות (5)

הניסוח המלא מהמצגת
הגדרהמרחב מכפלה פנימית - Inner Product SpaceInner\ Product\ Space
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי מ"ו VV מעל F\mathbf{F}.
נאמר ש-VV הוא מרחב מכפלה פנימית אם קיימת פונקציה ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbf{F} המקיימת את התכונות הבאות לכל u,v,w∈Vu,v,w\in V ולכל α∈F\alpha\in\mathbf{F}:
1. אדיטיביות ברכיב הראשון: ⟨v+u,w⟩=⟨v,w⟩+⟨u,w⟩\langle v+u,w\rangle=\langle v,w\rangle+\langle u,w\rangle
2. הומוגניות ברכיב הראשון: ⟨αv,w⟩=α⟨v,w⟩\langle\alpha v,w\rangle=\alpha\langle v,w\rangle
3. הרמיטיות: ⟨v,u⟩=⟨u,v⟩‾\langle v,u\rangle=\overline{\langle u,v\rangle}
4. חיוביות לחלוטין: ⟨v,v⟩≥0\langle v,v\rangle\ge 0 וגם ⟨v,v⟩=0\langle v,v\rangle=0 אם"ם v=0Vv=0_V.
הגדרהמכפלה פנימית סטנדרטית על Fn\mathbf{F}^n
המכפלה הפנימית הסטנדרטית על Fn\mathbf{F}^n מוגדרת באופן הבא לכל v⃗,u⃗∈Fn\vec v,\vec u\in\mathbf{F}^n:
נסמן u⃗=(u1⋮un)\vec u=\begin{pmatrix}u_1\\ \vdots\\ u_n\end{pmatrix}, v⃗=(v1⋮vn)∈Fn\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n\end{pmatrix}\in\mathbf{F}^n אזי:
⟨v⃗,u⃗⟩=(u⃗)‾ t⋅v⃗=(uˉ1,…,uˉn)⋅(v1⋮vn)=∑i=1nviuˉi\langle\vec v,\vec u\rangle=\overline{(\vec u)}^{\,t}\cdot\vec v=(\bar u_1,\dots,\bar u_n)\cdot\begin{pmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n\end{pmatrix}=\sum_{i=1}^{n}v_i\bar u_i
הגדרההמכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-Mm×n(F)M_{m\times n}(\mathbf{F})
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-Mm×n(F)M_{m\times n}(\mathbf{F}) מוגדרת באופן הבא לכל A,B∈Mm×n(F)A,B\in M_{m\times n}(\mathbf{F}):
⟨A,B⟩=trace(Bt‾A)\langle A,B\rangle=trace\left(\overline{B^t}A\right)
הגדרהנורמה - NormNorm
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F} ויהי v∈Vv\in V.
נגדיר את הנורמה של vv, אשר תסומן ∥v∥\|v\|, באופן הבא: ∥v∥=⟨v,v⟩\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}
הגדרהוקטור יחידה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F} ויהי v∈Vv\in V.
נאמר ש-vv הוא וקטור יחידה אם ∥v∥=1\|v\|=1

משפטים ומסקנות (7)

ניסוחים בלבד — ההוכחות בלשונית ההרצאה
משפט 1Fn\mathbf{F}^n עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית הוא ממ"פצריך לדעת להוכיח
לכל v⃗=(v1⋮vn),u⃗=(u1⋮un),w⃗=(w1⋮wn)∈Fn\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n\end{pmatrix},\vec u=\begin{pmatrix}u_1\\ \vdots\\ u_n\end{pmatrix},\vec w=\begin{pmatrix}w_1\\ \vdots\\ w_n\end{pmatrix}\in\mathbf{F}^n ולכל α∈F\alpha\in\mathbf{F}
Fn\mathbf{F}^n יחד עם ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle הינו מרחב מכפלה פנימית.
⟨v⃗,u⃗⟩=∑i=1nviuˉi\langle\vec v,\vec u\rangle=\sum_{i=1}^{n}v_i\bar u_i
משפט 2המכפלה הסטנדרטית ב-Mm×n(F)M_{m\times n}(\mathbf{F}) היא מכפלה פנימית (ללא הוכחה)
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה.
לכל A,B∈Mm×n(F)A,B\in M_{m\times n}(\mathbf{F}) ההגדרה מהעמוד הקודם מהווה מכפלה פנימית על Mm×n(F)M_{m\times n}(\mathbf{F}).
⟨A,B⟩=trace(Bt‾A)\langle A,B\rangle=trace\left(\overline{B^t}A\right)
משפט 3הכללת לינאריות בשני הרכיביםצריך לדעת להוכיח
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. אזי לכל u1,…,uk,v∈Vu_1,\dots,u_k,v\in V ולכל α1,…,αk∈F\alpha_1,\dots,\alpha_k\in\mathbf{F} מתקיים:
א. ⟨α1u1+⋯+αkuk,v⟩=α1⟨u1,v⟩+⋯+αk⟨uk,v⟩\langle\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k,v\rangle=\alpha_1\langle u_1,v\rangle+\cdots+\alpha_k\langle u_k,v\rangle (הכללת לינאריות ברכיב הראשון)
ב. ⟨v,α1u1+⋯+αkuk⟩=α1‾⟨v,u1⟩+⋯+αk‾⟨v,uk⟩\langle v,\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k\rangle=\overline{\alpha_1}\langle v,u_1\rangle+\cdots+\overline{\alpha_k}\langle v,u_k\rangle (ברכיב השני המקדמים הם צמודים)
משפט 4מכפלה פנימית עם וקטור האפסצריך לדעת להוכיח
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}.
אזי לכל v∈Vv\in V מתקיים ⟨v,0V⟩=⟨0V,v⟩=0F\langle v,0_V\rangle=\langle 0_V,v\rangle=0_{\mathbf{F}}.
משפט 5צמצום במכפלה פנימיתצריך לדעת להוכיח
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}.
1. יהיו u1,u2∈Vu_1,u_2\in V. אם לכל v∈Vv\in V מתקיים: ⟨u1,v⟩=⟨u2,v⟩\langle u_1,v\rangle=\langle u_2,v\rangle אזי u1=u2u_1=u_2.
2. יהיו v1,v2∈Vv_1,v_2\in V. אם לכל u∈Vu\in V מתקיים: ⟨u,v1⟩=⟨u,v2⟩\langle u,v_1\rangle=\langle u,v_2\rangle אזי v1=v2v_1=v_2.
משפט 6תכונות הנורמהצריך לדעת להוכיח
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. אזי:
1. לכל α∈F\alpha\in\mathbf{F}, u∈Vu\in V מתקיים ∥αu∥=∣α∣⋅∥u∥\|\alpha u\|=|\alpha|\cdot\|u\|
2. לכל u∈Vu\in V מתקיים: ∥u∥=0 ⇔ u=0V\|u\|=0\ \Leftrightarrow\ u=0_V
משפט 7אי-שוויון קושי-שוורץצריך לדעת להוכיח
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי מ"ו VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. יהיו u,v∈Vu,v\in V. אזי: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\|
השוויון מתקיים אם"ם u,vu,v ת"ל.

הערות (6)

הערה 1 — מרחב אוקלידי ומרחב אוניטרי
אם F=R\mathbf{F}=\mathbb{R} אז VV נקרא מרחב אוקלידי.
אם F=C\mathbf{F}=\mathbb{C} אז VV נקרא מרחב אוניטרי.
הערה 2 — הרמיטיות במרחב אוקלידי היא סימטריה
במרחב אוקלידי, תכונת ההרמיטיות נקראת סימטריה.
מתקיים: ⟨v,u⟩=⟨u,v⟩\langle v,u\rangle=\langle u,v\rangle
לא ניתן להגדיר סימטריה רגילה מעל C\mathbb{C}
שימו לב:
לא היה ניתן להגדיר סימטריה רגילה מעל C\mathbb{C}.
אם תכונת ההרמיטיות היתה סימטריה, היינו מקבלים סתירה.
הערה 3 — המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-Rn\mathbb{R}^n
המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-Rn\mathbb{R}^n היא: ⟨v⃗,u⃗⟩=(u⃗)t⋅v⃗=∑i=1nvi⋅ui\langle\vec v,\vec u\rangle=(\vec u)^t\cdot\vec v=\sum_{i=1}^{n}v_i\cdot u_i
משמעות גיאומטרית של נורמה סטנדרטית ב-R2\mathbb{R}^2 וב-R3\mathbb{R}^3
נתבונן ב-v⃗=(12)∈R2\vec v=\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2. נרצה למדוד את אורכו.
לשם כך נמקם אותו במערכת צירים, למשל מ-(0,0)(0,0) עד (1,2)(1,2).
נוריד אנך לציר xx. כעת ניתן לחשב את האורך לפי משפט פיתגורס:
∥v⃗∥=⟨v⃗,v⃗⟩=12+22\|\vec v\|=\sqrt{\langle\vec v,\vec v\rangle}=\sqrt{1^2+2^2} זו בדיוק הנורמה הסטנדרטית!
באותו אופן ב-R3\mathbb{R}^3, נתבונן ב-u⃗=(123)\vec u=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} ונחשב את אורכו:
∥u⃗∥=⟨u⃗,u⃗⟩=12+22+32\|\vec u\|=\sqrt{\langle\vec u,\vec u\rangle}=\sqrt{1^2+2^2+3^2}
כלומר, ב-R2\mathbb{R}^2 וב-R3\mathbb{R}^3 הנורמה הסטנדרטית היא אורך הוקטור.
לחילופין, זה המרחק בין הנקודה שהוקטור מייצג לראשית הצירים.
במרחבים אחרים ניתן לחשוב על נורמה כהכללה של מושג האורך.
המחשה גיאומטרית
המחשה גיאומטרית

אם נתון לי… אז אני יודעת

8 מסקנות · זה מה שכותבים בשורה הראשונה של הפתרון
VV מרחב מכפלה פנימית מעל F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}
  • לינאריות מלאה ברכיב הראשון: ⟨α1u1+⋯+αkuk,v⟩=α1⟨u1,v⟩+⋯+αk⟨uk,v⟩\langle\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k,v\rangle=\alpha_1\langle u_1,v\rangle+\cdots+\alpha_k\langle u_k,v\rangle (משפט 3א)
  • ברכיב השני המקדמים יוצאים צמודים: ⟨v,αu⟩=αˉ⟨v,u⟩\langle v,\alpha u\rangle=\bar\alpha\langle v,u\rangle (משפט 3ב)
  • ⟨v,u⟩=⟨u,v⟩‾\langle v,u\rangle=\overline{\langle u,v\rangle} (הרמיטיות)
  • ⟨v,0V⟩=⟨0V,v⟩=0\langle v,0_V\rangle=\langle 0_V,v\rangle=0 (משפט 4)
בקורס הזה הלינאריות היא ברכיב הראשון. בספרים רבים זה הפוך — ואז כל סימני הצמידות מתהפכים. במרחב אוקלידי (F=R\mathbf{F}=\mathbb{R}) הצמידה נעלמת וההרמיטיות היא סימטריה (הערה 2).
נתון הערך ⟨u,v⟩\langle u,v\rangle
  • ⟨v,u⟩=⟨u,v⟩‾\langle v,u\rangle=\overline{\langle u,v\rangle} — מתקבל בחינם
  • ⟨v,v⟩=∥v∥2\langle v,v\rangle=\|v\|^2 ממשי ואי-שלילי, גם במרחב אוניטרי
  • ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\| (קושי-שוורץ, משפט 7)
צריך להוכיח ש-u=0Vu=0_V
  • מספיק להראות ∥u∥=0\|u\|=0 (משפט 6)
  • או ⟨u,u⟩=0\langle u,u\rangle=0 — זו אותה טענה לפי החיוביות
  • או ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 לכל v∈Vv\in V — ואז מציבים v=uv=u (משפט 5)
מ-⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 עבור vv מסוים לא נובע כלום. ההיסק דורש "לכל vv", או הצבה חכמה של v=uv=u.
השאלה היא אי-שוויון אלגברי עם סכומי ריבועים ומכפלות
  • זה קושי-שוורץ (משפט 7) — הכלי מספר 1 לאי-שוויונים בקורס
  • צריך רק לזהות את שני הווקטורים: אגף שמאל =⟨x⃗,y⃗⟩=\langle\vec x,\vec y\rangle, אגף ימין =∥x⃗∥∥y⃗∥=\|\vec x\|\|\vec y\|
  • הבחירה y⃗=(1,1,…,1)t\vec y=(1,1,\dots,1)^t נותנת מיד (x1+⋯+xn)2≤n∑xi2(x_1+\cdots+x_n)^2\le n\sum x_i^2
קושי-שוורץ חוסם את ∣⟨u,v⟩∣|\langle u,v\rangle|. במרוכבים דרוש הצעד הנוסף Re2⟨u,v⟩≤∣⟨u,v⟩∣2\mathrm{Re}^2\langle u,v\rangle\le|\langle u,v\rangle|^2.
נתון ששוויון מתקיים בקושי-שוורץ
  • u,vu,v תלויים לינארית (משפט 7) — זה חלק מהמשפט, לא תוספת
  • ולכן קיים α\alpha עם v=αuv=\alpha u (או u=0Vu=0_V)
  • מכאן מסיקים את תנאי השוויון בשאלה האלגברית (למשל xw−yz=0xw-yz=0 בתרגיל 4)
VV מרחב אוקלידי (מעל R\mathbb{R})
  • ⟨u,v⟩=⟨v,u⟩\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle — סימטריה מלאה (הערה 2)
  • ∥u±v∥2=∥u∥2±2⟨u,v⟩+∥v∥2\|u\pm v\|^2=\|u\|^2\pm2\langle u,v\rangle+\|v\|^2 (תרגיל 3)
  • ולכן אפשר "לפתוח סוגריים" בנורמות כמו בבינום
במרחב אוניטרי הפיתוח הזה שגוי: שם ∥u+v∥2=∥u∥2+2Re⟨u,v⟩+∥v∥2\|u+v\|^2=\|u\|^2+2\mathrm{Re}\langle u,v\rangle+\|v\|^2, כי ⟨u,v⟩+⟨v,u⟩\langle u,v\rangle+\langle v,u\rangle אינו 2⟨u,v⟩2\langle u,v\rangle.
המכפלה היא הסטנדרטית
  • ב-Fn\mathbf{F}^n: ⟨v⃗,u⃗⟩=∑i=1nviuˉi=(u⃗)‾ tv⃗\langle\vec v,\vec u\rangle=\sum_{i=1}^{n}v_i\bar u_i=\overline{(\vec u)}^{\,t}\vec v (משפט 1)
  • ב-Rn\mathbb{R}^n זה פשוט ∑viui\sum v_iu_i (הערה 3)
  • ב-Mm×n(F)M_{m\times n}(\mathbf{F}): ⟨A,B⟩=trace(Bt‾A)\langle A,B\rangle=trace\left(\overline{B^t}A\right) (משפט 2)
הצמידה היא על רכיבי הווקטור השני. אם החלפת סדר, קיבלת את הצמוד של התשובה הנכונה.
מופיעה נורמה של כפולה בסקלר
  • ∥αu∥=∣α∣⋅∥u∥\|\alpha u\|=|\alpha|\cdot\|u\| (משפט 6)
  • ולכן ∥u∥u∥∥=1\left\|\dfrac{u}{\|u\|}\right\|=1 — כך מנרמלים
  • ∥u∥=0\|u\|=0 אם"ם u=0Vu=0_V
זה ∣α∣|\alpha| ולא α\alpha — במרוכבים זה המודולוס, ובממשיים הערך המוחלט. ∥−3u∥=3∥u∥\|-3u\|=3\|u\|.

איך מפריכים

מהבדיקה הזולה ביותר לכיוון היקרה
להפריך שפונקציה נתונה היא מכפלה פנימית
  1. 1הזול והמצליח ביותר — חיוביות: הציבי v=uv=u וחפשי v≠0Vv\neq0_V יחיד עם ⟨v,v⟩≤0\langle v,v\rangle\le0. למשל עבור ⟨u⃗,v⃗⟩=u1v2+u2v1\langle\vec u,\vec v\rangle=u_1v_2+u_2v_1 קחי v⃗=(1,−1)t\vec v=(1,-1)^t ותקבלי −2<0-2<0 (תרגיל 1).
  2. 2בדקי גם את המקרה ⟨v,v⟩=0\langle v,v\rangle=0 עבור v≠0Vv\neq0_V — גם זה מפריך.
  3. 3הבאה בתור — הרמיטיות/סימטריה: קחי שני וקטורים קונקרטיים והשווי ⟨u,v⟩\langle u,v\rangle ל-⟨v,u⟩‾\overline{\langle v,u\rangle}.
  4. 4ואז הומוגניות: הציבי α=2\alpha=2 (ובמרוכבים דווקא α=i\alpha=i) ובדקי ⟨αv,w⟩=α⟨v,w⟩\langle\alpha v,w\rangle=\alpha\langle v,w\rangle.
  5. 5לבסוף אדיטיביות — היקרה ביותר לבדיקה, ולרוב מיותרת כי אחת מהקודמות כבר נפלה.
להפריך טענה כללית על מכפלה פנימית
  1. 1בדקי את השדה: הרבה טענות נכונות ב-R\mathbb{R} ונופלות ב-C\mathbb{C} בגלל הצמידה.
  2. 2לטענות מהצורה "⟨u,v⟩=⟨v,u⟩\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle" — קחי C1\mathbb{C}^1 עם u=1,v=iu=1,v=i: ⟨u,v⟩=−i\langle u,v\rangle=-i אבל ⟨v,u⟩=i\langle v,u\rangle=i.
  3. 3לטענות מהצורה "⟨v,αu⟩=α⟨v,u⟩\langle v,\alpha u\rangle=\alpha\langle v,u\rangle" — אותה דוגמה עם α=i\alpha=i מפריכה.
  4. 4לטענות "⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 לוקטור מסוים גורר u=0u=0" — קחי u=e⃗1u=\vec e_1, v=e⃗2v=\vec e_2.

איך מוכיחים

המהלכים שעובדים בשבוע הזה
להוכיח שפונקציה נתונה היא מכפלה פנימית
  1. 1אדיטיביות ברכיב הראשון — פתחי את שני האגפים על וקטורים כלליים.
  2. 2הומוגניות ברכיב הראשון עם α\alpha כללי.
  3. 3הרמיטיות: הראי ⟨v,u⟩=⟨u,v⟩‾\langle v,u\rangle=\overline{\langle u,v\rangle} (במרחב ממשי — סימטריה).
  4. 4חיוביות: חשבי ⟨v,v⟩\langle v,v\rangle והשלימי לריבוע — למשל u12−2u1u2+4u22=(u1−u2)2+3u22≥0u_1^2-2u_1u_2+4u_2^2=(u_1-u_2)^2+3u_2^2\ge0 (תרגיל 2).
  5. 5סגרי את מקרה השוויון: הראי ש-⟨v,v⟩=0\langle v,v\rangle=0 מכריח כל רכיב להתאפס.
להוכיח אי-שוויון אלגברי בעזרת קושי-שוורץ
  1. 1הסתכלי על אגף שמאל וזהי אותו כמכפלה פנימית: איזה x⃗\vec x ואיזה y⃗\vec y נותנים בדיוק את הסכום הזה.
  2. 2ודאי שאגף ימין הוא ∥x⃗∥⋅∥y⃗∥\|\vec x\|\cdot\|\vec y\| — אם המקדמים לא מסתדרים, פזרי שורשים (x=x2⋅2x=\frac{x}{\sqrt2}\cdot\sqrt2).
  3. 3רשמי במפורש: "לפי אשק"ש ∣⟨x⃗,y⃗⟩∣≤∥x⃗∥∥y⃗∥|\langle\vec x,\vec y\rangle|\le\|\vec x\|\|\vec y\|" והציבי.
  4. 4אם ביקשו את תנאי השוויון — צטטי שהשוויון מתקיים אם"ם x⃗,y⃗\vec x,\vec y ת"ל, ותרגמי לתנאי של השאלה.
  5. 5לאילוץ כמו a+b+c=1a+b+c=1 — בחרי y⃗=(1,1,1)t\vec y=(1,1,1)^t כדי שהאילוץ ייכנס דרך ⟨x⃗,y⃗⟩\langle\vec x,\vec y\rangle (תרגיל 5).
להוכיח זהות עם נורמות
  1. 1החליפי כל ∥w∥2\|w\|^2 ב-⟨w,w⟩\langle w,w\rangle — זו ההגדרה, וממנה כל השאר.
  2. 2פתחי לפי לינאריות ברכיב הראשון וצמידות בשני.
  3. 3במרחב אוקלידי אספי ⟨u,v⟩+⟨v,u⟩=2⟨u,v⟩\langle u,v\rangle+\langle v,u\rangle=2\langle u,v\rangle.
  4. 4בסוף החזירי לנורמות. (כך מוכיחים גם את זהות הקיטוב.)

מסקנות — מה לוקחים מהשבוע

  • 1מעל ℂ: לינאריות ברכיב הראשון, צמידות בשני — ⟨v,αw⟩ = ᾱ⟨v,w⟩.
  • 2חיוביות: ⟨v,v⟩ ≥ 0 ושוויון רק עבור v = 0. זה מה שמאפשר להגדיר נורמה.
  • 3|⟨u,v⟩| ≤ ‖u‖·‖v‖, ושוויון ⟺ u,v תלויים לינארית.
  • 4אותו מרחב וקטורי יכול לשאת מכפלות פנימיות שונות — והגיאומטריה משתנה איתן.
מטלה 10
לתרגל את החומר של השבוע
שקפי הרצאה 9
המצגת המקורית במלואה
שבוע 8:קיילי–המילטון ותת-מרחב שמוראורתוגונליות:שבוע 10