דף הנושא — ריבוי אלגברי וגיאומטרי

GM ≤ AM והקריטריון המלא ללכסינות

24 תכונות

12 מהתרגול בלבד

6 מלכודות

בשורה אחת

לכל סקלר $\lambda$ מצמידים שני מספרים: ר"א $AM(\lambda)$ — החזקה של $(\lambda-\lambda_0)$ בפולינום האופייני, ור"ג $GM(\lambda)=\dim V_\lambda=n-\mathrm{rank}(\lambda I-A)$ ; תמיד $GM\le AM$ , ו- $A$ לכסינה אם"ם סכום הריבויים הגיאומטריים הוא $n$ — כלומר אם"ם הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים וגם $GM=AM$ לכל ע"ע.

מה צריך לדעת קודם

6הפולינום האופייני $p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)$ — מתוקן וממעלה $n$ בדיוק. הסימן הזה קובע הכול: המקדם של $\lambda^{n-1}$ הוא $-\mathrm{tr}(A)$ והמקדם החופשי הוא $(-1)^n\det A$ (תרגול 7)
5לכסינות = קיים בסיס של $\mathbb{F}^n$ מו"ע = דמיון למטריצה אלכסונית; $n$ ע"ע שונים $\Rightarrow$ לכסינה
4מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה. זו הלמה שהופכת "ע"ע יחיד" למכונת הפרכה

למה זה מוביל

8קיילי־המילטון והצבת מטריצה בפולינום — שם "לכסינה" הופך לכלי חישוב ( $A^k$ , $A^{-1}$ ), לא רק לתשובה
13המשפט הספקטרלי: לכסון אורתוגונלי הוא לכסון עם בסיס מיוחד — כל התנאים מכאן עדיין נדרשים

טבלת ההחלטה: לכסינה או לא

העמודה אומרת אם הסעיף מכריע לבדו. שימי לב מי מהם נותן "כן", מי נותן "לא", ומי רק הכרחי.

תכונה	מכריע לבדו?	למה, ואיך משתמשים בזה
סכום הריבויים הגיאומטריים $=n$		כן, לכסינה. זה התנאי המרכזי — משפט 4 בהרצאה 7 (שקפים 25-29). שקול ללכסינות ושקול לכך ש- $p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{l_1}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{l_k}$ עם $l_i=GM(\lambda_i)$ .
ל- $A$ יש $n$ ע"ע שונים ב- $\mathbb{F}$		כן, לכסינה. כל $AM=1$ , ולכן $1\le GM\le AM=1$ מכריח $GM=1$ לכולם וסכום $=n$ . מספיק ולא הכרחי — $I_n$ לכסינה עם ע"ע אחד.
$A$ אלכסונית, סקלרית, או $A^2=A$		כן. אלכסונית — דומה לעצמה. $A^2=A$ — למה מתרגול 8: אז $\mathbb{F}^n=\mathrm{Col}A\oplus\mathrm{Null}A=V_1\oplus V_0$ .
הפ"א אינו מתפרק לגורמים לינאריים מעל $\mathbb{F}$		לא לכסינה. נובע ממשפט 4: אם הייתה לכסינה הפ"א היה מכפלת גורמים לינאריים. זו הבדיקה שסוגרת מטריצות ממשיות עם ע"ע מרוכבים.
קיים ע"ע אחד עם $GM(\lambda)<AM(\lambda)$		לא לכסינה. אחד מספיק — עצרי מיד, אין טעם לחשב את השאר. מסקנה 1 בהרצאה 7 (מעל $\mathbb{C}$ : לכסינה אם"ם $GM=AM$ לכל ע"ע).
ע"ע יחיד $\lambda$ ו- $A\ne\lambda I_n$		לא לכסינה. תרגול: לכסינה עם ע"ע יחיד $\Rightarrow$ דומה ל- $\lambda I$ $\Rightarrow$ שווה ל- $\lambda I$ . שתי שורות במקום חישוב $\mathrm{rank}$ .
הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים		הכרחי בלבד. $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ : $p_A=(\lambda-1)^2$ מתפרק, ובכל זאת לא לכסינה ( $GM(1)=1<2$ ).
אותו פ"א כמו מטריצה לכסינה ידועה		לא מספיק. ל- $I_2$ ול- $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ אותו פ"א בדיוק (הרצאה 7, שקף 7) — הראשונה לכסינה והשנייה לא.
הפיכות, $\det\ne0$ , $\mathrm{tr}$ מסוים		אין שום קשר. $0_n$ לא הפיכה ולכסינה; $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ הפיכה ולא לכסינה.
משולשית עליונה		לא אומר כלום — רק נותן במתנה את הע"ע: איברי האלכסון (מסקנה 2). ל- $2\times2$ משולשית: לכסינה אם"ם $\lambda_1\ne\lambda_2$ או $\alpha=0$ (תרגיל 3).
$A,B$ לכסינות $\Rightarrow A+B$ לכסינה		שקר. $\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}$ — ע"ע יחיד $3$ ו- $GM=1$ . (מבחן 2021ב׳ ש׳1ב.)

סדר העבודה, מהזול ליקר: פרקי את $p_A$ $\to$ אם יש $n$ שורשים שונים — לכסינה, סיימת $\to$ אם הוא לא מתפרק — לא לכסינה, סיימת $\to$ אחרת חשבי $GM=n-\mathrm{rank}(A-\lambda I)$ רק עבור הע"ע שלהם $AM\ge2$ $\to$ עצרי בראשון שבו $GM<AM$ . ע"ע עם

AM=1

אף פעם לא צריך בדיקה.

מה כל נתון בשאלה מתורגם אליו — מיידית

רוב שאלות המבחן לא נותנות לך מטריצה. הן נותנות דרגה, פ"א, או דטרמיננטה. זה מילון התרגום.

תכונה	סוגר את השאלה לבד?	למה, ואיך משתמשים בזה
נתון $\mathrm{rank}(A-cI)=r$		$GM(c)=n-r$ מיידית (משפט 1). אם $r<n$ אז $c$ ע"ע. שימי לב: $\mathrm{rank}(A-cI)=\mathrm{rank}(cI-A)$ , אז אין צורך להתאמץ עם הסימן.
נתון $\mathrm{rank}(A)=r$		זה בדיוק המקרה $c=0$ : $GM(0)=n-r$ , ו- $0$ ע"ע אם"ם $r<n$ . מטלה 8 ש׳2 בנויה כולה על השורה הזו.
נתון הפולינום האופייני		נותן את כל ה- $AM$ -ים, את $\mathrm{tr}$ (מקדם $\lambda^{n-1}$ בסימן הפוך) ואת $\det$ (מקדם חופשי כפול $(-1)^n$ ). מכריע לבדו רק אם יש $n$ שורשים שונים או שהוא לא מתפרק.
נתון ש- $q(\lambda)\mid p_A(\lambda)$		כל שורש של $q$ הוא ע"ע של $A$ , ולכן תורם $GM\ge1$ לספירה. זה הצד ה"מלמטה" של הלחיצה בין $\sum GM\ge$ משהו ל- $\sum GM\le n$ .
נתון $AM(\lambda)=1$ — לע"ע הזה בלבד		סוגר את הע"ע הזה: $1\le GM\le AM=1$ ולכן $GM=1=AM$ , בלי לחשב כלום. אל תבזבזי עליו דירוג. את השאלה כולה הוא לא סוגר — צריך את שאר הע"ע.
נתון ש- $A$ לכסינה $+$ $\det$ או $\mathrm{tr}$		אז $A\sim D$ , וכל פונקציה סימטרית של הע"ע ידועה: $\det A=\prod\lambda_i$ , $\mathrm{tr}A=\sum\lambda_i$ (תרגול 7). כך משלימים ע"ע חסר — מטלה 8 ש׳3.
מבקשים $\mathrm{tr}(A^2)$ , $\det(A^k)$ , $\mathrm{rank}(A^k)$		אם $A\sim D$ אז $A^2\sim D^2$ , ולכן מחשבים על האלכסון בלבד: $\mathrm{tr}(A^2)=\sum\lambda_i^2$ . מטלה 8 ש׳2 — התשובה יוצאת $34$ בלי לגעת ב- $A$ .

המשוואה שמנהלת את כל השאלות האלה:

\displaystyle\sum_{i}GM(\lambda_i)\le n

תמיד (משפט 3), ושוויון $\iff$ לכסינה. לכן כל נתון שנותן

GM

גדול מלמטה דוחף אותך לכיוון "לכסינה", וכל

GM<AM

שובר את זה.

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (12)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד

השרשרת המלאה: $1\le GM(\lambda)\le AM(\lambda)\le n$ לכל ע"ע $\lambda$ . ההרצאה נותנת את $GM\le AM$ (משפט 2) ואת החסמים החיצוניים בהערות 1-2 ( $AM\le\deg p=n$ , ו- $GM\ge1$ אם"ם ע"ע); תרגול 8 מאחד אותם לשרשרת אחת — וזה מה שהופך אותה לכלי. מסקנה מיידית ששווה זהב: $AM(\lambda)=1\Rightarrow GM(\lambda)=1$ , בלי חישוב.תרגול 8
מטריצה לכסינה עם ע"ע יחיד היא סקלרית: אם $\lambda$ הע"ע היחיד ו- $A$ לכסינה, אז $A\sim\lambda I$ , ומטריצה סקלרית דומה רק לעצמה, ולכן $A=\lambda I$ . בכיוון ההפוך זו ההפרכה הזולה ביותר שיש: פ"א $=(\lambda-2)^3$ ו- $A\ne2I$ $\Rightarrow$ לא לכסינה, בלי לחשב אף $\mathrm{rank}$ .תרגול 7, בשימוש חוזר בתרגול 8 ובתרגול 9
אם $A^2=A$ אז $A$ לכסינה, ובנוסף $\mathrm{rank}(A)=AM(1)=GM(1)$ ו- $\dim\mathrm{Null}(A)=AM(0)=GM(0)$ . ההוכחה: $\mathbb{F}^n=\mathrm{Col}A\oplus\mathrm{Null}A$ , ומראים $\mathrm{Col}A=V_1$ (כי $Aw=A^2v=Av=w$ ) ו- $\mathrm{Null}A=V_0$ .תרגול 8, למה
אם $T$ לכסינה אז $\ker T=V_0$ ו- $\mathrm{Im}\,T$ הוא סכום ישר של המרחבים העצמיים של כל הע"ע השונים מאפס. זה הופך שאלת "מצא $\ker$ ו- $\mathrm{Im}$ " לשאלת ע"ע, בלי מערכות משוואות.תרגול 8, מסקנה בסוף השאלה הגדולה
הקשר בין אופרטור למטריצה המייצגת, בכיוון שמשתמשים בו בפועל: $v$ ו"ע של $T$ עם ע"ע $\lambda$ $\iff$ $[v]_{\mathcal{B}}$ ו"ע של $[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}$ עם אותו $\lambda$ . הע"ע לא משתנים עם הבסיס; רק הקואורדינטות משתנות.תרגול 8, סעיף 4
אם $\lambda$ ע"ע של $A$ אז $\lambda^k$ ע"ע של $A^k$ ; ובכיוון ההפוך — אם $\lambda^2$ ע"ע של $A^2$ אז $\lambda$ או $-\lambda$ ע"ע של $A$ . בכיוון ההפוך אסור לבחור שורש שרירותית.תרגול 8 (מסתמך על תרגילי מטלה)
טכניקה לזיהוי פ"א בלי לחשב דטרמיננטה: אם $A^2=0$ אז $(xI-A)(xI+A)=x^2I$ , ולכן $\det(xI-A)\mid x^{2n}$ ; מכיוון ש- $p_A$ מתוקן וממעלה $n$ נובע $p_A(x)=x^n$ , כלומר $AM(0)=n$ . באותה שאלה: $A^2=B^2=0$ , $AB+BA=I$ $\Rightarrow$ $GM(0)=\tfrac n2$ ו- $A$ לא לכסינה (בשדה שבו $1_{\mathbb{F}}+1_{\mathbb{F}}\ne0$ ; בפרט $n$ זוגי).תרגול 8, תרגיל
ל- $A$ ול- $A^t$ אותם ערכים עצמיים (אותו פ"א). ובנוסף: אם סכום כל שורה במטריצה הוא $\lambda$ , אז $\lambda$ ע"ע שלה — ולכן לכל מטריצה עמודות־סטוכסטית $1$ הוא ע"ע. (זה הבסיס ל-PageRank שהוצג בתרגול.)תרגול 8
התבנית של מטלה 8 ש׳2, שווה לשנן: נתון $\mathrm{rank}(A)=2$ ב- $M_6$ $\Rightarrow$ $GM(0)=4$ ; נתון $\lambda^2-2\lambda-15\mid p_A$ $\Rightarrow$ $5,-3$ ע"ע $\Rightarrow$ $GM\ge1$ לכל אחד. סכום $\ge4+1+1=6$ ותמיד $\le6$ $\Rightarrow$ שוויון $\Rightarrow$ לכסינה, ו- $A\sim\mathrm{diag}(0,0,0,0,5,-3)$ . משם $\mathrm{tr}(A^2)=25+9=34$ .מטלה 8 ש׳2
מטלה 8 ש׳1 בכיוון ההפוך: נתון $p_A(\lambda)=\lambda^n-\lambda=\lambda(\lambda^{n-1}-1)$ $\Rightarrow$ $AM(0)=1$ $\Rightarrow$ $GM(0)=1$ $\Rightarrow$ $\dim\mathrm{Null}A=1$ $\Rightarrow$ $\mathrm{rank}(A)=n-1$ . שאלת "חשבי דרגה" היא שאלת ריבויים בתחפושת.מטלה 8 ש׳1
מטריצות מדרגה 1: לכל $\vec x,\vec y\ne\vec 0$ מתקיים $\mathrm{rank}(\vec x\vec y^{\,t})=1$ ; אם בנוסף $\vec x^{\,t}\vec y\ne0$ אז $\vec x\vec y^{\,t}$ לכסינה ודומה ל- $\mathrm{diag}(0,\dots,0,\vec x^{\,t}\vec y)$ (כי $GM(0)=n-1$ ועוד ע"ע אחד), ולכן $\det(I_n+\vec x\vec y^{\,t})=1+\vec x^{\,t}\vec y$ .מטלה 8, שאלות נוספות ש׳1
ל- $AB$ ול- $BA$ (ריבועיות מאותו סדר) בדיוק אותם ע"ע: אם $\lambda\ne0$ ו- $(\lambda,\vec v)$ ז"ע של $AB$ אז $(\lambda,B\vec v)$ ז"ע של $BA$ ; ועבור $\lambda=0$ עוברים דרך $\det(AB)=\det(BA)$ . אבל לכסינות אינה עוברת בין $AB$ ל- $BA$ (דוגמה נגדית במבחן 2023א׳).מבחן 2025ב׳ ש׳3.1, מבחן 2023א׳

תכונות קטנות שחייבים לדעת (12)

12 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות

$GM(\alpha)=\dim V_\alpha=\dim\mathrm{Null}(\alpha I_n-A)=n-\mathrm{rank}(\alpha I_n-A)$ . זו הדרך היחידה שכדאי לחשב ר"ג — לא צריך למצוא את הו"ע עצמם כדי לדעת כמה יש.הרצאה 7, משפט 1
$\lambda$ הוא ע"ע של $A$ אם"ם $GM(\lambda)\ge1$ . לכן $GM(\lambda)=0$ פירושו רק דבר אחד: $\lambda$ פשוט אינו ע"ע. אין ע"ע עם ריבוי גיאומטרי אפס.הרצאה 7, הערה 2
$GM(\alpha)\le AM(\alpha)$ לכל $\alpha$ ולכל שדה. ההוכחה (שנשאלת במבחן): משלימים בסיס של $V_\alpha$ לבסיס $\mathcal{A}$ של $\mathbb{F}^n$ , מקבלים $[T_A]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}=\begin{pmatrix}\alpha I_l&B\\0&C\end{pmatrix}$ , ומכיוון שהיא דומה ל- $A$ : $p_A(\lambda)=(\lambda-\alpha)^l\cdot p_C(\lambda)$ , כלומר $(\lambda-\alpha)^l\mid p_A(\lambda)$ .הרצאה 7, משפט 2 (נשאל כהוכחה במבחן 2025א׳ ש׳1.1.2)
שלושה תנאים שקולים: (1) $\sum GM(\lambda_i)=n$ ; (2) $A$ לכסינה; (3) $p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{l_1}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{l_k}$ כאשר $l_i=GM(\lambda_i)$ . שימי לב ש-(3) דורש שהחזקות יהיו בדיוק הריבויים הגיאומטריים.הרצאה 7, משפט 4
מעל $\mathbb{C}$ (וכל שדה שבו הפ"א מתפרק): $A$ לכסינה אם"ם $GM(\lambda)=AM(\lambda)$ לכל ע"ע. מעל שדה כללי צריך שני תנאים: הפ"א מתפרק וגם $GM=AM$ לכל ע"ע.הרצאה 7, מסקנה 1 + תרגול 8
איחוד הבסיסים של מרחבים עצמיים של ע"ע שונים הוא קבוצה בת"ל (סכום המרחבים העצמיים הוא סכום ישר). מכאן נובע מיידית ש- $\sum GM(\lambda_i)\le n$ תמיד — וזו הלחיצה מלמעלה בכל שאלת ספירה.הרצאה 7, משפט 3
מעל $\mathbb{C}$ כל פ"א מתפרק לגורמים לינאריים: $p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdots(\lambda-\lambda_n)$ , ולכן $\sum AM(\lambda_i)=n$ תמיד. מעל $\mathbb{R}$ או $\mathbb{Z}_p$ זה עלול להיכשל.הרצאה 7, מסקנות 4-5
$\sum_i AM(\lambda_i)\le n$ תמיד, ושוויון מתקיים אם"ם הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים. (מפצלים גורם־גורם: אם $\beta\ne\alpha$ שורש של $p=(x-\alpha)^kq$ אז $q(\beta)=0$ , וממשיכים; המכפלה $\prod(x-\lambda_i)^{AM_i}$ מחלקת את $p_A$ שמעלתו $n$ .)נובע ממסקנה 3 ומהערה 1 בהרצאה 7
ע"ע של מטריצה משולשית (עליונה או תחתונה) הם איברי האלכסון, וה- $AM$ הוא מספר ההופעות שלהם על האלכסון. אל תחשבי דטרמיננטה — פשוט קראי את האלכסון.הרצאה 7, מסקנה 2
פ"א של מטריצת בלוקים משולשית הוא מכפלת הפ"א של הבלוקים: $p_A=p_{A_1}\cdots p_{A_k}$ . זה מה שמאפשר לפרק מטריצה גדולה לשתי שאלות קטנות.הרצאה 7, משפט 4 (תזכורת, שקף 2) — לא להתבלבל עם משפט 4 של שקפים 25-29
מטריצה משולשית $2\times2$ , $A=\begin{pmatrix}\lambda_1&\alpha\\0&\lambda_2\end{pmatrix}$ , לכסינה אם"ם $\lambda_1\ne\lambda_2$ , או ש- $\lambda_1=\lambda_2$ וגם $\alpha=0$ . שווה לזכור כדוגמה נגדית מוכנה.הרצאה 7, תרגיל 3 (שקף 4) — לא תרגיל 3 של שקף 14
דמיון משמרת את שני הריבויים: אותו פ"א נותן אותו $AM$ (משפט 5), ו- $A-\lambda I\sim B-\lambda I$ עם אותה $P$ נותן אותה דרגה ולכן אותו $GM$ . לכן "לכסינה" היא תכונה של האופרטור, לא של המטריצה.הרצאה 7 משפט 5 + תרגול 5

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (5)

נתון"הוכיחו או הפריכו:

A

לכסינה" / "מצאו עבור אילו

a

המטריצה לכסינה"

שואליםזו לעולם לא שאלת חישוב מלאה — היא שאלת הפרדה למקרים לפי התנגשות ע"ע.

המהלךחשבי

p_A

ופרקי. מצאי עבור אילו ערכי הפרמטר שני ע"ע מתלכדים — רק שם יש מה לבדוק. בכל שאר הערכים יש

n

ע"ע שונים ולכן לכסינה. במקרי ההתנגשות בלבד חשבי

GM=n-\mathrm{rank}(A-\lambda I)

. זו בדיוק המבנה של תרגיל 4 בהרצאה 7 (מבחן 2022ב׳):

p_A=(\lambda-a^2)(\lambda-2a)(\lambda-(a+2))

, התנגשויות ב-

a=0,2,-1

בלבד.

נתוןנתונים דרגות של

A-cI

(או

\mathrm{rank}(A)

), ואולי גם

\det A

או

\mathrm{tr}A

שואליםמבקשים ממך למצוא את

D

הדומה ל-

A

בלי לראות את

A

בכלל.

המהלךכל דרגה

\to

GM

של הע"ע המתאים

\to

כמה פעמים הוא מופיע על האלכסון של

D

. אם הודיעו לך ש-

A

לכסינה, סכום המופעים חייב להיות

n

, וה-

\det

או ה-

\mathrm{tr}

מפצחים את הע"ע החסר. מטלה 8 ש׳3:

\mathrm{rank}(I+A)=\mathrm{rank}(2I-A)=3

ב-

M_5

\Rightarrow

GM(-1)=GM(2)=2

, ו-

\det A=20=4\lambda\Rightarrow\lambda=5

, כלומר

A\sim\mathrm{diag}(2,2,-1,-1,5)

נתוןמבקשים

\mathrm{rank}(A)

או

\dim\mathrm{Null}(A)

ונתון משהו על הפ"א

שואליםמבקשים ממך את

GM(0)

, והדרך אליו היא דרך

AM(0)

המהלךקראי מהפ"א את

AM(0)

= החזקה של

\lambda

בפירוק. אם

AM(0)=1

אז

GM(0)=1

מהלחיצה

1\le GM\le AM

, ואז

\mathrm{rank}=n-1

. אם

AM(0)=m>1

אז יש לך רק

1\le GM(0)\le m

, כלומר

n-m\le\mathrm{rank}(A)\le n-1

— ואם מבקשים ערך מדויק, סימן שנתון עוד משהו (כמו לכסינות).

נתוןמבקשים

\mathrm{tr}(A^k)

\det(p(A))

, או להוכיח זהות מטריצית

שואליםקודם כול הוכיחי לכסינות, ואז החליפי את

A

ב-

D

המהלך

A\sim D\Rightarrow A^k\sim D^k

, ועקבה ודטרמיננטה נשמרות תחת דמיון — אז מחשבים על האלכסון:

\mathrm{tr}(A^k)=\sum\lambda_i^k

\det A=\prod\lambda_i

. אם

A

לא לכסינה, זה לא הכלי — עברי לקיילי־המילטון (שבוע 8).

נתוןשאלת "הוכיחו את המשפט" בסעיף הראשון של המבחן

שואליםסביר מאוד שזו הוכחת

GM(\alpha)\le AM(\alpha)

— היא נשאלה כך ב-2025א׳ ש׳1.1.

המהלךשלד ההוכחה שכדאי לשנן: בסיס

\vec v_1,\dots,\vec v_l

ל-

V_\alpha

\to

השלמה לבסיס

\mathcal{A}

של

\mathbb{F}^n

\to

l

העמודות הראשונות של

[T_A]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}

הן

\alpha\vec e_i

, כלומר המטריצה בלוקים־משולשית

\begin{pmatrix}\alpha I_l&B\\0&C\end{pmatrix}

\to

היא דומה ל-

A

ולכן אותו פ"א

\to

p_A(\lambda)=(\lambda-\alpha)^lp_C(\lambda)

\to

(\lambda-\alpha)^l\mid p_A

\to

l\le AM(\alpha)

. אל תשכחי לנמק למה מותר להשלים לבסיס ולמה למטריצות דומות אותו פ"א.

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית

ספירת

AM

בלי לשים לב מעל איזה שדה עובדים

הריבוי האלגברי תלוי בשדה!

p(x)=1+x+x^2

: מעל

\mathbb{Z}_3

יש שורש יחיד

1

עם

AM(1)=2

(כי

(x-1)^2=x^2+x+1

); מעל

\mathbb{R}

אין שורשים בכלל וכל

AM=0

; מעל

\mathbb{C}

שני שורשים עם

AM=1

כל אחד (הרצאה 7, תרגילים 1-3). "לא לכסינה מעל

\mathbb{R}

" ו"לא לכסינה מעל

\mathbb{C}

" הן שתי טענות שונות.

להניח

GM=AM

ולדלג על חישוב הדרגה

זה בדיוק מה שהשאלה בודקת.

GM=AM

מובטח רק כש-

AM=1

. לכל ע"ע עם

AM\ge2

חייבים לחשב

n-\mathrm{rank}(A-\lambda I)

בפועל.

GM(\lambda)=\mathrm{rank}(A-\lambda I)

$GM(\lambda)=n-\mathrm{rank}(A-\lambda I)$ — זה מימד מרחב האפס, לא הדרגה. בדיקת שפיות: ע"ע תמיד מקיים

\mathrm{rank}(A-\lambda I)<n

(אחרת

A-\lambda I

הפיכה ו-

\lambda

אינו ע"ע), ולכן

GM\ge1

הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים

\Rightarrow

המטריצה לכסינה

תנאי הכרחי בלבד. הפירוק חייב להיות עם החזקות הנכונות:

p_A(\lambda)=\prod(\lambda-\lambda_i)^{l_i}

כאשר

l_i=GM(\lambda_i)

ולא סתם חזקות כלשהן.

\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

מפרקת יפה ואינה לכסינה.

לחשב את

GM

על ידי מציאת בסיס מפורש למרחב העצמי

מותר, אבל מבזבז חמש דקות לכל ע"ע. אם השאלה שואלת רק "האם לכסינה" — מספיק לדרג את

A-\lambda I

ולספור:

GM=n-\mathrm{rank}

. את הו"ע מוצאים רק כשמבקשים במפורש את

P

. (ההערה הזו נאמרת מפורשות בתרגול 8.)

הנחה ש-

\sum AM=n

ולכן "נשאר רק לבדוק

GM

זה נכון אוטומטית רק מעל

\mathbb{C}

. מעל

\mathbb{R}

או

\mathbb{Z}_p

ייתכן ש-

\sum AM<n

, ואז המטריצה אינה לכסינה ואין מה לבדוק

GM

בכלל — הפ"א פשוט לא מתפרק.

ריבוי אלגברי וגיאומטרי

הסיכומון וההגדרות המלאות

הדף הקודם

הפולינום האופייני

הדף הבא

קיילי–המילטון ותת-מרחב שמור