מטלה 4

כאן נסגר המעגל בין העולם המופשט לעולם החישובי. וקטור הקואורדינטות הופך כל וקטור מופשט (פולינום, מטריצה, פונקציה) לעמודת מספרים, והמטריצה המייצגת הופכת כל העתקה לינארית למטריצה. מרגע זה כל שאלה על העתקות ניתנת לפתרון בדירוג.

• 1הכלל המרכזי: [T(v)]_B = [T]^A_B · [v]_A — המטריצה פועלת על הקואורדינטות, לא על הווקטור.
• 2העמודה ה-j של [T]^A_B היא [T(a_j)]_B. זו כל ההגדרה, וממנה בונים הכל.
• 3בהרכבה הבסיס האמצעי "מצטמצם": [S∘T]^A_C = [S]^B_C·[T]^A_B.
• 4ψ: Hom(V,W) → M_{m×n}(F) הוא איזומורפיזם — ולכן dim Hom(V,W) = m·n.

• ·משפט המימדים הוא על dim V — מימד התחום. זו הטעות הקלאסית במבחן.
• ·כששני המרחבים מאותו מימד סופי: חח"ע ⟺ על ⟺ הפיכה. אחד מספיק כדי להסיק את השאר.
• ·איזומורפיזם הוא יחס שקילות, וכל מ"ו נ"ס ממימד n איזומורפי ל-Fⁿ — ולכן מספיק להבין את Fⁿ.