דף הנושא — לכסון

ערכים ווקטורים עצמיים, מרחב עצמי, קריטריון ראשון ללכסינות

24 תכונות

12 מהתרגול בלבד

6 מלכודות

בשורה אחת

ללכסן = למצוא בסיס של $\mathbb{F}^n$ שכולו וקטורים עצמיים. אם מצאת אותו — $P$ היא המטריצה שעמודותיה הם הווקטורים האלה, ו- $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ היא הע"ע באותו סדר. אם לא קיים בסיס כזה — לא לכסינה. אין אפשרות שלישית.

מה צריך לדעת קודם

4דמיון, ובעיקר: מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה. זה הנשק המרכזי להוכיח שמשהו לא לכסין
4עקבה ודטרמיננטה נשמרות תחת דמיון — ב- $2\times2$ זה לבדו פותר את הע"ע
0מרחב האפס ומשפט המימדים: $\dim\mathrm{Null}(M)=n-\mathrm{rank}(M)$ . כל חישוב של מרחב עצמי הוא בדיוק זה

למה זה מוביל

6הפולינום האופייני — מפסיקים לנחש ע"ע ומתחילים למצוא אותם כשורשים
7ריבוי אלגברי מול ריבוי גיאומטרי — הניסוח הסופי והמדויק של הקריטריון של השבוע הזה

מתי מותר להסיק ש- $A$ כן לכסינה

שורה עם ✓ = תנאי מספיק, מותר לסיים. שורה עם ✗ = לא מספיק, גם אם זה מרגיש כמו כן.

תכונה	מספיק?	למה, ואיך משתמשים בזה
קיים בסיס של $\mathbb{F}^n$ מווקטורים עצמיים של $A$		זו ההגדרה העובדת. משפט 2 בהרצאה 5: זהו תנאי אם"ם, לא רק מספיק. כל שאר השורות הן קיצורי דרך אליו.
ל- $A$ יש $n$ ע"ע שונים ב- $\mathbb{F}$		מסקנה 1 בהרצאה 5. ו"ע של ע"ע שונים בת"ל (משפט 3), $n$ וקטורים בת"ל ב- $\mathbb{F}^n$ הם בסיס. מספיק ולא הכרחי — הערה 2: $I_n$ לכסינה עם ע"ע יחיד.
סכום מימדי המרחבים העצמיים $=n$		איחוד הבסיסים של ה- $V_{\lambda_i}$ נותן $n$ וקטורים בת"ל (משפט 3 מרחיב לקבוצות). זו הצורה שבה זה נדרש בפועל — ראי תרגול 7, התרגיל עם $\mathrm{rank}(A+2I)+\mathrm{rank}(A+3I)+\mathrm{rank}(A-5I)=9$ .
$A$ אלכסונית		טריוויאלי אבל שווה זהב בשאלות "הוכח/הפרך": בוחרים $P=I_n$ . הע"ע הם האלכסון והז"ע הם $(\lambda_j,\vec e_j)$ . הרצאה 5 שקף 25.
$A$ דומה למטריצה לכסינה		דמיון הוא יחס שקילות ולכן טרנזיטיבי. אם $A\sim B$ ו- $B\sim D$ אלכסונית — אז $A\sim D$ . שבוע 4.
$A$ מתחלפת עם מטריצה בעלת $n$ ע"ע שונים		מטלה 7 ש׳4. אם ל- $A$ יש $n$ ע"ע שונים ו- $AB=BA$ אז $B$ לכסינה: $K=P^{-1}BP$ מתחלפת עם $D$ , וכל מטריצה שמתחלפת עם $\mathrm{diag}$ בעלת אלכסון שונה — היא עצמה אלכסונית.
לפ"א יש $n$ שורשים שונים ב- $\mathbb{F}$		שקול לשורה השנייה. שבוע 6 — זו הדרך המהירה לאמת אותה.
הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים (סכום הריבויים האלגבריים $=n$ )		הטעות הכי יקרה בפרק. $\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ : $p_A=(\lambda-2)^2$ מתפרק לגמרי, ו- $A$ לא לכסינה. הרצאה 6 תרגיל 1.
ל- $A$ יש ע"ע אחד לפחות		קיום ע"ע נותן $\dim V_\lambda\ge1$ בלבד. צריך סכום $=n$ .
$A$ משולשית		משולשיות נותנת רק את רשימת הע"ע (על האלכסון). $\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}$ (מטלה 6 ש׳1(ב)) לא לכסינה; $\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ כן. הצורה לא מכריעה.
$A$ הפיכה / $\mathrm{rank}(A)=n$		אין שום קשר. $\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ הפיכה ולא לכסינה, $0_n$ לא הפיכה ולכסינה.
מצאתי $n$ וקטורים עצמיים		צריך $n$ וקטורים עצמיים בת"ל. אפשר לייצר אינסוף ו"ע מאותו $V_\lambda$ ולא להתקדם.

סדר העבודה, מהזול ליקר: (1) האם המטריצה משולשית/אלכסונית? קראי ע"ע מהאלכסון. (2) האם יש

n

ע"ע שונים? סיימת — לכסינה. (3) יש ע"ע חוזר

\lambda

? חשבי רק את

\dim V_\lambda=n-\mathrm{rank}(\lambda I-A)

עבורו, לא עבור האחרים. (4) סכום המימדים

=n

⟹ לכסינה, אחרת לא (זה תנאי אם"ם).

מתי מותר להסיק ש- $A$ לא לכסינה

כל שורה עם ✓ היא הפרכה בת שתי שורות. אלה השורות שחוסכות עשרים דקות.

תכונה	מספיק להפרכה?	למה, ואיך משתמשים בזה
ע"ע יחיד $c$ , אבל $A\ne c\cdot I_n$		הבדיקה החזקה ביותר בשבוע הזה. אם $A$ לכסינה עם ע"ע יחיד $c$ , היא דומה ל- $\mathrm{diag}(c,\dots,c)=cI_n$ — ומטריצה סקלרית דומה רק לעצמה, אז $A=cI_n$ . סתירה. הרצאה 6 תרגיל 1 (פתרון 2) ותרגיל 2, ותרגול 7.
אין ל- $A$ אף ע"ע ב- $\mathbb{F}$		בלי ע"ע אין ו"ע ואין בסיס. הדרך הסטנדרטית להראות זאת: הפ"א חסר שורשים ב- $\mathbb{F}$ , או משוואה סקלרית שאין לה פתרון (ראי הדפוסים).
סכום מימדי המרחבים העצמיים $<n$		שקול ל"אין מספיק ו"ע בת"ל". בפועל: $\sum_\lambda\big(n-\mathrm{rank}(\lambda I-A)\big)<n$ .
עבור ע"ע אחד $\lambda$ : $\mathrm{rank}(\lambda I-A)$ גדול מדי		מספיק שערך עצמי אחד "מפסיד" מימדים כדי להרוס הכול. זה החישוב שמטלה 7 ש׳5 וש׳6, ומבחן 2025א׳ ש׳4.1, בנויים סביבו.
$A^k=0_n$ אבל $A\ne 0_n$		תרגול 6. אם $A$ לכסינה ו- $A^k=0$ אז כל $\lambda_i^k=0$ ולכן כל $\lambda_i=0$ , ולכן $A\sim 0_n$ ולכן $A=0_n$ . סתירה.
הע"ע של $A$ יוצאים מחוץ ל- $\mathbb{F}$		$\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ מעל $\mathbb{R}$ : $p_A=\lambda^2+1$ , אין שורשים. מעל $\mathbb{C}$ אותה מטריצה כן לכסינה. תרגול 7. תמיד לבדוק באיזה שדה השאלה.
העקבה או הדטרמיננטה "לא מסתדרות"		בדרך כלל לא — אבל ב- $2\times2$ , אם למערכת $\lambda_1+\lambda_2=\mathrm{tr}$ , $\lambda_1\lambda_2=\det$ אין פתרון ב- $\mathbb{F}$ זו כן הפרכה מלאה (כך פותרים בהרצאה 5 תרגילים 1 ו-2, ובמטלה 7 ש׳1). מה שלא מספיק: לטעון שהמספרים "מכוערים". $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ נופלת רק כי $\mathrm{diag}(0,0)=0_2$ דומה רק לעצמה (הרצאה 5 תרגיל 2) — שם המערכת דווקא כן נפתרת.
$A$ לא סימטרית / לא משולשית / "מכוערת"		הצורה של הכניסות לא אומרת כלום. שבוע 4.
$A$ לא הפיכה		$0$ הוא ע"ע לגיטימי לחלוטין. $\mathrm{diag}(0,1)$ לכסינה וסינגולרית.

כשמבקשים "הוכיחו ש-

A

אינה לכסינה", תמיד נסי קודם: האם יש לה ע"ע יחיד? אם כן — משפט המטריצה הסקלרית מסיים בשלוש שורות בלי לחשב אף מרחב עצמי.

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (12)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד

אם סכום כל שורה במטריצה שווה לאותו $\lambda$ — אז $\lambda$ הוא ע"ע, והו"ע הוא $(1,1,\dots,1)^t$ . ההוכחה שורה אחת: $A\cdot(1,\dots,1)^t$ נותן בכל קואורדינטה את סכום השורה. זה לא בהרצאה בכלל, וזה נותן ע"ע בחינם בהרבה מטריצות "יפות".תרגול 6
$\ker T=V_0\cong\mathrm{Null}(A)$ — המרחב העצמי של $0$ הוא בדיוק הגרעין. מכאן: $T$ חח"ע אם"ם $0$ אינו ע"ע, ואז (במימד סופי) גם על. זו הדרך לענות על "האם ההעתקה חח"ע/על" מתוך רשימת הע"ע בלבד.תרגול 6, מסקנה
אם $P^{-1}AP=B$ ו- $\vec v$ ו"ע של $A$ ל- $\lambda$ , אז $P^{-1}\vec v$ ו"ע של $B$ לאותו $\lambda$ . ההוכחה: $B P^{-1}\vec v=P^{-1}AP P^{-1}\vec v=P^{-1}A\vec v=\lambda P^{-1}\vec v$ . זה מה שמאפשר לעבור בין מטריצות דומות בלי לחשב מחדש.תרגול 6
$[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}$ אלכסונית עם $\mathcal{B}\ne\mathcal{C}$ לא אומרת ש- $T$ לכסינה! דוגמה: $T(x,y,z)=(y,z,0)$ אינה לכסינה ( $T^3=0$ , $T\ne0$ ), אבל עבור $\mathcal{B}=E$ ו- $\mathcal{C}=(\vec e_3,\vec e_1,\vec e_2)$ מתקבל $\mathrm{diag}(0,1,1)$ . לכסינות מחייבת אותו בסיס משני הצדדים.תרגול 6, הפרכה
$\lambda$ ע"ע של $T$ אם"ם $\lambda$ ע"ע של $[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}$ , ו- $v$ ו"ע של $T$ אם"ם $[v]_{\mathcal{B}}$ ו"ע של המטריצה. בסוף חייבים לתרגם בחזרה — מצאת ו"ע של המטריצה, לא של $T$ .תרגול 6 (השאלה על $T(A)=A^t$ )
צירוף לינארי של ו"ע של ע"ע שונים אינו ו"ע. הפרכה: $T(x,y)=(x,2y)$ , הווקטורים $\vec e_1,\vec e_2$ ו"ע אבל $(1,1)$ לא. לעומת זאת, בתוך $V_\lambda$ כן — הוא תמ"ו.תרגול 6
אם $A$ לכסינה ו- $A^k=0$ אז $A=0$ . אותה טכניקה עובדת לכל משוואה: מפעילים על ו"ע, מקבלים משוואה סקלרית ב- $\lambda$ , ומסיקים שכל הע"ע קבועים.תרגול 6
המונחים ריבוי אלגברי (החזקה של $(\lambda-\lambda_0)$ בפ"א) וריבוי גיאומטרי ( $\dim V_\lambda$ ) מוגדרים כבר בתרגול 6 ומשמשים במטלה 7 — אבל המשפט "לכסינה אם"ם ר"ג $=$ ר"א לכל ע"ע" מוכח רק בהרצאה 7. מותר להשתמש בו בפתרון, פשוט דעי שהמקור הוא שבוע 7.תרגול 6, מטלה 7 ש׳5 וש׳6
ל- $AB$ ול- $BA$ אותם ערכים עצמיים בדיוק (גם כשהן לא ריבועיות, עבור $\lambda\ne0$ ). אם $(\lambda,\vec v)$ ז"ע של $AB$ ו- $\lambda\ne0$ , אז $(\lambda,B\vec v)$ ז"ע של $BA$ ; המקרה $\lambda=0$ נסגר דרך $\det(AB)=\det(BA)$ . אבל: $AB$ לכסינה אינו גורר $BA$ לכסינה (מבחן 2023א׳ ש׳2).מטלה 6 ש׳4
אם $\lambda^2$ ע"ע של $A^2$ אז $\lambda$ או $-\lambda$ ע"ע של $A$ . הטריק: $\lambda^2I-A^2=(\lambda I-A)(\lambda I+A)$ , ודטרמיננטה כפלית — אז אחד הגורמים מתאפס.מטלה 6 ש׳6(ג)
סכום של שתי מטריצות לכסינות אינו בהכרח לכסין: $\mathrm{diag}(1,0)+\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ . שתי המחוברות בעלות שני ע"ע שונים; הסכום נילפוטנטי.מטלה 6 ש׳6(ד)
מעל $\mathbb{Z}_2$ : "הע"ע היחיד הוא $1$ ו- $A^2=I$ " אינו גורר $A=I$ — $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ מפריכה. הטענה נכונה ברגע שמניחים $1_{\mathbb{F}}\ne-1_{\mathbb{F}}$ (תנאי מספיק, לא אפיון). ההוכחה בונה $\vec w=A\vec v-\vec v$ ומראה ש- $A\vec w=-\vec w$ .מטלה 6 ש׳6(ה)

תכונות קטנות שחייבים לדעת (12)

14 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות

$0_{\mathbb{F}}$ הוא ע"ע של $A$ אם"ם $A$ סינגולרית, ואז $V_0=\mathrm{Null}(A)$ . שתי הוכחות: ישירות ( $A\vec v=\vec 0=0\cdot\vec v$ ), או $p_A(0)=\det(-A)=(-1)^n\det A$ .מטלה 6 ש׳6(א), תרגול 6
הע"ע של מטריצה משולשית (עליונה או תחתונה) הם בדיוק איברי האלכסון — כולל ריבוי. זה החינם היחיד בפרק; בדקי משולשיות לפני כל חישוב.הרצאה 6 מסקנה 2 (מנוסחת שם למשולשית עליונה; המקרה התחתון נגזר מ- $p_{A^t}=p_A$ ), מטלה 6 ש׳1(ב),(ד)
אם $A\vec v=\lambda\vec v$ אז $A^k\vec v=\lambda^k\vec v$ עם אותו וקטור עצמי. זה המנוע של כל שאלה מהצורה "נתון $A^k=\dots$ ".תרגול 6, מטלה 6 ש׳6(ב)
אם $A$ הפיכה: $\lambda$ ע"ע של $A$ אם"ם $\lambda^{-1}$ ע"ע של $A^{-1}$ , עם אותו ו"ע. שימי לב ש- $\lambda\ne0$ אוטומטית כי $A$ הפיכה.נגזר; מיושם בתרגול 7
$\lambda$ ע"ע של $A$ אם"ם $\lambda$ ע"ע של $A^t$ — אבל הו"ע בדרך כלל שונים (הם מתלכדים למשל כש- $A$ סימטרית). הו"ע של $A^t$ הם ה"ו"ע השמאליים" של $A$ , והם השורות של $P^{-1}$ .מטלה 6 ש׳5
הע"ע של $A+cI_n$ הם $\lambda+c$ , עם אותם ו"ע ואותם מימדי מרחב עצמי. המסקנה המעשית: $c$ אינו ע"ע של $A$ אם"ם $\mathrm{rank}(A-cI)=n$ .תרגול 7
החישוב היחיד שבאמת עושים: $V_\lambda=\mathrm{Null}(\lambda I_n-A)$ ולכן $\dim V_\lambda=n-\mathrm{rank}(\lambda I_n-A)$ . $\lambda$ ע"ע אם"ם $\dim V_\lambda\ge1$ .הרצאה 5 משפט 4 והערה 4
וקטור עצמי חייב להיות שונה מ- $\vec 0$ , אבל $\vec 0\in V_\lambda$ תמיד (הוא מקיים את המשוואה). $V_\lambda$ הוא תמ"ו; קבוצת הו"ע לבדה איננה.הרצאה 5 שקף 32
ו"ע יכול להשתייך לערך עצמי אחד בלבד. לע"ע אחד, לעומת זאת, יכולים להשתייך כמה ו"ע בת"ל.תרגול 6
המטריצה המלכסנת $P$ אינה יחידה: אפשר לכפול כל עמודה בסקלר שונה מאפס ואפשר להחליף סדר עמודות — כל עוד מחליפים במקביל את סדר האלכסון ב- $D$ .הרצאה 5 תרגיל 1, שקף 25
אם $A$ לכסינה אז $\mathrm{tr}(A)=\lambda_1+\dots+\lambda_n$ ו- $\det(A)=\lambda_1\cdots\lambda_n$ (עם ריבוי). ב- $2\times2$ זו מערכת של שתי משוואות שפותרת את הע"ע בלי פולינום אופייני — כך פתרו את $\begin{pmatrix}1&3\\-1&5\end{pmatrix}$ מעל $\mathbb{Z}_7$ .הרצאה 5 הערה 1, תרגול 7, מטלה 7 ש׳1
אם $A$ לכסינה אז גם $A^k$ , $A^t$ ו-(אם הפיכה) $A^{-1}$ לכסינות — עם אותה $P$ או עם $(P^t)^{-1}$ .תרגול 6 (המקרה $A^{-1}$ ); המקרים $A^k$ ו- $A^t$ נגזרים — ראי גם מטלה 6 ש׳5(ג)

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

נתוןנתון של-

T

(או ל-

A

) יש

n

ע"ע שונים

שואליםלכסינה, מיד — ובנוסף קיבלת בחינם: כל

\dim V_{\lambda_i}=1

, וכל מטריצה שמתחלפת עם $A$ היא לכסינה.

המהלךלמסקנה הראשונה: מסקנה 1 בהרצאה 5. למסקנה השנייה (מטלה 7 ש׳4):

K=P^{-1}BP

מתחלפת עם

D

; מהשוואת כניסות

[K]_{ij}(\lambda_j-\lambda_i)=0

, ומכיוון שכל ה-

\lambda

-ות שונות

K

אלכסונית, ולכן

B

לכסינה.

נתוןמטריצה עם פרמטר

a

, ושואלים "לאילו ערכים היא לכסינה"

שואליםזו תמיד שאלת מקרים: מתי שני ע"ע מתנגשים, ורק שם מחשבים מרחב עצמי.

המהלךשלב 1: חשבי

p_A

עם הפרמטר (בדרך כלל המטריצה משולשית או כמעט, אז זה מכפלה). שלב 2: פרקי לגורמים וזהי מתי שני שורשים מתלכדים. שלב 3: בכל ערך של

a

שבו אין התנגשות —

n

ע"ע שונים, לכסינה, סיימת. שלב 4: רק בערכי ההתנגשות חשבי

\dim V_\lambda=n-\mathrm{rank}(\lambda I-A)

והשווי לריבוי. מטלה 7 ש׳5 (

a=\pm i

בלבד), מבחן 2022ב׳ ש׳1.2.

נתוןנתון

A^k=cI_n

(או

A^2=-I

A^k=0

A^2=3I

מעל

\mathbb{Z}_7

)

שואליםלא נשאלת שאלה על המטריצה — נשאלת שאלה על הפתרונות של $\lambda^k=c$ בשדה.

המהלךקחי ו"ע:

A\vec v=\lambda\vec v\Rightarrow c\vec v=A^k\vec v=\lambda^k\vec v\Rightarrow(\lambda^k-c)\vec v=\vec 0

, ומכיוון ש-

\vec v\ne\vec0

נקבל

\lambda^k=c

. עכשיו: אם למשוואה אין פתרון ב- $\mathbb{F}$ — אין ע"ע כלל, לא לכסינה (הרצאה 5 תרגיל 4 עם

A^2=-I

מעל

\mathbb{R}

; מטלה 6 נוספות ש׳4 עם

A^2=3I

מעל

\mathbb{Z}_7

, שם בודקים ש-

3\notin\{0,1,4,2\}

= ריבועים מודולו 7). אם יש פתרון יחיד — הע"ע יחיד, ואז לכסינה

\Rightarrow A

סקלרית.

נתוןמבקשים לחשב

A^{100}

, או

\mathrm{trace}(A^{10})

, או

A^{100}\vec v

שואליםזו שאלת לכסון מוסווית. הפתרון תמיד

A^k=PD^kP^{-1}

המהלךללכסן, להעלות את האלכסון בחזקה, לחזור. קיצורים: אם מבקשים רק

\mathrm{trace}(A^k)

— אין צורך ב-

P

בכלל, כי

A^k\sim D^k

ולעקבות שוות (מטלה 7 ש׳2(ב):

2\cdot3^{10}

). אם מבקשים רק

A^{100}\vec v

— מכפילים וקטור ולא מטריצות. אם עובדים מודולו

m

— מצמצמים את החזקות מוקדם (הרצאה 5 תרגיל 3:

4^{50}\equiv1\pmod 3

ולכן

A^{50}\equiv I_2\pmod 3

נתוןמטריצה מעל שדה סופי

\mathbb{Z}_p

שואליםיש רק

p

מועמדים לע"ע. הציבי את כולם.

המהלךבמקום לפרק פולינום, חשבי

p_A(0),p_A(1),\dots,p_A(p-1)

. אם כולם

\ne0

— אין ע"ע ולכן לא לכסינה (מטלה 6 ש׳3(א): מעל

\mathbb{Z}_5

כל חמשת הערכים יוצאים

1,1,4,1,3

). וב-

2\times2

נסי קודם את המערכת

\lambda_1+\lambda_2=\mathrm{tr}

\lambda_1\lambda_2=\det

— מעל

\mathbb{Z}_7

זה מהיר יותר מנוסחת השורשים.

נתוןנתונים ערכי

\mathrm{rank}(A-c_1I),\dots,\mathrm{rank}(A-c_kI)

שואליםנשאלת על סכום מימדי המרחבים העצמיים, ולא על שום דבר אחר.

המהלךתרגמי כל דרגה למימד:

\dim V_{c_i}=n-\mathrm{rank}(A-c_iI)

. אם

c_i

אינו ע"ע כלל, הדרגה חייבת להיות

n

— וזה מאפשר לחלץ את השאר. אם הסכום מגיע ל-

n

— לכסינה. תרגול 7 מריץ בדיוק את זה עם

\mathrm{rank}(A+2I)+\mathrm{rank}(A+3I)+\mathrm{rank}(A-5I)=9

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית

מצאתי ש-

\vec 0

פותר את

A\vec v=\lambda\vec v

, אז

\lambda

ע"ע

וקטור האפס לעולם אינו ו"ע, והוא פותר את המשוואה לכל

\lambda

בעולם. הדרישה בהגדרה היא

\vec 0\ne\vec v

. (הוא כן שייך ל-

V_\lambda

— זה מה שהופך את

V_\lambda

לתמ"ו.)

לכל ע"ע יש לפחות ו"ע אחד, יש לי

k

ע"ע — אז יש לי מספיק ו"ע

\dim V_\lambda\ge1

נותן לך

k

וקטורים, לא

n

. הקריטריון דורש סכום

\sum_\lambda\dim V_\lambda=n

. עם

k<n

ע"ע חייבים לחשב מימדים בפועל.

לפולינום ממעלה

n

יש

n

שורשים, אז תמיד יש

n

ע"ע

רק מעל

\mathbb{C}

. מעל

\mathbb{R}

\mathbb{Q}

או

\mathbb{Z}_p

ייתכן אפס שורשים:

\lambda^2+1

מעל

\mathbb{R}

\lambda^3+\lambda^2+3\lambda+1

מעל

\mathbb{Z}_5

. תמיד לבדוק מה השדה בשאלה — זה מופיע כמעט בכל מטלה 6.

הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, אז הע"ע "מספיקים" ו-

A

לכסינה

לא.

\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}

p_A=(\lambda-2)^2

, ריבוי אלגברי

2

, אבל

\dim V_2=1

. פירוק מלא זה תנאי הכרחי בלבד. הריבוי הגיאומטרי הוא מה שמכריע.

\lambda

ע"ע של

A

ושל

B

, אז

\lambda

ע"ע של

A+B

ושל

AB

לא, אלא אם כן זה אותו ו"ע.

\lambda+\mu

ע"ע של

A+B

רק אם קיים

\vec v

שהוא ו"ע של שתיהן. ראי מטלה 6 ש׳6(ד): סכום שתי לכסינות יכול לצאת לא לכסין.

קיבלתי

P

שעמודותיה ו"ע — סיימתי,

A

לכסינה

צריך שהעמודות יהיו בת"ל, כלומר

\det P\ne0

. שני ו"ע מאותו

V_\lambda

יכולים להיות תלויים. במטלה 6 ש׳1(ד) חישבו

\det P=-3

במפורש לפני שהסיקו. וכשמרכיבים את

D

— הסדר של

\lambda

-ות באלכסון חייב להתאים לסדר העמודות ב-

P

לכסון

הסיכומון וההגדרות המלאות

דף הנושא — לכסון

מתי מותר להסיק ש-AAA כן לכסינה

מתי מותר להסיק ש-AAA לא לכסינה

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (12)

תכונות קטנות שחייבים לדעת (12)

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

מלכודות (6)

מתי מותר להסיק ש- $A$ כן לכסינה

מתי מותר להסיק ש- $A$ לא לכסינה