MentoraLINEAR 2

כל ההגדרות

44 הגדרות מכל 13 ההרצאות — מילה במילה כפי שהופיעו במצגת. הפעילי "מצב שינון" כדי לבדוק את עצמך.

שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
הגדרה

העתקה לינארית

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W פונקציה (טרנספורמציה, העתקה).
נאמר ש- TT היא העתקה לינארית אם לכל v1,v2∈Vv_1,v_2 \in V ולכל α1,α2∈F\alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{F} מתקיים:
T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)T(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2) = \alpha_1 T(v_1) + \alpha_2 T(v_2)
לתכונה זו נקרא לינאריות.
העתקה לינארית - Linear TransformationLinear\ Transformation
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
הגדרה

אופרטור לינארי

הוכח בכיתה
העתקה לינארית T:V→VT: V \to V נקראת גם אופרטור לינארי.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
הגדרה

ההעתקה TAT_A

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. תהי A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(\mathbb{F}).
נגדיר את ההעתקה TA:Fn→FmT_A: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m באופן הבא: ∀x⃗∈Fn: TA(x⃗)=Ax⃗\forall \vec{x} \in \mathbb{F}^n:\ T_A(\vec{x}) = A\vec{x}
(m×1)=(m×n)⋅(n×1)(m \times 1) = (m \times n) \cdot (n \times 1)
TAT_A פשוט מכפילה במטריצה AA.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
הגדרות

גרעין ותמונה

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
נגדיר את הגרעין של TT באופן הבא:
Ker(T)={v∈V∣T(v)=0W}Ker(T) = \{v \in V \mid T(v) = 0_W\}
נגדיר את התמונה של TT באופן הבא:
Im(T)={T(v)∣v∈V}={w∈W∣∃v∈V (T(v)=w)}Im(T) = \{T(v) \mid v \in V\} = \{w \in W \mid \exists v \in V\, (T(v) = w)\}
הגרעין של ההעתקה הוא קבוצת כל הוקטורים בתחום שעוברים ל- 00 בטווח.
התמונה של ההעתקה היא קבוצת כל הוקטורים בטווח שיש להם מקור בתחום.
Ker(T)⊆VKer(T) \subseteq V , Im(T)⊆WIm(T) \subseteq W
גרעין - KernelKernel תמונה - ImageImage
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
הגדרות

העתקת האפס והעתקת הזהות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
נגדיר את העתקת האפס T:V→WT: V \to W באופן הבא: לכל v∈Vv \in V מתקיים T(v)=0WT(v) = 0_W.
נגדיר את העתקת הזהות idV:V→Vid_V: V \to V באופן הבא: לכל v∈Vv \in V מתקיים idV(v)=vid_V(v) = v.
Ker(T)=V , Im(T)={0W}Ker(T) = V\ ,\ Im(T) = \{0_W\}
Ker(idV)={0V} , Im(idV)=VKer(id_V) = \{0_V\}\ ,\ Im(id_V) = V
The Zero TransformationThe\ Zero\ Transformation
The Identity TransformationThe\ Identity\ Transformation
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
הגדרה

אריתמטיקה של העתקות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהיינה T,S:V→WT,S: V \to W העתקות לינארית.
נגדיר: ∀v∈V: (S±T)(v)=S(v)±T(v)\forall v \in V:\ (S \pm T)(v) = S(v) \pm T(v)
∀v∈V,∀α∈F: (αT)(v)=αT(v)\forall v \in V, \forall \alpha \in \mathbb{F}:\ (\alpha T)(v) = \alpha T(v)
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
הגדרה

Hom(V,W)Hom(V,W)

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
נגדיר Hom(V,W)={T:V→W∣T is a linear trans.}Hom(V,W) = \{T: V \to W \mid T\ is\ a\ linear\ trans.\}
Hom(V,W)Hom(V,W) היא קבוצת כל ההעתקות הלינאריות מ- VV ל- WW.
HomHom זה קיצור של HomomorphismHomomorphism (הומומורפיזם) - העתקה בין מבנים אלגבריים המשמרת את תכונות המבנה.
WVW^V היא קבוצת כל הפונקציות מ- VV ל- WW.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
הגדרה (תזכורת)

הפיכות, חח"ע ועל

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהי T:V→WT: V \to W.
נאמר ש- TT הפיכה אם:
1. TT חח"ע - לכל v1,v2∈Vv_1,v_2 \in V המקיימים T(v1)=T(v2)T(v_1) = T(v_2) מתקיים v1=v2v_1 = v_2.
2. TT על - Im(T)=WIm(T) = W (או: לכל w∈Ww \in W קיים v∈Vv \in V כך ש- T(v)=wT(v) = w)
הערה:
• אם T:V→WT: V \to W הפיכה אז יש לה הופכית T−1:W→VT^{-1}: W \to V המוגדרת כך:
• ∀v∈V,∀w∈W: T(v)=w⇔T−1(w)=v\forall v \in V, \forall w \in W:\ T(v) = w \Leftrightarrow T^{-1}(w) = v
הפיכה - InvertibleInvertible , חח"ע - 1 to 11\ to\ 1 , InjectiveInjective , על - OntoOnto, SurjectiveSurjective
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
הגדרות - תזכורות מלינארית 1

מרחב השורות, מרחב העמודות, מרחב האפס ודרגות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ותהי A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(\mathbb{F}).
תהיינה C1⃗,…,Cn⃗∈Fm\vec{C_1}, \dots , \vec{C_n} \in \mathbb{F}^m עמודות AA ותהיינה R1,…,Rm∈FnR_1, \dots ,R_m \in \mathbb{F}^n שורות AA. נסמן:
1. מרחב השורות של AA: row(A)=span{R1,…,Rm}row(A) = span\{R_1, \dots ,R_m\}
2. מרחב העמודות של AA: col(A)=span{C1⃗,…,Cn⃗}col(A) = span\{\vec{C_1}, \dots , \vec{C_n}\}
3. מרחב האפס של AA: null(A)={x⃗∈Fn∣Ax⃗=0}null(A) = \{\vec{x} \in \mathbb{F}^n \mid A\vec{x} = 0\}
4. דרגת השורות של AA: row−rank(A)=dim⁡row(A)row - rank(A) = \dim row(A)
5. דרגת העמודות של AA: col−rank(A)=dim⁡col(A)col - rank(A) = \dim col(A)
בסמסטר א' בהרצאה 20 הוכחתם:
row−rank(A)=rank(A)row-rank(A) = rank(A)
דרגת השורות נקראת גם דרגת המטריצה כולה.
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
הגדרות

איזומורפיזם, אוטומורפיזם ומרחבים איזומורפיים

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטורים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W.
נאמר ש- TT היא איזומורפיזם אם: 1. TT היא העתקה לינארית.
2. TT הפיכה (חח"ע ועל).
אם V=WV = W נאמר ש- TT היא אוטומורפיזם.
נאמר ש- V,WV,W הם איזומורפיים ונסמן V≅WV \cong W אם קיימת T:V→WT: V \to W שהיא איזומורפיזם.
isoiso - שווה, morphmorph - צורה.
מרחבים איזומורפיים הם מרחבים שווי צורה. זה למעשה אותו מרחב בשינוי השמות או צורת האיברים.
איזומורפיזם - IsomorphismIsomorphism , אוטומורפיזם - AutomorphismAutomorphism , איזומורפיים - IsomorphicIsomorphic
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
הגדרות - תזכורת

איזומורפיזם, אוטומורפיזם ומרחבים איזומורפיים

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטורים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W.
נאמר ש- TT היא איזומורפיזם אם: 1. TT היא העתקה לינארית.
2. TT הפיכה (חח"ע ועל).
אם V=WV = W נאמר ש- TT היא אוטומורפיזם.
נאמר ש- V,WV,W הם איזומורפיים ונסמן V≅WV \cong W אם קיימת T:V→WT: V \to W שהיא איזומורפיזם.
isoiso - שווה, morphmorph - צורה.
מרחבים איזומורפיים הם מרחבים שווי צורה. זה למעשה אותו מרחב בשינוי השמות או צורת האיברים.
איזומורפיזם - IsomorphismIsomorphism , אוטומורפיזם - AutomorphismAutomorphism , איזומורפיים - IsomorphicIsomorphic
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
הגדרה

בסיס סדור

הוכח בכיתה
• יהי VV מ"ו נוצר סופית מעל שדה F\mathbb{F}.
• בסיס סדור של VV מוגדר להיות A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) כאשר v1,…,vn∈Vv_1, \dots ,v_n \in V הינם בסיס של VV.
• כלומר בסיס סדור הוא בסיס שסדר הוקטורים בו נתון מראש (nn-יה סדורה).
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
הגדרה

וקטור קואורדינטות

הוכח בכיתה
• יהי VV מ"ו נוצר סופית מעל שדה F\mathbb{F}.
• יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV ויהי v∈Vv \in V.
• vv ניתן להצגה יחידה כצ"ל של איברי הבסיס, כלומר קיימים α1,…,αn∈F\alpha_1, \dots ,\alpha_n \in \mathbb{F} יחידים כך שמתקיים:
v=α1v1+⋯+αnvnv = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n
וקטור הקואורדינטות של vv ביחס לבסיס A\mathcal{A}, אשר יסומן [v]A[v]_{\mathcal{A}}, הוא וקטור העמודה [v]A=(α1⋮αn)∈Fn[v]_{\mathcal{A}} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^n.
הערה: מהיות v1,…,vnv_1, \dots ,v_n פורשים, הרי שקיימים מקדמים כנ"ל.
מהיות v1,…,vnv_1, \dots ,v_n בת"ל, הרי ש- α1,…αn\alpha_1, \dots \alpha_n נקבעים ביחידות ע"י vv, לכן [v]A[v]_{\mathcal{A}} מוגדר היטב.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
הגדרה

מטריצה מייצגת של העתקה לינארית

הוכח בכיתה
• יהיו V,WV,W מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F}.
• יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) , B=(w1,…,wm)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_m) בסיסים סדורים של V,WV,W בהתאמה.
• תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
• המטריצה המייצגת של ההעתקה TT ביחס לבסיסים A\mathcal{A} ו- B\mathcal{B}, אשר תסומן [T]BA[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}},
היא המטריצה מסדר m×nm \times n שהעמודה ה- jj שלה היא וקטור הקואורדינטות [T(vj)]B[T(v_j)]_{\mathcal{B}}.
[T]BA=(∣∣∣[T(v1)]B[T(v2)]B…[T(vn)]B∣∣∣)[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ [T(v_1)]_{\mathcal{B}} & [T(v_2)]_{\mathcal{B}} & \dots & [T(v_n)]_{\mathcal{B}} \\ | & | & & | \end{pmatrix}
עמודות המטריצה הן וקטורי קואורדינטות לפי בסיס B\mathcal{B} של הפעלת TT על וקטורי הבסיס A\mathcal{A}.
הערה: מהיות וקטורי הקואורדינטות מוגדרים היטב, הרי שגם המטריצה המייצגת מוגדרת היטב.
כלומר, לכל העתקה יש מטריצה מייצגת אחת ויחידה.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
הגדרה

מטריצת מעבר

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי n∈Nn \in \mathbb{N}. יהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F}.
יהיו A,B\mathcal{A},\mathcal{B} בסיסים סדורים של VV.
PP תקרא מטריצת המעבר מ- A\mathcal{A} ל- B\mathcal{B} אם מתקיים P=[id]BAP = [id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}
מספיק רק לבטא כל אחד מאיברי A\mathcal{A} כצ"ל של איברי הבסיס B\mathcal{B} (כי idid ניטרלית).
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
הגדרה

דמיון מטריצות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ותהיינה A,B∈Mn(F)A,B \in M_n(\mathbb{F}).
נאמר ש- A,BA,B דומות ונסמן A∼BA \sim B אם קיימת מטריצה הפיכה P∈Mn(F)P \in M_n(\mathbb{F}) כך ש- B=P−1APB = P^{-1}AP.
דומות - SimilarSimilar
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
הגדרה

מטריצה אלכסונית

תהי D∈Mn(F)D\in M_n(\mathbb{F}) .
נאמר ש-DD אלכסונית (diagonaldiagonal) אם לכל 1≤i,j≤n1\le i,j\le n המקיימים i≠ji\ne j מתקיים [D]ij=0F[D]_{ij}=0_{\mathbb{F}} .
נסמן D=diag([D]11,…,[D]nn)\boldsymbol{D}=\boldsymbol{diag}([\boldsymbol{D}]_{\boldsymbol{11}},\dots,[\boldsymbol{D}]_{\boldsymbol{nn}}) .
דוגמאות: diag(1,2,3)=(100020003)\boldsymbol{diag}(\boldsymbol{1},\boldsymbol{2},\boldsymbol{3})=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}
diag(1,1)=I2\boldsymbol{diag}(\boldsymbol{1},\boldsymbol{1})=I_2
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
הגדרה

לכסון - DiagonalizationDiagonalization

∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
∙\bullet נאמר ש-AA לכסינה (diagonalizablediagonalizable) אם קיימת מטריצה אלכסונית D∈Mn(F)D\in M_n(\mathbb{F}) וקיימת מטריצה הפיכה P∈Mn(F)P\in M_n(\mathbb{F}) כך ש-D=P−1AP\boldsymbol{D}=\boldsymbol{P^{-1}AP}
(λ1…0⋮⋱⋮0…λn)∼A\begin{pmatrix}\boldsymbol{\lambda_1} & \dots & \boldsymbol{0} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \boldsymbol{0} & \dots & \boldsymbol{\lambda_n}\end{pmatrix}\sim A
מטריצה היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית.
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
הגדרה

וקטורים עצמיים, ערכים עצמיים, זוגות עצמיים של מטריצה

תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) , יהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} .
∙\bullet נאמר ש-λ\boldsymbol{\lambda} הוא ערך עצמי של AA אם קיים 0⃗≠v⃗∈Fn\vec{0}\ne\vec{v}\in\mathbb{F}^n כך ש-Av⃗=λv⃗\boldsymbol{A\vec{v}}=\boldsymbol{\lambda\vec{v}}
∙\bullet v⃗\boldsymbol{\vec{v}} נקרא הוקטור העצמי של AA המתאים לערך העצמי λ\lambda.
∙\bullet הזוג הסדור (λ,v⃗)(\boldsymbol{\lambda},\boldsymbol{\vec{v}}) נקרא זוג עצמי של AA .
ע"ע- eigenvalue\boldsymbol{eigenvalue}
ו"ע- eigenvector\boldsymbol{eigenvector}
ז"ע- eigenpair\boldsymbol{eigenpair}
דוגמה: נתבונן במטריצה A=(1232)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}\\ \boldsymbol{3}&\boldsymbol{2}\end{pmatrix} .
נשים לב: A⋅(23)=(1232)(23)=(812)=4⋅(23)\boldsymbol{A}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\12\end{pmatrix}=\boldsymbol{4}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} , λ1=4\lambda_1=4 ע"ע של AA , (23)\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} ו"ע מתאים
נשים לב: A⋅(1−1)=(1232)(1−1)=(−11)=−1⋅(1−1)\boldsymbol{A}\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=-\boldsymbol{1}\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} , λ2=−1\lambda_2=-1 ע"ע של AA , (1−1)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} ו"ע מתאים
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
הגדרה

המרחב העצמי

∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, תהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} ותהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
∙\bullet נגדיר את המרחב העצמי של AA המתאים ל-λ\lambda באופן הבא:
Vλ={v⃗∈Fn∣Av⃗=λv⃗}⊆Fn\boldsymbol{V_\lambda}=\{\boldsymbol{\vec{v}}\in\mathbb{F}^{\boldsymbol{n}}\mid \boldsymbol{A\vec{v}}=\boldsymbol{\lambda\vec{v}}\}\subseteq\mathbb{F}^n
מ"ע- eigenspace\boldsymbol{eigenspace}
נשים לב- וקטור האפס לא יכול להיות ו"ע של λ\boldsymbol{\lambda} , אבל הוא כן מקיים את השוויון הזה ולכן שייך למרחב העצמי של λ\boldsymbol{\lambda} .
זו הקבוצה של כל הו"ע של λ\boldsymbol{\lambda} בתוספת וקטור האפס
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
הגדרה

הפולינום האופייני

יהי F\mathbb{F} שדה. תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
נגדיר את הפולינום האופייני של A\boldsymbol{A} באופן הבא: pA(λ)=det⁡(λIn−A)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\mathbf{\det}(\boldsymbol{\lambda I_n}-\boldsymbol{A})
הדטרמיננטה היא פולינום!
הגדרה מקבילה (לא אצלנו!): pA(λ)=det⁡(A−λIn)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\mathbf{\det}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\lambda I_n})
דוגמאות:
1. תהי A=(124−1)∈M2(R)A=\begin{pmatrix}1&2\\4&-1\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R}) . pA(λ)=∣λI2−A∣=∣λ−1−2−4λ+1∣=λ2−9\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=|\lambda I_2-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\-4&\lambda+1\end{vmatrix}=\boldsymbol{\lambda^2}-\boldsymbol{9}
2. תהי A=(01−10)∈M2(R)A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R}) . pA(λ)=∣λI2−A∣=∣λ−11λ∣=λ2+1\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=|\lambda I_2-A|=\begin{vmatrix}\lambda&-1\\1&\lambda\end{vmatrix}=\boldsymbol{\lambda^2}+\boldsymbol{1}
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
הגדרה

הפולינום האופייני

יהי F\mathbb{F} שדה. תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
נגדיר את הפולינום האופייני של A\boldsymbol{A} באופן הבא: pA(λ)=det⁡(λIn−A)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\mathbf{\det}(\boldsymbol{\lambda I_n}-\boldsymbol{A})
הדטרמיננטה היא פולינום!
הגדרה מקבילה (לא אצלנו!): pA(λ)=det⁡(A−λIn)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\mathbf{\det}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\lambda I_n})
דוגמאות:
1. תהי A=(124−1)∈M2(R)A=\begin{pmatrix}1&2\\4&-1\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R}) . pA(λ)=∣λI2−A∣=∣λ−1−2−4λ+1∣=λ2−9\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=|\lambda I_2-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\-4&\lambda+1\end{vmatrix}=\boldsymbol{\lambda^2}-\boldsymbol{9}
2. תהי A=(01−10)∈M2(R)A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R}) . pA(λ)=∣λI2−A∣=∣λ−11λ∣=λ2+1\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=|\lambda I_2-A|=\begin{vmatrix}\lambda&-1\\1&\lambda\end{vmatrix}=\boldsymbol{\lambda^2}+\boldsymbol{1}
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
הגדרה

פולינומים - מטריצות שאיבריהן פולינומים

∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה. יהיו k,l∈Nk,l\in\mathbb{N} .
∙\bullet נסמן ב-Mk×l(F[x])\boldsymbol{M_{k\times l}}(\mathbb{F}[\boldsymbol{x}]) את קבוצת כל המטריצות מסדר k×lk\times l שאיבריהן הם פולינומים ב-F[x]\mathbb{F}[x] .
∙\bullet נסמן ב-Mk×l(Fn[x])\boldsymbol{M_{k\times l}}(\mathbb{F}_{\boldsymbol{n}}[\boldsymbol{x}]) את קבוצת כל המטריצות מסדר k×lk\times l שאיבריהן הם פולינומים ב-Fn[x]\mathbb{F}_n[x] .
למשל: A=(1−x21+x3xx21−x+x3)∈M2×3(R[x])\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1-x^2&1+x&3\\x&x^2&1-x+x^3\end{pmatrix}\in\boldsymbol{M_{2\times3}}(\mathbb{R}[\boldsymbol{x}])
M2×3(R3[x])\boldsymbol{M_{2\times3}}(\mathbb{R}_{\boldsymbol{3}}[\boldsymbol{x}])
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
הגדרה

פולינום מתוקן (monicmonic)

∙\bullet יהי p(x)=a0+a1x+⋯+anxnp(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n פולינום ב-F[x]\mathbb{F}[x] .
∙\bullet נאמר ש-p(x)p(x) מתוקן (monicmonic) אם an=1Fa_n=1_{\mathbb{F}} .
פולינום מתוקן הוא פולינום שבו המקדם של המשתנה בחזקה הגבוהה ביותר הוא 1.
למשל: p(x)=1−x2\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})=1-x^2 לא מתוקן
p(x)=7+2x+x2\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})=7+2x+x^2 מתוקן
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
הגדרה

ריבוי אלגברי

∙\bullet יהי p(x)∈F[x]p(x)\in\mathbb{F}[x] ויהי α∈F\alpha\in\mathbb{F} .
∙\bullet הריבוי האלגברי של α\alpha הוא: AM(α)=max{0≤l∈Z∣(x−α)l∣p(x)}\boldsymbol{AM}(\boldsymbol{\alpha})=\mathbf{max}\{\boldsymbol{0\le l}\in\mathbb{Z}\mid (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\alpha})^{\boldsymbol{l}}\mid \boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})\}
הריבוי האלגברי הוא מספר הגורמים הלינאריים שהערך מאפס בפולינום.
דוגמה: יהי p(λ)=(λ+1)3(λ−2)2p(\lambda)=(\lambda+1)^3(\lambda-2)^2
∙\bullet מה הריבוי האלגברי של 2? AM(2)=2\boldsymbol{AM}(\boldsymbol{2})=2
∙\bullet מה הריבוי האלגברי של 1-? AM(−1)=3\boldsymbol{AM}(\boldsymbol{-1})=3
∙\bullet מה הריבוי האלגברי של כל λ≠−1,2\lambda\ne-1,2 ? AM(λ)=0\boldsymbol{AM}(\boldsymbol{\lambda})=0
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
הגדרה

ריבוי גיאומטרי

∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) ויהי α∈F\alpha\in\mathbb{F} .
∙\bullet הריבוי הגיאומטרי של α\alpha הינו: GM(α)=dim Vα\boldsymbol{GM}(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{dim}\,\boldsymbol{V_\alpha}
∙\bullet כאשר VαV_\alpha הוא המרחב העצמי של α\alpha ביחס למטריצה AA .
הריבוי הגיאומטרי הוא המימד של המרחב העצמי.
באופן לא פורמלי- כמה ו"ע בת"ל הוא "תורם" לבסיס.
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
הגדרה

הצבת מטריצה בפולינום

∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, ויהי p(x)∈F[x]p(x)\in\mathbb{F}[x] . נסמן p(x)=a0+a1x+⋯+akxkp(x)=a_0+a_1x+\dots+a_kx^k .
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
∙\bullet נגדיר: p(A)=a0In+a1A+⋯+akAk\boldsymbol{p}(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{a_0I_n}+\boldsymbol{a_1A}+\dots+\boldsymbol{a_kA^k}
תוצאת ההצבה היא מטריצה!
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
הגדרה

וקטורים עצמיים, ערכים עצמיים, לכסינות של העתקה

יהי F\mathbb{F} שדה, יהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F} . תהי T∈Hom(V,V)T\in Hom(V,V) ויהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} .
∙\bullet נאמר ש-λ\boldsymbol{\lambda} הוא ערך עצמי של TT אם קיים 0V≠v∈V0_V\ne v\in V כך ש-T(v)=λv\boldsymbol{T}(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{\lambda v}
∙\bullet vv נקרא הוקטור העצמי של TT המתאים לערך העצמי λ\lambda.
∙\bullet הזוג הסדור (v,λ)(\boldsymbol{v},\boldsymbol{\lambda}) נקרא זוג עצמי של TT .
ע"ע- eigenvalue\boldsymbol{eigenvalue}
ו"ע- eigenvector\boldsymbol{eigenvector}
ז"ע- eigenpair\boldsymbol{eigenpair}
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
הגדרה

העתקה לכסינה

∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, יהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F} ותהי T∈Hom(V,V)T\in Hom(V,V) .
∙\bullet נאמר ש-TT לכסינה אם קיים בסיס של VV המורכב מוקטורים עצמיים של TT .
לכסינה- diagonalizable\boldsymbol{diagonalizable}
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
הגדרה

המרחב העצמי של אופרטור

∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, יהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F} ותהי T∈Hom(V,V)T\in Hom(V,V) .
∙\bullet יהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} .
∙\bullet אזי המרחב העצמי של λ\lambda מוגדר כך: Vλ=Ker(λ⋅id−T)\boldsymbol{V_\lambda}=\boldsymbol{Ker}(\boldsymbol{\lambda}\cdot\boldsymbol{id}-\boldsymbol{T})
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
הגדרה

תת-מרחב שמור תחת TT

∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, יהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F} ותהי T:V→VT:V\to V .
∙\bullet יהי WW תת-מרחב של VV .
∙\bullet נאמר ש-WW שמור תחת T\boldsymbol{T} אם לכל w∈Ww\in W מתקיים: T(w)∈W\boldsymbol{T}(\boldsymbol{w})\in\boldsymbol{W}
שמור תחת T\boldsymbol{T} :
∙\bullet invariant under T\boldsymbol{invariant\ under\ T}
∙\bullet T−invariant\boldsymbol{T-invariant}
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
הגדרה

מרחב מכפלה פנימית - Inner Product SpaceInner\ Product\ Space

יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי מ"ו VV מעל F\mathbf{F}.
נאמר ש-VV הוא מרחב מכפלה פנימית אם קיימת פונקציה ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbf{F} המקיימת את התכונות הבאות לכל u,v,w∈Vu,v,w\in V ולכל α∈F\alpha\in\mathbf{F}:
1. אדיטיביות ברכיב הראשון: ⟨v+u,w⟩=⟨v,w⟩+⟨u,w⟩\langle v+u,w\rangle=\langle v,w\rangle+\langle u,w\rangle
2. הומוגניות ברכיב הראשון: ⟨αv,w⟩=α⟨v,w⟩\langle\alpha v,w\rangle=\alpha\langle v,w\rangle
3. הרמיטיות: ⟨v,u⟩=⟨u,v⟩‾\langle v,u\rangle=\overline{\langle u,v\rangle}
4. חיוביות לחלוטין: ⟨v,v⟩≥0\langle v,v\rangle\ge 0 וגם ⟨v,v⟩=0\langle v,v\rangle=0 אם"ם v=0Vv=0_V.
שימו לב: מדובר רק במרחבים מעל הממשיים או המרוכבים!
אפשר להוכיח כתכונה אחת של לינאריות ברכיב הראשון: ⟨αv+βu,w⟩=α⟨v,w⟩+β⟨u,w⟩\langle\alpha v+\beta u,w\rangle=\alpha\langle v,w\rangle+\beta\langle u,w\rangle
Linearity in the first argumentLinearity\ in\ the\ first\ argument HermiticityHermiticity Positive definitenessPositive\ definiteness
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
הגדרה

מכפלה פנימית סטנדרטית על Fn\mathbf{F}^n

המכפלה הפנימית הסטנדרטית על Fn\mathbf{F}^n מוגדרת באופן הבא לכל v⃗,u⃗∈Fn\vec v,\vec u\in\mathbf{F}^n:
נסמן u⃗=(u1⋮un)\vec u=\begin{pmatrix}u_1\\ \vdots\\ u_n\end{pmatrix}, v⃗=(v1⋮vn)∈Fn\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n\end{pmatrix}\in\mathbf{F}^n אזי:
⟨v⃗,u⃗⟩=(u⃗)‾ t⋅v⃗=(uˉ1,…,uˉn)⋅(v1⋮vn)=∑i=1nviuˉi\langle\vec v,\vec u\rangle=\overline{(\vec u)}^{\,t}\cdot\vec v=(\bar u_1,\dots,\bar u_n)\cdot\begin{pmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n\end{pmatrix}=\sum_{i=1}^{n}v_i\bar u_i
שימו לב: ההגדרות הבאות שקולות: ⟨v⃗,u⃗⟩=(u⃗)‾ t⋅v⃗=v⃗ t⋅u⃗‾\langle\vec v,\vec u\rangle=\overline{(\vec u)}^{\,t}\cdot\vec v=\vec v^{\,t}\cdot\overline{\vec u}
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
הגדרה

המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-Mm×n(F)M_{m\times n}(\mathbf{F})

יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-Mm×n(F)M_{m\times n}(\mathbf{F}) מוגדרת באופן הבא לכל A,B∈Mm×n(F)A,B\in M_{m\times n}(\mathbf{F}):
⟨A,B⟩=trace(Bt‾A)\langle A,B\rangle=trace\left(\overline{B^t}A\right)
הערה: המטריצה Bt‾\overline{B^t} נקראת גם המטריצה הצמודה של BB ומוכרת גם בסימון B∗B^*.
באנגלית: Conjugate transposeConjugate\ transpose
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
הגדרה

נורמה - NormNorm

יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F} ויהי v∈Vv\in V.
נגדיר את הנורמה של vv, אשר תסומן ∥v∥\|v\|, באופן הבא: ∥v∥=⟨v,v⟩\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}
משתמשים גם במונח "הנורמה המושרית" The Induced NormThe\ Induced\ Norm
הנורמה הסטנדרטית היא בעצם הנורמה לפי הממ"פ הסטנדרטית ב-Fn\mathbf{F}^n.
הערה 4: מכיוון שמתקיים: ⟨v,v⟩≥0\langle v,v\rangle\ge 0 הרי ש-∥v∥\|v\| מוגדרת היטב וכמו כן ∥v∥∈R\|v\|\in\mathbb{R}.
הערות נוספות: 1. בכל ממ"פ ניתן להגדיר נורמה. 2. ממ"פ עם נורמה מכונה גם "מרחב נורמי".
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
הגדרה

וקטור יחידה

יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F} ויהי v∈Vv\in V.
נאמר ש-vv הוא וקטור יחידה אם ∥v∥=1\|v\|=1
הערה 5: כל וקטור u≠0Vu\neq 0_V ניתן לנרמל, (כלומר להפוך אותו לוקטור יחידה) על ידי חלוקתו לנורמה שלו. כלומר הוקטור 1∥u∥⋅u\frac{1}{\|u\|}\cdot u הוא וקטור יחידה.
כי מתקיים: ∥1∥u∥⋅u∥=∣1∥u∥∣⋅∥u∥=1\left\|\frac{1}{\|u\|}\cdot u\right\|=\left|\frac{1}{\|u\|}\right|\cdot\|u\|=1 (∣α∣|\alpha|, α≥0\alpha\ge 0)
למשל: ∥(11−1)∥=12+12+(−1)2=3\left\|\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3}, לכן הוקטור (1313−13)\begin{pmatrix}\tfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \tfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \tfrac{-1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix} הוא וקטור יחידה.
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
הגדרה

זווית

יהי VV מרחב אוקלידי ויהיו u,v∈Vu,v\in V המקיימים u,v≠0Vu,v\neq 0_V.
נגדיר את הזווית בין uu ל-vv להיות המספר θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi] כך שמתקיים: cos⁡θ=⟨u,v⟩∥u∥⋅∥v∥\cos\theta=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\cdot\|v\|}
כלומר: θ=arccos⁡⟨u,v⟩∥u∥⋅∥v∥\theta=\arccos\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\cdot\|v\|}
באופן זה נוכל להגדיר זווית בין כל שני איברים בממ"פ (גם בין מטריצות למשל).
ניתן להוכיח שב-R2\mathbb{R}^2 וב-R3\mathbb{R}^3 מושג זה מתלכד עם מושג הזווית המוכר לנו.
אינטואיציה ב-R2\mathbb{R}^2 (מ"פ סטנדרטית)
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
הגדרה

אורתוגונליות

יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F} ויהיו u,v∈Vu,v\in V.
נאמר ש-u,vu,v אורתוגונליים אם מתקיים ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0.
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
הגדרה

מאונכים

יהי VV מרחב אוקלידי. יהיו 0V≠u,v∈V0_V\neq u,v\in V.
נאמר ש-u,vu,v מאונכים ונסמן u⊥vu\perp v אם θ=π2\theta=\dfrac{\pi}{2}.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
הגדרה

קבוצה אורתוגונלית

יהי VV ממ"פ ותהי A⊆VA\subseteq V.
נאמר ש-AA קבוצה אורתוגונלית אם לכל u,v∈Au,v\in A המקיימים u≠vu\neq v מתקיים ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0.
למשל הקבוצה {(1−10),(001),(110)}\left\{\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\right\} ב-R3\mathbb{R}^3 היא קבוצה אורתוגונלית.
למשל הקבוצה {(110),(1−10),(002)}\left\{\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 2\end{pmatrix}\right\} ב-R3\mathbb{R}^3 היא קבוצה אורתוגונלית.
הערה 4: אם {u1,…,uk}\{u_1,\dots,u_k\} קבוצה אורתוגונלית אזי לכל α1,…,αk∈C\alpha_1,\dots,\alpha_k\in\mathbb{C}, גם {α1u1,…,αkuk}\{\alpha_1u_1,\dots,\alpha_ku_k\} היא קבוצה אורתוגונלית.
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
הגדרה

אורתונורמליות

יהי VV מרחב מכפלה פנימית ויהיו u1,…,uk∈Vu_1,\dots,u_k\in V
נאמר ש-u1,…,uku_1,\dots,u_k אורתונורמליים אם:
1. הם אורתוגונליים.
2. הם וקטורי יחידה.
כלומר מתקיים:
לכל 1≤i,j≤k1\le i,j\le k: ⟨ui,uj⟩=δij={0i≠j1i=j\langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij}=\begin{cases}0 & i\neq j\\ 1 & i=j\end{cases}
כלומר הוקטורים הם וקטורים מנורמלים שכולם מאונכים זל"ז.
הפונקציה הזו נקראת "הדלתא של קרונקר"
הוקטורים u,v,wu,v,w (הוקטורים (0,0,1)(0,0,1), (0,1,0)(0,1,0), (1,0,0)(1,0,0)) הם אורתונורמליים.
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
הגדרה

ההיטל האורתוגונלי

יהי VV מרחב מכפלה פנימית ויהי WW תת-מרחב של VV. יהיו u1,…,uku_1,\dots,u_k בסיס אורתונורמלי של WW. יהי v∈Vv\in V.
ההיטל האורתוגונלי של vv על WW (או על u1,…,uku_1,\dots,u_k) הוא:
v~=projW(v)=proju1,…,uk(v)=∑i=1k⟨v,ui⟩ui\tilde v=proj_W(v)=proj_{u_1,\dots,u_k}(v)=\sum_{i=1}^{k}\langle v,u_i\rangle u_i
הערה 2: נשים לב ש-projW(v)∈Span{u1,…,uk}=Wproj_W(v)\in Span\{u_1,\dots,u_k\}=W
הערה 3: אם v∈span{u1,…,uk}v\in span\{u_1,\dots,u_k\} אז projW(v)=vproj_W(v)=v. (בהמחשה שלנו, אם vv היה במישור הנפרש ע"י {u1,u2}\{u_1,u_2\} אז ההיטל שלו היה הוא עצמו.)
המחשה גיאומטרית ב-R3\mathbb{R}^3: W=span{u1,u2}W=span\{u_1,u_2\}
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 12 · הרצאה 12 · תהליך גרם-שמידט
הגדרה

גרם שמידט - הרחבה: תהליך גרם שמידט לאורתונורמליזציה

בעזרת תהליך גרם שמידט עם שינויים קלים ניתן לבנות בסיס אורתונורמלי (במקום אורתוגונלי).
הכוונה היא שבכל שלב בבניה האינדוקטיבית כל הוקטורים מנורמלים.
פעמים רבות כשמתייחסים לתהליך גרם שמידט הכוונה היא לגרסה הזאת.
תהליך גרם שמידט לאורתונורמליזציה:
יהי VV ממ"פ. יהיו v1,…,vn∈Vv_1,\dots,v_n\in V בסיס של VV.
נגדיר וקטורים u1,…,un∈Vu_1,\dots,u_n\in V בצורה הבאה באופן אינדוקטיבי:
1. נגדיר את הוקטור הראשון בבסיס באופן הבא: u1=v1∥v1∥u_1=\dfrac{v_1}{\|v_1\|}
2. לכל 2≤k<n2\le k<n נגדיר: uk+1∗=vk+1−∑i=1k⟨vk+1,ui⟩uiu_{k+1}^{*}=v_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\langle v_{k+1},u_i\rangle u_i וממנו נגדיר את uk+1=uk+1∗∥uk+1∗∥u_{k+1}=\dfrac{u_{k+1}^{*}}{\|u_{k+1}^{*}\|}
נרצה לקחת בסיס של VV ולייצר ממנו בסיס אורתונורמלי.
שימו לב, אפשר גם לעשות את התהליך ה"רגיל" ולנרמל הכל בסוף. ההבדל הוא שכאן בכל שלב מתקבלים וקטורים מנורמלים.
מסקנה 3: לכל מרחב מכפלה פנימית נוצר סופית יש בסיס אורתונורמלי.
תהליך גרם–שמידט
v₁v₂
נתונים שני וקטורים בת״ל v₁, v₂ — אבל הם לא ניצבים זה לזה.
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
הגדרה

מטריצה אורתוגונלית

תהי O∈Mn(R)O\in M_n(\mathbb{R}).
נאמר ש-OO היא מטריצה אורתוגונלית אם עמודות OO הן בסיס אורתונורמלי ל-Rn\mathbb{R}^n.
המטריצה נקראת אורתוגונלית אבל עמודותיה הן בסיס אורתונורמלי!
דוגמאות: המטריצה O=(0110)O=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix} היא אורתוגונלית.
המטריצה P=(111−1)P=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-1\end{pmatrix} היא לא אורתוגונלית. אבל O=12(111−1)O=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-1\end{pmatrix} כן.
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.