מטלה 10

עד כאן למרחב הווקטורי לא הייתה גיאומטריה — אי אפשר היה לדבר על אורך או זווית. המכפלה הפנימית מוסיפה בדיוק את זה, ומתוכה נגזרת הנורמה. קושי־שוורץ הוא אי-השוויון שמאפשר בכלל להגדיר זווית, והוא הכלי מספר אחת להוכחת אי-שוויונים במבחן.

• 1מעל ℂ: לינאריות ברכיב הראשון, צמידות בשני — ⟨v,αw⟩ = ᾱ⟨v,w⟩.
• 2חיוביות: ⟨v,v⟩ ≥ 0 ושוויון רק עבור v = 0. זה מה שמאפשר להגדיר נורמה.
• 3|⟨u,v⟩| ≤ ‖u‖·‖v‖, ושוויון ⟺ u,v תלויים לינארית.
• 4אותו מרחב וקטורי יכול לשאת מכפלות פנימיות שונות — והגיאומטריה משתנה איתן.

• ·p_A(A) = 0. מכאן מקבלים A⁻¹ כפולינום ב-A, וגם דרך לחשב A^k בלי לכסון.
• ·אם (λ,v) זוג עצמי של A אז (q(λ),v) זוג עצמי של q(A) לכל פולינום q.
• ·הגרעין, התמונה, וכל מרחב עצמי — כולם שמורים תחת ההעתקה.
• ·אופרטור לכסין ⟺ קיים בסיס שבו המטריצה המייצגת [T]^B_B אלכסונית.