MentoraLINEAR 2

פענוח סימונים — מה הנוסחה הזאת בכלל אומרת

רוב השאלות שנתקעים בהן לא בודקות אם את יודעת את החומר, אלא אם את מזהה אותו כשהוא כתוב באינדקסים. זה הדף שמתרגם.

27 סימונים
8 מהם בדף הנוסחאות — רק לזהות

הכלל שמפענח כל Σ\Sigma בקורס

  1. 1תסתכלי איזו אות רצה מתחת ל-Σ\Sigma. זו האות היחידה שזזה. כל שאר האותיות קפואות — הן פרמטרים של השאלה, לא של הסכום.
  2. 2תמצאי איפה האות הרצה יושבת בתוך האינדקס. ב-[A]ij[A]_{ij} — ii הוא תמיד השורה ו-jj תמיד העמודה. המקום הראשון שורה, השני עמודה, בלי יוצא מן הכלל.
  3. 3אם הרצה במקום השני — סורקים לרוחב שורה קבועה. אם הרצה במקום הראשון — סורקים למטה בעמודה קבועה.
  4. 4עכשיו תשאלי מה הביטוי בתוך הסכום. אם הוא "איבר כפול מינור כפול (−1)(-1) בחזקת סכום האינדקסים" — זו דטרמיננטה, נקודה.
הדוגמה מהמטלה — מטלה 2 ש׳2(ב)
∑k=1n(−1)i+k[A]ikMik(A)  =  ∑k=1n(−1)k+j[B]kjMkj(B)\sum_{k=1}^{n}(-1)^{i+k}[A]_{ik}M^{(A)}_{ik} \;=\; \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+j}[B]_{kj}M^{(B)}_{kj}
משמאל: האות הרצה היא kk, והיא במקום השני של [A]ik[A]_{ik} — כלומר עמודה. ii קפוא. אז סורקים לרוחב שורה ii: זה פיתוח לפי שורה ii, ולכן זה det⁡(A)\det(A).
מימין: האות הרצה היא kk, והיא במקום הראשון של [B]kj[B]_{kj} — כלומר שורה. jj קפוא. אז סורקים למטה בעמודה jj: זה פיתוח לפי עמודה jj, ולכן זה det⁡(B)\det(B).
המסקנה: השוויון אומר בסך הכול det⁡(A)=det⁡(B)\det(A)=\det(B) — וזה נכון כי A∼BA\sim B. שתי שורות של פתרון.
שתי הנוסחאות האלה מודפסות בדף הנוסחאות הרשמי, באותו סימון בדיוק. אין מה לשנן — רק לזהות.
הסימוןאיך קוראיםמה זה, ומה הפח
[A]ij[A]_{ij}
האיבר ijij של AAהמספר שיושב בשורה ii ובעמודה jj.
ראשון = שורה, שני = עמודה. זה הסדר בכל הקורס, בלי יוצא מן הכלל. אם תתבלבלי כאן, כל השאר יתהפך.
Mij(A)M^{(A)}_{ij}
המינור ijij של AAהדטרמיננטה של המטריצה שמתקבלת מ-AA אחרי מחיקת שורה ii ועמודה jj. זו מטריצה מסדר (n−1)×(n−1)(n-1)\times(n-1).
שימי לב: המינור הוא מספר, לא מטריצה. ה-(A)(A) למעלה הוא רק תזכורת מאיזו מטריצה הוא בא — הוא לא חזקה.
(−1)i+jMij(A)(-1)^{i+j}M^{(A)}_{ij}
הקופקטור ijijהמינור עם סימן השחמט. (−1)i+j(-1)^{i+j} זה ++ כשהסכום זוגי ו-−- כשהוא אי-זוגי.
בפועל: תציירי בראש לוח שחמט שמתחיל ב-++ בפינה הימנית-עליונה.
∑j=1n(−1)i+j[A]ijMij(A)\displaystyle\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}[A]_{ij}M^{(A)}_{ij}
בדף הנוסחאות		פיתוח לפי שורה iidet⁡(A)\det(A). ii קפוא, jj רץ במקום השני (עמודה) — סורקים לרוחב שורה ii.
∑i=1n(−1)i+j[A]ijMij(A)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}[A]_{ij}M^{(A)}_{ij}
בדף הנוסחאות		פיתוח לפי עמודה jjdet⁡(A)\det(A). jj קפוא, ii רץ במקום הראשון (שורה) — סורקים למטה בעמודה jj.
שתי הנוסחאות נותנות את אותו מספר. תבחרי את השורה או העמודה עם הכי הרבה אפסים.
[adj(A)]ij=(−1)i+jMji(A)[\mathrm{adj}(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}M^{(A)}_{ji}
בדף הנוסחאות		המטריצה המצורפתמטריצת הקופקטורים משוחלפת.
האינדקסים מתהפכים! משמאל ijij, מימין jiji. זו המלכודת הכי נפוצה בשאלות adj, והיא מודפסת ככה בדף הנוסחאות.
AtA^t
AA משוחלפת[At]ij=[A]ji[A^t]_{ij}=[A]_{ji} — הופכים שורות ועמודות.
tr(A)\mathrm{tr}(A)
העקבהסכום האלכסון הראשי, ∑i[A]ii\sum_i [A]_{ii}.
מוגדרת רק למטריצה ריבועית.
A∼BA\sim B
AA דומה ל-BBקיימת PP הפיכה עם B=P−1APB=P^{-1}AP.
r(A)r(A) / rank(A)\mathrm{rank}(A)
הדרגהמספר השורות הלא-אפסיות בצורה המדורגת.
הסימוןאיך קוראיםמה זה, ומה הפח
[v]A[v]_{\mathcal{A}}
בדף הנוסחאות		וקטור הקואורדינטות של vv לפי A\mathcal{A}עמודת המקדמים כש-vv נכתב כצירוף של אברי הבסיס A\mathcal{A}.
[T]BA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}
בדף הנוסחאות		המטריצה המייצגת של TT מ-A\mathcal{A} ל-B\mathcal{B}העמודה ה-jj שלה היא [T(vj)]B[T(v_j)]_{\mathcal{B}}, כאשר vjv_j הוא האיבר ה-jj בבסיס A\mathcal{A}.
בקורס הזה: עליון = בסיס התחום, תחתון = בסיס הטווח. חלק מהספרים הופכים — אל תיקחי נוסחה מגוגל.
[T]BA[v]A=[T(v)]B[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{A}}=[T(v)]_{\mathcal{B}}
החוק המרכזיהאינדקסים "מתקזזים" מבפנים החוצה: A\mathcal{A} נפגש עם A\mathcal{A} ונשאר B\mathcal{B}.
זו בדיקת השפיות שלך בכל שאלה — אם האינדקסים לא מתקזזים, כתבת את המכפלה בסדר הפוך.
[id]BA[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}
מטריצת המעבר מ-A\mathcal{A} ל-B\mathcal{B}מכפילה וקטור קואורדינטות לפי A\mathcal{A} ומחזירה אותו לפי B\mathcal{B}. תמיד הפיכה, וההופכית היא [id]AB[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}.
ker⁡T\ker T
הגרעין{v∈V:T(v)=0W}\{v\in V: T(v)=0_W\} — תת-מרחב של התחום.
Im T\mathrm{Im}\,T
התמונה{T(v):v∈V}\{T(v): v\in V\} — תת-מרחב של הטווח.
hom⁡(V,W)\hom(V,W)
כל ההעתקות הלינאריותמרחב וקטורי בפני עצמו, ממימד dim⁡V⋅dim⁡W\dim V\cdot\dim W.
הסימוןאיך קוראיםמה זה, ומה הפח
pA(λ)=det⁡(λIn−A)p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)
בדף הנוסחאות		הפולינום האופיינימתוקן — זו ההגדרה בקורס הזה, לא det⁡(A−λI)\det(A-\lambda I).
לכן הוא מתוקן (מקדם מוביל 11), המקדם של λn−1\lambda^{n-1} הוא −tr(A)-\mathrm{tr}(A), והאיבר החופשי הוא (−1)ndet⁡(A)(-1)^n\det(A).
VλV_\lambda
המרחב העצמי של λ\lambdaker⁡(A−λI)\ker(A-\lambda I) — כל הו"ע של λ\lambda, ועוד וקטור האפס.
AM(λ)AM(\lambda)
ריבוי אלגבריהחזקה של (λ−α)(\lambda-\alpha) בפירוק של pAp_A.
GM(λ)GM(\lambda)
ריבוי גיאומטריdim⁡Vλ=n−rank(A−λI)\dim V_\lambda = n-\mathrm{rank}(A-\lambda I).
תמיד 1≤GM≤AM1\le GM\le AM עבור ע"ע אמיתי. חישוב GMGM הוא תמיד דירוג, אף פעם לא ניחוש.
הסימוןאיך קוראיםמה זה, ומה הפח
⟨u,v⟩\langle u,v\rangle
בדף הנוסחאות		המכפלה הפנימיתב-Fn\mathbb{F}^n הסטנדרטית: ∑iuivi‾\sum_i u_i\overline{v_i}.
הקו העליון על הרכיב השני. לינארית ברכיב הראשון, צמודה-לינארית בשני. מעל R\mathbb{R} הקו נעלם.
∥v∥\|v\|
הנורמה⟨v,v⟩\sqrt{\langle v,v\rangle} — תמיד ממשי ואי-שלילי, גם מעל C\mathbb{C}.
u⊥vu\perp v
uu ניצב ל-vv⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0.
U⊥U^{\perp}
המשלים הניצב{v∈V:⟨v,u⟩=0 ∀u∈U}\{v\in V:\langle v,u\rangle=0\ \forall u\in U\} — תמיד תת-מרחב, גם כש-UU סתם קבוצה.
מספיק לבדוק ניצבות מול בסיס של UU, לא מול כל איבר.
projU(v)\mathrm{proj}_U(v)
בדף הנוסחאות		ההיטל של vv על UUעם בסיס אורתונורמלי u1..uku_1..u_k של UU: ∑i⟨v,ui⟩ui\sum_i\langle v,u_i\rangle u_i.
אם הבסיס רק אורתוגונלי ולא מנורמל — חייבים לחלק ב-∥ui∥2\|u_i\|^2.
QtQ=IQ^tQ=I
QQ אורתוגונליתשקול ל-Q−1=QtQ^{-1}=Q^t, ושקול לכך שהעמודות הן בסיס אורתונורמלי.
מעל C\mathbb{C} המקבילה היא אוניטרית: Q∗Q=IQ^*Q=I עם צמוד — לא QtQQ^tQ.
דפי הנושא
התכונות עצמן, אחרי שאת כבר יודעת לקרוא את הסימון