LINEAR 2

דף הנושא — הפולינום האופייני

הגדרה, מטריצות בלוקים, דמיון ופיבונאצ׳י

22 תכונות
11 מהתרגול בלבד
6 מלכודות
בשורה אחת

pA(λ)=det⁡(λIn−A)p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A) — מכונה שממירה מטריצה לפולינום מתוקן ממעלה nn בדיוק, ששורשיו הם בדיוק הערכים העצמיים, ושמקדמיו הקיצוניים הם העקבה והדטרמיננטה. משבוע זה והלאה כבר לא מנחשים ע"ע.

מה צריך לדעת קודם
  • 5ע"ע, ו"ע ומרחב עצמי — הפ"א רק מוצא את הע"ע; הלכסינות עדיין נקבעת ב-dim⁡Vλ\dim V_\lambda
  • 4דמיון + det⁡(P−1MP)=det⁡M\det(P^{-1}MP)=\det M — זו כל ההוכחה שהפ"א אינווריאנט דמיון
  • 0דטרמיננטה של משולשית = מכפלת האלכסון, ופיתוח לפי שורה/עמודה. כל חישוב פ"א הוא זה
למה זה מוביל
  • 7ריבוי אלגברי מוגדר כחזקה של (λ−λ0)(\lambda-\lambda_0) ב-pAp_A — בלי הפ"א אין את הקריטריון הסופי ללכסינות
  • 5סוגר את שבוע 5: כל שאלת "האם לכסינה" מתחילה מעכשיו בחישוב pAp_A

מה הפולינום האופייני קובע — ומה הוא לא

עם הקונבנציה של הקורס: pA(λ)=det⁡(λIn−A)p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A), ולכן pA(λ)=λn−tr(A)λn−1+⋯+(−1)ndet⁡(A)p_A(\lambda)=\lambda^n-\mathrm{tr}(A)\lambda^{n-1}+\dots+(-1)^n\det(A).

תכונהנקבע ע"י pAp_A?למה, ואיך משתמשים בזה
הערכים העצמיים
משפט 1: λ\lambda ע"ע אם"ם pA(λ)=0Fp_A(\lambda)=0_{\mathbb{F}}. ההוכחה: λ\lambda ע"ע   ⟺  λI−A\iff\lambda I-A לא הפיכה   ⟺  det⁡(λI−A)=0\iff\det(\lambda I-A)=0.
סדר המטריצה nn
משפט 2: pAp_A מתוקן ממעלה nn בדיוק. אם נתון לך רק הפ"א — deg⁡pA\deg p_A אומר לך מיד עם איזו Mn(F)M_n(\mathbb{F}) את עובדת.
העקבה tr(A)\mathrm{tr}(A)
המקדם של λn−1\lambda^{n-1} הוא −tr(A)-\mathrm{tr}(A). מוכח בתרגול 7 בלבד, באינדוקציה. שימי לב לסימן המינוס.
הדטרמיננטה det⁡(A)\det(A)
המקדם החופשי הוא (−1)ndet⁡(A)(-1)^n\det(A), כי pA(0)=det⁡(−A)=(−1)ndet⁡Ap_A(0)=\det(-A)=(-1)^n\det A. תרגול 7 ומטלה 6 ש׳6(א).
הפיכות
נובע: AA הפיכה   ⟺  \iff 00 אינו שורש של pAp_A   ⟺  \iff המקדם החופשי ≠0\ne0. תרגול 7 עושה בדיוק את זה עם pA=x3−6x2+11x−6p_A=x^3-6x^2+11x-6.
הריבויים האלגבריים
לפי הגדרה — הריבוי האלגברי הוא החזקה של (λ−λ0)(\lambda-\lambda_0) בפ"א. שבוע 7.
לכסינות
לא, וזה החור המרכזי בשבוע הזה. I2I_2 ו-(1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}: לשתיהן (λ−1)2(\lambda-1)^2, הראשונה לכסינה והשנייה לא. הרצאה 6 שקף 26.
מימדי המרחבים העצמיים (ריבוי גיאומטרי)
אותה דוגמה: dim⁡V1\dim V_1 הוא 22 מול 11. הפ"א לא רואה את זה בכלל — צריך n−rank(λI−A)n-\mathrm{rank}(\lambda I-A).
דמיון
pA=pBp_A=p_B אינו גורר A∼BA\sim B. אותה דוגמה, כי I2I_2 דומה רק לעצמה. הרצאה 6 שקף 26 ותרגול 7. הכיוון היחיד שנכון: A∼B⇒pA=pBA\sim B\Rightarrow p_A=p_B.
דרגה
020_2 ו-(0100)\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}: לשתיהן p=λ2p=\lambda^2, דרגות 00 ו-11. אפשר לחלץ רק את dim⁡V0\dim V_0 אם יודעים לכסינות.
המטריצה עצמה
ברור, אבל שווה לזכור בכיוון ההפוך: לכל פולינום מתוקן ניתן לבנות מטריצה עם הפ"א הזה (מטריצה מלווה) — מטלה 6 ש׳3(א).
כשנתון pAp_A ולא AA: קראי מיד מעלה →n\to n, מקדם חופשי →(−1)ndet⁡A\to(-1)^n\det A ומכאן הפיכות, מקדם λn−1→−tr(A)\lambda^{n-1}\to-\mathrm{tr}(A), שורשים →\to ע"ע. ארבע שורות, בלי שום חישוב.

איך לחשב את pAp_A בלי לפתוח דטרמיננטה 3×33\times3

רוב הזמן שהולך לאיבוד בשאלות האלה הוא פיתוח דטרמיננטה מיותר.

תכונהמותר?למה, ואיך משתמשים בזה
2×22\times2: pA(λ)=λ2−tr(A)λ+det⁡(A)p_A(\lambda)=\lambda^2-\mathrm{tr}(A)\lambda+\det(A)
תמיד, בכל שדה. תרגול 7 מוכיח זאת ישירות. חוסך את כל החישוב.
משולשית / אלכסונית: pA=∏i(λ−aii)p_A=\prod_i(\lambda-a_{ii})
הרצאה 6 מסקנות 1 ו-2. אם המטריצה משולשית — סיימת מיד.
מטריצת בלוקים משולשית: pA=pA1⋯pAkp_A=p_{A_1}\cdots p_{A_k}
משפט 4. הבלוקים חייבים להיות ריבועיים ואחד מהמשולשים חייב להיות אפס; מה שיש בבלוקים ה-∗* לא משנה כלל.
מטריצת בלוקים כללית (ABCD)\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}
משפט 4 לא חל. בלי בלוק אפס אין נוסחה — פותחים דטרמיננטה.
pA+cI(λ)=pA(λ−c)p_{A+cI}(\lambda)=p_A(\lambda-c)
נגזר: det⁡(λI−(A+cI))=det⁡((λ−c)I−A)\det(\lambda I-(A+cI))=\det((\lambda-c)I-A). מסביר למה הע"ע זזים ב-cc ולמה מימדי המרחבים העצמיים לא משתנים.
pAt=pAp_{A^t}=p_A
(λI−A)t=λI−At(\lambda I-A)^t=\lambda I-A^t ולשחלוף אותה דטרמיננטה. מטלה 6 ש׳5(א). ולכן ל-AA ול-AtA^t אותם ע"ע בדיוק.
פירוק λ2I−A2=(λI−A)(λI+A)\lambda^2I-A^2=(\lambda I-A)(\lambda I+A)
נכון כי AA מתחלפת עם עצמה. מטלה 6 ש׳6(ב),(ג) בונות על זה: pA2(λ2)=pA(λ)⋅det⁡(λI+A)p_{A^2}(\lambda^2)=p_A(\lambda)\cdot\det(\lambda I+A).
ידוע ע"ע אחד α\alpha ⇒\Rightarrow חלוקה ב-(λ−α)(\lambda-\alpha)
משפט בזו (הרצאה 6 שקף 29; השם "משפט בזו" ואופן השימוש — תרגול 7): (λ−α)∣p(λ)(\lambda-\alpha)\mid p(\lambda) אם"ם p(α)=0p(\alpha)=0. זו הדרך לפרק פ"א ממעלה 3 — מנחשים שורש קטן (±1,±2\pm1,\pm2, או "סכום המקדמים =0⇒1=0\Rightarrow1 שורש") ומחלקים חילוק ארוך.
pAB=pA⋅pBp_{AB}=p_A\cdot p_B או pA+B=pA+pBp_{A+B}=p_A+p_B
שתיהן שגויות לגמרי. אין שום חוק כזה.
לפני שאת פותחת דטרמיננטה: האם היא משולשית? בלוקים? 2×22\times2? יש לי כבר ע"ע? רק אם התשובה לכולן שלילית — פיתוח לפי השורה/עמודה שיש בה הכי הרבה אפסים, אחרי פעולת שורה אחת שיוצרת אפס (כך עושים בהרצאה 6 תרגיל 2 ובמטלה 7 ש׳2).

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (11)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד
  • משפט המקדמים — מוכח בתרגול 7 בלבד, לא בהרצאה. ב-pA(λ)=λn+an−1λn−1+⋯+a1λ+a0p_A(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_1\lambda+a_0 מתקיים an−1=−tr(A)a_{n-1}=-\mathrm{tr}(A) ו-a0=(−1)ndet⁡(A)a_0=(-1)^n\det(A). ההוכחה: a0=pA(0)=det⁡(−A)=(−1)ndet⁡Aa_0=p_A(0)=\det(-A)=(-1)^n\det A, ו-an−1a_{n-1} באינדוקציה על פיתוח לפי השורה הראשונה. זה המשפט שהופך "נתון הפ"א" לשאלה של שתי שורות.תרגול 7
  • λ\lambda אינו ע"ע של AA אם"ם rank(A−λI)=n\mathrm{rank}(A-\lambda I)=n. זה הגשר בין שאלות דרגה לשאלות ע"ע: אם λ\lambda לא שורש של pAp_A אז Null(A−λI)={0}\mathrm{Null}(A-\lambda I)=\{0\} ומשפט המימדים נותן דרגה מלאה. תרגול 7 בונה על זה תרגיל שלם: נתון pAp_A ממעלה 44 ונתון rank(A+2I)+rank(A+3I)+rank(A−5I)=9\mathrm{rank}(A+2I)+\mathrm{rank}(A+3I)+\mathrm{rank}(A-5I)=9 — מזהים ש-−2-2 אינו ע"ע, מסיקים rank(A+2I)=4\mathrm{rank}(A+2I)=4, ומחלצים dim⁡V−3+dim⁡V5=3\dim V_{-3}+\dim V_5=3; מוסיפים dim⁡V1≥1\dim V_1\ge1 עבור הע"ע השלישי ומקבלים ∑GM≥4=n\sum GM\ge4=n ולכן לכסינה.תרגול 7
  • אם AA לכסינה וכל ערכיה העצמיים שווים ל-cc, אז A=c⋅InA=c\cdot I_n. ההוכחה: pA=(λ−c)np_A=(\lambda-c)^n, ולמטריצה האלכסונית הדומה pD=∏(λ−λi)p_D=\prod(\lambda-\lambda_i); שוויון הפולינומים כופה λi=c\lambda_i=c לכל ii, ומטריצה סקלרית דומה רק לעצמה. זו הצורה הכללית של הטריק שמפריך לכסינות בכל שאלה שנייה.תרגול 7
  • אם AA לכסינה: tr(A)=∑λi\mathrm{tr}(A)=\sum\lambda_i ו-det⁡(A)=∏λi\det(A)=\prod\lambda_i עם ריבוי. תרגול 7 מוסיף הערה חשובה: דרישת הלכסינות חזקה מדי — מספיק שהפ"א יתפרק לגורמים לינאריים (וזה נובע ממשפט המקדמים לעיל).תרגול 7 (וגם הרצאה 5 הערה 1)
  • לכל מטריצה ממשית מסדר אי-זוגי יש ע"ע ממשי. הנימוק אינו אלגברי אלא ממשפט ערך הביניים: לפולינום ממשי ממעלה אי-זוגית תמיד יש שורש. לא בהרצאה.תרגול 7
  • סיווג מלא של M2(R)M_2(\mathbb{R}) עד כדי דמיון: כל A∈M2(R)A\in M_2(\mathbb{R}) דומה לאחת מארבע: diag(λ1,λ2)\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2) עם λ1≠λ2\lambda_1\ne\lambda_2; λI2\lambda I_2; (λ10λ)\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}; או r(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)r\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} (כשאין ע"ע ממשיים). ההוכחה מפצלת לפי מספר השורשים ומימד VλV_\lambda — וזו טעימה מוקדמת של צורת ז׳ורדן.תרגול 7
  • מהפ"א של AA אל הפ"א של A−1A^{-1}: אם pAp_A מתפרק ל-nn שורשים שונים, אז A∼diag(λ1,…,λn)A\sim\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n), ולכן A−1∼diag(λ1−1,…,λn−1)A^{-1}\sim\mathrm{diag}(\lambda_1^{-1},\dots,\lambda_n^{-1}), ולמטריצות דומות אותו פ"א — אז pA−1(λ)=∏(λ−λi−1)p_{A^{-1}}(\lambda)=\prod(\lambda-\lambda_i^{-1}).תרגול 7
  • כל סדרה רקורסיבית an=λ1an−1+⋯+λkan−ka_n=\lambda_1a_{n-1}+\dots+\lambda_ka_{n-k} מתורגמת למטריצה מלווה k×kk\times k עם λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k בשורה הראשונה ו-11-ים באלכסון שמתחתיה. פיבונאצ׳י היא רק המקרה k=2k=2; מטלה 7 ש׳3 מריצה בדיוק את אותו נוהל על סדרת פל (Pn=2Pn−1+Pn−2P_n=2P_{n-1}+P_{n-2}, A=(2110)A=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}, λ1,2=1±2\lambda_{1,2}=1\pm\sqrt2).תרגול 7, מטלה 7 ש׳3
  • מטלה 7 ש׳5 וש׳6 פותרות בעזרת הקריטריון AM=GM\mathrm{AM}=\mathrm{GM}, שמוכח רק בהרצאה 7. אם את פותרת שאלה משבוע 6 ונתקעת — מותר וכדאי להשתמש בו; פשוט אל תצטטי אותו כ"משפט מהרצאה 6".מטלה 7 ש׳5, ש׳6
  • הפ"א חוסם דרגה: אם 00 הוא שורש של pAp_A מריבוי אלגברי mm, אז dim⁡V0≤m\dim V_0\le m ולכן rank(A)≥n−m\mathrm{rank}(A)\ge n-m; אם בנוסף AA לכסינה מתקיים שוויון. זה מה שנשאל במבחן 2024א׳ ש׳5.2 ("נתון pAp_A, חשבו rank(A)\mathrm{rank}(A)").מבחן 2024א׳ ש׳5.2
  • שימו לב בפתרונות מבחנים ישנים: חלק מהשנים חישבו det⁡(A−xI)\det(A-xI) ולכן קיבלו פ"א לא מתוקן (למשל p(x)=−x3+2x−5p(x)=-x^3+2x-5 במבחן 2022ב׳). המשמעות זהה, אבל הסימנים של tr\mathrm{tr} ו-det⁡\det מתהפכים. בקורס הזה תמיד det⁡(λI−A)\det(\lambda I-A).מבחן 2022ב׳ ש׳6, תרגול 7 הערת שוליים

תכונות קטנות שחייבים לדעת (11)

13 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות
  • הקונבנציה של הקורס: pA(λ)=det⁡(λIn−A)p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A). ההרצאה כותבת במפורש "הגדרה מקבילה (לא אצלנו!): pA(λ)=det⁡(A−λIn)p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I_n)". תרגול 7 מוסיף: בחישוב לפי det⁡(A−xI)\det(A-xI) המקדם המוביל בסדר אי-זוגי הוא −1-1; אצלנו הוא תמיד 11.הרצאה 6 שקף 6, תרגול 7 הערת שוליים 2, דף הנוסחאות
  • λ\lambda ע"ע של AA אם"ם pA(λ)=0Fp_A(\lambda)=0_{\mathbb{F}}. הע"ע הם בדיוק השורשים — בשדה שבו עובדים.הרצאה 6 משפט 1
  • pAp_A הוא פולינום מתוקן ממעלה nn בדיוק. מסקנה: לכל A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) יש לכל היותר nn ע"ע שונים.הרצאה 6 משפט 2, שקף 29
  • למטריצות דומות אותו פ"א: A∼B⇒pA=pBA\sim B\Rightarrow p_A=p_B. ההוכחה: λI−B=P−1(λI−A)P\lambda I-B=P^{-1}(\lambda I-A)P, ולמטריצות דומות אותה דטרמיננטה. ההפך לא נכון.הרצאה 6 משפט 5 ושקף 26
  • הפ"א של מטריצת בלוקים משולשית הוא מכפלת הפ"א של הבלוקים: pA=pA1⋯pAkp_A=p_{A_1}\cdots p_{A_k}.הרצאה 6 משפט 4
  • מעל C\mathbb{C} הפ"א תמיד מתפרק: pA(λ)=(λ−λ1)⋯(λ−λn)p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdots(\lambda-\lambda_n) (בלי מקדם — כי מתוקן). לכן לכל מטריצה מרוכבת יש ע"ע. מעל R\mathbb{R}/Zp\mathbb{Z}_p ייתכן שאין אף אחד.הרצאה 6 מסקנות 4 ו-5
  • שוויון פולינומים = שוויון מקדמים, לא שוויון ערכים. מעל Z2\mathbb{Z}_2: x2+x+1x^2+x+1 ו-11 מחזירים אותו ערך לכל xx ובכל זאת אינם שווים. חשוב כשמשווים פ"א מעל שדה סופי.הרצאה 6 שקף 28
  • מטריצה משולשית: הע"ע הם איברי האלכסון (עם ריבוי אלגברי). מטריצה אלכסונית: בנוסף הז"ע הם (λj,e⃗j)(\lambda_j,\vec e_j) והיא לכסינה בעצמה.הרצאה 6 מסקנות 1 ו-2
  • סדרות נסיגה: Fn=Fn−1+Fn−2F_n=F_{n-1}+F_{n-2} הופך ל-F⃗n=AF⃗n−1\vec F_n=A\vec F_{n-1} עם A=(1110)A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}, ואז pA=λ2−λ−1p_A=\lambda^2-\lambda-1, שני ע"ע שונים 1±52\frac{1\pm\sqrt5}{2}, ולכן AA לכסינה ו-F⃗n=An−1F⃗1=PDn−1P−1F⃗1\vec F_n=A^{n-1}\vec F_1=PD^{n-1}P^{-1}\vec F_1. זו נוסחת BinetBinet.הרצאה 6 משפט 3, תרגול 7
  • למה 1: דטרמיננטה של מטריצה שאיבריה פולינומים ממעלה ≤1\le1 היא פולינום ממעלה ≤n\le n. זה מה שמצדיק בכלל לקרוא ל-det⁡(λI−A)\det(\lambda I-A) "פולינום", וזה מה שמטלה 6 ש׳3(ב) מכלילה למעלה ≤2\le2 (ואז deg⁡≤2n\deg\le2n).הרצאה 6 למה 1, מטלה 6 ש׳3(ב)
  • ניתן לבנות מטריצה עם פ"א נתון: למשל ל-p(λ)=1+3λ+λ2+λ3p(\lambda)=1+3\lambda+\lambda^2+\lambda^3 מעל Z5\mathbb{Z}_5 מתאימה (004102014)\begin{pmatrix}0&0&4\\1&0&2\\0&1&4\end{pmatrix} (מטריצה מלווה). שימושי כדי לבנות דוגמאות נגדיות.מטלה 6 ש׳3(א)

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

נתוןנתון pAp_A (ולא AA), ומבקשים משהו על AA
שואליםכל מה שאת צריכה כתוב במקדמים. אל תנסי לשחזר את AA.
המהלךdeg⁡pA=n\deg p_A=n נותן את הסדר. המקדם החופשי a0=(−1)ndet⁡Aa_0=(-1)^n\det A נותן את הדטרמיננטה ולכן הפיכות. המקדם של λn−1\lambda^{n-1} נותן −tr(A)-\mathrm{tr}(A). השורשים נותנים את הע"ע ואת הריבויים האלגבריים. דוגמה מתרגול 7: pA=x3−6x2+11x−6⇒a0=−det⁡A=−6⇒det⁡A=6≠0⇒p_A=x^3-6x^2+11x-6\Rightarrow a_0=-\det A=-6\Rightarrow\det A=6\ne0\Rightarrow הפיכה; ואז מפרקים ל-(x−1)(x−2)(x−3)(x-1)(x-2)(x-3), שלושה ע"ע שונים ב-M3M_3 ⇒\Rightarrow לכסינה. שימי לב: בתרגול 7 נכתב שם "det⁡A=−6\det A=-6" — זו טעות סימן בתרגול; ב-n=3n=3 המקדם החופשי הוא −det⁡A-\det A, והמכפלה 1⋅2⋅3=61\cdot2\cdot3=6 מאשרת. המסקנה (הפיכות) זהה.
נתון"הוכיחו או הפריכו: AA ו-BB דומות"
שואליםהפ"א הוא האינווריאנט החזק ביותר מהזולים — אבל הוא לא הראשון שבודקים.
המהלךסדר: עקבה →\to דטרמיננטה →\to דרגה →\to rank(A−cI)\mathrm{rank}(A-cI) →\to פ"א. הרצאה 6 תרגיל 4 מדגימה את זה במפורש: אותה שאלה נפתרת בשלוש דרכים, והעקבה (−1-1 מול 11) היא הקצרה. אם כל אלה שווים — הפ"א לא יעזור יותר, וצריך ריבוי גיאומטרי (שבוע 7) או PP מפורשת.
נתוןמטריצה 3×33\times3 קונקרטית, "מצאו ע"ע, בסיס לכל מרחב עצמי, וקבעו לכסינות"
שואליםזו שאלת המבחן השנייה בשכיחותה בקורס (מופיעה ב-90% מהמבחנים). יש לה נוהל קבוע.
המהלך(1) בצעי פעולת שורה אחת על λI−A\lambda I-A שיוצרת שני אפסים בשורה/עמודה (בהרצאה 6 תרגיל 2: R3→R3−R2R_3\to R_3-R_2; במטלה 7 ש׳2: אותו דבר). (2) פתחי לפי אותה שורה — יוצא גורם משותף (λ−c)(\lambda-c), הוציאי אותו. (3) נשאר ריבועי, נוסחת שורשים. (4) לכל ע"ע: Vλ=Null(λI−A)V_\lambda=\mathrm{Null}(\lambda I-A) בדירוג. (5) סכמי מימדים והשווי ל-33. (6) אם לכסינה — PP = הו"ע בעמודות, DD = הע"ע באותו סדר.
נתוןסדרת נסיגה — פיבונאצ׳י, פל, או כל an=αan−1+βan−2a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}
שואליםבונים מטריצה מלווה ומלכסנים. הנוסחה הסגורה נופלת מ-An−1=PDn−1P−1A^{n-1}=PD^{n-1}P^{-1}.
המהלךהגדירי a⃗n=(an,an−1)t\vec a_n=(a_n,a_{n-1})^t ו-A=(αβ10)A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&0\end{pmatrix}, כך ש-a⃗n=Aa⃗n−1\vec a_n=A\vec a_{n-1} ולכן a⃗n=An−1a⃗1\vec a_n=A^{n-1}\vec a_1. הפ"א הוא λ2−αλ−β\lambda^2-\alpha\lambda-\beta — בדיוק משוואת האופי של הנסיגה. שני שורשים שונים ⇒\Rightarrow לכסינה. בסוף מחשבים רק את הקואורדינטה העליונה; מטלה 7 ש׳3 כותבת על השנייה "I don't care".
נתוןמטריצת בלוקים, או מטריצה עם עמודה/שורה כמעט-אפס
שואליםמשפט 4 — הפ"א מתפרק, ולא צריך לגעת בבלוקים המעורבים.
המהלךזהי חלוקה לבלוקים ריבועיים שבה אחד המשולשים אפס. אז pA=∏pAip_A=\prod p_{A_i}, וכל בלוק הוא בדרך כלל 1×11\times1 או 2×22\times2 — כלומר חינם. תנאי: הבלוקים חייבים להיות ריבועיים. מטלה 7 ש׳6 היא בדיוק זה: (a100a0bcd)\begin{pmatrix}a&1&0\\0&a&0\\b&c&d\end{pmatrix} נותנת (λ−a)2(λ−d)(\lambda-a)^2(\lambda-d) ישירות.
נתוןנתונים הע"ע של A∈MnA\in M_n ומבקשים לזהות את pAp_A במלואו
שואליםאם יש nn ע"ע (עם ריבוי) — הפ"א נקבע לחלוטין, כי הוא מתוקן.
המהלךpA(λ)=∏i=1n(λ−λi)p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i), בלי מקדם מוביל, לפי משפט 2 ומסקנה 5. מבחן 2025א׳ ש׳4.2: נתון של-A∈M3(C)A\in M_3(\mathbb{C}) הע"ע i,−i,2i,-i,2, ומיד pA=λ3−2λ2+λ−2p_A=\lambda^3-2\lambda^2+\lambda-2. משם ממשיכים (שם — בקיילי־המילטון, שהוא חומר מאוחר יותר).

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית
לחשב pA(λ)=det⁡(A−λI)p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)
בקורס הזה pA(λ)=det⁡(λIn−A)p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A), וההרצאה מציינת במפורש שההגדרה השנייה "לא אצלנו". השורשים זהים, אבל בסדר אי-זוגי כל הסימנים מתהפכים והפולינום כבר לא מתוקן — וכל משפט המקדמים נשבר. כתבי תמיד λ−aii\lambda-a_{ii} על האלכסון ו-−aij-a_{ij} מחוצה לו.
המקדם של λn−1\lambda^{n-1} הוא tr(A)\mathrm{tr}(A), והמקדם החופשי הוא det⁡(A)\det(A)
an−1=−tr(A)a_{n-1}=\boldsymbol{-}\mathrm{tr}(A) ו-a0=(−1)ndet⁡(A)a_0=(-1)^n\det(A). בדיקת שפיות ב-2×22\times2: pA=λ2−tr(A)λ+det⁡(A)p_A=\lambda^2-\mathrm{tr}(A)\lambda+\det(A) — מינוס על העקבה, פלוס על הדטרמיננטה (כי (−1)2=1(-1)^2=1). ב-3×33\times3 המקדם החופשי הוא −det⁡(A)-\det(A).
pA=pBp_A=p_B, אז AA ו-BB דומות
תנאי הכרחי בלבד, והדוגמה הנגדית היא הראשונה בכל מבחן: I2I_2 ו-(1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} — אותו (λ−1)2(\lambda-1)^2, אותה עקבה, אותה דטרמיננטה, ולא דומות. הרצאה 6 שקף 26.
pAp_A מתפרק לגורמים לינאריים, אז AA לכסינה
לא. אותה דוגמה בדיוק: (λ−1)2(\lambda-1)^2 מתפרק לגמרי ו-(1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} לא לכסינה. פירוק לגורמים לינאריים מבטיח רק שסכום הריבויים האלגבריים הוא nn — ואת צריכה את הגיאומטריים.
משפט הבלוקים חל על כל חלוקה לבלוקים
משפט 4 דורש שהמטריצה תהיה בלוקים משולשית (בלוק אפס מתחת או מעל האלכסון) ושהבלוקים באלכסון יהיו ריבועיים. בלי זה אין נוסחה — ובוודאי שלא pAB=pApBp_{AB}=p_Ap_B.
שני פ"א שמחזירים אותם ערכים בכל נקודה הם אותו פולינום
מעל שדה סופי — לא. x2+x+1x^2+x+1 ו-11 שווים כפונקציה על Z2\mathbb{Z}_2 ושונים כפולינומים. שוויון פולינומים הוא שוויון מקדם-מקדם (הרצאה 6 שקף 28). ולכן גם: כדי להראות שאין ע"ע ב-Zp\mathbb{Z}_p מציבים את כל pp האיברים, לא מנתחים את הנוסחה.
הפולינום האופייני
הסיכומון וההגדרות המלאות
הדף הקודם
לכסון
הדף הבא
ריבוי אלגברי וגיאומטרי