שבוע 0 — חזרה מסמסטר א׳

מטריצה מצורפת וכלל קרמר

מטריצה מצורפתכלל קרמרמינוריםדטרמיננטות

רקע — על מה השבוע הזה

אלה הכלים מסמסטר א׳ שהקורס הזה נשען עליהם כבר מהשיעור הראשון. המטריצה המצורפת adj(A) בנויה מהמינורים של A עם סימני שחמט והיא משוחלפת — האיבר ה‑(i,j) בה בנוי מהמינור ה‑(j,i). מכאן נובע הקשר המרכזי A·adj(A) = det(A)·I, ומכאן גם הנוסחה להופכית וגם כלל קרמר.

מטריצה מצורפתכלל קרמרמינוריםדטרמיננטות

אם נתון לי… אז אני יודעת

7 מסקנות · זה מה שכותבים בשורה הראשונה של הפתרון

בשאלה מופיעה

\mathrm{adj}(A)

$A\cdot\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(A)\cdot A=\det(A)\,I_n$ — זו הזהות היחידה שהכול נגזר ממנה
אם $A$ הפיכה: $\mathrm{adj}(A)=\det(A)\,A^{-1}$ , ומכאן ממשיכים באלגברה של מטריצות הפיכות
$\det(\mathrm{adj}(A))=(\det A)^{n-1}$
תמיד כדאי להפעיל $\det$ על שני אגפי המשוואה הנתונה ולקבל משוואה סקלרית ב- $\det(A)$

\mathrm{adj}(A)

מוגדרת לכל מטריצה ריבועית, גם לא הפיכה. ההצבה

\mathrm{adj}(A)=\det(A)A^{-1}

חוקית רק אחרי שהראית

\det(A)\neq0

צריך לחשב

\mathrm{adj}(A)

לפי ההגדרה

$[\mathrm{adj}(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ji}$ — האינדקסים מתחלפים
$\mathrm{adj}(A)$ היא השחלוף של מטריצת הקופקטורים
עבור $2\times2$ : $\mathrm{adj}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

זו הטעות מספר 1: לכתוב

M_{ij}

במקום

M_{ji}

. בבדיקה מהירה — הכפילי ב-

A

וודאי שקיבלת

\det(A)I_n

A

הפיכה

$\det(A)\neq0$
$A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\mathrm{adj}(A)$
למערכת $A\vec x=\vec b$ יש פתרון יחיד
מותר להשתמש בכלל קרמר

מעל שדה סופי "שונה מאפס" הוא מודולו

p

: ב-

\mathbb{Z}_7

הערך

\det A=7

פירושו

\det A=0

, כלומר

A

אינה הפיכה.

\det(A)=0

$A$ אינה הפיכה והעמודות שלה ת"ל
$A\cdot\mathrm{adj}(A)=0_n$
אסור להשתמש בכלל קרמר ואסור להציב $\mathrm{adj}(A)=\det(A)A^{-1}$
למערכת $A\vec x=\vec b$ יש אינסוף פתרונות או אף פתרון

מ-

A\cdot\mathrm{adj}(A)=0_n

אי אפשר להסיק

\mathrm{adj}(A)=0_n

— אין חוק צמצום למטריצות לא הפיכות.

נתונה מערכת ריבועית

A\vec x=\vec b

עם

\det(A)\neq0

הפתרון יחיד ונתון בכלל קרמר: $x_i=\dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}$
$A_i$ היא $A$ שבה העמודה ה- $i$ הוחלפה ב- $\vec b$
אם ביקשו רק רכיב אחד — מחשבים רק דטרמיננטה אחת, לא פותרים את המערכת

קרמר דורש מטריצה ריבועית והפיכה. במערכת עם פרמטר חייבים לפצל למקרים לפי

\det(A)=0

, ובמערכת לא ריבועית קרמר לא חל כלל.

מופיעה

\mathrm{adj}

של מכפלה או של כפל בסקלר

$\mathrm{adj}(A)\mathrm{adj}(B)=\mathrm{adj}(BA)$ — שימי לב להיפוך הסדר
$\mathrm{adj}(cA)=c^{\,n-1}\mathrm{adj}(A)$
$\mathrm{adj}(A^{-1})=\dfrac{A}{\det(A)}$ (כאשר $A$ הפיכה)

\mathrm{adj}

אינה לינארית:

\mathrm{adj}(A+B)\neq\mathrm{adj}(A)+\mathrm{adj}(B)

בדרך כלל. וכן

\mathrm{adj}(-A)=(-1)^{n-1}\mathrm{adj}(A)

— הסימן תלוי בזוגיות

n

השאלה מבקשת

\det

של ביטוי מטריציוני

$\det(AB)=\det(A)\det(B)$ ו- $\det(A^t)=\det(A)$
$\det(cA)=c^{\,n}\det(A)$
$\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}$
אחרי ההפעלה נשארת משוואה סקלרית אחת — פותרים אותה כמשוואה רגילה

\det(cA)=c^{\,n}\det(A)

ולא

c\det(A)

— זו הטעות היקרה ביותר. וגם

\det(A+B)\neq\det(A)+\det(B)

איך מפריכים

מהבדיקה הזולה ביותר לכיוון היקרה

להפריך זהות מוצעת על

\mathrm{adj}

(למשל

\mathrm{adj}(A+B)=\mathrm{adj}(A)+\mathrm{adj}(B)

)

1שלב 0 — לא לחפש דוגמה נגדית ב- $2\times2$ : שם $\mathrm{adj}$ היא לינארית ולכן לא תמצאי שם דוגמה נגדית לאדיטיביות.
2עברי ל- $3\times3$ ולמטריצות הכי פשוטות שיש: $A=B=I_3$ .
3חשבי בעזרת $\mathrm{adj}(X)=\det(X)X^{-1}$ : $\mathrm{adj}(2I_3)=8\cdot\tfrac12 I_3=4I_3$ , בעוד $\mathrm{adj}(I_3)+\mathrm{adj}(I_3)=2I_3$ . $4I_3\neq2I_3$ — הופרך.
4לזהות מהצורה $\mathrm{adj}(-A)=-\mathrm{adj}(A)$ : קחי $n=3$ ו- $A=I_3$ , ואז $\mathrm{adj}(-I_3)=I_3\neq-I_3$ .
5רק אם שתי הדוגמאות הפשוטות נכשלו — נסי מטריצה אלכסונית לא סקלרית כמו $\mathrm{diag}(1,2,3)$ .

להפריך שאפשר לפתור את המערכת בכלל קרמר

1בדקי שהמערכת ריבועית — אם מספר המשוואות שונה ממספר הנעלמים, קרמר לא חל וסיימת.
2חשבי $\det(A)$ . אם הוא $0$ — קרמר לא חל.
3אם יש פרמטר: פתרי $\det(A)=0$ וקבלי בדיוק את הערכים שבהם קרמר נשבר.
4הדגימי שם: הראי שהמערכת חסרת פתרון או בעלת אינסוף פתרונות (דירוג מהיר).

איך מוכיחים

המהלכים שעובדים בשבוע הזה

להוכיח זהות שמערבת

\mathrm{adj}

1בדקי אם נתון (או נובע) ש- $A$ הפיכה. אם לא — עבדי ישירות עם $A\cdot\mathrm{adj}(A)=\det(A)I_n$ .
2אם כן — החליפי כל $\mathrm{adj}(X)$ ב- $\det(X)X^{-1}$ . מכאן זו אלגברה של מטריצות הפיכות בלבד.
3העבירי את הסקלרים ( $\det$ ) לצד אחד — הם מתחלפים עם הכול.
4צמצמי משמאל/מימין במטריצות הפיכות בלבד, וכתבי במפורש למה מותר.
5אם המבוקש הוא רק דטרמיננטה — הפעילי $\det$ על שני האגפים כבר בהתחלה.

לחלץ

\det(A)

ממשוואה מטריציונית נתונה

1הפעילי $\det$ על שני אגפי המשוואה.
2פרקי בעזרת $\det(AB)=\det A\det B$ , $\det(A^t)=\det A$ , $\det(cA)=c^n\det A$ , $\det(\mathrm{adj}A)=(\det A)^{n-1}$ .
3סמני $d=\det(A)$ וקבלי משוואה פולינומית ב- $d$ — פתרי אותה.
4פסלי פתרונות: אם נתון ש- $A$ הפיכה, $d=0$ נפסל.
5בשדה סופי — צמצמי מודולו $p$ רק בסוף.

להוכיח/להשתמש בכלל קרמר

1ודאי ריבועיות והפיכות ( $\det(A)\neq0$ ).
2כתבי $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{adj}(A)$ ולכן $\vec x=A^{-1}\vec b=\frac{1}{\det A}\mathrm{adj}(A)\vec b$ .
3הרכיב ה- $i$ של $\mathrm{adj}(A)\vec b$ הוא בדיוק פיתוח לפלס של $\det(A_i)$ לפי העמודה ה- $i$ .
4מסקנה: $x_i=\det(A_i)/\det(A)$ .

מסקנות — מה לוקחים מהשבוע

1adj(A) תמיד מוגדרת — גם כשהמטריצה לא הפיכה. רק החלוקה ב-det דורשת הפיכות.
2הסימון הפוך: [adj(A)]_{ij} בנוי מהמינור M_{ji}. זו הטעות הכי נפוצה בחישוב.
3כלל קרמר נוח לשאלות תיאורטיות ולמערכות קטנות, אבל לא לחישוב בפועל.

מטלה 1

לתרגל את החומר של השבוע

בשבוע 0 לא הייתה הרצאה — החומר כולו בתרגול 1 ובמטלה 1.

העתקות לינאריות:שבוע 1