MentoraLINEAR 2

שבוע 2 — קיום ויחידות ומשפט המימדים

הגדרת ה"ל על בסיס, משפט המימדים השני, איזומורפיזם

קיום ויחידותמשפט המימדיםRank–Nullityאיזומורפיזם

רקע — על מה השבוע הזה

שני משפטים שהם עמוד השדרה של כל הקורס. הראשון אומר שהעתקה לינארית נקבעת לחלוטין ע"י מה שהיא עושה לבסיס — ולכן אפשר "להמציא" העתקה פשוט ע"י בחירת תמונות לאיברי הבסיס. השני, משפט המימדים, קושר בין הגרעין לתמונה ומאפשר להסיק מימד אחד מהשני.

קיום ויחידותמשפט המימדיםRank–Nullityאיזומורפיזם

הגדרות (2)

הניסוח המלא מהמצגת
הגדרות - תזכורות מלינארית 1מרחב השורות, מרחב העמודות, מרחב האפס ודרגות
יהי F\mathbb{F} שדה ותהי A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(\mathbb{F}).
תהיינה C1⃗,…,Cn⃗∈Fm\vec{C_1}, \dots , \vec{C_n} \in \mathbb{F}^m עמודות AA ותהיינה R1,…,Rm∈FnR_1, \dots ,R_m \in \mathbb{F}^n שורות AA. נסמן:
1. מרחב השורות של AA: row(A)=span{R1,…,Rm}row(A) = span\{R_1, \dots ,R_m\}
2. מרחב העמודות של AA: col(A)=span{C1⃗,…,Cn⃗}col(A) = span\{\vec{C_1}, \dots , \vec{C_n}\}
3. מרחב האפס של AA: null(A)={x⃗∈Fn∣Ax⃗=0}null(A) = \{\vec{x} \in \mathbb{F}^n \mid A\vec{x} = 0\}
4. דרגת השורות של AA: row−rank(A)=dim⁡row(A)row - rank(A) = \dim row(A)
5. דרגת העמודות של AA: col−rank(A)=dim⁡col(A)col - rank(A) = \dim col(A)
הגדרותאיזומורפיזם, אוטומורפיזם ומרחבים איזומורפיים
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטורים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W.
נאמר ש- TT היא איזומורפיזם אם: 1. TT היא העתקה לינארית.
2. TT הפיכה (חח"ע ועל).
אם V=WV = W נאמר ש- TT היא אוטומורפיזם.
נאמר ש- V,WV,W הם איזומורפיים ונסמן V≅WV \cong W אם קיימת T:V→WT: V \to W שהיא איזומורפיזם.

משפטים ומסקנות (4)

ניסוחים בלבד — ההוכחות בלשונית ההרצאה
משפט 1קיום ויחידותצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
נניח ש- VV נוצר סופית ויהי v1,…,vnv_1, \dots ,v_n בסיס של VV.
יהיו w1,…,wn∈Ww_1, \dots ,w_n \in W.
אזי קיימת ה"ל יחידה T:V→WT: V \to W כך ש- T(vi)=wiT(v_i) = w_i לכל 1≤i≤n1 \leq i \leq n.
משפט 2משפט המימדים השניצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. נניח ש- VV נוצר סופית.
תהי T:V→WT: V \to W ה"ל.
אזי: dim⁡V=dim⁡Ker T+dim⁡Im T\dim V = \dim Ker\,T + \dim Im\,T
מסקנות חשובותמשפט המימדים - מסקנות חשובותצריך לדעת להוכיח
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
נניח ש- V,WV,W נוצרים סופית. תהי T∈Hom(V,W)T \in Hom(V,W). אזי:
1. כאשר dim⁡V=dim⁡W\dim V = \dim W מתקיים: TT חח"ע אם"ם TT על.
2. כאשר dim⁡V<dim⁡W\dim V < \dim W מתקיים: TT אינה על.
3. כאשר dim⁡V>dim⁡W\dim V > \dim W מתקיים: TT אינה חח"ע.
מסקנה 4Rank-nullity theoremצריך לדעת להוכיח
• תהי A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(\mathbb{F}). אזי dim⁡null(A)+rank(A)=n\dim null(A) + rank(A) = n

הערות (4)

הערה 1 — מרחב העמודות הוא התמונה של TAT_A
• ידוע שלכל x⃗∈Fn\vec{x} \in \mathbb{F}^n מתקיים: Ax⃗=x1C1⃗+x2C2⃗+⋯+xnCn⃗A\vec{x} = x_1 \vec{C_1} + x_2 \vec{C_2} + \cdots + x_n \vec{C_n} הגדרת כפל בעמודות.
• לכן:
col(A)=span{C1⃗,…,Cn⃗}={x1C1⃗+⋯+xnCn⃗∣xn∈F}=col(A) = span\{\vec{C_1}, \dots , \vec{C_n}\} = \{x_1 \vec{C_1} + \cdots + x_n \vec{C_n} \mid x_n \in \mathbb{F}\} =
={Ax⃗∣x⃗∈Fn}={TA(x⃗)∣x⃗∈Fn}=Im(TA)= \{A\vec{x} \mid \vec{x} \in \mathbb{F}^n\} = \{T_A(\vec{x}) \mid \vec{x} \in \mathbb{F}^n\} = Im(T_A)
הערה 2 — מרחב האפס הוא הגרעין של TAT_A
• נשים לב ש- null(A)={x⃗∈Fn∣Ax⃗=0}=Ker(TA)null(A) = \{\vec{x} \in \mathbb{F}^n \mid A\vec{x} = 0\} = Ker(T_A)
• מכאן נסיק כמובן ש- dim⁡col(A)=dim⁡Im(TA)\dim col(A) = \dim Im(T_A) , dim⁡null(A)=dim⁡Ker(TA)\dim null(A) = \dim Ker(T_A)
הערה 3 — איזומורפיזם הוא יחס שקילות
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,W,UV,W,U מרחבים וקטורים מעל F\mathbb{F}. אזי:
1. V≅VV \cong V
2. אם V≅WV \cong W אז W≅VW \cong V
3. אם V≅WV \cong W וגם W≅UW \cong U אז V≅UV \cong U
המחשה גיאומטרית
המחשה גיאומטרית

אם נתון לי… אז אני יודעת

9 מסקנות · זה מה שכותבים בשורה הראשונה של הפתרון
נתון בסיס v1,…,vnv_1,\dots,v_n של VV ונתונות התמונות T(vi)=wiT(v_i)=w_i
  • קיימת ה"ל יחידה כזאת (משפט 1) — אז מותר לדבר על "ההעתקה" ביידוע
  • כדי לחשב T(v)T(v): פרקי את vv לפי הבסיס וקחי את אותו צירוף של ה-wiw_i
  • Im⁡T=span{w1,…,wn}\operatorname{Im}T=span\{w_1,\dots,w_n\} (משפט 11 משבוע 1)
  • dim⁡Im⁡T\dim\operatorname{Im}T = מספר הווקטורים הבת"ל מבין ה-wiw_i
משפט 1 דורש שהנתונים יהיו על בסיס. אם הווקטורים הנתונים ת"ל — או שאין ה"ל כזאת בכלל, או שיש אינסוף. אם הם בת"ל ולא פורשים — יש אינסוף ואין יחידות.
T:V→WT:V\to W ה"ל ו-VV נוצר סופית
  • dim⁡V=dim⁡ker⁡T+dim⁡Im⁡T\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T (משפט המימדים השני)
  • ולכן ידיעת אחד משני המימדים נותנת מיד את השני
  • dim⁡Im⁡T≤dim⁡V\dim\operatorname{Im}T\le\dim V וגם dim⁡Im⁡T≤dim⁡W\dim\operatorname{Im}T\le\dim W
המשפט הוא על dim⁡V\dim V — מימד התחום — ולא על dim⁡W\dim W. זו הטעות הקלאסית ביותר בקורס.
TT חח"ע ו-VV נוצר סופית
  • ker⁡T={0V}\ker T=\{0_V\} ולכן dim⁡ker⁡T=0\dim\ker T=0
  • ולכן dim⁡Im⁡T=dim⁡V\dim\operatorname{Im}T=\dim V
  • TT מעבירה בת"ל לבת"ל
  • אם בנוסף dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W — אז TT גם על, ולכן הפיכה
המעבר מ"חח"ע" ל"על" עובד רק כששני המרחבים נוצרים סופית ובעלי אותו מימד. במימד אינסופי (למשל T(p)=xpT(p)=xp על F[x]\mathbb{F}[x]) זה נשבר.
dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W (סופי) ו-T∈Hom(V,W)T\in Hom(V,W)
  • TT חח"ע אם"ם TT על אם"ם TT הפיכה (מסקנה 1)
  • ולכן מספיק להוכיח אחד מהשניים
  • בפרט לאופרטור T:V→VT:V\to V זה תמיד חל
אם המימדים שונים — האם"ם קורס לגמרי. אז חייבים לבדוק את שני התנאים בנפרד.
dim⁡V>dim⁡W\dim V>\dim W
  • TT אינה חח"ע (מסקנה 3)
  • ולכן ker⁡T≠{0V}\ker T\neq\{0_V\} — קיים 0V≠v0_V\neq v עם T(v)=0WT(v)=0_W
  • dim⁡ker⁡T≥dim⁡V−dim⁡W\dim\ker T\ge\dim V-\dim W
זה מספק תשובה מיידית לשאלות "הוכיחי או הפריכי: קיים x⃗≠0⃗\vec x\neq\vec0 עם Tx⃗=0⃗T\vec x=\vec0" — לא צריך לחשב כלום, רק לספור מימדים.
dim⁡V<dim⁡W\dim V<\dim W
  • TT אינה על (מסקנה 2)
  • ולכן Im⁡T\operatorname{Im}T הוא תמ"ו ממש של WW
  • ובפרט TT אינה הפיכה ואינה איזומורפיזם
A∈Mm×n(F)A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})
  • Im⁡TA=col(A)\operatorname{Im}T_A=col(A) (הערה 1) ו-ker⁡TA=null(A)\ker T_A=null(A) (הערה 2)
  • dim⁡null(A)+rank(A)=n\dim null(A)+rank(A)=n — מספר העמודות (מסקנה 4)
  • ולכן dim⁡Im⁡TA=rank(A)\dim\operatorname{Im}T_A=rank(A)
ב-rank-nullity המספר nn הוא מספר העמודות (מימד התחום Fn\mathbb{F}^n), לא מספר השורות.
נתון ש-ker⁡T=Im⁡T\ker T=\operatorname{Im}T (עבור אופרטור T:V→VT:V\to V)
  • dim⁡V=2dim⁡ker⁡T\dim V=2\dim\ker T ולכן dim⁡V\dim V זוגי
  • ולכן ב-R3\mathbb{R}^3 אין TT כזאת (תרגיל 2)
  • וב-R4\mathbb{R}^4 יש — ואפשר לבנות אותה ע"י הגדרה על בסיס (תרגיל 3)
T:V→WT:V\to W איזומורפיזם ו-VV נוצר סופית
  • TT לינארית, חח"ע ועל, ו-T−1T^{-1} גם היא איזומורפיזם
  • dim⁡ker⁡T=0\dim\ker T=0 ו-Im⁡T=W\operatorname{Im}T=W, ולכן ממשפט המימדים dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W
  • ≅\cong הוא יחס שקילות: רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי (הערה 3)

איך מפריכים

מהבדיקה הזולה ביותר לכיוון היקרה
להפריך שקיימת ה"ל עם התכונות הנתונות
  1. 1הזול ביותר — ספירת מימדים: רשמי dim⁡V\dim V, dim⁡W\dim W, ומה שהשאלה דורשת מ-ker⁡T\ker T ומ-Im⁡T\operatorname{Im}T.
  2. 2הציבי במשפט המימדים dim⁡V=dim⁡ker⁡T+dim⁡Im⁡T\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T. אם מתקבלת סתירה אריתמטית (מימד שלילי, לא שלם, או גדול מדי) — סיימת.
  3. 3בדקי חסמים: dim⁡Im⁡T≤min⁡(dim⁡V,dim⁡W)\dim\operatorname{Im}T\le\min(\dim V,\dim W).
  4. 4בדקי זוגיות/דרישות מבניות: למשל ker⁡T=Im⁡T\ker T=\operatorname{Im}T מחייב dim⁡V\dim V זוגי.
  5. 5רק אם ספירת המימדים עוברת — חפשי סתירה בנתונים עצמם (ת"ל בין וקטורי המקור, כמו בשבוע 1).
להפריך ש-TT על / חח"ע — בלי לחשב
  1. 1השוו מימדים: dim⁡V<dim⁡W\dim V<\dim W מפריך "על" מיידית (מסקנה 2).
  2. 2dim⁡V>dim⁡W\dim V>\dim W מפריך "חח"ע" מיידית (מסקנה 3).
  3. 3אם המימדים שווים — אין קיצור דרך; חשבי ker⁡T\ker T (המערכת ההומוגנית) והכריעי לפי משפט 10.
  4. 4אם T=TAT=T_A — מספיק לדרג את AA: rank(A)<nrank(A)<n שולל חח"ע, rank(A)<mrank(A)<m שולל על.

איך מוכיחים

המהלכים שעובדים בשבוע הזה
להוכיח שקיימת ה"ל בעלת תכונות נתונות
  1. 1הפכי את הדרישה לדרישה על מימדים ובדקי שמשפט המימדים מאפשר אותה.
  2. 2בחרי בסיס נוח v1,…,vnv_1,\dots,v_n של VV.
  3. 3הגדירי את TT על הבסיס בלבד — קבעי T(vi)=wiT(v_i)=w_i כך שיתקיים מה שנדרש.
  4. 4צטטי את משפט 1 (קיום ויחידות): הגדרה על בסיס מייצרת ה"ל, ואין צורך להוכיח לינאריות בנפרד.
  5. 5ודאי שהתמונות שבחרת אכן נותנות את Im⁡T\operatorname{Im}T הרצוי (הן פורשות אותו).
לחשב dim⁡ker⁡T\dim\ker T או dim⁡Im⁡T\dim\operatorname{Im}T
  1. 1רשמי את dim⁡V\dim V — של התחום.
  2. 2חשבי את הקל מבין השניים: אם TT נתונה במטריצה — rankrank; אם היא נתונה על בסיס — spanspan של התמונות.
  3. 3השלימי מהמשפט: dim⁡ker⁡T=dim⁡V−dim⁡Im⁡T\dim\ker T=\dim V-\dim\operatorname{Im}T.
  4. 4אם נתון "TT על" — אז dim⁡Im⁡T=dim⁡W\dim\operatorname{Im}T=\dim W ואפשר לדלג על החישוב.
להוכיח ש-V≅WV\cong W
  1. 1הדרך הישירה: בנו ה"ל קונקרטית T:V→WT:V\to W (בדרך כלל ע"י הגדרה על בסיס).
  2. 2הראו חח"ע: ker⁡T={0V}\ker T=\{0_V\}.
  3. 3אם dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W סופי — "על" מתקבל בחינם (מסקנה 1), אין צורך להוכיח.
  4. 4לחלופין השתמשו בטרנזיטיביות: V≅UV\cong U ו-U≅WU\cong W גורר V≅WV\cong W (הערה 3).

מסקנות — מה לוקחים מהשבוע

  • 1משפט המימדים הוא על dim V — מימד התחום. זו הטעות הקלאסית במבחן.
  • 2כששני המרחבים מאותו מימד סופי: חח"ע ⟺ על ⟺ הפיכה. אחד מספיק כדי להסיק את השאר.
  • 3איזומורפיזם הוא יחס שקילות, וכל מ"ו נ"ס ממימד n איזומורפי ל-Fⁿ — ולכן מספיק להבין את Fⁿ.
מטלה 3
לתרגל את החומר של השבוע
שקפי הרצאה 2
המצגת המקורית במלואה
שבוע 1:העתקות לינאריותקואורדינטות ומטריצה מייצגת:שבוע 3