MentoraLINEAR 2

שבוע 1 — העתקות לינאריות

הגדרה, גרעין ותמונה, אריתמטיקה והפיכות

העתקה לינאריתגרעיןתמונההרכבההפיכות

רקע — על מה השבוע הזה

נקודת הפתיחה של הקורס: במקום להסתכל על מטריצות כטבלאות מספרים, מסתכלים על פונקציות בין מרחבים וקטוריים ששומרות על המבנה. כל מה שיבוא אחר כך — מטריצה מייצגת, לכסון, אפילו גרם־שמידט — הוא בעצם שאלה על העתקה לינארית. שני הכלים שנולדים כאן, הגרעין והתמונה, ילוו אותך עד סוף הקורס.

העתקה לינאריתגרעיןתמונההרכבההפיכות

הגדרות (8)

הניסוח המלא מהמצגת
הגדרההעתקה לינארית
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W פונקציה (טרנספורמציה, העתקה).
נאמר ש- TT היא העתקה לינארית אם לכל v1,v2∈Vv_1,v_2 \in V ולכל α1,α2∈F\alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{F} מתקיים:
T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)T(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2) = \alpha_1 T(v_1) + \alpha_2 T(v_2)
לתכונה זו נקרא לינאריות.
הגדרהאופרטור לינארי
העתקה לינארית T:V→VT: V \to V נקראת גם אופרטור לינארי.
הגדרהההעתקה TAT_A
יהי F\mathbb{F} שדה. תהי A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(\mathbb{F}).
נגדיר את ההעתקה TA:Fn→FmT_A: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m באופן הבא: ∀x⃗∈Fn: TA(x⃗)=Ax⃗\forall \vec{x} \in \mathbb{F}^n:\ T_A(\vec{x}) = A\vec{x}
(m×1)=(m×n)⋅(n×1)(m \times 1) = (m \times n) \cdot (n \times 1)
הגדרותגרעין ותמונה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
נגדיר את הגרעין של TT באופן הבא:
Ker(T)={v∈V∣T(v)=0W}Ker(T) = \{v \in V \mid T(v) = 0_W\}
נגדיר את התמונה של TT באופן הבא:
Im(T)={T(v)∣v∈V}={w∈W∣∃v∈V (T(v)=w)}Im(T) = \{T(v) \mid v \in V\} = \{w \in W \mid \exists v \in V\, (T(v) = w)\}
הגדרותהעתקת האפס והעתקת הזהות
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
נגדיר את העתקת האפס T:V→WT: V \to W באופן הבא: לכל v∈Vv \in V מתקיים T(v)=0WT(v) = 0_W.
נגדיר את העתקת הזהות idV:V→Vid_V: V \to V באופן הבא: לכל v∈Vv \in V מתקיים idV(v)=vid_V(v) = v.
הגדרהאריתמטיקה של העתקות
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהיינה T,S:V→WT,S: V \to W העתקות לינארית.
נגדיר: ∀v∈V: (S±T)(v)=S(v)±T(v)\forall v \in V:\ (S \pm T)(v) = S(v) \pm T(v)
∀v∈V,∀α∈F: (αT)(v)=αT(v)\forall v \in V, \forall \alpha \in \mathbb{F}:\ (\alpha T)(v) = \alpha T(v)
הגדרהHom(V,W)Hom(V,W)
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
נגדיר Hom(V,W)={T:V→W∣T is a linear trans.}Hom(V,W) = \{T: V \to W \mid T\ is\ a\ linear\ trans.\}
הגדרה (תזכורת)הפיכות, חח"ע ועל
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהי T:V→WT: V \to W.
נאמר ש- TT הפיכה אם:
1. TT חח"ע - לכל v1,v2∈Vv_1,v_2 \in V המקיימים T(v1)=T(v2)T(v_1) = T(v_2) מתקיים v1=v2v_1 = v_2.
2. TT על - Im(T)=WIm(T) = W (או: לכל w∈Ww \in W קיים v∈Vv \in V כך ש- T(v)=wT(v) = w)

משפטים ומסקנות (14)

ניסוחים בלבד — ההוכחות בלשונית ההרצאה
משפט 1האפס עובר לאפסצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית. אזי: T(0V)=0WT(0_V) = 0_W
משפט 2TAT_A היא העתקה לינאריתצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה. תהי A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(\mathbb{F}).
אזי ההעתקה TAT_A היא העתקה לינארית.
משפט 3הגרעין הוא תת-מרחבצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
אזי: הגרעין של TT (Ker(T)Ker(T)) הוא תמ"ו של VV.
משפט 4התמונה היא תת-מרחבצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
אזי: התמונה של TT (Im(T)Im(T)) היא תמ"ו.
משפט 5העתקת האפס היא לינאריתצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל שדה F\mathbb{F}.
ותהי T:V→WT: V \to W העתקת האפס. אזי TT העתקה לינארית.
משפט 6העתקת הזהות היא לינאריתצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מרחב וקטורי מעל שדה F\mathbb{F}.
אזי idVid_V העתקה לינארית.
משפט 7אריתמטיקה של העתקות לינאריותצריך לדעת להוכיח
• יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהיינה T,S:V→WT,S: V \to W העתקות לינארית.
• יהיו α,β∈F\alpha,\beta \in \mathbb{F}. אזי: αT+βS\alpha T + \beta S העתקה לינארית.
מסקנה 1Hom(V,W)Hom(V,W) תת-מרחב של WVW^Vצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
אזי Hom(V,W)Hom(V,W) הוא תמ"ו של WVW^V.
משפט 8הרכבה של העתקות לינאריותצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,W,UV,W,U מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהיינה T:V→WT: V \to W , S:W→US: W \to U העתקות לינאריות.
אזי S∘TS \circ T היא העתקה לינארית.
משפט 9ההופכית של העתקה לינארית היא לינאריתצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
נניח ש- TT הפיכה. אזי T−1T^{-1} היא העתקה לינארית.
משפט 10חח"ע אם"ם הגרעין טריוויאליצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
אזי TT חח"ע אם"ם Ker(T)={0V}Ker(T) = \{0_V\}.
משפט 11פורשת לפורשתצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
יהיו v1,…,vm∈Vv_1, \dots ,v_m \in V וקטורים שפורשים את VV.
אזי T(v1),…,T(vm)T(v_1), \dots ,T(v_m) פורשים את Im(T)Im(T).
משפט 12בת"ל לבת"לצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית חח"ע.
יהיו v1,…,vk∈Vv_1, \dots ,v_k \in V וקטורים בת"ל. אזי T(v1),…,T(vk)T(v_1), \dots ,T(v_k) בת"ל.
משפט 13בסיס לבסיסצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
יהיו v1,…,vn∈Vv_1, \dots ,v_n \in V בסיס ל- VV.
אזי TT הפיכה אם"ם T(v1),…,T(vn)T(v_1), \dots ,T(v_n) בסיס של WW.

הערות (2)

הערה 1 — תכונות בסיסיות של העתקה לינארית
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית. אזי:
1. לכל v1,v2∈Vv_1,v_2 \in V מתקיים: T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2)
2. לכל v∈Vv \in V, α∈F\alpha \in \mathbb{F} מתקיים: T(αv)=αT(v)T(\alpha v) = \alpha T(v)
3. לכל v1,…vk∈Vv_1, \dots v_k \in V, α1,…,αk∈F\alpha_1, \dots ,\alpha_k \in \mathbb{F} מתקיים:
T(α1v1+⋯+αkvk)=α1T(v1)+⋯+αkT(vk)T(\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k) = \alpha_1 T(v_1) + \cdots + \alpha_k T(v_k)
המחשה גיאומטרית
המחשה גיאומטרית
Linear transformationsLinear\ transformations

אם נתון לי… אז אני יודעת

7 מסקנות · זה מה שכותבים בשורה הראשונה של הפתרון
T:V→WT:V\to W העתקה לינארית
  • T(0V)=0WT(0_V)=0_W (משפט 1)
  • T(−v)=−T(v)T(-v)=-T(v) ו-T(α1v1+⋯+αkvk)=α1T(v1)+⋯+αkT(vk)T(\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k)=\alpha_1T(v_1)+\cdots+\alpha_kT(v_k) (הערה 1)
  • ker⁡T\ker T הוא תמ"ו של VV (משפט 3) ו-Im⁡T\operatorname{Im}T הוא תמ"ו של WW (משפט 4)
  • אם v1,…,vmv_1,\dots,v_m פורשים את VV אז T(v1),…,T(vm)T(v_1),\dots,T(v_m) פורשים את Im⁡T\operatorname{Im}T (משפט 11)
הכיוון ההפוך של משפט 1 אינו נכון: T(0V)=0WT(0_V)=0_W אינו מוכיח לינאריות. וגם — ker⁡T⊆V\ker T\subseteq V אבל Im⁡T⊆W\operatorname{Im}T\subseteq W, קל להתבלבל לאיזה מרחב כל אחד שייך.
TT חח"ע
  • ker⁡T={0V}\ker T=\{0_V\} (משפט 10)
  • dim⁡ker⁡T=0\dim\ker T=0
  • TT מעבירה בת"ל לבת"ל (משפט 12)
  • אם TT גם על — TT הפיכה ו-T−1T^{-1} בעצמה לינארית (משפט 9)
משפט 12 דורש חח"ע. בלי חח"ע TT יכולה למעוך קבוצה בת"ל לת"ל. לעומת זאת "פורשת לפורשת" (משפט 11) נכון לכל ה"ל — אבל היא פורשת את Im⁡T\operatorname{Im}T, לא את WW.
נתון ש-T(v)=T(u)T(v)=T(u) עבור v≠uv\neq u
  • v−u∈ker⁡Tv-u\in\ker T ו-v−u≠0Vv-u\neq0_V
  • ולכן ker⁡T≠{0V}\ker T\neq\{0_V\} ו-TT אינה חח"ע (משפט 10)
  • ולכן TT אינה הפיכה
זה הכלי להפרכת חח"ע: מספיק וקטור אחד לא אפסי בגרעין. אין צורך לתאר את כל הגרעין.
v1,…,vnv_1,\dots,v_n בסיס של VV ו-TT הפיכה
  • T(v1),…,T(vn)T(v_1),\dots,T(v_n) בסיס של WW (משפט 13)
  • ולכן dim⁡W=n=dim⁡V\dim W=n=\dim V
  • ההפך גם נכון: אם התמונות של בסיס הן בסיס של WW — TT הפיכה
משפט 13 הוא אם"ם, אבל הוא מנוסח על בסיס של VV. תמונות של קבוצה פורשת שאינה בסיס לא נותנות מסקנה על הפיכות.
T=TAT=T_A עבור A∈Mm×n(F)A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})
  • TT לינארית — אין מה לבדוק (משפט 2)
  • ker⁡TA\ker T_A הוא בדיוק אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית Ax⃗=0⃗A\vec x=\vec0
  • Im⁡TA\operatorname{Im}T_A נפרש ע"י TA(e⃗1),…,TA(e⃗n)T_A(\vec e_1),\dots,T_A(\vec e_n), כלומר ע"י עמודות AA (משפט 11)
אם ההעתקה נתונה בנוסחה — כדאי קודם לבדוק אם אפשר לכתוב אותה כ-Ax⃗A\vec x. אם יש בנוסחה איבר חופשי, ריבוע, ערך מוחלט או צמוד — היא אינה מהצורה הזאת.
S,T:V→WS,T:V\to W לינאריות ו-α,β∈F\alpha,\beta\in\mathbb{F}
  • αT+βS\alpha T+\beta S לינארית (משפט 7)
  • Hom(V,W)Hom(V,W) הוא תמ"ו של WVW^V (מסקנה 1) — ובפרט מרחב וקטורי בפני עצמו
  • הרכבה של לינאריות היא לינארית (משפט 8)
הרכבה דורשת התאמת מרחבים: S∘TS\circ T מוגדרת כאשר T:V→WT:V\to W ו-S:W→US:W\to U. הסדר S∘TS\circ T הוא "קודם TT".
בשאלה מופיע צמוד מרוכב או שנאמר "מעל R\mathbb{R}"/"מעל C\mathbb{C}"
  • הצמוד T(z)=zˉT(z)=\bar z אינו לינארי כאשר C\mathbb{C} נחשב מ"ו מעל C\mathbb{C} (דוגמה 4)
  • אותה TT בדיוק כן לינארית כאשר C\mathbb{C} נחשב מ"ו מעל R\mathbb{R} (דוגמה 5)
  • ולכן: לפני כל בדיקת לינאריות — לרשום מהו השדה
הבדיקה שנופלת היא הומוגניות עם סקלר לא ממשי. תמיד להציב α=i\alpha=i ולא רק α=2\alpha=2.

איך מפריכים

מהבדיקה הזולה ביותר לכיוון היקרה
להפריך שהעתקה TT היא לינארית
  1. 1הזול ביותר — הצבה אחת: חשבי T(0V)T(0_V). אם T(0V)≠0WT(0_V)\neq0_W, סיימת: לפי משפט 1 כל ה"ל מעבירה אפס לאפס, ולכן TT אינה לינארית. סימן מזהה: איבר חופשי בנוסחה.
  2. 2שימי לב היטב: T(0V)=0WT(0_V)=0_W מפריך ולעולם אינו מוכיח. אם קיבלת 0W0_W — לא הוכחת כלום ואי אפשר לעצור כאן. דוגמה: T(x,y)=(x2,0)T(x,y)=(x^2,0) מקיימת T(0⃗)=0⃗T(\vec0)=\vec0 ובכל זאת אינה לינארית.
  3. 3השנייה בזול — הומוגניות עם סקלר קונקרטי אחד: קחי וקטור פשוט (למשל v⃗=(1,0)\vec v=(1,0)) ובדקי T(2v⃗)=2T(v⃗)T(2\vec v)=2T(\vec v), או T(−v⃗)=−T(v⃗)T(-\vec v)=-T(\vec v). אם השדה C\mathbb{C}, בדקי במיוחד α=i\alpha=i.
  4. 4רק אם שתי אלה עברו — אדיטיביות עם שני וקטורים קונקרטיים ומספריים: בחרי u⃗,v⃗\vec u,\vec v פשוטים והשווי T(u⃗+v⃗)T(\vec u+\vec v) מול T(u⃗)+T(v⃗)T(\vec u)+T(\vec v). חשוב לרשום את שני הצדדים כמספרים ולא באופן כללי.
  5. 5בסיום — לנסח: "עבור u⃗=…,v⃗=…\vec u=\dots,\vec v=\dots מתקיים T(u⃗+v⃗)=…≠⋯=T(u⃗)+T(v⃗)T(\vec u+\vec v)=\dots\neq\dots=T(\vec u)+T(\vec v), ולכן TT אינה לינארית." דוגמה נגדית אחת קונקרטית מספיקה.
להפריך שקיימת ה"ל עם הנתונים שבשאלה
  1. 1בדקי אם וקטורי המקור ת"ל: אם v2=αv1v_2=\alpha v_1 אז חייב להתקיים T(v2)=αT(v1)T(v_2)=\alpha T(v_1).
  2. 2אם השוויון הזה נכשל — סיימת: לא קיימת ה"ל כזאת. (זה בדיוק תרגיל 1: T(1,1)=(1,2)T(1,1)=(1,2) ו-T(2,2)=(2,1)T(2,2)=(2,1) בעוד 2⋅(1,2)=(2,4)≠(2,1)2\cdot(1,2)=(2,4)\neq(2,1).)
  3. 3אם המקורות ת"ל בצירוף מסובך יותר — פתרי v3=αv1+βv2v_3=\alpha v_1+\beta v_2 ובדקי את T(v3)=αT(v1)+βT(v2)T(v_3)=\alpha T(v_1)+\beta T(v_2).
  4. 4אם הנתון הוא T(0V)=w≠0WT(0_V)=w\neq0_W — הופרך מיד לפי משפט 1.
להפריך ש-TT חח"ע / על
  1. 1לחח"ע: מצאי 0V≠v0_V\neq v עם T(v)=0WT(v)=0_W — פתרי את המערכת ההומוגנית. וקטור אחד מספיק (משפט 10).
  2. 2לחלופין: הציגי שני וקטורים שונים עם אותה תמונה.
  3. 3לעל: הראי w∈Ww\in W קונקרטי שאינו ב-Im⁡T\operatorname{Im}T — כלומר שהמערכת T(v)=wT(v)=w אינה פתירה.
  4. 4אם כבר יש לך קבוצה פורשת של Im⁡T\operatorname{Im}T (תמונות של בסיס, משפט 11) — מספיק להראות ש-ww אינו בפרישה שלה.

איך מוכיחים

המהלכים שעובדים בשבוע הזה
להוכיח ש-TT לינארית
  1. 1קודם כול — נסי לזהות T=TAT=T_A: אם כל רכיב בפלט הוא צירוף לינארי הומוגני של רכיבי הקלט, כתבי את AA וסיימת (משפט 2).
  2. 2אחרת — קחי v1,v2∈Vv_1,v_2\in V כלליים ו-α1,α2∈F\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{F} כלליים.
  3. 3חשבי את T(α1v1+α2v2)T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2) לפי ההגדרה — פיתוח מלא.
  4. 4חשבי בנפרד את α1T(v1)+α2T(v2)\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2) ופתחי גם אותו.
  5. 5השווי את שני הצדדים רכיב-רכיב וסכמי: תנאי אחד עם שני סקלרים מספיק — אין צורך לבדוק אדיטיביות והומוגניות בנפרד.
להוכיח שקבוצה היא תת-מרחב
  1. 1הכי מהיר: לזהות אותה כ-ker⁡T\ker T או כ-Im⁡T\operatorname{Im}T של ה"ל מתאימה — ואז זה מיידי לפי משפטים 3,4.
  2. 2אחרת — הקריטריון הקצר: הראי שהיא לא ריקה (בדרך כלל ע"י 0V0_V בתוכה).
  3. 3ואז סגירות לצירוף לינארי אחד: לכל u,wu,w בקבוצה ולכל α,β\alpha,\beta בשדה, αu+βw\alpha u+\beta w בקבוצה.
  4. 4לא צריך לבדוק את שמונה האקסיומות — הן יורשות מהמרחב הגדול.
למצוא בסיס ל-ker⁡T\ker T ול-Im⁡T\operatorname{Im}T
  1. 1ל-ker⁡T\ker T: פתרי את המערכת ההומוגנית T(v)=0WT(v)=0_W וקחי בסיס למרחב הפתרונות.
  2. 2ל-Im⁡T\operatorname{Im}T: הפעילי את TT על בסיס של VV — התמונות פורשות את Im⁡T\operatorname{Im}T (משפט 11).
  3. 3הקבוצה הפורשת הזאת בדרך כלל ת"ל — נקי אותה לבסיס (דירוג).
  4. 4לסיום — בדיקת שפיות: האם המספרים מסתדרים עם גודל המערכת.
להוכיח ש-TT הפיכה
  1. 1קחי בסיס v1,…,vnv_1,\dots,v_n של VV וחשבי את T(v1),…,T(vn)T(v_1),\dots,T(v_n).
  2. 2הראי שהתמונות האלה מהוות בסיס של WW — אז TT הפיכה לפי משפט 13.
  3. 3לחלופין: הראי חח"ע (ker⁡T={0V}\ker T=\{0_V\}) וגם על (Im⁡T=W\operatorname{Im}T=W) לפי ההגדרה.
  4. 4זכרי ש-T−1T^{-1} מתקבלת אוטומטית כה"ל (משפט 9), אין צורך להוכיח את לינאריותה.

מסקנות — מה לוקחים מהשבוע

  • 1לינאריות = שמירה על צירוף לינארי. מספיק לבדוק תנאי אחד: T(αv₁+βv₂)=αT(v₁)+βT(v₂).
  • 2ker T ⊆ V ואילו Im T ⊆ W — קל להתבלבל לאיזה מרחב כל אחד שייך.
  • 3T(0_V)=0_W תמיד. אם העתקה לא מעבירה אפס לאפס — היא בוודאות לא לינארית, וזו דרך מהירה להפריך.
  • 4Hom(V,W) הוא בעצמו מרחב וקטורי — עובדה שנשתמש בה כשנספור מימדים.
מטלה 2
לתרגל את החומר של השבוע
שקפי הרצאה 1
המצגת המקורית במלואה
שבוע 0:חזרה מסמסטר א׳קיום ויחידות ומשפט המימדים:שבוע 2