מיקוד — מה באמת נשאל במבחן

כל 173 שאלות שיעורי הבית, מדורגות לפי מה שקרה בפועל ב-12 מבחני 2021–2025. הדירוג נשען על ציטוט למועד ולשאלה, לא על תחושה.

אילו שבועות באמת מכריעים את המבחן

לפי שיעור השאלות הקריטיות במטלה של כל שבוע

התשובה הקצרה: שבועות 0–4 הם לא רק בסיס. שלושה מעשרת טיפוסי השאלה הנפוצים ביותר יושבים בדיוק שם — מטריצה מייצגת ודמיון (78%), משפט המימדים (72%), ודטרמיננטה ומצורפת (65%). מה שאת עושה עכשיו נשאל במבחן כמו שהוא.

לכסוןנשאל ישירותמטלה 6

18 שאלות קריטיות מתוך 26 · 69%

18 שאלות קריטיות — יותר מכל שבוע אחר. לכסון מופיע כמעט בכל מועד, לרוב כשאלה שלמה.

#2 לכסון מטריצה קונקרטית (90%)#10

AB

מול

BA

(45%)

קיילי–המילטון ותת-מרחב שמורנשאל ישירותמטלה 9

11 שאלות קריטיות מתוך 13 · 85%

קיילי־המילטון הוא הדרך המהירה ל-

A^n

ולהוכחת אי־קיום מטריצה.

#8 קיילי־המילטון ופולינום אופייני (55%)

קואורדינטות ומטריצה מייצגתנשאל ישירותמטלה 4

11 שאלות קריטיות מתוך 18 · 61%

המטריצה המייצגת היא הטיפוס השלישי בשכיחותו והוא מופיע כמעט בכל מועד.

#3 מטריצה מייצגת ומעבר (78%)

מרחב מכפלה פנימיתנשאל ישירותמטלה 10

10 שאלות קריטיות מתוך 14 · 71%

קושי־שוורץ עם מקרה השוויון נשאל כהוכחה ב-2024א׳ ש׳1.1. הכניסה למחצית השנייה של הקורס.

#5 קושי־שוורץ (70%)#7 בדיקת אקסיומות מכפלה פנימית (55%)#1 הוכחת משפט (95%)

דמיון מטריצותנשאל ישירותמטלה 5

8 שאלות קריטיות מתוך 9 · 89%

הצפיפות הגבוהה בקורס — כמעט כל שאלה במטלה 5 הופיעה במבחן. "דמיון ⟺ אותו אופרטור בשני בסיסים" נשאל כהוכחה ב-2024ב׳ ש׳2.1 וב-2025ב׳ ש׳1.1.

#3 מטריצה מייצגת ומעבר (78%)#1 הוכחת משפט (95%)

היטל, בסל ופרסבלנשאל ישירותמטלה 12

8 שאלות קריטיות מתוך 15 · 53%

אין לו טיפוס משלו בעשירייה, אבל 8 מ-15 שאלותיו כן הופיעו במבחנים — ההיטל הניצב וזהות

U=(U^\perp)^\perp

מגיעים כסעיף בתוך שאלה, לא כשאלה שלמה.

אורתוגונליותנשאל ישירותמטלה 11

7 שאלות קריטיות מתוך 12 · 58%

אי־שוויון המשולש נשאל כהוכחה ב-2023א׳ ש׳1a.

#5 קושי־שוורץ (70%)#1 הוכחת משפט (95%)

ריבוי אלגברי וגיאומטרינשאל ישירותמטלה 8

6 שאלות קריטיות מתוך 8 · 75%

GM\le AM

נשאל כהוכחה ב-2025א׳ ש׳1.1, והקריטריון המלא הוא מה שסוגר כל שאלת לכסינות.

#1 הוכחת משפט (95%)#2 לכסון מטריצה קונקרטית (90%)

הפולינום האופיינינשאל ישירותמטלה 7

6 שאלות קריטיות מתוך 9 · 67%

הפולינום האופייני הוא הכלי של הלכסון וגם של

A^n

ופיבונאצ׳י.

#2 לכסון מטריצה קונקרטית (90%)#8 קיילי־המילטון ופולינום אופייני (55%)

קיום ויחידות ומשפט המימדיםנשאל ישירותמטלה 3

6 שאלות קריטיות מתוך 15 · 40%

משפט המימדים הוא הטיפוס הרביעי בשכיחותו וגם אחד המשפטים שמבקשים להוכיח. הוא לא רק כלי — הוא שאלה.

#4 משפט המימדים (72%)#1 הוכחת משפט (95%)

חזרה מסמסטר א׳בסיס — וגם נשאלמטלה 1

5 שאלות קריטיות מתוך 16 · 31%

הבסיס לכל הקורס, אבל גם שאלה בפני עצמה:

A\cdot\mathrm{adj}(A)=\det A\cdot I

נשאל כהוכחה ב-2025א׳ ש׳2.1 וכלל קרמר ב-2025ב׳ ש׳2.1.

#6 זהויות

\det

ו-

\mathrm{adj}

(65%)#9 חישוב דטרמיננטה מובנית (50%)#1 הוכחת משפט (95%)

העתקות לינאריותבסיס — וגם נשאלמטלה 2

4 שאלות קריטיות מתוך 18 · 22%

השבוע ה"בסיסי" ביותר — רק 22% מהשאלות שלו קריטיות, ואין לו טיפוס משלו בעשירייה. הוא נבחן דרך שבועות 2–4, לא לבדו.

גרם–שמידטבסיס — וגם נשאלאין מטלה

אין מטלה משלו, ולכן אין לו שורה בטבלה — אבל גרם־שמידט הוא חישוב שחוזר, לרוב כסעיף שמכין בסיס אורתונורמלי לשאלת היטל.

מטריצות סימטריות ולכסון אורתוגונליתומךאין מטלה

אין מטלה משלו. המשפט הספקטרלי מופיע בעיקר כשאלת נכון/לא-נכון; ריבועים פחותים כמעט לא הופיע.

לכל הסיכומונים לפי שבוע

מפת החשיבות — מטלה × מספר שאלה

שאלה עם סעיפים מחולקת לפי סעיפים · לחיצה קופצת לפירוט

	1	2	3	4	5	6	נוספת 1	נוספת 2	נוספת 3	נוספת 4

קריטי למבחן חשוב להבנה בסיס אין שאלה כזומעבר עכבר על תא מציג את הסעיפים שלו

שאלה	נושא	רמה	למה
שאלה 1(א)	כלל קרמר — מערכת $3\times3$ עם פרמטר	קריטי למבחן	הופיעה ב-2023א׳ ש׳1b (מערכת $3\times3$ מרוכבת עם פרמטר, חישוב $y$ בקרמר) והוכחת הכלל עצמה ב-2025ב׳ ש׳2.1.
שאלה 1(ב)	כלל קרמר עם פרמטר חופשי	חשוב להבנה	מלמדת שקרמר עובד רק על תת־מערכת ריבועית הפיכה, אבל מערכת לא־ריבועית עם פרמטר חופשי לא נשאלה באף מבחן.
שאלה 2(א)	חישוב $\mathrm{adj}(A)$ לפי ההגדרה	בסיס	תרגול יסוד בסימון ההפוך $[\mathrm{adj}(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}M^{(A)}_{ji}$ — בלעדיו כל שאלת adj נופלת.
שאלה 2(ב)	$\mathrm{adj}(A)=\det(A)A^{-1}$	בסיס	תרגול הזהות המרכזית שממנה נגזרות כל שאלות ה-adj במבחנים, אך החישוב עצמו הוא דריל.
שאלה 3(א)	$\mathrm{adj}(A^{-1})=A/\det A$	חשוב להבנה	תרגיל חימום מצוין לטכניקת ההחלפה $\mathrm{adj}=\det\cdot A^{-1}$ , אך זהות זו בדיוק לא נשאלה באף מבחן.
שאלה 3(ב)	$\mathrm{adj}(A)\mathrm{adj}(B)=\mathrm{adj}(BA)$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2024א׳ ש׳3.2 מילה במילה, ומשמשת גם ב-2025סימולציה ש׳3.2 ו-2025ב׳ ש׳5.2.
שאלה 3(ג)	$B^2=I$ , $\det B=1$ ⟹ $\mathrm{adj}(A)AB=\mathrm{adj}(AB)A$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025ב׳ ש׳5.2 מילה במילה.
שאלה 4	זהות דטרמיננטית להחלפת הפרמטר החופשי	חשוב להבנה	מחדדת מה בדיוק קרמר מבטיח, אך שאלה בסגנון הזה לא הופיעה באף מבחן.
שאלה 5(א)	$\mathrm{adj}(A)$ סימטרית ⟹ $A$ סימטרית	חשוב להבנה	תרגול חשוב של החילופיות בין $(\cdot)^t$ ל- $(\cdot)^{-1}$ , אך לא נשאלה שאלה כזו באף מבחן.
שאלה 5(ב)	דוגמה נגדית ללא הפיכות	בסיס	בניית הדוגמה הנילפוטנטית $\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ — תרגול יסוד בארגז הדוגמאות הנגדיות.
שאלה 6(א)	$\mathrm{adj}$ של מטריצה אלכסונית	בסיס	חישוב ישיר מההגדרה, שנועד לוודא שהסימון ההפוך הובן.
שאלה 6(ב)	$\mathrm{adj}(-A)=-\mathrm{adj}(A)$ ?	חשוב להבנה	מאמנת בדיוק את המלכודת $\det(cA)=c^n\det A$ (כאן $(-1)^{n-1}$ ), אך הטענה עצמה לא נשאלה במבחן.
שאלה 6(ג)	$\mathrm{adj}(A+B)=\mathrm{adj}(A)+\mathrm{adj}(B)$ ?	בסיס	הפרכה מיידית בדוגמה $2\times2$ — תרגול יסוד שה-adj אינה ליניארית.
שאלה 6(ד)	$\det(\mathrm{adj}K)\equiv1$ ב- $\mathbb{Z}_{11}$	קריטי למבחן	זהויות דטרמיננטה בשדה סופי הופיעו ב-2025א׳ ש׳1.2 ( $\mathbb{Z}_7$ , $\det(3A^4B^{-1}A^{-1}B^t)$ ) — אותו שילוב של $\det(\mathrm{adj}A)=\det(A)^{n-1}$ עם צמצום מודולו $p$ .
שאלה 6(ה)	פיתוח דטרמיננטה "זר" מתאפס	קריטי למבחן	הופיעה ב-2023א׳ ש׳2b כמעט מילה במילה ( $\sum_{k}(-1)^{k+2}[A]_{1k}M^{(A)}_{2k}=0$ ), 12 נקודות.
שאלה נוספת 1	חישוב $\mathrm{adj}(A)$ מתוך $A^{-1}$	בסיס	חזרה על שאלה 2(ב) עם נתון אחר — דריל של $\det(A)=1/\det(A^{-1})$ .

שאלה	נושא	רמה	למה
שאלה 1(א)	בדיקת ליניאריות — $T(x_1,x_2)=(1,x_2)$	בסיס	הפרכה מיידית כי $T(0_V)\ne0_W$ — תרגול יסוד בהגדרה.
שאלה 1(ב)	בדיקת ליניאריות — העתקה מטריציונית	בסיס	אימות שכל $T(\vec x)=A\vec x$ היא ליניארית; יסוד לכל מה שבא אחריו.
שאלה 1(ג)	בדיקת ליניאריות — $T(A)=\det A$	בסיס	הדטרמיננטה מולטי־ליניארית ולא ליניארית; ההבחנה הזו מוכנה כאן לשאלה 4.
שאלה 1(ד)	בדיקת ליניאריות — $\mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$	בסיס	תרגול יסוד בשאלת "מעל איזה שדה" — ליניארית מעל $\mathbb{R}$ בלבד.
שאלה 1(ה)	בדיקת ליניאריות — $T(p)(x)=p(x+1)-p(1)$	בסיס	דריל על מרחב פולינומים; האופרטור הזה חוזר במטלה 9 נוספת 1 ובמבחנים כ- $p(x+1)$ .
שאלה 1(ו)	בדיקת ליניאריות — $T(x,y)=(\|x\|,y)$	בסיס	הפרכה בהצבת סקלר שלילי — תרגול יסוד.
שאלה 2(א)	בסיסים ל- $\ker T$ ו- $\mathrm{Im}T$ ב- $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$	בסיס	החישוב הבסיסי ביותר של גרעין ותמונה — התשתית למשפט הממדים.
שאלה 2(ב)	גרעין ותמונה של אופרטור קיטום על $\mathbb{R}_3[x]$	חשוב להבנה	מאמנת גרעין/תמונה במרחב מופשט, אבל חישוב ישיר של בסיסים לגרעין ולתמונה לא נשאל במבחנים מ-2022 והלאה.
שאלה 3(א)	חישוב $T$ מערכיה על בסיס	בסיס	הצבה ישירה בליניאריות — יסוד למשפט הקיום והיחידות.
שאלה 3(ב)	הוכחת הפיכות לפי משפט בסיס־לבסיס	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022ב׳ ש׳6.1 ( $\{T(v_i)\}$ בת״ל ⟹ $T$ איזומורפיזם) וב-2022א׳ ש׳5.1, ובגרסה הפוכה ב-2024סימולציה ש׳1.1.
שאלה 3(ג)	חישוב $T^{-1}$ על וקטור נתון	חשוב להבנה	הטכניקה של "לפתור אחורה" מזינה את 2024א׳ ש׳5.1, אך שם היא מנוסחת דרך מטריצה מייצגת ולא כחישוב $T^{-1}$ ישיר.
שאלה 4	$\Delta$ ליניארית וגם מולטי־ליניארית ⟹ $\Delta\equiv0$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025א׳ ש׳3.1 מילה במילה (13 נקודות), ומשלימה את 2025סימולציה ש׳1.1 (הוכחת מולטי־ליניאריות של $\det$ ).
שאלה 5(א)	אי־קיום ה״ל בגלל תלות ליניארית בתחום	קריטי למבחן	טיפוס "הוכח שקיימת/לא קיימת ה״ל" הופיע ב-2022א׳ ש׳4.1, ב-2022ב׳ ש׳5.2 וב-2024א׳ ש׳5.1.3.
שאלה 5(ב)	פורשים + תמונות בת״ל ⟹ $T$ הפיכה	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022ב׳ ש׳6.1 (7 נק׳) ובגרסת הכיוון ההפוך ב-2024סימולציה ש׳1.1 (15 נק׳).
שאלה 5(ג)	ת״ל ⟹ התמונות ת״ל	חשוב להבנה	הלמה המשלימה ל-2024ב׳ ש׳1.1, אך היא עצמה לא נשאלה בשום מבחן.
שאלה 6(א)	בת״ל של מסלול תחת אופרטור מעל $\mathbb{R}$	חשוב להבנה	טכניקת "הפעל $T$ על צירוף מתאפס וחסר" חשובה מאוד, אך הפורמט הזה לא הופיע במבחנים.
שאלה 6(ב)	דוגמה נגדית מעל $\mathbb{Z}_2$	בסיס	תרגול יסוד בכך שתלות במאפיין השדה שוברת את הטיעון.
שאלה נוספת 1	$\dim\mathrm{Im}T\le1$ ⟹ $T\circ T=\alpha T$	חשוב להבנה	תרגיל יפה בממד תמונה, אבל אין לו אנלוג באף מבחן.

שאלה	נושא	רמה	למה
שאלה 1	שחזור נוסחת $T$ מערכיה על בסיס	קריטי למבחן	הופיעה ב-2021ב׳ ש׳3a (מציאת $T\binom{x}{y}$ מתוך הנתונים על בסיס) ובגרסה של מטריצה מייצגת ב-2024א׳ ש׳5.1.
שאלה 2	אופרטור עם $\ker T=\mathrm{SYM}$ ו- $\mathrm{Im}T=\mathrm{ASYM}$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022א׳ ש׳3 (האופרטור $S(A)=2A^t+A$ ופירוק $M_n=\mathrm{SYM}\oplus\mathrm{ASYM}$ ), 20 נקודות.
שאלה 3	$T\circ T=T$ ⟹ $V=\ker T\oplus\mathrm{Im}T$	חשוב להבנה	התבנית הסטנדרטית לסכום ישר (חיתוך טריוויאלי + ספירת ממדים), אך הטענה הזו עצמה לא נשאלה באף מבחן.
שאלה 4	$T(v_i)$ בת״ל ו- $T^2(v_i)$ ת״ל ⟹ $\dim V\ge3$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2024סימולציה ש׳5.1.2 מילה במילה.
שאלה 5(א)	קיום $T:\mathbb{R}^9\to\mathbb{R}^4$ עם $\dim\ker T\le\dim\mathrm{Im}T$	קריטי למבחן	טיעון ספירת ממדים בשאלת נכון/לא נכון הופיע ב-2024ב׳ ש׳3.2, ב-2024סימולציה ש׳3.2 וב-2021א׳ ש׳3c.
שאלה 5(ב)	איזומורפיזם $\mathrm{SYM}_2\cong\mathbb{F}_2[x]$	חשוב להבנה	מחזקת את " $V\cong W$ ⟺ אותו ממד", אך שאלת איזומורפיזם בין שני מרחבים מופשטים לא הופיעה במבחנים.
שאלה 5(ג)	קיום $S$ עם $(S\circ T)(\vec e_3)=\vec e_2$ , $(S\circ T)(\vec e_2)=\vec e_3$	קריטי למבחן	טכניקת "השלם קבוצה בת״ל לבסיס והגדר $S$ עליו" היא בדיוק פתרון 2022ב׳ ש׳5.2 ו-2022א׳ ש׳4.1.
שאלה 5(ד)	קיום $S$ עם ערכים נתונים ל- $T\circ S$	חשוב להבנה	מלמדת לבדוק שייכות ל- $\mathrm{Im}T$ לפני שבונים, אך הכיוון הזה של ההרכבה לא נשאל במבחן.
שאלה 6(א)	$\vec y^{\,t}\vec y=0\Rightarrow\vec y=\vec0$	בסיס	עובדת יסוד שממנה נובעת החיוביות בכל מכפלה פנימית סטנדרטית.
שאלה 6(ב)	$\mathrm{Null}(A^tA)=\mathrm{Null}A$	קריטי למבחן	אותו טיעון $\\|A\vec x\\|^2=\vec x^tA^tA\vec x$ הוא לב הפתרון של 2023ב׳ ש׳2b ושל 2024סימולציה ש׳5.2.
שאלה 6(ג)	$\mathrm{rank}(A^tA)=\mathrm{rank}A$	חשוב להבנה	מסקנה ישירה ממשפט הממדים, ומזינה את הריבועים הפחותים במטלה 12 — אך לא נשאלה במבחן.
שאלה נוספת 1	קיום $S$ עם $(S\circ T)(\vec e_1)=\vec e_2$ , $(S\circ T)(\vec e_2)=\vec e_1$	חשוב להבנה	וריאציה של שאלה 5(ג) עם אותה טכניקה בדיוק; כתרגול היא כפילות ולא תוספת.
שאלה נוספת 2(א)	אופרטור הנגזרת על $\mathbb{R}[x]$ — על	בסיס	חישוב ישיר של פרימיטיבית פולינומיאלית; יסוד לסעיף (ג).
שאלה נוספת 2(ב)	אופרטור הנגזרת — לא חח״ע	בסיס	$T(1)=0$ ותו לא — תרגול יסוד.
שאלה נוספת 2(ג)	$\mathbb{R}[x]$ אינו נוצר סופית	חשוב להבנה	מבליטה שהשקילות "חח״ע ⟺ על" דורשת ממד סופי — מלכודת מבחן ידועה, אבל שאלה על ממד אינסופי לא הופיעה.

שאלה	נושא	רמה	למה
שאלה 1(א)	שחזור $S$ מתוך $[S]^E_B$ מעל $\mathbb{Z}_5$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2021ב׳ ש׳3a וב-2022א׳ ש׳5.2 (מטריצה מייצגת מעל $\mathbb{Z}_3$ ), וב-2024א׳ ש׳5.1.
שאלה 1(ב)	חישוב מטריצה מייצגת $[T]^E_B$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2021ב׳ ש׳4b וב-2024ב׳ ש׳3.1(4); חישוב מטריצה מייצגת הוא שלב חובה גם ב-2023ב׳ ש׳3b.
שאלה 1(ג)	הפיכות ו- $[T^{-1}]^B_E$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022א׳ ש׳5.1 (הוכח: $T$ איזומורפיזם ⟹ $[T]^C_B$ הפיכה), 7 נקודות.
שאלה 2(א)	שימוש במטריצת מעבר לחישוב $[w]_{\mathcal A}$	בסיס	הכפלה ישירה — תרגול יסוד בהגדרת מטריצת המעבר.
שאלה 2(ב)	ליניאריות הקואורדינטות	בסיס	$[v+w]_{\mathcal A}=[v]_{\mathcal A}+[w]_{\mathcal A}$ — יסוד.
שאלה 3(א)	חילוץ $[\mathrm{id}]^{\mathcal B}_{\mathcal A}$ מתוך $[T]^{\mathcal A}_{\mathcal A}$ ו- $[T]^{\mathcal B}_{\mathcal A}$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025סימולציה ש׳5.2 עם אותן מטריצות בדיוק ( $\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}3&2\\-1&4\end{pmatrix}$ ).
שאלה 3(ב)	חישוב $[T]^{\mathcal B}_{\mathcal B}$	קריטי למבחן	אותו סעיף בדיוק של 2025סימולציה ש׳5.2, וגם הבסיס ל-2024א׳ ש׳5.1(2).
שאלה 4	זהות מטריצות מייצגות ⟹ $S\circ T=T\circ S$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025א׳ ש׳2.2 (מטריצות מייצגות מתחלפות ⟹ האופרטורים מתחלפים), 10 נקודות.
שאלה 5	$\mathcal B=(T(v_1),\dots,T(v_n))$ בסיס ⟹ $[T]^{\mathcal A}_{\mathcal A}=[T]^{\mathcal B}_{\mathcal B}$	חשוב להבנה	תרגיל מצוין בהבנת ההגדרה, אך הזהות הזו לא נשאלה באף מבחן.
שאלה 6(א)	דמיון של $\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ ו- $\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022ב׳ ש׳2.1 (שתי מטריצות $2\times2$ עם אותם עקבה ודטרמיננטה ⟹ דומות).
שאלה 6(ב)	דמיון של שתי מטריצות מרוכבות	קריטי למבחן	אותו קריטריון עקבה/דטרמיננטה של 2022ב׳ ש׳2.1, כאן מעל $\mathbb{C}$ .
שאלה 6(ג)	$W=\{A:A,K$ אינן דומות $\}$ תת־מרחב?	חשוב להבנה	מחדדת שדמיון אינה תכונה "ליניארית", אך שאלה בסגנון הזה לא הופיעה במבחנים.
שאלה 6(ד)	$\begin{pmatrix}0&\alpha\\0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&0\\\beta&0\end{pmatrix}$	חשוב להבנה	הפתרון (החלפת סדר הבסיס) מזין את שאלה נוספת 2 של מטלה 6, אך המטריצות הנילפוטנטיות האלה לא נבדקו לדמיון במבחן.
שאלה נוספת 1	מטריצות מייצגות מתחלפות ⟹ אופרטורים מתחלפים	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025א׳ ש׳2.2 מילה במילה (10 נקודות).
שאלה נוספת 2(א)	חזקות של מטריצת סיבוב	בסיס	חישוב גיאומטרי ישיר; מכין את ההבנה של $T^n=\mathrm{id}$ .
שאלה נוספת 2(ב)	הגדרה טובה לפי משפט הקיום והיחידות	בסיס	ציטוט המשפט — יסוד לכל בניית העתקה.
שאלה נוספת 2(ג)	אופרטור התמורה המחזורית: $T^n=\mathrm{id}$ , $T^k\ne\mathrm{id}$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2021א׳ ש׳1 (אותו אופרטור $T(v_i)=v_{i+1}$ , $T(v_n)=v_1$ : $0$ אינו ע״ע, $1$ הוא ע״ע).
שאלה נוספת 2(ד)	מסקנה: $X^n=I_n$ , $X^k\ne I_n$	קריטי למבחן	חישוב חזקות של מטריצת ההזזה/תמורה הופיע ב-2024ב׳ ש׳3.1(4) (שם $K^n=0$ , $K^{n-1}\ne0$ ).

שאלה	נושא	רמה	למה
שאלה 1(א)	$A\sim B$ ⟹ $A+B\sim A-B$ ?	חשוב להבנה	מלמדת שדמיון אינו נשמר תחת פעולות בין שתי המטריצות, אך הטענה עצמה לא הופיעה במבחן.
שאלה 1(ב)	שוויון פיתוחי דטרמיננטה של מטריצות דומות	קריטי למבחן	זהו בדיוק "מטריצות דומות ⟹ אותה דטרמיננטה" שנדרשה בהוכחה ב-2022א׳ ש׳2.1, בשילוב פיתוח לפי שורה/עמודה.
שאלה 1(ג)	$\mathrm{trace}(A^2)=\mathrm{trace}(B^2)$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025א׳ ש׳5.2 (לכסינה עם $\mathrm{tr}(A^2)=0$ ⟹ $A=0_n$ ) וב-2023ב׳ ש׳1b (עקבה ואינווריאנטיות דמיון).
שאלה 1(ד)	$\mathrm{Null}A=\mathrm{Null}B$ ?	קריטי למבחן	הופיעה ב-2023ב׳ ש׳4a — דמיון מעביר מרחבים עצמיים דרך $P^{-1}$ ולכן שומר רק על הממד, לא על המרחב עצמו.
שאלה 1(ה)	$\mathrm{adj}(A)\sim\mathrm{adj}(B)$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025סימולציה ש׳3.2 מילה במילה (12 נקודות).
שאלה 2	לאילו $a,b$ שתי המטריצות דומות	קריטי למבחן	שילוב פרמטר עם קריטריון עקבה/דטרמיננטה — 2022ב׳ ש׳2.1 ו-2022ב׳ ש׳1.2 (לכסינות עם פרמטר).
שאלה 3(א)	$A$ הפיכה ⟹ $AB\sim BA$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2024סימולציה ש׳1.2 ( $A$ הפיכה ⟹ $\det(I-AB)=\det(I-BA)$ ) והיא הבסיס ל-2025ב׳ ש׳3.1.
שאלה 3(ב)	דוגמה נגדית כש- $A$ אינה הפיכה	קריטי למבחן	הדוגמה הנגדית הרשמית של 2023א׳ ש׳2a-ii היא בדיוק זו ( $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ ).
שאלה 4	אין $\mathcal D$ שעבורו $[T]^{\mathcal B}_{\mathcal D}$ ו- $[T]^{\mathcal A}_{\mathcal D}$ דומות	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025סימולציה ש׳5.2 מילה במילה, כולל אותן שתי מטריצות (10 נקודות).

שאלה	נושא	רמה	למה
שאלה 1(א)	לכסון $\begin{pmatrix}i&i\\i&i\end{pmatrix}$	קריטי למבחן	שאלת לכסון של מטריצה קונקרטית הופיעה בכל מבחן מ-2022 והלאה; הגרסה $2\times2$ ב-2024ב׳ ש׳4.1 וב-2022א׳ ש׳1.2.
שאלה 1(ב)	אי־לכסינות של $\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}$	קריטי למבחן	בלוק ז׳ורדן — בדיוק המצב $GM<AM$ שנדרש ב-2025א׳ ש׳4.1 וב-2025ב׳ ש׳5.1, וגם הדוגמה הנגדית ב-2021ב׳ ש׳1b.
שאלה 1(ג)	לכסון $\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}$	קריטי למבחן	מטריצה סימטרית עם שני ע״ע שונים — אותו טיפוס של 2024ב׳ ש׳4.1(1) ו-2021א׳ ש׳5a.
שאלה 1(ד)	לכסון מטריצת $3\times3$	קריטי למבחן	זו השאלה הכי צפויה במבחן: 2024א׳ ש׳4.1, 2024סימולציה ש׳4.1, 2025א׳ ש׳4.1, 2025ב׳ ש׳5.1, 2025סימולציה ש׳5.1.
שאלה 2	חישוב $A^{100}$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022ב׳ ש׳2.2 ( $A^{2022}$ ) וב-2024ב׳ ש׳4.1(2) ( $A^{2024}\binom{3}{-1}$ ).
שאלה 3(א)i	בניית מטריצה עם פולינום אופייני נתון (מטריצה מלווה)	קריטי למבחן	הופיעה ב-2023א׳ ש׳5b (מטריצת מלווה $6\times6$ עם $p_A(\lambda)=\lambda^6-k$ ), 13 נקודות.
שאלה 3(א)ii	אי־לכסינות ב- $M_3(\mathbb{Z}_5)$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025ב׳ ש׳2.2 (ב- $\mathbb{Z}_7$ : אין ע״ע כלל ⟹ לא לכסינה) וב-2022א׳ ש׳5.2 (מעל $\mathbb{Z}_3$ ).
שאלה 3(ב)	מעלת $\det(A(x))$ עבור $A(x)\in M_n(\mathbb{F}_2[x])$	קריטי למבחן	אותה אינדוקציה על פיתוח לפי שורה כמו 2024סימולציה ש׳3.1(1) ( $\det A\in\mathbb{Z}$ עבור $A\in M_n(\mathbb{Z})$ ).
שאלה 4(א)	$(\lambda,\vec v)$ זוג עצמי של $AB$ ⟹ $(\lambda,B\vec v)$ של $BA$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025ב׳ ש׳3.1(1) וב-2025סימולציה ש׳3.1 — מילה במילה, וכן ב-2024א׳ ש׳3.1(2).
שאלה 4(ב)	ל- $AB$ ול- $BA$ אותם ערכים עצמיים	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025ב׳ ש׳3.1(2), ב-2025סימולציה ש׳3.1 וב-2024א׳ ש׳3.1(1)+(3).
שאלה 5(א)	$\lambda$ ע״ע של $A$ ⟺ ע״ע של $A^t$	חשוב להבנה	עובדה שימושית (נובעת מ- $\det(A^t)=\det A$ ), אך לא נשאלה בשום מבחן.
שאלה 5(ב)	ו״ע שמאליים מול ימניים	חשוב להבנה	מרחיבה את התמונה על $A$ מול $A^t$ , אך ו״ע שמאליים לא הופיעו באף מבחן.
שאלה 5(ג)	שורות $P^{-1}$ כבסיס של ו״ע שמאליים	חשוב להבנה	תובנה יפה על מבנה הלכסון, שלא נבדקה מעולם במבחן.
שאלה 6(א)	$A$ סינגולרית ⟺ $0$ ע״ע	קריטי למבחן	זהו הצעד הראשון בפתרון של 2023א׳ ש׳2a-i ושל 2024א׳ ש׳3.1(1).
שאלה 6(ב)	$\lambda$ ע״ע של $A$ ⟹ $\lambda^2$ ע״ע של $A^2$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2023ב׳ ש׳5a-i ( $p(\lambda)$ ע״ע של $p(A)$ ) ומשמשת ב-2025סימולציה ש׳4.2.
שאלה 6(ג)	הכיוון ההפוך — $\lambda^2$ ע״ע של $A^2$	קריטי למבחן	המלכודת המפורשת בפתרון 2023ב׳ ש׳5a ובטיעון של 2025סימולציה ש׳4.2 ("ההפך לא בהכרח").
שאלה 6(ד)	סכום שתי לכסינות לכסין?	קריטי למבחן	הופיעה ב-2021ב׳ ש׳1b מילה במילה, עם הדוגמה הנגדית $\mathrm{diag}(1,2)+\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$ .
שאלה 6(ה)i	$\lambda=1$ ע״ע יחיד ו- $A^2=I$ ⟹ $A=I$ (שדה כללי)	חשוב להבנה	חושפת את תלות הטיעון במאפיין השדה, אך הטענה הזו לא נשאלה במבחן.
שאלה 6(ה)ii	אותה טענה כאשר $1\ne-1$	חשוב להבנה	משלימה את (ה)i; חשובה להבנת התנאי, אך אין לה אנלוג במבחנים.
שאלה נוספת 1(א)	לכסון $\begin{pmatrix}1&3\\-1&5\end{pmatrix}$ מעל $\mathbb{Z}_7$	קריטי למבחן	שילוב לכסון קונקרטי עם שדה סופי — 2022א׳ ש׳5.2 ( $\mathbb{Z}_3$ ), 2025א׳ ש׳1.2 ו-2025ב׳ ש׳2.2 ( $\mathbb{Z}_7$ ).
שאלה נוספת 1(ב)	חישוב $A^{100}\binom{1}{0}$ מעל $\mathbb{Z}_7$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2024ב׳ ש׳4.1(2) — פירוק הווקטור לצירוף ו״ע ואז $A^n\vec b=\sum c_i\lambda_i^n\vec v_i$ .
שאלה נוספת 2(א)	החלפת שתי שורות ושתי עמודות נותנת מטריצה דומה	קריטי למבחן	זהו בדיוק "אותו אופרטור בשני בסיסים ⟹ דמיון" שנדרש בהוכחה ב-2024ב׳ ש׳2.1 וב-2025ב׳ ש׳1.1 (15 נק׳ כל אחת).
שאלה נוספת 2(ב)	בחירת שם למשפט	בסיס	סעיף הומוריסטי ללא תוכן מתמטי.
שאלה נוספת 3(א)	$[B]_{11}=\alpha$ לכל $B$ דומה ⟹ $A=\alpha I_2$	חשוב להבנה	מעמיקה את "מחלקת דמיון יחידונית = מטריצה סקלרית", אך שאלה כזו לא הופיעה במבחנים.
שאלה נוספת 3(ב)	מסקנה: מחלקת דמיון יחידונית	חשוב להבנה	מסקנה ישירה מ-(א); שימושית להפרכות, אך ללא אנלוג במבחן.
שאלה נוספת 4	$A^2=3I_n$ ב- $\mathbb{Z}_7$ ⟹ אינה לכסינה	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025ב׳ ש׳2.2 מילה במילה (10 נקודות).

שאלה	נושא	רמה	למה
שאלה 1(א)	לכסון מעל $\mathbb{Z}_7$	קריטי למבחן	לכסון קונקרטי בשדה סופי — 2022א׳ ש׳5.2 ( $\mathbb{Z}_3$ ) ו-2025ב׳ ש׳2.2 ( $\mathbb{Z}_7$ ); הטריק " $\lambda_1+\lambda_2=\mathrm{tr}$ , $\lambda_1\lambda_2=\det$ " חוזר ב-2022ב׳ ש׳2.1.
שאלה 1(ב)	$A^{100}\binom{1}{0}$ מעל $\mathbb{Z}_7$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2024ב׳ ש׳4.1(2) ( $A^{2024}\binom{3}{-1}$ ) וב-2022ב׳ ש׳2.2 ( $A^{2022}$ ).
שאלה 2(א)	מציאת $P,D$ למטריצה סימטרית $3\times3$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022א׳ ש׳1.2 (מצא $D,P$ ) וב-2024ב׳ ש׳4.1(1) (לכסון אורתוגונלי), וכן ב-2021א׳ ש׳5a.
שאלה 2(ב)	חישוב $\mathrm{trace}(A^{10})$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025א׳ ש׳5.2 ( $\mathrm{tr}(A^2)$ למטריצה לכסינה) וב-2023ב׳ ש׳2a ( $p_{A^3}$ מתוך $p_A$ ).
שאלה 3	סדרת פֶּל — נוסחה סגורה בעזרת לכסון	חשוב להבנה	היישום היפה ביותר של לכסון, אך אף מבחן מ-2021 ואילך לא כלל שאלת נסיגה/פיבונאצ׳י.
שאלה 4(א)	$K$ מתחלפת עם $D$ בעלת אלכסון שונה ⟹ $K$ אלכסונית	חשוב להבנה	הלמה שמאחורי לכסון סימולטני; 2023ב׳ ש׳5b עוסק בכיוון ההפוך בלבד, ולכן אין לה אנלוג ישיר.
שאלה 4(ב)	$A$ בעלת $n$ ע״ע שונים ומתחלפת עם $B$ ⟹ $B$ לכסינה	חשוב להבנה	מסקנה יפה מ-(א); קומוטטיביות הופיעה במבחנים (2022ב׳ ש׳5.1, 2025א׳ ש׳2.2) אך לא בגרסה הזו.
שאלה 5	לאילו $a\in\mathbb{C}$ המטריצה לכסינה	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022ב׳ ש׳1.2 (לכסינות עם פרמטר וחלוקה למקרים) וב-2022א׳ ש׳5.2.
שאלה 6	הוכחת אי־לכסינות של מטריצה עם פרמטרים	קריטי למבחן	אותו טיעון $GM(\lambda)<AM(\lambda)$ שנדרש ב-2025א׳ ש׳4.1, ב-2025ב׳ ש׳5.1 וב-2024סימולציה ש׳4.1.

שאלה	נושא	רמה	למה
שאלה 1	$p_A(\lambda)=\lambda^n-\lambda$ ⟹ $\mathrm{rank}(A)$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2024א׳ ש׳5.2 מילה במילה (8 נקודות).
שאלה 2	הסקת $\mathrm{trace}(A^2)$ מדרגה ומחלק של $p_A$	קריטי למבחן	אותה טכניקה של 2025א׳ ש׳5.2 ( $\mathrm{tr}(A^2)=\sum\lambda_i^2$ ) ושל 2023ב׳ ש׳1b-i (הסקת ע״ע מדרגה ומעקבה).
שאלה 3	מציאת מטריצה אלכסונית דומה מתוך דרגות ודטרמיננטה	קריטי למבחן	הופיעה ב-2023ב׳ ש׳1b (הסקת ע״ע וריבויים מנתוני $\det$ , $\mathrm{tr}$ ודרגה), 15 נקודות.
שאלה 4	$A^{-1}=aI+bA+cA^2$ לפי קיילי־המילטון	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022ב׳ ש׳6.2 (מ- $p_A$ מבודדים $A\cdot(\ldots)=cI$ ומסיקים הפיכות) וב-2025א׳ ש׳4.2.
שאלה נוספת 1(א)	$\mathrm{rank}(\vec x\vec y^{\,t})=1$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022א׳ ש׳2.2 ( $A$ לכסינה עם $\mathrm{rank}(A)=1$ ) וב-2021א׳ ש׳4 ( $A=uu^T$ ).
שאלה נוספת 1(ב)	$\vec x^{\,t}\vec y\ne0$ ⟹ $\vec x\vec y^{\,t}$ לכסינה	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022א׳ ש׳2.2 (ריבוי גיאומטרי $n-1$ ל- $0$ ו- $\mathrm{Tr}(A)\ne0$ ) וב-2021א׳ ש׳4b.
שאלה נוספת 1(ג)	$A\sim B$ ⟹ $A+I_n\sim B+I_n$	בסיס	שורה אחת מהגדרת הדמיון — יסוד.
שאלה נוספת 1(ד)	$\det(I_n+\vec x\vec y^{\,t})=1+\vec x^{\,t}\vec y$	חשוב להבנה	מסקנה אלגנטית משלושת הסעיפים הקודמים, אך הזהות הזו לא הופיעה באף מבחן.

שאלה	נושא	רמה	למה
שאלה 1(א)	$\alpha$ ע״ע יחיד ⟹ $(\alpha I_n-A)^n=0_n$	קריטי למבחן	זהו הצעד המרכזי בפתרון 2025סימולציה ש׳4.2 ובטיעון של 2025א׳ ש׳4.2 (קיילי־המילטון על $p_A=(\lambda-\alpha)^n$ ).
שאלה 1(ב)	אין $A\in M_3(\mathbb{C})$ עם $A^3=N$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025סימולציה ש׳4.2 מילה במילה, כולל אותה מטריצה $\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ (12 נקודות).
שאלה 2(א)	לכסינות $T(x,y)=(2x,3y)$	בסיס	האופרטור כבר אלכסוני בבסיס הסטנדרטי — תרגול יסוד בהגדרה.
שאלה 2(ב)	לכסינות $T(x,y)=(y,x)$ מעל $\mathbb{C}$	בסיס	שני ע״ע שונים $\pm1$ ⟹ לכסינה מיידית; דריל לקריטריון המהיר.
שאלה 2(ג)	לכסינות $T(x,y,z)=(x-y,\,y+z,\,0)$	קריטי למבחן	אופרטור $3\times3$ שאינו לכסין — הופיע ב-2021ב׳ ש׳5a ( $p_T=-\lambda(\lambda+1)^2$ ) ובכל שאלות הלכסון של 2024–2025 (למשל 2025א׳ ש׳4.1).
שאלה 3	$T$ לכסין ו- $T^4=T$ ⟹ $T^2=T$	קריטי למבחן	אותו מסלול של 2023א׳ ש׳4b-iii ( $T$ לכסינה ⟹ $T\equiv0$ ) ושל 2025א׳ ש׳5.2 — לכסן, לעבוד על הע״ע, לחזור.
שאלה 4	$T$ נילפוטנטי + $U\oplus\ker T=V$ ⟹ $T=0$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2021א׳ ש׳6b באותו מבנה (תת־מרחב שמור + סכום ישר ⟹ הכלה בגרעין), ומשלימה את 2024ב׳ ש׳3.1 על נילפוטנטיות.
שאלה 5(א)	דוגמה ל- $W$ שמור תחת $T$ אך לא תחת $T^{-1}$	קריטי למבחן	הצד ההפוך של 2025ב׳ ש׳3.2 — הדוגמה מראה בדיוק היכן ההנחה " $T$ הפיכה" נחוצה.
שאלה 5(ב)	$T$ הפיכה ⟹ $W$ שמור תחת $T^{-1}$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025ב׳ ש׳3.2 מילה במילה (12 נקודות).
שאלה 6	כל $v\ne0_V$ ו״ע ⟹ $T=\lambda\cdot\mathrm{id}$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025א׳ ש׳3.2 מילה במילה (12 נקודות).
שאלה נוספת 1(א)	$[T]^E_E$ של $T(p)=p(x+1)-p(x)$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2021ב׳ ש׳4 (אותו אופרטור על $\mathbb{R}_4[x]$ ) וב-2023ב׳ ש׳3b ( $T(p)=p(x+1)$ על $\mathbb{R}_2[x]$ ).
שאלה נוספת 1(ב)	מסקנה: $p(x+3)-3p(x+2)+3p(x+1)-p(x)=0$	קריטי למבחן	נילפוטנטיות ( $T^3=0$ ) — הופיעה ב-2021ב׳ ש׳4b ( $n$ מינימלי עם $T^n=0$ ) וב-2024ב׳ ש׳3.1(3).
שאלה נוספת 1(ג)	$T$ אינה לכסינה	קריטי למבחן	אותו טיעון של 2023ב׳ ש׳3b (ע״ע יחיד ⟹ אילו הייתה לכסינה הייתה שווה לאופרטור סקלרי) ושל 2023א׳ ש׳2a-ii.

שאלה	נושא	רמה	למה
שאלה 1(א)	בדיקת אקסיומות — $x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+2x_2y_2$	קריטי למבחן	בדיקת אקסיומות מכפלה פנימית הופיעה ב-2023ב׳ ש׳2b, ב-2022ב׳ ש׳4 וב-2021א׳ ש׳6c.
שאלה 1(ב)	ביטוי לא־בילינארי ( $2y_1y_2$ )	בסיס	הפרכה מיידית של הליניאריות — תרגול יסוד באקסיומה הראשונה.
שאלה 1(ג)	בדיקת חיוביות — $3x_1y_1+\ldots$	קריטי למבחן	אותה בדיקת חיוביות שנדרשה ב-2023ב׳ ש׳2b וב-2022ב׳ ש׳4; הסעיף גם משמש להוכחת 4(ג).
שאלה 1(ד)	$\langle\vec x,\vec y\rangle=\vec y^{\,t}A^tA\vec x$ עבור $A$ הפיכה	קריטי למבחן	הופיעה ב-2023ב׳ ש׳2b מילה במילה (12 נקודות).
שאלה 1(ה)	תיקון שמפר את החיוביות	חשוב להבנה	מחדדת שהחיוביות היא האקסיומה השברירית, אך הווריאציה הזו לא הופיעה במבחן.
שאלה 2	זהות הקיטוב במרחב הרמיטי	קריטי למבחן	הופיעה ב-2024א׳ ש׳4.2 מילה במילה (12 נקודות).
שאלה 3(א)	$\sum_{i=1}^{2}p(i)q(i)$ על $\mathbb{R}_2[x]$	חשוב להבנה	מלמדת שאם יש פחות נקודות ממעלת הפולינום החיוביות נכשלת, אך מכפלה פנימית על מרחב פולינומים לא נבדקה במבחן.
שאלה 3(ב)	$\sum_{i=1}^{3}p(i)q(i)$ על $\mathbb{R}_2[x]$	חשוב להבנה	מזינה את גרם־שמידט של מטלה 12 ש׳1(ב), אך אין לה אנלוג במבחנים.
שאלה 4(א)	קושי־שוורץ: $x^2+xy+y^2\le\sqrt{(2x^2+y^2)(x^2+2y^2)}$	קריטי למבחן	קושי־שוורץ כאי־שוויון אלגברי הופיע ב-2024ב׳ ש׳4.2, ב-2024סימולציה ש׳4.3, ב-2025א׳ ש׳5.1 וב-2025ב׳ ש׳4.2.
שאלה 4(ב)	$\|2a+3b+4c\|\le6\sqrt{a^2+b^2+c^2}$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2024ב׳ ש׳4.2 באותו מבנה בדיוק ( $(x+2y+3z)^2\le14(x^2+y^2+z^2)$ ).
שאלה 4(ג)	אי־שוויון עם מקרה שוויון ⟺ $a=b$	קריטי למבחן	מקרה השוויון בקושי־שוורץ נדרש ב-2024א׳ ש׳1.1 (הוכחה + מקרה השוויון) וב-2025א׳ ש׳5.1.
שאלה 4(ד)	$(x_1+\cdots+x_{2n})^2\le(\ldots)(\ldots)$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2024סימולציה ש׳4.3 ( $(x_1+\cdots+x_n)^2\le n\sum x_i^2$ ) — אותה בחירת וקטורים בדיוק.
שאלה 5	ת״ל ⟺ $\langle u,v_1\rangle\\|v_2\\|^2=\langle u,v_2\rangle\langle v_2,v_1\rangle$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025סימולציה ש׳2.2 מילה במילה (10 נקודות).
שאלה 6	וקטורי יחידה: $\|\langle u,v\rangle\|<1-\epsilon$ ⟹ $\\|u-v\\|>\sqrt{2\epsilon}$	קריטי למבחן	אותו טיפוס אומדן נורמה של 2025ב׳ ש׳1.2 ( $\\|u\\|=2$ , $\\|v\\|=1$ ⟹ $\\|u+v\\|\cdot\\|u-v\\|\ge3$ ).

שאלה	נושא	רמה	למה
שאלה 1(א)	$\\|u\\|=\\|v\\|$ ⟹ $u+v\perp u-v$ במרחב אוקלידי	קריטי למבחן	אותו פיתוח של $\\|u\pm v\\|^2$ שהוא כל הפתרון של 2025ב׳ ש׳1.2.
שאלה 1(ב)	הפרכה במרחב הרמיטי	קריטי למבחן	מלכודת הצמידה ברכיב השני — בדיוק מה שנבחן ב-2024ב׳ ש׳5.2 וב-2024א׳ ש׳4.2.
שאלה 2	$u+v,\,v+w,\,w+u$ אורתוגונליים ⟹ $\\|u\\|=\\|v\\|=\\|w\\|$	חשוב להבנה	תרגול מצוין במניפולציה של מכפלות פנימיות, אך התרגיל הזה לא הופיע באף מבחן.
שאלה 3(א)	$\mathrm{Re}(\alpha)=\|\alpha\|\Rightarrow\alpha\ge0$	קריטי למבחן	זהו הליבה של מקרה השוויון באי־שוויון המשולש, שהוכחתו נדרשה ב-2023א׳ ש׳1a-ii (13 נקודות).
שאלה 3(ב)	$\\|u+v\\|=\\|u\\|+\\|v\\|$ ⟺ $u=\alpha v$ , $\alpha\ge0$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2023א׳ ש׳1a (אי־שוויון המשולש) וב-2024א׳ ש׳1.1 (קושי־שוורץ + מקרה השוויון ⟺ תלות ליניארית).
שאלה 4(א)	שני שוויוני קושי־שוורץ בו־זמנית ⟹ $x=y=0$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2025א׳ ש׳5.1 מילה במילה (12 נקודות).
שאלה 4(ב)	$\|\langle u,w\rangle\|=\\|u\\|\\|w\\|$ לכל $u$ ⟹ $w=0_V$	קריטי למבחן	אותו מהלך של מקרה השוויון שנדרש ב-2025א׳ ש׳5.1 וב-2024א׳ ש׳1.1.
שאלה 4(ג)	$\mathrm{Proj}_{\vec u_1,\vec u_2}$ לכסינה	חשוב להבנה	מחברת בין $\mathrm{Proj}^2=\mathrm{Proj}$ ללכסינות, אך לכסינות של אופרטור היטל לא נשאלה במבחן.
שאלה 4(ד)	הזווית בין מטריצת סיבוב ל- $I_2$	חשוב להבנה	משתמשת במכפלה $\langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(B^tA)$ שהופיעה ב-2021ב׳ ש׳2b, אך חישוב זווית עצמו לא נדרש באף מבחן.
שאלה 4(ה)	קיום $\vec v$ עם זוויות $\theta_i=\frac{i\pi}{4}$	חשוב להבנה	תרגיל יפה על אילוצי זוויות, ללא אנלוג באף מבחן.
שאלה 4(ו)	סימטרית ואנטי־סימטרית אורתוגונליות	חשוב להבנה	החידוד האורתוגונלי של הפירוק $M_n=\mathrm{SYM}\oplus\mathrm{ASYM}$ (2022א׳ ש׳3), אך האורתוגונליות עצמה לא נבדקה במבחן.
שאלה 4(ז)	$A_0=\frac{A+A^t}{2}$ הסימטרית הקרובה ביותר	קריטי למבחן	זהו משפט "ההיטל הוא הווקטור הקרוב ביותר" שנבחן ב-2021א׳ ש׳5c (הווקטור הקרוב ביותר ל- $(1,2,3)^T$ ב- $\mathrm{Row}\,A$ ).

שאלה	נושא	רמה	למה
שאלה 1(א)	גרם־שמידט ב- $\mathbb{R}^4$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022א׳ ש׳6.2, ב-2022ב׳ ש׳3.2 (גרסה מרוכבת) וב-2023א׳ ש׳5a.
שאלה 1(ב)	גרם־שמידט על $\mathbb{R}_2[x]$ עם $\sum p(i)q(i)$	חשוב להבנה	מרחיבה את התהליך למרחב מופשט, אך כל שאלות גרם־שמידט במבחנים היו ב- $\mathbb{R}^n$ או ב- $\mathbb{C}^n$ .
שאלה 2(א)	לכסון אורתוגונלי של מטריצה סימטרית $3\times3$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2021א׳ ש׳5a וב-2024ב׳ ש׳4.1(1) ( $D=U^tAU$ עם $U$ אורתוגונלית).
שאלה 2(ב)i	מטריצה אורתוגונלית $O$ עבור $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2024ב׳ ש׳4.1(1) עם אותו מבנה בדיוק (מטריצה סימטרית $2\times2$ , נרמול הו״ע).
שאלה 2(ב)ii	הפרכת קיום $\vec v$ עם $\langle A\vec v,\vec v\rangle<0$	קריטי למבחן	התנאי $\langle T(v),v\rangle$ נבחן ב-2023א׳ ש׳4b, ב-2024ב׳ ש׳5.1 וב-2021א׳ ש׳6a (הגרסה החיובית).
שאלה 3(א)	בסיס אורתונורמלי ל- $\{x-2y+2z=0\}$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022א׳ ש׳6.2 עם המישור $x+2y+2z=0$ — אותה שאלה כמעט מילה במילה.
שאלה 3(ב)	חישוב $\mathrm{Proj}_{W^\perp}(\vec x)$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022ב׳ ש׳3.2 (הטלה אורתוגונלית) וב-2023א׳ ש׳5a-ii (בסיס ל- $U^\perp$ ).
שאלה 3(ג)	המטריצה המייצגת $[\mathrm{Proj}_W]^E_E$	חשוב להבנה	מחברת מטריצה מייצגת עם היטל, אך חישוב מטריצת ההיטל לא נדרש באף מבחן.
שאלה 3(ד)	מרחק של וקטור מ- $W$	קריטי למבחן	הופיעה ב-2021א׳ ש׳5c (הווקטור הקרוב ביותר ל- $(1,2,3)^T$ ב- $\mathrm{Row}\,A$ ).
שאלה 4(א)	$\mathrm{Proj}_W^2=\mathrm{Proj}_W$	חשוב להבנה	תכונת היסוד של ההיטל שמזינה את מטלה 3 ש׳3, אך לא נשאלה במבחן.
שאלה 4(ב)	$\mathrm{Im}\,\mathrm{Proj}_W=W$	חשוב להבנה	משלימה את התמונה על אופרטור ההיטל; אין לה אנלוג במבחנים.
שאלה 4(ג)	$\ker\mathrm{Proj}_W=W^\perp$	חשוב להבנה	מסבירה מדוע $V=W\oplus W^\perp$ ; המשלים האורתוגונלי נבחן (2022ב׳ ש׳3.1) אך לא דרך הגרעין של ההיטל.
שאלה 4(ד)	$\langle\mathrm{Proj}_W(u),v\rangle=\langle u,\mathrm{Proj}_W(v)\rangle$	חשוב להבנה	הסימטריות של ההיטל — תכונה יפה שלא נבדקה באף מבחן.
שאלה 5	מטריצת מעבר בין בסיסים אורתונורמליים היא אורתוגונלית	קריטי למבחן	הופיעה ב-2022ב׳ ש׳4 ( $B$ אורתונורמלי ⟹ $\langle u,w\rangle=[u]_B\cdot[w]_B$ ) וב-2021א׳ ש׳1c (שימור מכפלה ⟹ מטריצה אורתוגונלית).
שאלה 6	פתרון אופטימלי בריבועים פחותים	חשוב להבנה	הנושא האחרון בקורס והיישום המרכזי של ההיטל, אך ריבועים פחותים לא הופיעו באף אחד מ-12 המבחנים שנבדקו.

Top 10 — השאלות עם הסיכוי הגבוה ביותר להופיע

לפי תדירות ב-12 מבחני עבר, מוצלב עם שיעורי הבית של השנה

כל מועד מבוסס על מה שנלמד באותה שנה, ולכן שיעורי הבית של השנה הם המנבא הטוב ביותר. האחוזים הם הערכה מתדירות ההופעה בפועל — לא הבטחה.

הוכח משפט מההרצאות (סעיף של 13–18 נקודות שהפתרון הרשמי בו הוא "ראה הרצאות")

95%

2023א׳ ש׳1a (אי־שוויון המשולש)2024א׳ ש׳1.1 (קושי־שוורץ + מקרה השוויון)2024א׳ ש׳2.1 (משפט הממדים)2024ב׳ ש׳1.1 (קבוצה פורשת ⟹ תמונותיה פורשות)2024ב׳ ש׳2.1 ו-2025ב׳ ש׳1.1 (דמיון ⟺ אותו אופרטור בשני בסיסים)2024סימולציה ש׳1.1 ו-2024סימולציה ש׳2.12025א׳ ש׳1.1 ($GM\le AM$)2025א׳ ש׳2.1 ($A\cdot\mathrm{adj}(A)=\det A\cdot I_n$)2025ב׳ ש׳2.1 (כלל קרמר)2025סימולציה ש׳1.1 ו-2025סימולציה ש׳2.1מטלה 1 ש׳3מטלה 2 ש׳4מטלה 3 ש׳3מטלה 4 ש׳4מטלה 11 ש׳3

←לשנן בעל־פה את 19 המשפטים שנשאלו בפועל: אי־שוויון המשולש, קושי־שוורץ עם מקרה השוויון, משפט הממדים, $[T(v)]_B=[T]^A_B[v]_A$ , ו״ע של ע״ע שונים בת״ל, $GM(\alpha)\le AM(\alpha)$ , $A\cdot\mathrm{adj}(A)=\det A\cdot I$ , כלל קרמר, מולטי־ליניאריות של $\det$ , דמיון ⟺ אותו אופרטור, $U=(U^\perp)^\perp$ .
←בכל הוכחה לצטט במפורש כל משפט שמשתמשים בו ואת כל תנאיו (" $V$ נוצר סופית", " $A$ הפיכה").
←לכתוב כל הוכחה מהזיכרון על דף לפני המבחן — זה 15 נקודות ודאיות מתוך 100.
←ברוב המבחנים יש שתי הוכחות כאלה, אחת בשאלת מכפלה פנימית ואחת בשאלת דטרמיננטות/לכסון.

כתיבת "ידוע מההרצאה" במקום ההוכחה = אפס נקודות; ושכחת הכיוון השני במקרה השוויון של קושי־שוורץ מורידה כמחצית מהסעיף.

לכסון מטריצה קונקרטית $3\times3$ (או $2\times2$ ): ע״ע, ריבויים, ומסקנה על לכסינות

90%

2022א׳ ש׳1.22022ב׳ ש׳1.2 (עם פרמטר)2023ב׳ ש׳1b-ii2024א׳ ש׳4.12024סימולציה ש׳4.12025א׳ ש׳4.12025ב׳ ש׳5.12025סימולציה ש׳5.12021א׳ ש׳2c2021ב׳ ש׳5aמטלה 6 ש׳1מטלה 7 ש׳2מטלה 7 ש׳5מטלה 7 ש׳6מטלה 9 ש׳2

←לחשב $p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ עם פעולת שורה בתוך הדטרמיננטה כדי ליצור גורם משותף — הטריק שחוזר בכל הפתרונות הרשמיים.
←לכל ע״ע: $AM$ מהפירוק, ו- $GM=n-\mathrm{rank}(A-\lambda I)$ ע״י דירוג בפועל.
←הקריטריון: לכסינה ⟺ $p_A$ מתפרק לגורמים ליניאריים וגם $GM=AM$ לכל ע״ע ⟺ $\sum GM=n$ .
←קיצור דרך רשמי: שתי שורות בת״ל ב- $A-\lambda I$ ⟹ $\mathrm{rank}\ge2$ , וסינגולריות ⟹ $\mathrm{rank}=2$ ⟹ $GM=1$ .

להניח ש-

AM=2

גורר

GM=2

בלי לדרג. וכשמבקשים

P^{-1}AP=D

עם

D

נתונה — סדר עמודות

P

חייב להתאים לסדר האלכסון.

מטריצות מייצגות, מטריצות מעבר ודמיון — מציאת וקטור, בסיס, או הוכחה שאין בסיס כזה

78%

2024א׳ ש׳5.12025סימולציה ש׳5.22025א׳ ש׳2.22024ב׳ ש׳2.12025ב׳ ש׳1.12023ב׳ ש׳1a2023ב׳ ש׳4a2022א׳ ש׳52022ב׳ ש׳2.12021ב׳ ש׳3מטלה 4 ש׳1מטלה 4 ש׳3מטלה 4 ש׳6מטלה 4 נוספת 1מטלה 5 ש׳4

←העמודה ה- $j$ של $[T]^B_C$ היא $[T(b_j)]_C$ — לתרגם כל מטריצה מייצגת למשוואות מפורשות.
← $[T]^B_D=[\mathrm{id}]^C_D\cdot[T]^B_C$ (החלפת בסיס בטווח) ו- $[T]^B_C=[T]^A_C\cdot[\mathrm{id}]^B_A$ (בתחום).
←להוכחת "אין בסיס כזה": כל מטריצת מעבר הפיכה ⟹ המכפלה הפיכה; אם המטריצה הנתונה סינגולרית — סתירה. או דרך $\det$ ואינווריאנטיות הדמיון.
← $A\sim B$ ⟺ קיים אופרטור ובסיסים שבהם שתיהן מייצגות אותו — זהו גם המשפט שמבקשים להוכיח (2024ב׳, 2025ב׳).

בלבול בכיוון הסימון: בקורס הזה עליון = תחום ותחתון = טווח. וגם —

[T]^{\mathcal A}_{\mathcal A}

ו-

[T]^{\mathcal B}_{\mathcal B}

דומות, אבל

[T]^{\mathcal A}_{\mathcal B}

ו-

[T]^{\mathcal B}_{\mathcal A}

אינן.

משפט הממדים: הסקת חסמים על $\dim\ker$ , $\dim\mathrm{Im}$ ודרגה

72%

2024א׳ ש׳2.12024א׳ ש׳5.22024ב׳ ש׳3.12024ב׳ ש׳3.22024סימולציה ש׳3.22024סימולציה ש׳5.12022א׳ ש׳4.12022ב׳ ש׳6.12023א׳ ש׳3b2021א׳ ש׳3cמטלה 3 ש׳4מטלה 3 ש׳5מטלה 3 ש׳6מטלה 2 ש׳5מטלה 8 ש׳1

←לתרגם כל נתון לשפת הכלות: $S\circ T=0\Rightarrow\mathrm{Im}T\subseteq\ker S$ ; $T^2=0\Rightarrow\mathrm{Im}T\subseteq\ker T$ .
←להפעיל $\dim$ על ההכלה ולשלב עם $\dim V=\dim\ker T+\dim\mathrm{Im}T$ .
←מ- $p_A$ אפשר לקרוא דרגה: $AM(0)=1\Rightarrow GM(0)=1\Rightarrow\mathrm{rank}(A)=n-1$ (2024א׳ ש׳5.2).
←לבניית העתקה: להגדיר אותה על בסיס — לפי משפט הקיום והיחידות זה תמיד חוקי.

משפט הממדים הוא על

\dim V

— ממד התחום. והשקילות "חח״ע ⟺ על" תקפה רק לאופרטור על מרחב נוצר סופית.

הוכחת אי־שוויון אלגברי בעזרת קושי־שוורץ (כולל מקרה השוויון)

70%

2024א׳ ש׳1.12024ב׳ ש׳4.22024סימולציה ש׳4.32025א׳ ש׳5.12025ב׳ ש׳1.22025ב׳ ש׳4.2מטלה 10 ש׳4מטלה 10 ש׳6מטלה 11 ש׳3מטלה 11 ש׳4

←לזהות את האגף השמאלי כ- $\langle\vec x,\vec y\rangle^2$ — כל השאלה היא בחירת שני הווקטורים הנכונים.
←למקדמים לא נוחים: לפזר את השורש, $\frac{x^2}{2}$ מתקבל מ- $x=\frac{x}{\sqrt2}\cdot\sqrt2$ .
← $\vec y=(1,\dots,1)^t$ נותן מיד $(x_1+\cdots+x_n)^2\le n\sum x_i^2$ .
←אם נתון שוויון — המסקנה היא תלות ליניארית $\vec x=\alpha\vec y$ ; זה חלק מהמשפט שיש לצטט.

במרוכבים צריך את הצעד הנפרד

\mathrm{Re}^2\langle u,v\rangle\le|\langle u,v\rangle|^2

, ואסור לשכוח שהצמידה היא ברכיב השני.

זהויות דטרמיננטה ו- $\mathrm{adj}$ : חילוץ $\det(A)$ ממשוואה מטריציונית

65%

2023ב׳ ש׳5c2024א׳ ש׳3.22024ב׳ ש׳1.22024ב׳ ש׳2.22024סימולציה ש׳3.12025א׳ ש׳1.22025ב׳ ש׳5.22025סימולציה ש׳3.2מטלה 1 ש׳3מטלה 1 ש׳6מטלה 5 ש׳1(ה)מטלה 8 נוספת 1

←להחליף מיד $\mathrm{adj}(A)=\det(A)A^{-1}$ (תקף רק כש- $A$ הפיכה) ואז לעשות אלגברה של מטריצות הפיכות.
←ארגז הכלים: $\det(AB)=\det A\det B$ , $\det(A^t)=\det A$ , $\det(cA)=c^n\det A$ , $\det(\mathrm{adj}A)=\det(A)^{n-1}$ , $\mathrm{adj}(A)\mathrm{adj}(B)=\mathrm{adj}(BA)$ .
←להפעיל $\det$ על שני אגפי המשוואה הנתונה, ואז לפתור משוואה סקלרית ב- $\det(A)$ .
←בשדה סופי — לצמצם מודולו $p$ רק בסוף, ולהיעזר במשפט פרמה הקטן כשמופיעה חזקה $p-1$ .

\det(cA)=c^n\det(A)

ולא

c\det(A)

— הטעות מספר 1 (ב-2024ב׳ זה

3^6=729

). ו-

\mathrm{adj}(A)\mathrm{adj}(B)=\mathrm{adj}(BA)

עם היפוך סדר.

מכפלה פנימית: בדיקת אקסיומות והסקת $u=0_V$ מזהות נתונה

55%

2022ב׳ ש׳42023ב׳ ש׳2b2024א׳ ש׳4.22024ב׳ ש׳5.12024ב׳ ש׳5.22025סימולציה ש׳2.22021א׳ ש׳6c2021ב׳ ש׳2bמטלה 10 ש׳1מטלה 10 ש׳2מטלה 10 ש׳3מטלה 10 ש׳5

←שלוש האקסיומות בסדר: ליניאריות ברכיב הראשון, הרמיטיות $\langle y,x\rangle=\overline{\langle x,y\rangle}$ , וחיוביות עם $\langle x,x\rangle=0\Rightarrow x=0$ .
←טריק הסימטריה: ביטוי סקלרי שווה לשחלוף של עצמו — כך מוכיחים $\vec y^tA^tA\vec x$ סימטרי.
←להסקה מזהות: להציב $v=u$ (או $u=v_2$ ), לפתח לפי ליניאריות וצמידות, ולקבל $c\|u\|^2=0$ עם $c\ne0$ .
←זהות הקיטוב מעל $\mathbb{C}$ — לדעת לכתוב אותה ולפתח כל $\|\cdot\|^2$ .

מעל

\mathbb{C}

אין ליניאריות ברכיב השני:

\langle u,\alpha v\rangle=\bar\alpha\langle u,v\rangle

. זו הטעות היקרה ביותר בשאלות האלה.

קיילי־המילטון ופולינום אופייני: הסקת זהות מטריציונית או הוכחת אי־קיום מטריצה

55%

2022ב׳ ש׳6.22023א׳ ש׳3a2023ב׳ ש׳2a2023ב׳ ש׳5a2025א׳ ש׳4.22025סימולציה ש׳4.22025ב׳ ש׳4.3מטלה 8 ש׳4מטלה 9 ש׳1מטלה 6 ש׳6(ב)מטלה 6 ש׳6(ג)

←מ- $n$ ע״ע שונים במטריצה $n\times n$ אפשר לבנות את $p_A$ במלואו ואז להציב: $p_A(A)=0_n$ .
←לבידוד ההופכית: מ- $p_A(A)=0$ מבודדים $A\cdot(\ldots)=cI$ ומקבלים $A^{-1}$ כפולינום ב- $A$ .
←להוכחת אי־קיום: חשב את $p$ של המטריצה הנתונה, הסק שכל ע״ע של $A$ הוא $0$ , מעל $\mathbb{C}$ קבל $p_A(\lambda)=\lambda^n$ , והפעל קיילי־המילטון לסתירה.
←הפולינום המינימלי הוא מוניך, מחלק את $p_A$ , ומתאפס על כל הע״ע.

\lambda

ע״ע של

A

⟹

p(\lambda)

ע״ע של

p(A)

, אבל ההפך אינו נכון. ולהסיק "

p_A

ידוע" מרשימת ע״ע תקף רק אם ספירת הריבויים מגיעה ל-

n

חישוב דטרמיננטה של מטריצה מובנית או ענקית (דירוג, החלפות שורה, מטריצת מלווה)

50%

2023א׳ ש׳5b ($6\times6$)2024א׳ ש׳1.2 ($5\times5$)2024סימולציה ש׳2.2 ($4\times4$)2025ב׳ ש׳4.1 ($2025\times2025$)2025סימולציה ש׳4.1 ($2025\times2025$)2022ב׳ ש׳1.2מטלה 1 ש׳2מטלה 1 ש׳6(ה)מטלה 6 ש׳3(א)מטלה 6 ש׳3(ב)

←לזהות את המבנה תחילה: משולשית, אנטי־משולשית, מלווה, או כמעט־אלכסונית.
←למטריצה הפוכה בסדר השורות: לבצע $R_i\leftrightarrow R_{n-i+1}$ ולספור את מספר ההחלפות (ב- $n=2025$ יש $1012$ החלפות — זוגי, ולכן הסימן לא משתנה).
← $R_i\to R_i+cR_j$ אינה משנה את הדטרמיננטה; החלפת שורות משנה סימן; $R_i\to cR_i$ מכפילה ב- $c$ . לתעד כל פעולה.
←למטריצת מלווה: לפתח לפי העמודה או השורה עם הכי הרבה אפסים ולזהות שהמינורים משולשיים.

שכחת סימן ההחלפות היא הטעות מספר 1 — תמיד לספור. ובמטריצת מלווה, לשים לב לסימנים

(-1)^{i+j}

בפיתוח.

$AB$ מול $BA$ : אותם ערכים עצמיים, והמסקנות על הפיכות ולכסינות

45%

2023א׳ ש׳2a2024א׳ ש׳3.12024סימולציה ש׳1.22025ב׳ ש׳3.12025סימולציה ש׳3.1מטלה 6 ש׳4מטלה 5 ש׳3

←מקרה $\lambda=0$ : דרך דטרמיננטות — $\det(BA)=\det(B)\det(A)=\det(AB)=0$ .
←מקרה $\lambda\ne0$ : בנייה ישירה $\vec y=B\vec v$ , כולל ההוכחה הנפרדת ש- $\vec y\ne\vec0$ .
←מסקנה: $AB-I$ אינה הפיכה ⟺ $1$ ע״ע של $AB$ ⟺ $1$ ע״ע של $BA$ ⟺ $BA-I$ אינה הפיכה.
←עבור $A$ הפיכה: $AB\sim BA$ , ומכאן $\det(I-AB)=\det(I-BA)$ .

חייבים להפריד למקרה

\lambda=0

ולמקרה

\lambda\ne0

— הבנייה

\vec y=B\vec v

נכשלת כש-

\lambda=0

. וזכרו: אותם ע״ע אינם גוררים אותה לכסינות (הדוגמה הנגדית הרשמית של 2023א׳).

מה לדעת בעל־פה

העובדות, הדוגמאות הנגדיות והמלכודות