דף הנושא — קיילי–המילטון ותת-מרחב שמור

הצבת מטריצה בפולינום, לכסון אופרטורים, תת-מרחבים שמורים

23 תכונות

12 מהתרגול בלבד

6 מלכודות

בשורה אחת

מציבים מטריצה בפולינום ( $p(A)=a_0I_n+a_1A+\dots+a_kA^k$ — האיבר החופשי הופך ל- $a_0I_n$ ), ואז קיילי־המילטון אומר ש- $p_A(A)=0_n$ : כל מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה, ולכן כל ביטוי פולינומי ב- $A$ מצטמצם למעלה $\le n-1$ ; במקביל, "לכסינות" ו"תת-מרחב שמור" עוברים משפת המטריצות לשפת האופרטורים.

מה צריך לדעת קודם

7קריטריון הלכסינות המלא — כי "האם $T$ לכסין" נפתר תמיד דרך $[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}$ , ושם צריך $GM$ מול $AM$
6 $p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ מתוקן ממעלה $n$ , והמקדם החופשי $a_0=p_A(0)=(-1)^n\det A$ — זה מה שמאפשר לחלץ את $A^{-1}$
3מטריצה מייצגת $[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}$ ומעבר בסיס — הגשר שבו כל שאלת אופרטור הופכת לשאלת מטריצה

למה זה מוביל

9משפה של מטריצות לשפה של אופרטורים ותתי-מרחבים — בדיוק הניסוח שבו עובד כל פרק המכפלה הפנימית
13המשפט הספקטרלי: אופרטור סימטרי, לכסון אורתוגונלי — עדיין "לכסינות של $T$ = לכסינות של המטריצה המייצגת"

מה קיילי־המילטון מרשה לך להחליף — ומה לא

המשפט: $p_A(A)=0_n$ לכל $A\in M_n(\mathbb{F})$ . כל השורות למטה הן שימושים שלו, או מלכודות סביבו.

תכונה	מותר?	למה, ואיך משתמשים בזה
$A^n$ $\to$ צירוף של $I_n,A,\dots,A^{n-1}$		מ- $p_A(A)=A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\dots+a_0I_n=0$ מבודדים את $A^n$ . החזקה $n$ היא הקיר: מעליו הכול קורס למטה.
$A^k$ לכל $k\ge n$ (למשל $A^{2024}$ )		חלוקה עם שארית: $x^k=q(x)p_A(x)+r(x)$ עם $\deg r<n$ , ואז $A^k=q(A)p_A(A)+r(A)=r(A)$ . בתרגול 9 הוכיחו את הגרסה האופרטורית: $T^{n+k}\in\mathrm{span}\{Id,T,\dots,T^{n-1}\}$ .
$A^{-1}$ $\to$ פולינום ב- $A$		רק אם $A$ הפיכה — ואז $a_0=p_A(0)=(-1)^n\det A\ne0$ , מעבירים אגף ומחלקים: $A\cdot\left(\frac{-1}{a_0}(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots+a_1I_n)\right)=I_n$ . אם $\det A=0$ אז $a_0=0$ והמהלך קורס.
האיבר החופשי מוצב כ- $a_0I_n$		חובה, זו ההגדרה. $p(x)=x^2-3x-4\Rightarrow p(A)=A^2-3A-4I_n$ . " $-4$ " לבדו הוא סקלר ואי אפשר לחסר אותו ממטריצה.
להציב $A$ ישירות ב- $\det(\lambda I_n-A)$		זו ההוכחה השגויה שההרצאה מציגה במפורש (שקף 12): " $p_A(A)=\|AI_n-A\|=\|0_n\|=0$ ". $\lambda I_n-A$ היא מטריצה שאיבריה פולינומים — אין לאן להציב שם מטריצה; וגם: $p_A(A)$ היא מטריצה, ולא יכולה לצאת $0_{\mathbb{F}}$ .
להסיק ש- $A$ מאפסת גורם של $p_A$		לא. $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}$ , $p(x)=x^2-3x-4=(x+1)(x-4)$ : מתקיים $(A+I)(A-4I)=0$ אבל אף גורם אינו $0$ (דוגמה 2 בהרצאה 8). מטריצות הן חוג עם מחלקי אפס.
$p_A$ הוא הפולינום ה"קטן ביותר" ש- $A$ מאפסת		לא נטען ולא נכון. $A=cI_n$ מאופסת כבר על ידי $x-c$ ממעלה 1; $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ מאופסת על ידי $x^2$ שהוא גם הפ"א, אבל זו לא הכללה.
קיים בכלל פולינום שמאפס את $A$		גם בלי קיילי־המילטון: $\dim M_n(\mathbb{F})=n^2$ , ולכן $I,A,\dots,A^{n^2}$ ת"ל וקיים פולינום ממעלה $\le n^2$ שמאפס (תרגול 9; שאלת מבחן לינארית א׳ 2021ב׳). קיילי־המילטון משפר את $n^2$ ל- $n$ .

כל ביטוי פולינומי ב-

A

ניתן לרדוקציה למעלה

\le n-1

. לכן: ראית

A^{2024}

? אל תעלי בחזקה — חשבי

p_A

, ואז או שמחלקים בשארית או שמזהים דפוס (

A^2=cI

A^3=A

, וכו׳). במטריצת

2\times2

תמיד

p_A(x)=x^2-\mathrm{tr}(A)x+\det A

, אז

A^2=\mathrm{tr}(A)\cdot A-\det A\cdot I

— שורה אחת.

מה נותן לך " $W$ שמור תחת $T$ "

הגדרה: לכל $w\in W$ מתקיים $T(w)\in W$ . זה נראה חלש — ואלה כל הדברים שנובעים ממנו מיידית.

תכונה	נובע?	למה, ואיך משתמשים בזה
הצמצום $T\|_W:W\to W$ מוגדר היטב		זו כל הנקודה של ההגדרה (הערה בתרגול 9). בלי שמירות, $T\|_W$ הייתה $W\to V$ ואי אפשר היה לדבר על ע"ע שלה, על לכסינותה או על הפ"א שלה.
$V$ , $\{0_V\}$ , $\ker T$ , $\mathrm{Im}\,T$ , $V_\lambda$ שמורים		משפט 4 בהרצאה 8 — חמש דוגמאות חינם. ל- $V_\lambda$ : אם $T(v)=\lambda v$ אז $T(v)$ הוא כפל בסקלר של $v$ ולכן נשאר ב- $V_\lambda$ .
$W_1+W_2$ שמור אם שניהם שמורים		תרגול 9 בלבד. $T(w_1+w_2)=T(w_1)+T(w_2)\in W_1+W_2$ . שימושי כשמרכיבים תת-מרחב שמור מכמה מרחבים עצמיים.
ע"ע של $T\|_W$ הוא ע"ע של $T$		טריוויאלי ושימושי: $T\|_W(w)=\lambda w$ עם $w\ne0$ הוא בדיוק $T(w)=\lambda w$ . הכיוון ההפוך לא נכון — ל- $T$ יכולים להיות ע"ע שהו"ע שלהם לא ב- $W$ .
המטריצה המייצגת יוצאת בלוקים־משולשית		קחי בסיס $w_1,\dots,w_m$ של $W$ והשלימי לבסיס $\mathcal{B}$ של $V$ . מהשמירות $T(w_i)\in W$ , ולכן $[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}[T\|_W]&*\\0&C\end{pmatrix}$ . ומכיוון שפ"א של בלוקים משולשית הוא מכפלת הפ"א (משפט 4, הרצאה 7): $p_{T\|_W}\mid p_T$ .
אם $T$ הפיכה: $W$ שמור גם תחת $T^{-1}$		דורש $V$ נ"ס: $T\|_W$ חח"ע (כי $T$ חח"ע), וממרחב נ"ס לעצמו חח"ע $\Rightarrow$ על, ולכן כל $w_1\in W$ הוא $T(w_2)$ עבור $w_2\in W$ . מטלה 9 ש׳5ב, ובמבחן 2025ב׳ ש׳3.2.
בלי הפיכות: $W$ שמור $\Rightarrow$ שמור תחת $T^{-1}$		דוגמה נגדית מהמטלה: $T=0$ על $\mathbb{R}^2$ ו- $W=\{\vec 0\}$ — שמור, אבל $\{v:T(v)\in W\}=\mathbb{R}^2\not\subseteq W$ .
$W$ שמור $\Rightarrow$ $W$ נפרש ע"י ו"ע		ממש לא. $\mathrm{Im}\,T$ ו- $\ker T$ שמורים תמיד, גם כשאין ל- $T$ אף ו"ע. שמירות היא תנאי הרבה יותר חלש מלכסינות.
אם $T$ לכסינה ו- $V=U\oplus W$ שמורים $\Rightarrow$ הצמצומים לכסינים		תרגול 9. מפרקים כל ו"ע $v_i=u_i+w_i$ ; מיחידות ההצגה בסכום ישר $T(u_i)=\lambda_iu_i$ ו- $T(w_i)=\lambda_iw_i$ , ומראים ש- $\{u_i\}$ פורשת את $U$ .

ברגע שכתוב "

W

שמור תחת

T

" — כתבי מיד שתי שורות: (1) הצמצום

T|_W

מוגדר היטב; (2) בסיס של

W

מושלם לבסיס של

V

נותן מטריצה בלוקים־משולשית ולכן

p_{T|_W}\mid p_T

. משם השאלה כמעט תמיד קטנה בבלוק שלם.

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (12)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד

קיילי־המילטון לאופרטורים: $p_T(T)=0_{Hom(V,V)}$ . ההוכחה עוברת דרך למה שלא בהרצאה: $p\left([T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}\right)=[p(T)]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}$ — כלומר הצבה בפולינום מתחלפת עם לקיחת מטריצה מייצגת. מכאן: אם המטריצה המייצגת מתאפסת, גם ההעתקה.תרגול 9
נוסחת ה- $2\times2$ שחוסכת חצי שאלה: לכל $A\in M_2(\mathbb{F})$ מתקיים $p_A(x)=x^2-\mathrm{tr}(A)\,x+\det A$ , ולכן אם $A$ הפיכה: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\mathrm{tr}(A)\cdot I-A\right)$ . מכאן גם נגזרת מחדש הנוסחה המוכרת $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ .תרגול 9 (הפ"א הוכח כבר בתרגול 7)
כל החזקות מתמוטטות ל- $n$ ראשונות: לכל $k\ge0$ מתקיים $T^{n+k}\in\mathrm{span}\{Id,T,T^2,\dots,T^{n-1}\}$ (אינדוקציה שלמה על $k$ , בכל צעד מכפילים את $p_T(T)=0$ ב- $T^{k+1}$ ). מסקנה: $\dim\{p(T):p\in\mathbb{F}[x]\}\le n$ , ולכן כש- $n>1$ קיימת $S\in Hom(V,V)$ שאינה פולינום ב- $T$ (כי $n<n^2=\dim Hom(V,V)$ ).תרגול 9, למה + תרגיל
משפט המשולשיות (כולו תרגול, לא בהרצאה): $T$ מיוצגת על ידי מטריצה משולשית עליונה בבסיס כלשהו אם"ם הפ"א שלה מתפרק לגורמים לינאריים. הלמה שמאחוריו: $[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}$ משולשית עליונה $\iff$ לכל $k$ מתקיים $T(v_k)\in\mathrm{span}\{v_1,\dots,v_k\}$ $\iff$ יש שרשרת עולה של $n$ תתי-מרחבים שמורים.תרגול 9
המנוע שבתוך ההוכחה, ששווה בפני עצמו: לכל ע"ע $\lambda$ , התת-מרחב $W=\mathrm{Im}(T-\lambda\,id)$ הוא שמור (כי $T(w)=(T-\lambda\,id)w+\lambda w$ ), ומשפט המימדים נותן $\dim W=n-GM(\lambda)<n$ . כך "יורדים במימד" באינדוקציה.תרגול 9
שימוש קלאסי בקיילי־המילטון להעלאה בחזקה: $A=\begin{pmatrix}-3&7\\-2&3\end{pmatrix}$ מקיימת $p_A(\lambda)=\lambda^2+5$ , ולכן $A^2=-5I$ , ומכאן $A^{2025}=(A^2)^{1012}A=(-5)^{1012}A$ . שימי לב: הפ"א לא מתפרק, $A$ לא לכסינה — ובכל זאת החישוב יוצא בשתי שורות.תרגול 9
התבנית "אין מטריצה כזו" של מטלה 9 ש׳1ב: כדי לפסול $A\in M_3(\mathbb{C})$ עם $A^3=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ — הע"ע של $A^3$ הם $\lambda_i^3$ , כולם $0$ , ולכן כל $\lambda_i=0$ , ולכן $p_A(\lambda)=\lambda^3$ , ולכן מקיילי־המילטון $A^3=0$ — בסתירה.מטלה 9 ש׳1ב
מטלה 9 ש׳1א: אם ל- $A\in M_n(\mathbb{C})$ יש ע"ע יחיד $\alpha$ , אז $p_A(\lambda)=(\lambda-\alpha)^n$ (כי מעל $\mathbb{C}$ הפ"א מתפרק ל- $n$ גורמים), ולכן $(\alpha I_n-A)^n=(-1)^np_A(A)=0_n$ .מטלה 9 ש׳1א
מטלה 9 ש׳3, שיטה ששווה יותר מהתשובה: $T$ לכסינה ו- $T^4=T$ $\Rightarrow$ $T^2=T$ . עובדים על בסיס של ו"ע: לכל $i$ מקבלים $\lambda_i^4=\lambda_i$ ומעל $\mathbb{R}$ נובע $\lambda_i\in\{0,1\}$ ולכן $\lambda_i^2=\lambda_i$ ; ואז $T^2$ ו- $T$ מסכימות על בסיס — ושתי העתקות שמסכימות על בסיס שוות.מטלה 9 ש׳3
מטלה 9 ש׳6: אם כל $0_V\ne v\in V$ הוא ו"ע של $T$ , אז $T=\lambda\cdot id$ . ההוכחה: אילו $T(v_1)=\lambda_1v_1$ , $T(v_2)=\lambda_2v_2$ עם $\lambda_1\ne\lambda_2$ , אז $v_1,v_2$ בת"ל, ו- $v_1+v_2$ (שגם הוא ו"ע) מוביל ל- $\lambda_1=\lambda_2$ — סתירה.מטלה 9 ש׳6
מטלה 9 ש׳4: $T$ נילפוטנטית ( $T^k=0$ ) ו- $V=U\oplus\ker T$ עם $U$ שמור $\Rightarrow$ $T=0$ . הטריק: לכל $u\in U$ הווקטור $T^{k-1}(u)$ נמצא גם ב- $U$ (שמירות) וגם ב- $\ker T$ , ומסכום ישר הוא $0$ ; חוזרים אחורה עד $u=0$ .מטלה 9 ש׳4
דוגמת מפתח לאופרטור נילפוטנטי: $T(p(x))=p(x+1)-p(x)$ על $\mathbb{R}_2[x]$ מיוצג ע"י מטריצה משולשית עליונה עם $0$ באלכסון, ולכן $p_T(\lambda)=\lambda^3$ ו- $T^3=0$ (מכאן הזהות $p(x+3)-3p(x+2)+3p(x+1)-p(x)=0$ ). $T$ אינה לכסינה: הע"ע היחיד הוא $0$ , ואם הייתה לכסינה הייתה שווה לאופרטור האפס.מטלה 9, שאלות נוספות ש׳1

תכונות קטנות שחייבים לדעת (11)

13 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות

קיילי־המילטון: לכל $A\in M_n(\mathbb{F})$ מתקיים $p_A(A)=0_n$ . חשוב: התוצאה היא מטריצת האפס, לא הסקלר $0$ .הרצאה 8, משפט 2
הצבה: $p(A)=a_0I_n+a_1A+\dots+a_kA^k$ — ותוצאת ההצבה היא מטריצה. בנוסף $(p\cdot q)(A)=p(A)\cdot q(A)$ ו- $(p+q)(A)=p(A)+q(A)$ , ולכן מותר לפרק ולחלק פולינומים ואז להציב.הרצאה 8, הגדרה + הערה 1; תרגול 9
אם $(\lambda,\vec v)$ ז"ע של $A$ אז $(p(\lambda),\vec v)$ ז"ע של $p(A)$ — אותו וקטור, הע"ע עובר דרך הפולינום. בפרט $(\lambda^k,\vec v)$ ז"ע של $A^k$ . זה הכלי שמחליף את קיילי־המילטון כשנתונה זהות מטריצית ולא הפ"א.הרצאה 8, למה 1 + משפט 1
אם $A$ לכסינה ב- $P$ , אז $p(A)$ לכסינה באותה $P$ בדיוק, ומתקיים $P^{-1}p(A)P=\mathrm{diag}(p(\lambda_1),\dots,p(\lambda_n))$ .הרצאה 8, מסקנה 1
$A$ הפיכה $\Rightarrow$ $A^{-1}$ היא צירוף לינארי של $I_n,A,\dots,A^{n-1}$ . הנימוק שחייב להופיע בכתב: $A$ הפיכה $\Rightarrow$ $0$ אינו ע"ע $\Rightarrow$ $p_A(0)\ne0$ $\Rightarrow$ המקדם החופשי $a_0\ne0$ , ורק אז מותר לחלק בו.הרצאה 8, תרגיל 3 + ההכללה (שקפים 17-19); מטלה 8 ש׳4
ב- $V$ נ"ס: $T$ לכסינה אם"ם $[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}$ לכסינה — ולא משנה איזה בסיס $\mathcal{A}$ בחרת. לכן כל שאלת אופרטור נפתרת בבחירת הבסיס הכי נוח (בדרך כלל הסטנדרטי) וחישוב מטריצי רגיל.הרצאה 8, משפט 3
לאופרטור: $V_\lambda=\ker(\lambda\cdot id-T)=\{v:T(v)=\lambda v\}$ , ו- $\lambda$ ע"ע אם"ם $\lambda\cdot id-T$ אינה חח"ע (ובמרחב נ"ס — אינה הפיכה). זה הניסוח שמאפשר לענות בלי מטריצה בכלל.הרצאה 8, הערות 4-5
בבסיס המורכב מו"ע, המטריצה המייצגת היא $\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ — והסדר על האלכסון נקבע בדיוק לפי סדר הו"ע בבסיס. זו הבדיקה שלא התבלבלת בהתאמה בין $P$ ל- $D$ .הרצאה 8, הערה 3
תת-מרחבים שמורים שתמיד קיימים, בחינם: $V$ , $\{0_V\}$ , $\ker T$ , $\mathrm{Im}\,T$ , וכל מרחב עצמי $V_\lambda$ .הרצאה 8, משפט 4
$A$ יכולה לאפס פולינום בלי לאפס אף אחד מגורמיו — ולכן מ- $q(A)=0$ אסור להסיק ש- $A$ שווה לשורש כלשהו של $q$ . (מ- $(A+I)(A-4I)=0$ לא נובע $A=-I$ או $A=4I$ .)הרצאה 8, דוגמה 2
בדיקת שפיות זולה לפני שמתחילים: אם נתון ש- $A^k$ שווה למשהו, אז הע"ע של $A^k$ הם $\lambda^k$ עבור ע"ע $\lambda$ של $A$ . אם המספרים לא מסתדרים — אין מטריצה כזו, וסיימת.נובע מלמה 1 בהרצאה 8; בשימוש במטלה 9 ש׳1ב

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

נתון"חשבו

A^{2024}

" (או

A^{2025}

, או

A^{2022}

)

שואליםשני מסלולים בלבד, ובוחרים לפי הפ"א.

המהלךמסלול א׳ — לכסינה: אם

A\sim D

אז

A^k=PD^kP^{-1}

ומעלים בחזקה רק על האלכסון. מסלול ב׳ — קיילי־המילטון: מחשבים

p_A

, מקבלים ממנו קשר (

A^2=-5I

, או

A^3=A

, או

A^2=\mathrm{tr}(A)A-\det(A)I

), ומצמצמים את החזקה. מסלול ב׳ עובד גם כשהמטריצה לא לכסינה — לכן אם הפ"א לא מתפרק, זה הסימן ללכת אליו. מבחן 2022ב׳ ש׳2 פתור בשתי הדרכים:

p_A(A)=0

נותן

A^3=A

, ואז

A^{2022}=(A^2)^{1011}=A^2

נתון"הוכיחו שלא קיימת מטריצה

A

המקיימת ..." / "הוכיחו או הפריכו: קיימת

A

כך ש..."

שואליםכמעט תמיד אין כזו, ויש שלושה נשקים — נסי אותם בסדר הזה.

המהלך(1) הצבת ו"ע בזהות: אם

\lambda

ע"ע ו-

A\vec v=\lambda\vec v

, הפעילי את שני האגפים של הזהות הנתונה על

\vec v

וקבלי משוואה סקלרית ב-

\lambda

— אם אין לה פתרון, סתירה (מבחן 2025ב׳ ש׳4.3:

A^n=A^{n-1}+I

ו-

\lambda=2

נותנים

2^n=2^{n-1}+1

, שקר). (2) קיילי־המילטון: זהי את הע"ע מהאגף הנתון, בני את

p_A

והציבי (מטלה 9 ש׳1ב). (3) אינוריאנטים: עקבה, דטרמיננטה, דרגה — למשל

\mathrm{tr}(AB-BA)=0

פוסלת

AB-BA=I

(זה עובד כש-

\mathrm{tr}(I_n)=n\ne0_{\mathbb{F}}

, בפרט מעל

\mathbb{R}

ו-

\mathbb{C}

; מעל

\mathbb{Z}_p

עם

p\mid n

הטיעון קורס).

נתוןנתונים כל הע"ע של

A\in M_n

(או הפ"א שלה במפורש)

שואליםהפ"א ידוע לגמרי, ולכן יש לך זהות מטריצית חינם בין

I,A,\dots,A^n

המהלךהרכיבי

p_A(\lambda)=\prod(\lambda-\lambda_i)

, פתחי סוגריים, והציבי

A

. מבחן 2025א׳ ש׳4.2: ע"ע

i,-i,2

ב-

M_3(\mathbb{C})

\Rightarrow

p_A(\lambda)=\lambda^3-2\lambda^2+\lambda-2

\Rightarrow

A^3=2A^2-A+2I_3

. השאלה נראית כמו "הוכח או הפרך" והיא בעצם שורה אחת.

נתוןנתון ש-

W

שמור תחת

T

שואליםמותר לך לכתוב מיד, בלי הוכחה נוספת: הצמצום

T|_W

מוגדר; ע"ע שלו הם ע"ע של

T

; ובבסיס מתאים המטריצה בלוקים־משולשית ולכן

p_{T|_W}\mid p_T

המהלךבחרי בסיס

w_1,\dots,w_m

ל-

W

והשלימי לבסיס של

V

. אם בנוסף

V=U\oplus W

ושניהם שמורים ו-

T

לכסינה — הצמצומים לכסינים (תרגול 9), והמטריצה יוצאת אלכסונית בבלוקים. אם

T

הפיכה —

W

שמור גם תחת

T^{-1}

נתון"האם האופרטור

T

לכסין?" (על

\mathbb{R}_n[x]

M_2(\mathbb{R})

, וכו׳)

שואליםזו שאלת מטריצות מוסווית. בחרי בסיס, בני את

[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}

, וחזרי לשבוע 7.

המהלךבסיס סטנדרטי

\to

העמודות הן

[T(b_i)]_{\mathcal{B}}

\to

p_A

\to

ריבויים. קיצור דרך שכדאי לבדוק קודם: אם יוצא ע"ע יחיד

\lambda

ו-

T\ne\lambda\cdot id

— לא לכסין, סיימת. ואם מבקשים גם

\ker T

או

\mathrm{Im}\,T

\ker T=V_0

, ואם

T

לכסינה אז

\mathrm{Im}\,T

הוא סכום המרחבים העצמיים של הע"ע השונים מאפס (תרגול 8).

נתון"בטאו את

A^{-1}

כצירוף של

I,A,A^2

שואליםקיילי־המילטון, בארבע שורות קבועות.

המהלךחשבי

p_A(\lambda)=\lambda^3+a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0

\to

ודאי

a_0\ne0

ונמקי (

a_0=p_A(0)=-\det A

ל-

n=3

, ו-

A

הפיכה)

\to

A^3+a_2A^2+a_1A=-a_0I

\to

הוציאי

A

כגורם משמאל וחלקי ב-

-a_0

. מטלה 8 ש׳4 והרצאה 8 תרגיל 3 הן אותה שאלה:

p_A=\lambda^3-11\lambda^2+34\lambda-24

נותן

A^{-1}=\frac{34}{24}I-\frac{11}{24}A+\frac{1}{24}A^2

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית

p_A(A)=\det(A\cdot I_n-A)=\det(0_n)=0

זו ההוכחה השגויה שההרצאה מציגה כדי שלא תכתבי אותה. אי אפשר להציב מטריצה בתוך איברי המטריצה

\lambda I_n-A

, ובנוסף אגף שמאל הוא מטריצה (

0_n

) ואגף ימין סקלר (

0_{\mathbb{F}}

). ההוכחה הנכונה עוברת דרך

adj(\lambda I_n-A)=B_0+B_1\lambda+\dots+B_{n-1}\lambda^{n-1}

וטור טלסקופי.

להעביר זהות סקלרית למטריצות בלי לתקן את האיבר החופשי

מ-

p(x)=x^2-3x-4

מקבלים

p(A)=A^2-3A-4\mathbf{I_n}

, ולא

A^2-3A-4

. באותו אופן:

p_A(\lambda)=0

הופך ל-

p_A(A)=0_{\mathbf n}

(מטריצת אפס), ו-

A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)\mathbf{I}-A)

ולא

\frac{\mathrm{tr}(A)-A}{\det A}

מ-

q(A)=0

להסיק ש-

A

שווה לאחד השורשים של

q

למטריצות יש מחלקי אפס.

(A+I)(A-4I)=0

מתקיים עבור

A=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}

שאינה

-I

ואינה

4I

(הרצאה 8, דוגמה 2). מה שכן מותר להסיק: כל ע"ע של

A

הוא שורש של

q

A^k

שווה למטריצה

B

, לכן הע"ע של

A

הם השורשים ה-

k

-יים של הע"ע של

B

רק כיוון אחד בטוח:

\lambda

ע"ע של

A

\Rightarrow

\lambda^k

ע"ע של

A^k

. בכיוון ההפוך יש בחירה של שורש — למשל אם

\lambda^2

ע"ע של

A^2

אז

\lambda

או

-\lambda

ע"ע של

A

(תרגול 8). הכיוון היחיד שאפשר להישען עליו בביטחון הוא הראשון, וזה מספיק לרוב שאלות ה"לא קיימת".

להשתמש ב-

A^{-1}=

פולינום ב-

A

בלי לבדוק הפיכות

כל המהלך מתמוטט אם המקדם החופשי

a_0=p_A(0)=(-1)^n\det A

הוא

0

— כלומר בדיוק כש-

A

אינה הפיכה. חובה לכתוב את המשפט "מהיות

A

הפיכה,

0

אינו ע"ע ולכן

a_0\ne0

" לפני החלוקה.

T

לכסין ביחס לבסיס

\mathcal{A}

אבל אולי לא ביחס לבסיס אחר"

לכסינות אינה תלויה בבסיס: במרחב נ"ס,

T

לכסינה אם"ם

[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}

לכסינה, לכל

\mathcal{A}

(משפט 3). כל המטריצות המייצגות דומות זו לזו ולכן חולקות פ"א, ע"ע, ריבויים ולכסינות. בחרי את הבסיס הכי נוח לחישוב.

קיילי–המילטון ותת-מרחב שמור

הסיכומון וההגדרות המלאות

הדף הקודם

ריבוי אלגברי וגיאומטרי

הדף הבא

מרחב מכפלה פנימית

דף הנושא — קיילי–המילטון ותת-מרחב שמור

מה קיילי־המילטון מרשה לך להחליף — ומה לא

מה נותן לך "WWW שמור תחת TTT"

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (12)

תכונות קטנות שחייבים לדעת (11)

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

מלכודות (6)

מה נותן לך " $W$ שמור תחת $T$ "