MentoraLINEAR 2

דף הנושא — מרחב מכפלה פנימית

האקסיומות, נורמה מושרית וקושי–שוורץ

21 תכונות
9 מהתרגול בלבד
6 מלכודות
בשורה אחת

מכפלה פנימית היא פונקציה ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbf{F} (רק מעל R\mathbb{R} או C\mathbb{C}!) עם ארבע תכונות — אדיטיביות והומוגניות ברכיב הראשון, הרמיטיות, וחיוביות לחלוטין — וממנה נגזרים אוטומטית הנורמה ∥v∥=⟨v,v⟩\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} ואי-שוויון קושי-שוורץ ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\| שהשוויון בו מתקיים אם"ם u,vu,v ת"ל.

מה צריך לדעת קודם
  • 0אריתמטיקה של מרוכבים: z1+z2‾=zˉ1+zˉ2\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2, z1z2‾=zˉ1zˉ2\overline{z_1z_2}=\bar z_1\bar z_2, zˉˉ=z\bar{\bar z}=z ו-zzˉ=∣z∣2z\bar z=|z|^2 — כל הרמיטיות נשענת על אלה
  • 0תלות לינארית של זוג וקטורים — זו בדיוק שפת תנאי השוויון בקושי-שוורץ, ולזוג היא פשוט "u=αvu=\alpha v או v=0v=0"
  • 8ערכים עצמיים — תרגול 10 מגדיר "מטריצה חיובית לחלוטין" ונותן קריטריון: כל הע"ע חיוביים
למה זה מוביל
  • 10הזווית, אי-שוויון המשולש ופיתגורס — כולם יושבים על קושי-שוורץ ועל הנורמה משבוע 9
  • 11ההיטל האורתוגונלי ונוסחת המקדמים: ⟨v,ui⟩∥ui∥2\frac{\langle v,u_i\rangle}{\|u_i\|^2} — הביטוי הזה כבר מופיע בהוכחת קושי-שוורץ (w=u−⟨u,v⟩∥v∥2vw=u-\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v)
  • 13המשפט הספקטרלי ו-⟨Ax⃗,y⃗⟩=⟨x⃗,Aty⃗⟩\langle A\vec x,\vec y\rangle=\langle\vec x,A^t\vec y\rangle — כל הפרק כתוב בשפת המכפלה הפנימית הסטנדרטית

האם זו מכפלה פנימית? — כל הדוגמאות שכבר נבדקו עבורך

כל שורה עם ✗ מגיעה עם וקטור/מטריצה מפורשים שמפילים אותה. שיננו את ההפרכות — הן חוסכות דף שלם.

תכונהמ"פ?למה, ואיך משתמשים בזה
סטנדרטית ב-Fn\mathbf{F}^n: ⟨v⃗,u⃗⟩=∑viuˉi=(u⃗)‾tv⃗\langle\vec v,\vec u\rangle=\sum v_i\bar u_i=\overline{(\vec u)}^t\vec v
משפט 1 בהרצאה, מוכח מלא. הפס על הרכיב השני — הוא זה שמימין בסימון.
סטנדרטית ב-Mm×n(F)M_{m\times n}(\mathbf{F}): ⟨A,B⟩=tr(Bt‾A)=tr(B∗A)\langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(\overline{B^t}A)=\mathrm{tr}(B^*A)
משפט 2 (ללא הוכחה). ההרצאה מפתחת ומראה שזה בדיוק ∑i,jAjiBji‾\sum_{i,j}A_{ji}\overline{B_{ji}} — כלומר המ"פ הסטנדרטית ב-Fmn\mathbf{F}^{mn} בתחפושת. לכן מותר לחשב איבר-איבר במקום להכפיל מטריצות.
⟨A,B⟩=tr(ABt)\langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(AB^t) ב-Mn(R)M_n(\mathbb{R})
תרגול 10, הוכחה מלאה. סימטריות מ-tr(C)=tr(Ct)\mathrm{tr}(C)=\mathrm{tr}(C^t); חיוביות כי [AAt]ii=∑jaij2[AA^t]_{ii}=\sum_j a_{ij}^2.
⟨A,B⟩=tr(AB)\langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(AB) (בלי שחלוף)
תרגול 10. סימטריה דווקא מתקיימת (tr(CD)=tr(DC)\mathrm{tr}(CD)=\mathrm{tr}(DC)), אבל חיוביות נופלת: A=(0−110)⇒⟨A,A⟩=tr(A2)=−2<0A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\Rightarrow\langle A,A\rangle=\mathrm{tr}(A^2)=-2<0.
⟨A,B⟩=det⁡(AB)\langle A,B\rangle=\det(AB)
תרגול 10. סימטריה מכפליות הדטרמיננטה, ושלוש האחרות נופלות. ההפרכה הזולה: כל A≠0A\ne0 לא הפיכה נותנת ⟨A,A⟩=det⁡(A2)=0\langle A,A\rangle=\det(A^2)=0.
A⋅BA\cdot B (כפל מטריצות), p(x)q(x)p(x)q(x) (כפל פולינומים)
תרגול 10 מדגיש: מ"פ חייבת להחזיר סקלר בשדה. אלה מחזירים מטריצה/פולינום. זו בדיקת אפס-שניות לפני כל בדיקה אחרת.
⟨f,g⟩=∫abf(x)g(x) dx\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)\,dx על C[a,b]C[a,b] הממשי
תרגול 10. לינאריות מלינאריות האינטגרל, חיוביות מ-∫f2≥0\int f^2\ge0 ומרציפות. בפרט זו מ"פ על Rn[x]\mathbb{R}_n[x]. רק לפונקציות ממשיות — לפונקציות מרוכבות f≡if\equiv i נותנת ⟨f,f⟩=−(b−a)<0\langle f,f\rangle=-(b-a)<0, ושם צריך ∫fgˉ\int f\bar g.
⟨p,q⟩=∑i=13p(i)q(i)\langle p,q\rangle=\sum_{i=1}^{3}p(i)q(i) על R2[x]\mathbb{R}_2[x]
מטלה 10 ש׳3(ב). חיוביות: ⟨p,p⟩=0\langle p,p\rangle=0 מכריח שלושה שורשים, ולפולינום ממעלה ≤2\le2 שאינו האפס יש לכל היותר שניים.
⟨p,q⟩=∑i=12p(i)q(i)\langle p,q\rangle=\sum_{i=1}^{2}p(i)q(i) על R2[x]\mathbb{R}_2[x]
מטלה 10 ש׳3(א). מספר הנקודות קטן מ-dim⁡\dim ולכן קיים פולינום שמתאפס בכולן: p(x)=(x−1)(x−2)≠0p(x)=(x-1)(x-2)\ne0 אבל ⟨p,p⟩=0\langle p,p\rangle=0.
⟨u⃗,v⃗⟩=u1v2+u2v1\langle\vec u,\vec v\rangle=u_1v_2+u_2v_1 ב-R2\mathbb{R}^2
תרגיל 1 בהרצאה. v⃗=(1−2)⇒⟨v⃗,v⃗⟩=−4<0\vec v=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\Rightarrow\langle\vec v,\vec v\rangle=-4<0.
⟨x⃗,y⃗⟩=x1y1+2x1y2+2x2y1+2x2y2\langle\vec x,\vec y\rangle=x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+2x_2y_2
מטלה 10 ש׳1(א). x⃗=(2−1)⇒4−4−4+2=−2<0\vec x=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\Rightarrow 4-4-4+2=-2<0.
⟨x⃗,y⃗⟩=3x1y1+2x1y2+2x2y1+2y1y2\langle\vec x,\vec y\rangle=3x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+\mathbf{2y_1y_2}
מטלה 10 ש׳1(ב). שימי לב לאיבר שאין בו xx בכלל. ההפרכה הכי זולה בכל הסעיפים: ⟨0⃗,(1,1)⟩=2≠0\langle\vec0,(1,1)\rangle=2\ne0, בסתירה ל-⟨0V,v⟩=0\langle0_V,v\rangle=0.
⟨x⃗,y⃗⟩=3x1y1+2x1y2+2x2y1+2x2y2\langle\vec x,\vec y\rangle=3x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+2x_2y_2
מטלה 10 ש׳1(ג). חיוביות בהשלמה לריבוע: 3x12+4x1x2+2x22=x12+2(x1+x2)2≥03x_1^2+4x_1x_2+2x_2^2=x_1^2+2(x_1+x_2)^2\ge0. מ"פ לא-סטנדרטית על R2\mathbb{R}^2 שהמטלה חוזרת ומשתמשת בה (ש׳4(ג)).
⟨u⃗,v⃗⟩=v1u1−v2u1−v1u2+4v2u2\langle\vec u,\vec v\rangle=v_1u_1-v_2u_1-v_1u_2+4v_2u_2
תרגיל 2 בהרצאה. אותו טריק: (v1−v2)2+3v22≥0(v_1-v_2)^2+3v_2^2\ge0, ואפס אם"ם v1=v2=0v_1=v_2=0.
(x⃗,y⃗)=y⃗ tAtAx⃗(\vec x,\vec y)=\vec y^{\,t}A^tA\vec x עבור AA הפיכה
מטלה 10 ש׳1(ד) — וזהו בדיוק ⟨Ax⃗,Ay⃗⟩\langle A\vec x,A\vec y\rangle הסטנדרטי. חיוביות: Ax⃗=0⃗  ⟺  x⃗=0⃗A\vec x=\vec0\iff\vec x=\vec0 כי AA הפיכה.
(x⃗,y⃗)=y⃗ tAtAx⃗−(z⃗ tAtAx⃗)(z⃗ tAtAy⃗)z⃗ tAtAz⃗(\vec x,\vec y)=\vec y^{\,t}A^tA\vec x-\frac{(\vec z^{\,t}A^tA\vec x)(\vec z^{\,t}A^tA\vec y)}{\vec z^{\,t}A^tA\vec z}
מטלה 10 ש׳1(ה). בשפה נקייה זה (x⃗,y⃗)2−(x⃗,z⃗)2(y⃗,z⃗)2(z⃗,z⃗)2(\vec x,\vec y)_2-\frac{(\vec x,\vec z)_2(\vec y,\vec z)_2}{(\vec z,\vec z)_2}, ואז הצבת x⃗=y⃗=z⃗\vec x=\vec y=\vec z נותנת 00 למרות ש-z⃗≠0⃗\vec z\ne\vec0.
סדר הבדיקה, מהזול ליקר: (1) האם התוצאה סקלר? (2) האם ⟨0V,v⟩=0\langle0_V,v\rangle=0? (3) חיוביות על וקטור ספציפי — ⟨e1,e1⟩\langle e_1,e_1\rangle, ⟨e2,e2⟩\langle e_2,e_2\rangle, ואז (1,−1),(2,−1),(1,−2)(1,-1),(2,-1),(1,-2) (4) הרמיטיות/סימטריה במבט (5) רק אם הכול עבר — הוכחת לינאריות והשלמה לריבוע. חיוביות היא כמעט תמיד מה שנשבר, והיא הכי זולה להפרכה.

מרחב אוקלידי (R\mathbb{R}) מול מרחב אוניטרי/הרמיטי (C\mathbb{C})

הקונבנציה של הקורס: לינאריות ברכיב הראשון, צמוד ברכיב השני. כל שורה כאן היא מקום שבו הפס מופיע או נעלם.

תכונהנכון מעל C\mathbb{C}?למה, ואיך משתמשים בזה
⟨αu,v⟩=α⟨u,v⟩\langle\alpha u,v\rangle=\alpha\langle u,v\rangle (רכיב ראשון)
זו אקסיומה 2 בהרצאה, מילה במילה: "הומוגניות ברכיב הראשון". בלי פס. נכון גם מעל R\mathbb{R} וגם מעל C\mathbb{C}.
⟨u,αv⟩=α⟨u,v⟩\langle u,\alpha v\rangle=\alpha\langle u,v\rangle (רכיב שני)
לא! משפט 3(ב): ⟨v,α1u1+⋯+αkuk⟩=α1‾⟨v,u1⟩+⋯+αk‾⟨v,uk⟩\langle v,\alpha_1u_1+\dots+\alpha_ku_k\rangle=\overline{\alpha_1}\langle v,u_1\rangle+\dots+\overline{\alpha_k}\langle v,u_k\rangle — "ברכיב השני המקדמים הם צמודים". מעל R\mathbb{R} הפס בלתי-מזיק, מעל C\mathbb{C} זו טעות שמפילה את כל התרגיל.
⟨u,v⟩=⟨v,u⟩\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle (סימטריה)
נכון רק במרחב אוקלידי (הערה 2). ההרצאה מוכיחה במפורש שסימטריה מעל C\mathbb{C} מובילה לסתירה: 0≤⟨iu,iu⟩=i⟨u,iu⟩=i⟨iu,u⟩=i2⟨u,u⟩=−⟨u,u⟩≤00\le\langle iu,iu\rangle=i\langle u,iu\rangle=i\langle iu,u\rangle=i^2\langle u,u\rangle=-\langle u,u\rangle\le0 — כשהצעד האמצעי הוא ה"סימטריה" המדומה. מסקנה: u=0Vu=0_V לכל uu, אבסורד.
⟨u,v⟩=⟨v,u⟩‾\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle} (הרמיטיות)
אקסיומה 3. מעל R\mathbb{R} היא נקראת סימטריה, אבל זו אותה אקסיומה.
⟨v,v⟩∈R\langle v,v\rangle\in\mathbb{R} וגם ≥0\ge0
גם מעל C\mathbb{C}, למרות שאין ב-C\mathbb{C} יחס סדר. תרגול 10 מציין זאת במפורש: זה מה שהופך את "≥0\ge0" למשפט בעל משמעות. מכאן ש-∥v∥\|v\| מוגדרת היטב וממשית (הערה 4).
∥αu∥=∣α∣⋅∥u∥\|\alpha u\|=|\alpha|\cdot\|u\|
משפט 6(1). שימי לב שיוצא ערך מוחלט ולא α\alpha: ααˉ⟨u,u⟩=∣α∣∥u∥\sqrt{\alpha\bar\alpha\langle u,u\rangle}=|\alpha|\|u\|. זה בדיוק המקום שבו הצמוד מהרכיב השני נכנס.
∥u±v∥2=∥u∥2±2⟨u,v⟩+∥v∥2\|u\pm v\|^2=\|u\|^2\pm2\langle u,v\rangle+\|v\|^2
תרגיל 3 בהרצאה — מנוסח במפורש "יהי VV מרחב אוקלידי". מעל C\mathbb{C} הנוסחה היא ∥u∥2±2 Re⟨u,v⟩+∥v∥2\|u\|^2\pm2\,\mathrm{Re}\langle u,v\rangle+\|v\|^2, כי ⟨u,v⟩+⟨u,v⟩‾=2Re⟨u,v⟩\langle u,v\rangle+\overline{\langle u,v\rangle}=2\mathrm{Re}\langle u,v\rangle.
זהות הקיטוב ⟨u,v⟩=14∥u+v∥2−14∥u−v∥2\langle u,v\rangle=\frac14\|u+v\|^2-\frac14\|u-v\|^2
תרגיל 2 בהרצאה 10 — שוב, אוקלידי בלבד. מעל C\mathbb{C} צריך ארבעה איברים (מטלה 10 ש׳2): +i4∥u+iv∥2−i4∥u−iv∥2+\frac{i}{4}\|u+iv\|^2-\frac{i}{4}\|u-iv\|^2.
קושי-שוורץ ותנאי השוויון
משפט 7 מנוסח לכל F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}. שימי לב ל-∣⋅∣|\cdot| בצד שמאל — הוא הכרחי, כי ⟨u,v⟩\langle u,v\rangle מרוכב.
זווית θ=arccos⁡⟨u,v⟩∥u∥∥v∥\theta=\arccos\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}
ההגדרה בהרצאה 10 פותחת ב-"יהי VV מרחב אוקלידי". מעל C\mathbb{C} המונה בכלל לא ממשי ואין מה להציב ב-arccos⁡\arccos.
לפני כל מהלך בממ"פ מרוכב שאלי שתי שאלות: האם הזזתי סקלר מהרכיב השני? (אז יש פס) ואם החלפתי סדר — האם השתמשתי בסימטריה? (אז זה שגוי, יש פס). כמעט כל טעות מרוכבת בקורס היא אחת מהשתיים.

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (9)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד
  • בניית מ"פ חדשה ממטריצה הפיכה: תהי ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle מ"פ כלשהי על Rn\mathbb{R}^n ותהי AA הפיכה. אז (u,v)=⟨Au,Av⟩(u,v)=\langle Au,Av\rangle היא מ"פ. התרגול מדגיש שההוכחה לא משתמשת בערכי AA כלל, רק בהפיכות — ולכן היא עובדת לכל nn ולכל מ"פ. זה בדיוק מה שהופך את מטלה 10 ש׳1(ד) לשורה אחת.תרגול 10
  • בניית מ"פ ממטריצה סימטרית חיובית לחלוטין: אם A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) סימטרית ומקיימת vtAv>0v^tAv>0 לכל v≠0⃗v\ne\vec0, אז (u,v)=⟨u,Av⟩(u,v)=\langle u,Av\rangle (ביחס לסטנדרטית) היא מ"פ. תנאי שקול לחיוביות לחלוטין: כל הערכים העצמיים של AA חיוביים — כלומר בודקים אותה עם פולינום אופייני.תרגול 10
  • וזה עובד גם בכיוון ההפוך: בהינתן מ"פ מסובכת על R2\mathbb{R}^2 כמו 2x1y1+x1y2+x2y1+2x2y22x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+2x_2y_2, אפשר "לקרוא" ממנה את A=(2112)A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}, לוודא שהיא סימטרית, ולחשב pA(λ)=(λ−3)(λ−1)p_A(\lambda)=(\lambda-3)(\lambda-1) — שני ע"ע חיוביים, סיימנו. במקום להוכיח ארבע אקסיומות.תרגול 10
  • ריבוע הממוצע ≤\le ממוצע הריבועים: (a1+⋯+ann)2≤a12+⋯+an2n\left(\frac{a_1+\dots+a_n}{n}\right)^2\le\frac{a_1^2+\dots+a_n^2}{n}, מוכח בקושי-שוורץ עם u⃗=(a1,…,an)\vec u=(a_1,\dots,a_n) ו-v⃗=(1n,…,1n)\vec v=(\tfrac1n,\dots,\tfrac1n). מסקנה שהתרגול מנסח בנפרד: אם ai≥0a_i\ge0 ו-∑ai=1\sum a_i=1 אז 1n≤∥u⃗∥\frac{1}{\sqrt n}\le\|\vec u\|, כלומר ∑ai2≥1n\sum a_i^2\ge\frac1n — החסם הוא על וקטור ה-aia_i, לא על v⃗\vec v שנורמתו 1n\frac{1}{\sqrt n} בדיוק. זו הכללה של תרגיל 5 בהרצאה.תרגול 10
  • הטריק של השורשים במכנה: להוכחת x+y+z≤2(x2y+z+y2x+z+z2x+y)x+y+z\le2\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right) בוחרים u⃗=(y+z,x+z,x+y)\vec u=(\sqrt{y+z},\sqrt{x+z},\sqrt{x+y}) ו-v⃗=(xy+z,yx+z,zx+y)\vec v=\left(\frac{x}{\sqrt{y+z}},\frac{y}{\sqrt{x+z}},\frac{z}{\sqrt{x+y}}\right) — המכפלה מקצרת את השורשים ונותנת (x+y+z)2(x+y+z)^2. מפצלים כל מחובר ל-⋅\sqrt{\cdot} ו-⋅⋅\frac{\cdot}{\sqrt{\cdot}}.תרגול 10
  • המשפט "⟨v,u⟩=vtuˉ\langle v,u\rangle=v^t\bar u" הוא יותר מנוסחה: במרחב נוצר-סופית (כך בדיוק מנוסח בתרגול) כל פונקציונל לינארי φ∈V∗\varphi\in V^* הוא מכפלה פנימית באיזשהו וקטור, φv(u)=⟨u,v⟩\varphi_v(u)=\langle u,v\rangle, ויש (אנטי-)איזומורפיזם V≅V∗V\cong V^*. שימושי כשמבקשים "הוכיחי שההעתקה u↦⟨u,v⟩u\mapsto\langle u,v\rangle לינארית" — זה נובע ישירות מאקסיומות 1 ו-2.תרגול 10
  • מטלה 10 ש׳5: v1,v2v_1,v_2 ת"ל אם"ם לכל uu מתקיים ⟨u,v1⟩∥v2∥2=⟨u,v2⟩⟨v2,v1⟩\langle u,v_1\rangle\|v_2\|^2=\langle u,v_2\rangle\langle v_2,v_1\rangle. הכיוון הקשה: מציבים u=v1u=v_1, מקבלים ∣⟨v1,v2⟩∣2=∥v1∥2∥v2∥2|\langle v_1,v_2\rangle|^2=\|v_1\|^2\|v_2\|^2 ואז תנאי השוויון בקושי-שוורץ סוגר. זה הצירוף של ארכיטיפ "לכל uu" עם ארכיטיפ קושי-שוורץ.מטלה 10 ש׳5
  • מטלה 10 ש׳6: אם u,vu,v וקטורי יחידה ו-∣⟨u,v⟩∣<1−ϵ|\langle u,v\rangle|<1-\epsilon אז ∥u−v∥>2ϵ\|u-v\|>\sqrt{2\epsilon}. הפיתוח: ∥u−v∥2=2−2Re⟨u,v⟩≥2−2∣⟨u,v⟩∣>2ϵ\|u-v\|^2=2-2\mathrm{Re}\langle u,v\rangle\ge2-2|\langle u,v\rangle|>2\epsilon. הצעד Re(z)≤∣z∣\mathrm{Re}(z)\le|z| הוא צעד סטנדרטי בקורס — הוא גם הצעד המרכזי בהוכחת אי-שוויון המשולש.מטלה 10 ש׳6
  • מטלה 10 ש׳4(ב): ∣2a+3b+4c∣≤6a2+b2+c2|2a+3b+4c|\le6\sqrt{a^2+b^2+c^2}, והשוויון מתקיים אם"ם a=b=c=0a=b=c=0 — כי קושי-שוורץ נותן את החסם החזק יותר 29a2+b2+c2\sqrt{29}\sqrt{a^2+b^2+c^2}, ו-29<6\sqrt{29}<6. כשהמקדם בשאלה גדול מהמקדם שקושי-שוורץ נותן, האי-שוויון חד ותנאי השוויון קורס.מטלה 10 ש׳4(ב)

תכונות קטנות שחייבים לדעת (12)

12 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות
  • ⟨v,0V⟩=⟨0V,v⟩=0F\langle v,0_V\rangle=\langle 0_V,v\rangle=0_{\mathbf{F}} לכל vv. ההוכחה: ⟨0V,v⟩=⟨0F⋅0V,v⟩=0F⟨0V,v⟩\langle0_V,v\rangle=\langle0_\mathbf{F}\cdot0_V,v\rangle=0_\mathbf{F}\langle0_V,v\rangle. זו בדיקת ההפרכה הזולה ביותר לשאלה "האם זו מ"פ" — הציבי x⃗=0⃗\vec x=\vec0 וראי אם יוצא 00.הרצאה 9, משפט 4
  • משפט הצמצום: אם ⟨u1,v⟩=⟨u2,v⟩\langle u_1,v\rangle=\langle u_2,v\rangle לכל v∈Vv\in V אז u1=u2u_1=u_2. הטריק היחיד: מעבירים אגף ל-⟨u1−u2,v⟩=0\langle u_1-u_2,v\rangle=0 ואז בוחרים v=u1−u2v=u_1-u_2, ומחיוביות לחלוטין u1−u2=0Vu_1-u_2=0_V. בפרט: ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 לכל vv ⇒u=0V\Rightarrow u=0_V.הרצאה 9, משפט 5
  • קושי-שוורץ: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\|, ושוויון אם"ם u,vu,v ת"ל. תנאי השוויון הוא חלק מהמשפט, לא תוספת — וזה מה שנשאל במבחנים.הרצאה 9, משפט 7 (נשאל כהוכחה במבחן 2024א׳ ש׳1.1)
  • הכללת לינאריות: ⟨∑αiui,v⟩=∑αi⟨ui,v⟩\langle\sum\alpha_iu_i,v\rangle=\sum\alpha_i\langle u_i,v\rangle אבל ⟨v,∑αiui⟩=∑αi‾⟨v,ui⟩\langle v,\sum\alpha_iu_i\rangle=\sum\overline{\alpha_i}\langle v,u_i\rangle. הקורס הזה: לינארי ברכיב הראשון, צמוד-לינארי ברכיב השני.הרצאה 9, משפט 3
  • ∥u∥=0  ⟺  u=0V\|u\|=0\iff u=0_V, וגם ∥αu∥=∣α∣⋅∥u∥\|\alpha u\|=|\alpha|\cdot\|u\|. הכיוון ⇒\Rightarrow הוא בדיוק חיוביות לחלוטין אחרי העלאה בריבוע — זו הדרך היחידה בקורס להסיק ש"וקטור מסוים הוא 0V0_V".הרצאה 9, משפט 6
  • חיוביות לחלוטין היא שתי דרישות: ⟨v,v⟩≥0\langle v,v\rangle\ge0 וגם ⟨v,v⟩=0⇒v=0V\langle v,v\rangle=0\Rightarrow v=0_V. ההרצאה מזהירה על כך מפורשות אחרי תרגיל 1, והדוגמה שמנצלת זאת היא ∑i=12p(i)q(i)\sum_{i=1}^2p(i)q(i) (מטלה 10 ש׳3א) שבה החלק הראשון מתקיים והשני לא.הרצאה 9, הערה אחרי תרגיל 1
  • המ"פ הסטנדרטית ב-Fn\mathbf{F}^n: ⟨v⃗,u⃗⟩=∑viuˉi=(u⃗)‾tv⃗=v⃗ tu⃗‾\langle\vec v,\vec u\rangle=\sum v_i\bar u_i=\overline{(\vec u)}^t\vec v=\vec v^{\,t}\overline{\vec u}. דוגמה מההרצאה שכדאי לזכור בעל-פה: ⟨(1i),(i1)⟩=1⋅iˉ+i⋅1ˉ=−i+i=0\left\langle\binom{1}{i},\binom{i}{1}\right\rangle=1\cdot\bar i+i\cdot\bar1=-i+i=0.הרצאה 9, הגדרה + דוגמה
  • המ"פ הסטנדרטית במטריצות ⟨A,B⟩=tr(B∗A)\langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(B^*A) שווה ל-∑i,jAijBij‾\sum_{i,j}A_{ij}\overline{B_{ij}} — סכום איבר-איבר. אל תכפילי מטריצות, פשוט סכמי. ההרצאה מדגימה את שתי הדרכים על אותה שאלה.הרצאה 9, משפט 2 + דוגמה
  • נרמול: לכל u≠0Vu\ne0_V, הוקטור 1∥u∥u\frac{1}{\|u\|}u הוא וקטור יחידה, כי ∥1∥u∥u∥=∣1∥u∥∣∥u∥=1\left\|\frac{1}{\|u\|}u\right\|=\left|\frac{1}{\|u\|}\right|\|u\|=1.הרצאה 9, הערה 5
  • מעל R\mathbb{R}: ∥u±v∥2=∥u∥2±2⟨u,v⟩+∥v∥2\|u\pm v\|^2=\|u\|^2\pm2\langle u,v\rangle+\|v\|^2. זה הפיתוח שכל שאלת "נתונות נורמות, חשבי מכפלה" (ולהיפך) נשענת עליו.הרצאה 9, תרגיל 3
  • הוקטור w=u−⟨u,v⟩∥v∥2vw=u-\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v מקיים ⟨w,v⟩=0\langle w,v\rangle=0 — זה הלב של הוכחת קושי-שוורץ, וזה בדיוק ההיטל של שבוע 11. אם תזכרי רק את ww, תוכלי לשחזר את כל ההוכחה.הרצאה 9, הוכחת משפט 7
  • למרות ש-C\mathbb{C} אינו שדה סדור, ⟨v,v⟩\langle v,v\rangle תמיד ממשי ואי-שלילי, ולכן "≥0\ge0" והשורש בנורמה מוגדרים היטב.תרגול 10, הערה

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

נתון"הוכיחו שלכל x,y,z,…x,y,z,\dots ממשיים מתקיים [אי-שוויון אלגברי]"
שואליםזה קושי-שוורץ. הארכיטיפ הכי נפוץ במבחן (~70%). המשימה היחידה שלך: לבחור שני וקטורים.
המהלךכתבי את אגף שמאל כ-∑aibi\sum a_ib_i — זה קובע את u⃗=(ai)\vec u=(a_i) ואת v⃗=(bi)\vec v=(b_i). ואז ודאי ש-∥u⃗∥⋅∥v⃗∥\|\vec u\|\cdot\|\vec v\| הוא בדיוק אגף ימין. אם באגף ימין יש מכנים (למשל x22\frac{x^2}{2}) — פצלי: x=x2⋅2x=\frac{x}{\sqrt2}\cdot\sqrt2 (מבחן 2025ב׳ ש׳4.2). אם צריך "להמציא" איבר — שתלי 11-ים (מטלה 10 ש׳4(ד), 2024סים). ואם המקדמים מוזרים — נסי מ"פ לא סטנדרטית (מטלה 10 ש׳4(ג)).
נתוןנתון ששוויון מתקיים באי-שוויון שנראה כמו קושי-שוורץ, למשל (x+2y+3z)2=14(x2+y2+z2)(x+2y+3z)^2=14(x^2+y^2+z^2)
שואליםהוקטורים ת"ל — כלומר (xyz)=α(123)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}. זו כל השאלה.
המהלךמבחן 2025א׳ ש׳5.1 ומטלה 11 ש׳4(א) הם בדיוק זה, פעמיים: מקבלים x⃗=αy⃗\vec x=\alpha\vec y ו-x⃗=βz⃗\vec x=\beta\vec z, ומכיוון ש-y⃗,z⃗\vec y,\vec z אינם ת"ל — הכרח α=β=0\alpha=\beta=0 ולכן x=y=z=0x=y=z=0. זהי את המספר באגף ימין כ-∥y⃗∥2\|\vec y\|^2 (14=1+4+914=1+4+9, 6=4+1+16=4+1+1, 13=4+913=4+9, 5=1+45=1+4) — זה מה שמסגיר שמדובר בשוויון בקושי-שוורץ.
נתוןנתון ש-⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 לכל v∈Vv\in V (או ⟨u1,v⟩=⟨u2,v⟩\langle u_1,v\rangle=\langle u_2,v\rangle לכל vv)
שואליםu=0Vu=0_V (או u1=u2u_1=u_2). ארכיטיפ מבחן #7 (~55%).
המהלךהמילה "לכל" היא רישיון להצבה. הציבי את הוקטור שאת רוצה לאפס בעצמו: v=uv=u (או v=u1−u2v=u_1-u_2), קבלי ⟨u,u⟩=0\langle u,u\rangle=0, וסיימי בחיוביות לחלוטין. אם הנתון הוא ברכיב השני — הפעילי הרמיטיות (צמוד על שני האגפים) וחזרי לסעיף הראשון.
נתון"קבעו האם הפונקציה הבאה היא מכפלה פנימית"
שואליםב-רוב המקרים לא, וההפרכה היא וקטור אחד. אל תתחילי מהוכחת לינאריות.
המהלךסדר: (1) האם התוצאה סקלר? (2) ⟨0⃗,y⃗⟩\langle\vec0,\vec y\rangle — אם יוצא ≠0\ne0 סיימת (מטלה 10 ש׳1(ב)). (3) ⟨e1,e1⟩\langle e_1,e_1\rangle ו-⟨e2,e2⟩\langle e_2,e_2\rangle — מקדם אלכסוני שלילי הורג מיד. (4) עבור ax1y1+bx1y2+cx2y1+dx2y2ax_1y_1+b x_1y_2+c x_2y_1+dx_2y_2: ⟨v⃗,v⃗⟩=av12+(b+c)v1v2+dv22\langle\vec v,\vec v\rangle=av_1^2+(b+c)v_1v_2+dv_2^2, ואם הדיסקרימיננטה (b+c)2−4ad>0(b+c)^2-4ad>0 יש שורש — קחי v⃗\vec v לפיו. (5) רק אם הכול עבר: לינאריות ישירות, סימטריה במבט, וחיוביות בהשלמה לריבוע.
נתוןנתונות נורמות (∥u∥,∥v∥,∥u+v∥\|u\|,\|v\|,\|u+v\|) ומבקשים מכפלה פנימית — או להיפך
שואליםפיתוח ∥u±v∥2\|u\pm v\|^2 / זהות הקיטוב.
המהלךמעל R\mathbb{R}: ⟨u,v⟩=14∥u+v∥2−14∥u−v∥2\langle u,v\rangle=\frac14\|u+v\|^2-\frac14\|u-v\|^2. מעל C\mathbb{C} צריך את הגרסה בת ארבעת האיברים ממטלה 10 ש׳2. בכל מקרה: פותחים ⟨u+v,u+v⟩\langle u+v,u+v\rangle בלינאריות ומשווים.
נתוןנתון ש-VV ממ"פ מעל C\mathbb{C} והטענה נראית "מוכרת מ-R\mathbb{R}"
שואליםחשד גבוה שזו הפרכה. חפשי איפה נחוצה סימטריה או הזזת סקלר.
המהלךהדוגמה הנגדית הקטנה ביותר בקורס: V=CV=\mathbb{C} (מעל C\mathbb{C}) עם u=1,v=iu=1,v=i. אז ∥u∥=∥v∥=1\|u\|=\|v\|=1 אבל ⟨u,v⟩=1⋅iˉ=−i≠0\langle u,v\rangle=1\cdot\bar i=-i\ne0. אלה בדיוק הוקטורים של מטלה 11 ש׳1(ב), שם ההפרכה עצמה היא ⟨u+v,u−v⟩=(1+i)2=2i≠0\langle u+v,u-v\rangle=(1+i)^2=2i\ne0.

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית
⟨u,αv⟩=α⟨u,v⟩\langle u,\alpha v\rangle=\alpha\langle u,v\rangle
ברכיב השני יוצא αˉ\bar\alpha (משפט 3ב). בקורס הזה הלינאריות היא ברכיב הראשון: ⟨αu,v⟩=α⟨u,v⟩\langle\alpha u,v\rangle=\alpha\langle u,v\rangle. קורסים אחרים נוקטים בקונבנציה ההפוכה — אל תסתמכי על זיכרון מספר.
לחשב ⟨v⃗,u⃗⟩\langle\vec v,\vec u\rangle ב-Cn\mathbb{C}^n בלי צמודים, או לשים את הפס על הוקטור הלא נכון
⟨v⃗,u⃗⟩=∑viui‾\langle\vec v,\vec u\rangle=\sum v_i\overline{u_i} — הפס על השני. מבחן: ⟨(1i),(i1)⟩=−i+i=0\left\langle\binom{1}{i},\binom{i}{1}\right\rangle=-i+i=0, ואילו בלי צמודים היה יוצא 2i2i. אותו זוג, שתי תשובות שונות לגמרי.
הראיתי ש-⟨v,v⟩≥0\langle v,v\rangle\ge0 לכל vv, אז יש חיוביות לחלוטין
צריך גם ש-רק 0V0_V מאפס. ההרצאה מזהירה מזה במפורש. הדוגמה: ⟨p,q⟩=∑i=12p(i)q(i)\langle p,q\rangle=\sum_{i=1}^{2}p(i)q(i) על R2[x]\mathbb{R}_2[x] — תמיד ≥0\ge0, אבל p=(x−1)(x−2)≠0p=(x-1)(x-2)\ne0 נותן 00.
מ"פ על Rn\mathbb{R}^n היא הסטנדרטית (או: "מ"פ" ו"∑xiyi\sum x_iy_i" זה אותו דבר)
ההגדרה היא כל פונקציה שמקיימת את ארבע האקסיומות. 3x1y1+2x1y2+2x2y1+2x2y23x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+2x_2y_2 היא מ"פ (מטלה 10 ש׳1ג), ⟨Au,Av⟩\langle Au,Av\rangle לכל AA הפיכה היא מ"פ (תרגול 10), ∫fg\int fg היא מ"פ. וזה עובד לטובתך: מטלה 10 ש׳4(ג) פותרת אי-שוויון עם מ"פ לא-סטנדרטית שאי אפשר לפתור עם הסטנדרטית.
הוקטורים ת"ל, אז מובטח לי שוויון בקושי-שוורץ בשאלה שלי
השוויון הוא ב-∣⟨u,v⟩∣=∥u∥∥v∥|\langle u,v\rangle|=\|u\|\|v\| — לא באי-שוויון שנשאלת עליו. אם השאלה מנוסחת עם מקדם גדול יותר ממה שקושי-שוורץ נותן, האי-שוויון חד תמיד: ∣2a+3b+4c∣≤29…<6…|2a+3b+4c|\le\sqrt{29}\sqrt{\dots}<6\sqrt{\dots}, ולכן שוויון רק כש-a=b=c=0a=b=c=0 (מטלה 10 ש׳4ב).
∥u+v∥2=∥u∥2+2⟨u,v⟩+∥v∥2\|u+v\|^2=\|u\|^2+2\langle u,v\rangle+\|v\|^2 בכל ממ"פ
רק במרחב אוקלידי — כך תרגיל 3 מנוסח בהרצאה. מעל C\mathbb{C}: ∥u∥2+2 Re⟨u,v⟩+∥v∥2\|u\|^2+2\,\mathrm{Re}\langle u,v\rangle+\|v\|^2, כי ⟨u,v⟩+⟨v,u⟩=⟨u,v⟩+⟨u,v⟩‾=2Re⟨u,v⟩\langle u,v\rangle+\langle v,u\rangle=\langle u,v\rangle+\overline{\langle u,v\rangle}=2\mathrm{Re}\langle u,v\rangle.
מרחב מכפלה פנימית
הסיכומון וההגדרות המלאות
הדף הקודם
קיילי–המילטון ותת-מרחב שמור
הדף הבא
אורתוגונליות