דף הנושא — דמיון מטריצות

מטריצת מעבר, יחס הדמיון ותכונות נשמרות

13 תכונות

5 מהתרגול בלבד

6 מלכודות

בשורה אחת

$A \sim B$ פירושו: קיימת $P$ הפיכה כך ש- $B = P^{-1}AP$ . שקול לחלוטין לאמירה ששתיהן מייצגות את אותו אופרטור בשני בסיסים — ולכן כל מה שהוא תכונה של האופרטור עצמו חייב להיות שווה בשתיהן.

מה צריך לדעת קודם

3מטריצה מייצגת ומטריצת מעבר — $[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}} = [id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\,[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}\,([id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}})^{-1}$ היא בדיוק דמיון
0דטרמיננטה וכפליות: $\det(AB)=\det A\det B$ , ו- $\det(P^{-1})=\det(P)^{-1}$

למה זה מוביל

5לכסינות = דמיון למטריצה אלכסונית. כל שאלת לכסון היא שאלת דמיון
6הפולינום האופייני נשמר תחת דמיון — האינווריאנט החזק ביותר שתקבלי

מה נשמר תחת דמיון — ומה לא

כל שורה עם ✓ היא בדיקת הפרכה: אם הן לא שוות, המטריצות לא דומות. סוף.

תכונה	נשמר?	למה, ואיך משתמשים בזה
עקבה $\mathrm{tr}(A)$		משפט 3 בהרצאה. הבדיקה הראשונה תמיד — סכום האלכסון, שתי שניות. $\mathrm{tr}(A)\ne\mathrm{tr}(B) \Rightarrow$ לא דומות.
דטרמיננטה $\det(A)$		משפט 3. הבדיקה השנייה. $\det(P^{-1}AP)=\det(P)^{-1}\det(A)\det(P)=\det(A)$ .
דרגה $r(A)$		הוכח בתרגול 5, לא בהרצאה: כפל במטריצה הפיכה לא משנה דרגה. שימושי במיוחד בשילוב עם השורה הבאה.
הפיכות		נובע מ- $\det$ או מדרגה. $A$ הפיכה $\iff B$ הפיכה, ואז גם $A^{-1}\sim B^{-1}$ (משפט 3, סעיף 5).
$A - cI \sim B - cI$ לכל $c$		תרגול 5 בלבד. אותה $P$ עובדת: $P^{-1}(A-cI)P = P^{-1}AP - cI$ . זה מה שפותח את שיטת ה- $\mathrm{rank}(A-cI)$ .
$p(A) \sim p(B)$ לכל פולינום		תרגול 5 (הוכח שם עבור $A+A^2$ ). $P^{-1}A^kP=(P^{-1}AP)^k$ , ולכן זה עובד לכל צירוף. גם $A^k\sim B^k$ — משפט 3 סעיף 4.
שחלוף: $A^t \sim B^t$		משפט 3 סעיף 3, עם $Q=(P^t)^{-1}$ .
פולינום אופייני		שבוע 6. האינווריאנט החזק ביותר — ב- $p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)$ המקדם של $\lambda^{n-1}$ הוא $-\mathrm{tr}(A)$ והאיבר החופשי הוא $(-1)^n\det(A)$ . כלומר הוא כולל בתוכו את העקבה ואת הדטרמיננטה — עם הסימנים האלה.
ערכים עצמיים והריבוי האלגברי		נובע מהפולינום האופייני. שבוע 6.
לכסינות		דמיון הוא יחס שקילות, ולכן אם $A\sim B$ ו- $B$ דומה לאלכסונית אז גם $A$ . שבוע 5.
האיברים עצמם		ברור, אבל שווה לומר: אין שום קשר בין הכניסות. $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$ (תרגיל 4 בהרצאה).
סימטריות / משולשיות		מטריצה משולשית יכולה להיות דומה ללא-משולשית. אל תסיקי כלום מהצורה.
נורמה, אורתוגונליות של עמודות		אלה תכונות של המטריצה, לא של האופרטור.

סדר הבדיקות בהפרכה, מהזול ליקר: עקבה → דטרמיננטה → דרגה → $\mathrm{rank}(A-cI)$ → פולינום אופייני. עצרי ברגע שאחת מהן נכשלה.

הכיוון ההפוך — מתי מותר להסיק שהן כן דומות

כל הבדיקות למעלה הן תנאים הכרחיים בלבד. אף אחת מהן, ואף שילוב שלהן, לא מספיק.

תכונה	מספיק לדמיון?	למה, ואיך משתמשים בזה
אותה עקבה ואותה דטרמיננטה		הדוגמה מההרצאה: $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ו- $I_2$ . שתיהן $\mathrm{tr}=2$ , $\det=1$ — ולא דומות, כי $I_2$ דומה רק לעצמה.
אותו פולינום אופייני		אותה דוגמה בדיוק: לשתיהן $(\lambda-1)^2$ . צריך גם ריבוי גיאומטרי — שבוע 7.
שתיהן לכסינות עם אותם ע"ע (עם ריבויים)		זה כן מספיק: שתיהן דומות לאותה מטריצה אלכסונית, ודמיון הוא יחס שקילות (טרנזיטיבי).
מציאת $P$ הפיכה מפורשת		הדרך הבטוחה תמיד. הטריק מההרצאה: לפתור $PB = AP$ במקום $B=P^{-1}AP$ — זו מערכת לינארית ב- $P$ , בלי היפוכים. בסוף חובה לוודא ש- $\det P\ne0$ .
שתיהן מייצגות את אותו $T$		משפט 4 בהרצאה 4 (וגם בתרגול 5): $A\sim B$ אם"ם קיימים אופרטור $T$ ובסיסים $\mathcal{A},\mathcal{B}$ כך ש- $A=[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}$ , $B=[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}$ . נשאל כהוכחה ב-2024ב׳ ש׳2.1 וב-2025ב׳ ש׳1.1 (15 נקודות כל אחד), והפתרון הרשמי הוא "See lectures" — כלומר ההוכחה שצריך לדעת היא זו שבהרצאה.

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (5)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד

דרגה נשמרת תחת דמיון: $r(A)=r(B)$ . ההוכחה: כפל במטריצה הפיכה = כפל במטריצות אלמנטריות, שאינן משנות דרגה. זה לא מופיע במשפט 3 בהרצאה.תרגול 5
$A\sim B \Rightarrow A-cI \sim B-cI$ לכל $c\in\mathbb{F}$ — עם אותה $P$ בדיוק. זה הכלי החזק ביותר להפרכה לפני שלמדת ע"ע: אם $\mathrm{rank}(A-cI)\ne\mathrm{rank}(B-cI)$ עבור $c$ כלשהו, הן לא דומות.תרגול 5
דוגמה שבה זה מציל: $\mathrm{rank}(A-2I)=1$ ואילו $\mathrm{rank}(B-2I)=3$ — לכן $A-2I$ ו- $B-2I$ לא דומות, ולכן $A,B$ לא דומות. עקבה ודטרמיננטה היו שוות ולא היו עוזרות.תרגול 5
אם $A\sim B$ אז $A+A^2\sim B+B^2$ , ובאותו אופן $p(A)\sim p(B)$ לכל פולינום $p$ .תרגול 5
אם $A,B$ דומות מעל $\mathbb{R}$ אז הן דומות גם מעל $\mathbb{C}$ — כי אותה $P$ ממשית היא גם מרוכבת. הכיוון ההפוך דורש עבודה.תרגול 5

תכונות קטנות שחייבים לדעת (8)

8 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות

מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה: אם $A\sim\alpha I_n$ אז $A=\alpha I_n$ . בפרט $A\sim I_n\Rightarrow A=I_n$ ו- $A\sim 0_n\Rightarrow A=0_n$ .הרצאה 4, משפט 2
ניסוח שקול ונוח לחישוב: $A\sim B$ אם"ם קיימת $P$ הפיכה עם $PB = AP$ .הרצאה 4, הערה 1
דמיון הוא יחס שקילות — רפלקסיבי ( $P=I$ ), סימטרי ( $P\to P^{-1}$ ) וטרנזיטיבי ( $P_1P_2$ ). לכן מותר לומר " $A$ ו- $B$ דומות" בלי סדר, ומותר לעבור דרך מתווך.הרצאה 4
$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$ — הלמה שכל הוכחת שימור העקבה נשענת עליה. שימי לב: זה לא אומר $\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(ACB)$ , רק הזזה מחזורית.הרצאה 4
שתי מטריצות דומות אם"ם הן מייצגות את אותו אופרטור לינארי ביחס לשני בסיסים: $A\sim B$ אם"ם קיימים $T:V\to V$ ובסיסים $\mathcal{A},\mathcal{B}$ עם $A=[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}$ ו- $B=[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}$ , וה- $P$ של הדמיון היא מטריצת המעבר. זה הניסוח שממנו נובע כל השאר — והוא משפט מלא עם הוכחה בהרצאה, לא הערה מהתרגול.הרצאה 4, משפט 4 (וגם תרגול 5)
מטריצות מעבר תמיד הפיכות, ו- $([id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}})^{-1}=[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}$ .הרצאה 3, משפט 10 + הערה (מצוטט בהוכחת משפט 4 בהרצאה 4)
כל מטריצת מעבר $[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}$ הפיכה, ולכן $\det([id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}})\ne0$ — ה- $P$ שמופיעה בדמיון בין $[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}$ ל- $[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}$ תמיד הפיכה, ואין "מעבר" שמאפס.הרצאה 3, משפט 10 + הערה
למטריצות דומות מותר להגדיר "עקבה של אופרטור" ו"דטרמיננטה של אופרטור" — כי הן לא תלויות בבסיס.תרגול 5

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (5)

נתון"הוכיחו או הפריכו:

A

ו-

B

דומות"

שואליםב-90% מהמקרים התשובה היא הפרכה, והיא בת שתי שורות.

המהלךחשבי עקבה. שונה? סיימת. שווה — חשבי

\det

. שווה — חשבי דרגה. שווה — נסי

\mathrm{rank}(A-cI)

עבור

c

שהוא ע"ע חשוד (אלכסון של משולשית). רק אם הכול שווה — חפשי

P

מפורשת דרך

PB=AP

נתון

A\sim I_n

או

A\sim \alpha I_n

או

A\sim 0_n

שואלים

A

שווה למטריצה הזו. לא רק דומה.

המהלךמשפט 2. זו הדרך המהירה להפריך "האם

\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

דומה ל-

I_2

" למרות שהעקבה והדטרמיננטה זהות.

נתוןנתון

[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}

ומבקשים

[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}

שואליםזו שאלת דמיון עם

P=[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}

המהלך

[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}} = [id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\,[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}\,[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}

. שימי לב שהאינדקסים "מתקזזים" מבפנים החוצה — זו הבדיקה שלא התבלבלת בכיוון.

נתוןשואלים אם קבוצה שמוגדרת ע"י "לא דומה ל-..." היא תת-מרחב

שואליםכמעט תמיד לא, וההפרכה היא דרך סגירות לחיבור.

המהלךמטלה 4 ש׳6(ג):

W=\{A: A,K \text{ לא דומות}\}

עבור

K=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

. קחי

X=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

ו-

Y=-I_2

— לשתיהן עקבה שונה מ-

0

ולכן שתיהן ב-

W

, אבל

X+Y=K

שכן דומה ל-

K

. לא סגורה.

נתוןצריך להוכיח שהן כן דומות

שואליםאו שמוצאים

P

מפורשת, או שמראים ששתיהן דומות למטריצה שלישית משותפת.

המהלךהדרך השנייה כמעט תמיד קלה יותר אחרי שבוע 5: אם שתיהן לכסינות עם אותם ע"ע ואותם ריבויים — שתיהן דומות לאותה

D

, ומטרנזיטיביות הן דומות זו לזו.

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית

עקבה שווה ודטרמיננטה שווה ⟹ דומות

תנאים הכרחיים בלבד. הדוגמה הנגדית מההרצאה:

\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

מול

I_2

מצאתי

P

שמקיימת

PB=AP

, סיימתי

חובה לבדוק ש-

P

הפיכה.

P=0

תמיד פותרת את המשוואה ולא מוכיחה כלום.

B = P^{-1}AP

ו-

B = PAP^{-1}

זה אותו דבר

זה באמת אותו יחס (החליפי

P\to P^{-1}

), אבל לא אותה $P$ . בחישוב מספרי זה ההבדל בין תשובה נכונה ללא.

\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)

לגמרי לא. מה שנכון זה

\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)

ו-

\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)

אם

A\sim B

ו-

C\sim D

אז

AC\sim BD

לא — צריך אותה

P

לשתיהן. זה נכון רק כש-

B=P^{-1}AP

ו-

D=P^{-1}CP

עם אותה

P

, ואז

BD=P^{-1}ACP

מטריצה משולשית עליונה לא יכולה להיות דומה למטריצה לא-משולשית

בהחלט כן.

\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}

— תרגיל 4 בהרצאה 4.

דמיון מטריצות

הסיכומון וההגדרות המלאות

הדף הקודם

קואורדינטות ומטריצה מייצגת

הדף הבא

לכסון