LINEAR 2

כל ההוכחות

176 הוכחות מלאות. כל הוכחה נחשפת שלב אחרי שלב — בדיוק לפי סדר האנימציה שבמצגת המקורית.

שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
הערה 1

תכונות בסיסיות של העתקה לינארית

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית. אזי:
1. לכל v1,v2∈Vv_1,v_2 \in V מתקיים: T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2)
2. לכל v∈Vv \in V, α∈F\alpha \in \mathbb{F} מתקיים: T(αv)=αT(v)T(\alpha v) = \alpha T(v)
3. לכל v1,…vk∈Vv_1, \dots v_k \in V, α1,…,αk∈F\alpha_1, \dots ,\alpha_k \in \mathbb{F} מתקיים:
T(α1v1+⋯+αkvk)=α1T(v1)+⋯+αkT(vk)T(\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k) = \alpha_1 T(v_1) + \cdots + \alpha_k T(v_k)
לינאריות: T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)T(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2) = \alpha_1 T(v_1) + \alpha_2 T(v_2)
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 1

האפס עובר לאפס

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית. אזי: T(0V)=0WT(0_V) = 0_W
00 תמיד עובר ל- 00 !
לינאריות: T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)T(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2) = \alpha_1 T(v_1) + \alpha_2 T(v_2)
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 2

TAT_A היא העתקה לינארית

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. תהי A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(\mathbb{F}).
אזי ההעתקה TAT_A היא העתקה לינארית.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
דוגמה 1

העתקה מעל Z5\mathbb{Z}_5

הוכח בכיתה
תהי T:(Z5)3→(Z5)2T: (\mathbb{Z}_5)^3 \to (\mathbb{Z}_5)^2 העתקה המוגדרת כך:
T(xyz)=(x+3yz−x+4y)T\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 3y \\ z - x + 4y \end{pmatrix} לכל (xyz)∈(Z5)3\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in (\mathbb{Z}_5)^3.
• הוכיחו ש- TT העתקה לינארית.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
דוגמה 2

העתקה מעל C\mathbb{C}

הוכח בכיתה
תהי T:C2→C2T: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2 העתקה המוגדרת כך:
T(z1z2)=(z1+iz2iz1−z2)T\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_1 + iz_2 \\ iz_1 - z_2 \end{pmatrix} לכל (z1z2)∈C2\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^2.
• הוכיחו ש- TT העתקה לינארית.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
דוגמה 3

העתקה שאינה לינארית (איבר חופשי)

הוכח בכיתה
תהי T:C2→C2T: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2 העתקה המוגדרת כך:
T(z1z2)=(z1+iz2iz1−z2+1)T\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_1 + iz_2 \\ iz_1 - z_2 + 1 \end{pmatrix} לכל (z1z2)∈C2\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^2.
• הוכיחו ש- TT אינה העתקה לינארית.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
דוגמה 4

הצמוד המרוכב אינו לינארי מעל C\mathbb{C}

הוכח בכיתה
תהי T:C→CT: \mathbb{C} \to \mathbb{C} העתקה המוגדרת כך:
T(z)=zˉT(z) = \bar{z} לכל z∈Cz \in \mathbb{C}.
• הוכיחו ש- TT אינה העתקה לינארית.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
דוגמה 5

הצמוד המרוכב לינארי מעל R\mathbb{R}

הוכח בכיתה
תהי T:C→CT: \mathbb{C} \to \mathbb{C} העתקה המוגדרת כך:
T(z)=zˉT(z) = \bar{z} לכל z∈Cz \in \mathbb{C}.
• הוכיחו שאם C\mathbb{C} הוא מ"ו מעל R\mathbb{R} אז TT כן ה"ל.
תכונות של צמודים:
z1+z2‾=z1‾+z2‾\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}
αz‾=αˉ⋅zˉ\overline{\alpha z} = \bar{\alpha} \cdot \bar{z}
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 3

הגרעין הוא תת-מרחב

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
אזי: הגרעין של TT (Ker(T)Ker(T)) הוא תמ"ו של VV.
תזכורת: UU תמ"ו של WW אם:
∀w1,w2∈W , ∀α,β∈F\forall w_1, w_2 \in W\ ,\ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}
(1) 0W∈U0_W \in U
(2) w1,w2∈U→αw1+βw2∈Uw_1, w_2 \in U \to \alpha w_1 + \beta w_2 \in U
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 4

התמונה היא תת-מרחב

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
אזי: התמונה של TT (Im(T)Im(T)) היא תמ"ו.
תזכורת: UU תמ"ו של WW אם:
∀w1,w2∈W , ∀α,β∈F\forall w_1, w_2 \in W\ ,\ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}
(1) 0W∈U0_W \in U
(2) w1,w2∈U→αw1+βw2∈Uw_1, w_2 \in U \to \alpha w_1 + \beta w_2 \in U
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 5

העתקת האפס היא לינארית

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל שדה F\mathbb{F}.
ותהי T:V→WT: V \to W העתקת האפס. אזי TT העתקה לינארית.
לינאריות: T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)T(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2) = \alpha_1 T(v_1) + \alpha_2 T(v_2)
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 6

העתקת הזהות היא לינארית

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מרחב וקטורי מעל שדה F\mathbb{F}.
אזי idVid_V העתקה לינארית.
לינאריות: T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)T(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2) = \alpha_1 T(v_1) + \alpha_2 T(v_2)
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 7

אריתמטיקה של העתקות לינאריות

הוכח בכיתה
• יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהיינה T,S:V→WT,S: V \to W העתקות לינארית.
• יהיו α,β∈F\alpha,\beta \in \mathbb{F}. אזי: αT+βS\alpha T + \beta S העתקה לינארית.
צירוף לינארי של העתקות לינאריות הוא העתקה לינארית.
AOLT (Arithmetic of linear transformation)AOLT\ (Arithmetic\ of\ linear\ transformation)
1. (S+T)(v)=S(v)+T(v)(S + T)(v) = S(v) + T(v)
2. (αT)(v)=αT(v)(\alpha T)(v) = \alpha T(v)
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
מסקנה 1

Hom(V,W)Hom(V,W) תת-מרחב של WVW^V

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
אזי Hom(V,W)Hom(V,W) הוא תמ"ו של WVW^V.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 8

הרכבה של העתקות לינאריות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,W,UV,W,U מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהיינה T:V→WT: V \to W , S:W→US: W \to U העתקות לינאריות.
אזי S∘TS \circ T היא העתקה לינארית.
תזכורת (הרכבת פונקציות): עבור פונקציות f:A→Bf: A \to B , g:B→Cg: B \to C ההרכבה g∘f:A→Cg \circ f: A \to C היא פונקציה המוגדרת כך: (g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)).
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 9

ההופכית של העתקה לינארית היא לינארית

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
נניח ש- TT הפיכה. אזי T−1T^{-1} היא העתקה לינארית.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 10

חח"ע אם"ם הגרעין טריוויאלי

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
אזי TT חח"ע אם"ם Ker(T)={0V}Ker(T) = \{0_V\}.
בהעתקה חח"ע רק 00 עובר ל- 00 !
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 11

פורשת לפורשת

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
יהיו v1,…,vm∈Vv_1, \dots ,v_m \in V וקטורים שפורשים את VV.
אזי T(v1),…,T(vm)T(v_1), \dots ,T(v_m) פורשים את Im(T)Im(T).
שימו לב: T(v1),…,T(vm)T(v_1), \dots ,T(v_m) לא בהכרח פורשים את WW.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 12

בת"ל לבת"ל

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית חח"ע.
יהיו v1,…,vk∈Vv_1, \dots ,v_k \in V וקטורים בת"ל. אזי T(v1),…,T(vk)T(v_1), \dots ,T(v_k) בת"ל.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
משפט 13

בסיס לבסיס

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
תהי T:V→WT: V \to W העתקה לינארית.
יהיו v1,…,vn∈Vv_1, \dots ,v_n \in V בסיס ל- VV.
אזי TT הפיכה אם"ם T(v1),…,T(vn)T(v_1), \dots ,T(v_n) בסיס של WW.
TT הפיכה אם"ם היא מעתיקה בסיס לבסיס.
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
תרגיל 1

הוכיחו או הפריכו: קיימת ה"ל T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2

הוכח בכיתה
הוכיחו או הפריכו:
קיימת ה"ל T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 כך ש-
T(11)=(12) ,T(22)=(21)T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\ ,\qquad T\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
תרגיל 2

העתקה לינארית T:R3→R3T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 הנתונה על בסיס

הוכח בכיתה
תהי T:R3→R3T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 העתקה לינארית המקיימת:
T(100)=(110) , T(010)=(1−11) , T(011)=(101)T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\ ,\ T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\ ,\ T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
א. חשבו את T(111)T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.
ב. מצאו בסיס ומימד עבור Im(T)Im(T).
ג. הוכיחו או הפריכו: קיים 0⃗≠x⃗∈R3\vec{0} \neq \vec{x} \in \mathbb{R}^3 כך ש- Tx⃗=(000)T\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
שבוע 1 · הרצאה 1 · העתקות לינאריות
תרגיל 3

מציאת בסיסים ל- Im TIm\,T ול- Ker TKer\,T (לקריאה עצמית)

הוכח בכיתה
תהי T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 העתקה המוגדרת כך:
T(xy)=(1103)(xy)T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} לכל (xy)∈R2\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2.
לכן T=TAT = T_A ומכאן שהיא ה"ל.
מצאו בסיסים ל- Im T,Ker TIm\,T, Ker\,T.
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
משפט 1

קיום ויחידות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
נניח ש- VV נוצר סופית ויהי v1,…,vnv_1, \dots ,v_n בסיס של VV.
יהיו w1,…,wn∈Ww_1, \dots ,w_n \in W.
אזי קיימת ה"ל יחידה T:V→WT: V \to W כך ש- T(vi)=wiT(v_i) = w_i לכל 1≤i≤n1 \leq i \leq n.
w1,…,wnw_1, \dots ,w_n לא בהכרח בסיס של WW.
המימד של WW אינו בהכרח nn.
v1,…,vnv_1, \dots , v_n - בסיס ; w1,…,wnw_1, \dots , w_n - סתם
v↦T(v)v \mapsto T(v) , α1v1+⋯+αnvn↦α1w1+⋯+αnwn\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n \mapsto \alpha_1 w_1 + \cdots + \alpha_n w_n
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
תרגיל 1

שחזור העתקה מתמונות של בסיס וחישוב T−1T^{-1}

הוכח בכיתה
תהי T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 העתקה לינארית המקיימת:
T(11)=(21) , T(1−1)=(1−1)T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\ ,\ T\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
א. מצאו את T(xy)T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} לכל (xy)∈R2\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2
ב. הוכיחו ש- TT הפיכה וחשבו את T−1(10)T^{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
משפט 2

משפט המימדים השני

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}. נניח ש- VV נוצר סופית.
תהי T:V→WT: V \to W ה"ל.
אזי: dim⁡V=dim⁡Ker T+dim⁡Im T\dim V = \dim Ker\,T + \dim Im\,T
תזכורת: אם k=0k = 0 הרי ש- v1,…,vk=∅v_1, \dots ,v_k = \emptyset
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
מסקנות חשובות

משפט המימדים - מסקנות חשובות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים מעל F\mathbb{F}.
נניח ש- V,WV,W נוצרים סופית. תהי T∈Hom(V,W)T \in Hom(V,W). אזי:
1. כאשר dim⁡V=dim⁡W\dim V = \dim W מתקיים: TT חח"ע אם"ם TT על.
2. כאשר dim⁡V<dim⁡W\dim V < \dim W מתקיים: TT אינה על.
3. כאשר dim⁡V>dim⁡W\dim V > \dim W מתקיים: TT אינה חח"ע.
dim⁡V=dim⁡Ker T+dim⁡Im T\dim V = \dim Ker\,T + \dim Im\,T
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
תרגיל 2

האם קיימת T∈Hom(R3,R3)T \in Hom(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3) עם Ker T=Im TKer\,T = Im\,T

הוכח בכיתה
הוכיחו או הפריכו:
קיימת T∈Hom(R3,R3)T \in Hom(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3) שעבורה Ker T=Im TKer\,T = Im\,T.
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
תרגיל 3

קיימת T∈Hom(R4,R4)T \in Hom(\mathbb{R}^4,\mathbb{R}^4) עם Ker T=Im TKer\,T = Im\,T

הוכח בכיתה
הוכיחו או הפריכו:
קיימת T∈Hom(R4,R4)T \in Hom(\mathbb{R}^4,\mathbb{R}^4) שעבורה Ker T=Im TKer\,T = Im\,T.
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
תרגיל 4

גרעין ותמונה של הנגזרת על פולינומים

הוכח בכיתה
תהי T:R3[x]→R2[x]T: \mathbb{R}_3[x] \to \mathbb{R}_2[x] העתקה המוגדרת כך:
T(p(x))=p′(x)T(p(x)) = p'(x) לכל p(x)∈R3[x]p(x) \in \mathbb{R}_3[x].
מצאו בסיס ל- Ker(T),Im(T)Ker(T), Im(T).
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
מסקנה 4

Rank-nullity theorem

הוכח בכיתה
• תהי A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(\mathbb{F}). אזי dim⁡null(A)+rank(A)=n\dim null(A) + rank(A) = n
Rank−nullity theoremRank-nullity\ theorem
dim⁡V=dim⁡Ker T+dim⁡Im T\dim V = \dim Ker\,T + \dim Im\,T
מספר המשתנים, מספר המובילים, מספר החופשיים
הדירוג שומר על מרחב השורות ולא בהכרח על מרחב העמודות, אבל הוא כן שומר על המימד שלו!
שבוע 2 · הרצאה 2 · העתקות לינאריות
הערה 3

איזומורפיזם הוא יחס שקילות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,W,UV,W,U מרחבים וקטורים מעל F\mathbb{F}. אזי:
1. V≅VV \cong V
2. אם V≅WV \cong W אז W≅VW \cong V
3. אם V≅WV \cong W וגם W≅UW \cong U אז V≅UV \cong U
רפלקסיבי: לכל VV , V≅VV \cong V
סימטרי: לכל V,WV,W , אם V≅WV \cong W אז W≅VW \cong V
טרנזיטיבי: לכל V,W,UV,W,U , אם V≅WV \cong W וגם W≅UW \cong U אז V≅UV \cong U
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 1

V≅FnV \cong \mathbb{F}^n

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מרחב וקטורי מעל F\mathbb{F}.
נניח ש- VV נוצר סופית וש- dim⁡V=n≥1\dim V = n \geq 1.
אזי: V≅FnV \cong \mathbb{F}^n
כל המרחבים הוקטורים מאותו מימד הם איזומורפיים זה לזה!
משפט הקיום והיחידות: בהנתן שני מרחבים, אם יש בסיס באחד ובחרנו לו תמונות כלשהן, קיימת ה"ל יחידה שמעתיקה את הבסיס לתמונות שבחרנו.
צריך להוכיח שיש איזומורפיזם ביניהם.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
מסקנה 1

שוויון מימדים אם"ם איזומורפיזם

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהיו V,WV,W מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל F\mathbb{F}.
אזי: dim⁡V=dim⁡W\dim V = \dim W אם ורק אם V≅WV \cong W.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
נתחיל בדוגמה

וקטור קואורדינטות - דוגמה פותחת

הוכח בכיתה
נתבונן ב- V=R3V = \mathbb{R}^3 ונתבונן ב- v=(1−27)∈R3v = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3.
נרצה לבטא את vv כצירוף לינארי של איברי הבסיס של VV.
תזכורות:
1. יהי מ"ו VV. כל v∈Vv \in V ניתן להצגה באופן יחיד כצ"ל של איברי הבסיס של VV.
2. לכל מ"ו מעל שדה אינסופי יש אינסוף בסיסים. בדקו!
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
תרגיל

וקטור קואורדינטות ב- R3\mathbb{R}^3

הוכח בכיתה
יהי V=R3V = \mathbb{R}^3 ויהי B=((120),(010),(101))\mathcal{B} = \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) בסיס סדור ל- VV. חשבו את [(203)]B\left[\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right]_{\mathcal{B}}
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
תרגיל

וקטור קואורדינטות ב- R2[x]\mathbb{R}_2[x]

הוכח בכיתה
יהי V=R2[x]V = \mathbb{R}_2[x] ויהי B=(1+x,1+x2,1−x2)\mathcal{B} = (1 + x, 1 + x^2, 1 - x^2) בסיס סדור ל- VV.
יהי p(x)=1−x+2x2p(x) = 1 - x + 2x^2. חשבו את [p(x)]B[p(x)]_{\mathcal{B}}.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 2

לינאריות וקטור הקואורדינטות

הוכח בכיתה
יהי VV מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F} ממימד nn.
יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV.
יהיו u,v∈Vu,v \in V , α,β∈F\alpha,\beta \in \mathbb{F}.
אזי מתקיים: [αu+βv]A=α[u]A+β[v]A[\alpha u + \beta v]_{\mathcal{A}} = \alpha [u]_{\mathcal{A}} + \beta [v]_{\mathcal{A}}
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 3

ההתאמה v↦[v]Av \mapsto [v]_{\mathcal{A}} היא איזומורפיזם

הוכח בכיתה
יהי VV מ"ו נוצר סופית מעל שדה F\mathbb{F}. יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV.
נתבונן בפונקציה T:V→FnT: V \to \mathbb{F}^n המוגדרת כך: T(v)=[v]AT(v) = [v]_{\mathcal{A}} לכל v∈Vv \in V.
אזי TT היא איזומורפיזם.
ההתאמה בין וקטור לבין וקטור הקואורדינטות שלו ביחס לבסיס מסוים היא איזומורפיזם.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 4

וקטור קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי

הוכח בכיתה
יהי n∈Nn \in \mathbb{N} ויהי F\mathbb{F} שדה.
יהי En=(e1⃗,…,en⃗)\mathcal{E}_n = (\vec{e_1}, \dots , \vec{e_n}) הבסיס הסטנדרטי של Fn\mathbb{F}^n.
יהי v⃗∈Fn\vec{v} \in \mathbb{F}^n. אזי מתקיים: [v⃗]En=v⃗[\vec{v}]_{\mathcal{E}_n} = \vec{v}
וקטור קואורדינטות לפי בסיס סטנדרטי הוא הוקטור עצמו!
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
נתחיל בדוגמה

מטריצה מייצגת של העתקה לינארית - דוגמה פותחת

הוכח בכיתה
תהי T:R3→R2T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 העתקה לינארית המוגדרת באופן הבא: T(xyz)=(x+y+zx−z)T\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + y + z \\ x - z \end{pmatrix}
נתבונן בבסיס A=((111),(110),(100))\mathcal{A} = \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) של R3\mathbb{R}^3 ונתבונן בבסיס B=((12),(01))\mathcal{B} = \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) של R2\mathbb{R}^2.
נפעיל את TT על כל אחד מאיברי הבסיס A\mathcal{A}. את התוצאה נבטא כצ"ל של איברי הבסיס B\mathcal{B}.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
תרגיל

מטריצה מייצגת של הנגזרת

הוכח בכיתה
תהי T:R3[x]→R2[x]T: \mathbb{R}_3[x] \to \mathbb{R}_2[x] ה"ל המוגדרת ע"י: T(p(x))=p′(x)T(p(x)) = p'(x).
יהיו A,B\mathcal{A},\mathcal{B} הבסיסים הסדורים הסטנדרטיים של R3[x],R2[x]\mathbb{R}_3[x], \mathbb{R}_2[x] בהתאמה.
חשבו את [T]BA[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}.
TT ה"ל מאריתמטיקה של נגזרות:
(f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'
(k⋅f)′=k⋅f′(k \cdot f)' = k \cdot f'
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
תרגיל

המטריצה המייצגת של TAT_A לפי הבסיסים הסטנדרטיים

הוכח בכיתה
תהי A∈Mm×n(F)A \in M_{m \times n}(\mathbb{F}) ותהי TA:Fn→FmT_A: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m המוגדרת כך: TA(x⃗)=Ax⃗T_A(\vec{x}) = A\vec{x}.
הוכיחו ש- A=[TA]EmEnA = [T_A]_{\mathcal{E}_m}^{\mathcal{E}_n}.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 5

לינאריות המטריצה המייצגת

הוכח בכיתה
• יהיו V,WV,W מ"ו נוצרים סופית מעל שדה F\mathbb{F}.
• יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) , B=(w1,…,wm)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_m) בסיסים סדורים של V,WV,W בהתאמה.
• תהיינה S,T:V→WS,T: V \to W שתי ה"ל ויהיו α,β∈F\alpha,\beta \in \mathbb{F}.
• אזי: [αT+βS]BA=α[T]BA+β[S]BA[\alpha T + \beta S]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \alpha [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} + \beta [S]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 6

ψ\psi היא איזומורפיזם

הוכח בכיתה
• יהיו V,WV,W מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F}.
• יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n), B=(w1,…,wm)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_m) בסיסים סדורים ל- V,WV,W בהתאמה.
• נגדיר העתקה ψ:Hom(V,W)→Mm×n(F)\psi: Hom(V,W) \to M_{m \times n}(\mathbb{F}) באופן הבא:
ψ(T)=[T]BAלכל T∈Hom(V,W)\psi(T) = [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}\quad \text{לכל } T \in Hom(V,W)
• אזי ψ\psi היא איזומורפיזם.
ψ\psi מקבלת העתקה TT ומחזירה את המטריצה המייצגת שלה לפי הבסיסים A,B\mathcal{A},\mathcal{B}.
שימו לב: זה מוכיח חח"ע ועל בבת אחת.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
תרגיל

חישוב dim⁡Ker T\dim Ker\,T מתוך dim⁡Hom(V,W)\dim Hom(V,W)

הוכח בכיתה
יהיו V,WV,W שני מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל שדה F\mathbb{F}.
נניח ש- dim⁡V,dim⁡W>1\dim V, \dim W > 1. כמו כן נניח ש- dim⁡Hom(V,W)=10\dim Hom(V,W) = 10.
תהי T:V→WT: V \to W ה"ל על.
הוכיחו ש- dim⁡Ker T=3\dim Ker\,T = 3.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 7

הכפלה במטריצה מייצגת

הוכח בכיתה
יהיו V,WV,W מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F}.
יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) , B=(w1,…,wm)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_m) בסיסים סדורים של V,WV,W בהתאמה
ותהי T:V→WT: V \to W ה"ל.
אזי לכל v∈Vv \in V מתקיים: [T]BA⋅[v]A=[T(v)]B[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} \cdot [v]_{\mathcal{A}} = [T(v)]_{\mathcal{B}}.
במקום להפעיל העתקה נוכל לכפול את וקטור הקואורדינטות במטריצה.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 8

המטריצה המייצגת של העתקת הזהות

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F}. יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV.
אזי מתקיים: [id]AA=In[id]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} = I_n.
תזכורת: id:V→Vid: V \to V הינה העתקת הזהות.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 9

מכפלת מטריצות מייצגות

הוכח בכיתה
יהיו V,W,UV,W,U מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F} ויהיו A,B,C\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C} בסיסים סדורים של V,W,UV,W,U בהתאמה.
תהיינה T:V→WT: V \to W , S:W→US: W \to U ה"ל. אזי [S]CB⋅[T]BA=[S∘T]CA[S]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \cdot [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = [S \circ T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{A}}
זה כמו האות מ בעברית (בכתב:)
כשמכפילים מטריצות זה כמו להכפיל את השמאלית בכל אחת מעמודות הימנית (סמסטר א')
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
משפט 10

המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית

הוכח בכיתה
יהיו V,WV,W מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F}.
יהיו A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) , B=(w1,…,wn)\mathcal{B} = (w_1, \dots ,w_n) בסיסים סדורים של V,WV,W בהתאמה
ותהי T:V→WT: V \to W ה"ל הפיכה.
אזי: ([T]BA)−1=[T−1]AB\left([T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}\right)^{-1} = [T^{-1}]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}
ההופכית של מטריצה שמייצגת העתקה היא המייצגת של ההעתקה ההופכית.
שבוע 3 · הרצאה 3 · איזומורפיזם, וקטור קואורדינטות ומטריצה מייצגת
תרגיל

חישוב מטריצת מעבר ב- R2\mathbb{R}^2

הוכח בכיתה
יהי V=R2V = \mathbb{R}^2 מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F}. יהיו A=((11),(03))\mathcal{A} = \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right) , B=((01),(23))\mathcal{B} = \left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right) בסיסים סדורים של VV.
חשבו את [id]BA[id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}.
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
הגדרה - תזכורת

מטריצת מעבר

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי n∈Nn \in \mathbb{N}. יהי VV מ"ו נ"ס מעל F\mathbb{F}.
יהיו A,B\mathcal{A},\mathcal{B} בסיסים סדורים של VV.
PP תקרא מטריצת המעבר מ- A\mathcal{A} ל- B\mathcal{B} אם מתקיים P=[id]BAP = [id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}
מספיק רק לבטא כל אחד מאיברי A\mathcal{A} כצ"ל של איברי הבסיס B\mathcal{B} (כי idid ניטרלית).
PP הפיכה כי idid הפיכה.
הערה: תהי P=[id]BAP = [id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} מטריצת מעבר. אזי לפי משפט, מתקיים ש- PP הפיכה ו- P−1=[id]ABP^{-1} = [id]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}.
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
תרגיל 1

מטריצה מייצגת לפי הבסיסים הסטנדרטיים

הוכח בכיתה
תהי T:R2→R3T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 ההעתקה הלינארית הנתונה ע"י T(xy)=(2x−yx+2yy)T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - y \\ x + 2y \\ y \end{pmatrix}
מצאו את [T]E3E2[T]_{\mathcal{E}_3}^{\mathcal{E}_2}.
במקום לעשות את כל התהליך, נזכר בתרגיל משבוע שעבר.
* שימו לב - הקיצור נכון רק כאשר שני הבסיסים הם הבסיסים הסטנדרטיים.
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
תרגיל 2

מטריצות מייצגות של T(p)(x)=xp(x)T(p)(x) = xp(x) ושל הנגזרת

הוכח בכיתה
תהיינה T,S∈Hom(F[x],F[x])T,S \in Hom(\mathbb{F}[x],\mathbb{F}[x]) המוגדרות כך: T(p)(x)=xp(x)T(p)(x) = xp(x), S(p)(x)=p′(x)S(p)(x) = p'(x)
א. חשבו את [T]E3E2[T]_{\mathcal{E}_3}^{\mathcal{E}_2} , [S]E3E2[S]_{\mathcal{E}_3}^{\mathcal{E}_2} כאשר E2=(1,x,x2)\mathcal{E}_2 = (1,x,x^2) , E3=(1,x,x2,x3)\mathcal{E}_3 = (1,x,x^2,x^3)
ב. חשבו את [S]E2E3[S]_{\mathcal{E}_2}^{\mathcal{E}_3}
ג. חשבו את [S]E2E3⋅[T]E3E2[S]_{\mathcal{E}_2}^{\mathcal{E}_3} \cdot [T]_{\mathcal{E}_3}^{\mathcal{E}_2} בשתי דרכים.
ד. חשבו את [S2]E1E3[S^2]_{\mathcal{E}_1}^{\mathcal{E}_3} בשתי דרכים. כאשר E1=(1,x)\mathcal{E}_1 = (1,x)
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
תרגיל 3

מטריצת מעבר ודטרמיננטה

הוכח בכיתה
יהי VV מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F}. יהי B=(v1,…,vn)\mathcal{B} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס של VV.
יהיו 0≠α1,…,αn∈F0 \neq \alpha_1, \dots ,\alpha_n \in \mathbb{F} ונגדיר vn+1=α1v1+⋯+αnvnv_{n+1} = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n.
נשים לב ש- C=(v2,v3,…,vn,vn+1)\mathcal{C} = (v_2,v_3, \dots ,v_n,v_{n+1}) הינו בסיס של VV (אין צורך להוכיח).
א. חשבו את [id]BC[id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}
ב. מצאו את det⁡([id]CB)\det\left([id]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\right)
זאת בעצם מטריצת המעבר מ- C\mathcal{C} ל- B\mathcal{B}.
כל מטריצת מעבר היא הפיכה + תכונות דטרמיננטה
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
תרגיל 4

האם המטריצות הבאות דומות?

הוכח בכיתה
האם המטריצות הבאות דומות?
A=(0100)B=(11−1−1)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
תרגיל 5

האם המטריצות הבאות דומות?

הוכח בכיתה
האם המטריצות הבאות דומות?
A=(1101)B=(2102)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
הערה: בהמשך יהיו לנו קריטריונים נוספים להפרכת דמיון מטריצות.
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
משפט 3

יחס הדמיון הוא יחס שקילות

הוכח בכיתה
תהיינה A,B,C∈Mn(F)A,B,C \in M_n(\mathbb{F}). אזי:
(1) רפלקסיביות: A∼AA \sim A.
(2) סימטריה: אם A∼BA \sim B אז B∼AB \sim A
(3) טרנזיטיביות: אם A∼BA \sim B וגם B∼CB \sim C אז A∼CA \sim C
יחס הדמיון הוא יחס שקילות!
A∼BA \sim B אם קיימת P∈Mn(F)P \in M_n(\mathbb{F}) הפיכה שעבורה B=P−1APB = P^{-1}AP
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
משפט 2

מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה

הוכח בכיתה
יהי α∈F\alpha \in \mathbb{F} ותהי A∈Mn(F)A \in M_n(\mathbb{F}). אם A∼αInA \sim \alpha I_n אז A=αInA = \alpha I_n.
מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה.
A∼BA \sim B אם קיימת P∈Mn(F)P \in M_n(\mathbb{F}) הפיכה שעבורה B=P−1APB = P^{-1}AP
דוגמה: המטריצות (2102)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} , (2002)\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} אינן דומות!
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
משפט 3

תכונות הנשמרות תחת דמיון

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ותהיינה A,B∈Mn(F)A,B \in M_n(\mathbb{F}) המקיימות A∼BA \sim B. אזי:
1. trace(A)=trace(B)trace(A) = trace(B)
2. det⁡(A)=det⁡(B)\det(A) = \det(B)
3. At∼BtA^t \sim B^t
4. לכל k∈Nk \in \mathbb{N} מתקיים Ak∼BkA^k \sim B^k.
5. אם A,BA,B הפיכות אז A−1∼B−1A^{-1} \sim B^{-1}.
למטריצות דומות יש אותה דטרמיננטה ואותה עקבה!
מהיות A∼BA \sim B , קיימת P∈Mn(F)P \in M_n(\mathbb{F}) הפיכה שעבורה B=P−1APB = P^{-1}AP. רלוונטי לכל הסעיפים!
trace(AB)=trace(BA)trace(AB) = trace(BA)
(A⋅B)t=Bt⋅At(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t
(A−1)t=(At)−1(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
דוגמה

שוויון עקבה ודטרמיננטה אינו מספיק לדמיון

הוכח בכיתה
נתבונן במטריצות: A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
• חשבו את הדטרמיננטה של כל אחת מהמטריצות.
• חשבו את העקבה של כל אחת מהמטריצות.
• האם המטריצות דומות?
שוויון דטרמיננטות ושוויון עקבות הם תנאים הכרחיים לדמיון אך לא מספיקים!
דוגמה נוספת - המטריצות בדוגמה שליד משפט 2
שבוע 4 · הרצאה 4 · דמיון מטריצות
משפט 4

מטריצות דומות מייצגות את אותו אופרטור

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מ"ו נ"ס ממימד n∈Nn \in \mathbb{N} מעל F\mathbb{F}. יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A} = (v_1, \dots ,v_n) בסיס סדור של VV.
תהיינה K1,K2∈Mn(F)K_1,K_2 \in M_n(\mathbb{F}).
אזי K1∼K2K_1 \sim K_2 אם"ם קיים אופרטור לינארי T∈Hom(V,V)T \in Hom(V,V) ו- B\mathcal{B} בסיס סדור של VV כך שמתקיים:
K1=[T]AA , K2=[T]BB.K_1 = [T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}\ ,\ K_2 = [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}.
טענה: שתי מטריצות הן דומות אם"ם הן מייצגות את אותו אופרטור לינארי בבסיסים שונים.
האופרטור הוא זה שמגדיר את מחלקות השקילות!
המטריצה PP היא מטריצת המעבר בין הבסיסים!
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
משפט 4

שתי מטריצות דומות אם"ם הן מייצגות את אותו אופרטור לינארי

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה ויהי VV מ"ו נ"ס ממימד n∈Nn\in\mathbb{N} מעל F\mathbb{F} . יהי A=(v1,…,vn)\mathcal{A}=(v_1,\dots,v_n) בסיס סדור של VV .
תהיינה K1,K2∈Mn(F)K_1,K_2\in M_n(\mathbb{F}) .
אזי K1∼K2K_1\sim K_2 אם"ם קיים אופרטור לינארי T∈Hom(V,V)T\in\mathrm{Hom}(V,V) ו-B\mathcal{B} בסיס סדור של VV כך שמתקיים:
K1=[T]AA , K2=[T]BBK_1=[T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}\ ,\ K_2=[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} .
שתי מטריצות הן דומות אם"ם הן מייצגות את אותו אופרטור לינארי בבסיסים שונים.
האופרטור הוא זה שמגדיר את מחלקות השקילות!
המטריצה P\boldsymbol{P} היא מטריצת המעבר בין הבסיסים!
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
תרגיל 1

האם המטריצה הבאה לכסינה?

A=(1232)A=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}
מסקנה חשובה: המטריצה המלכסנת P\boldsymbol{P} אינה יחידה!
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
תרגיל 2

האם המטריצה הבאה לכסינה?

A=(0100)A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
תרגיל 3

חישוב A50 mod 3A^{50}\bmod 3

נתבונן במטריצה A=(1232)A=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}
חשבו את A50mod3A^{50}mod3
אם A∼B\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B} אזי לכל k∈N\boldsymbol{k}\in\mathbb{N} מתקיים Ak∼Bk\boldsymbol{A^k}\sim\boldsymbol{B^k} (ע"י אותה מטריצה הפיכה P\boldsymbol{P} ).
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
משפט 2

תנאי שקול ללכסינות

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . אזי:
∙\bullet AA לכסינה אם ורק אם קיים בסיס v⃗1,…,v⃗n∈Fn\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\in\mathbb{F}^n של וקטורים עצמיים של AA .
∙\bullet בנוסף, אם λ1,…,λn∈F\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{F} הם הע"ע של AA בהתאמה ואם נבחר את P=(v⃗1,…,v⃗n)P=(\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n) אזי P−1AP=diag(λ1,…,λn)P^{-1}AP=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) .
איך הכל מתחבר? אם A\boldsymbol{A} לכסינה, אז היא דומה למטריצה אלכסונית D\boldsymbol{D} ומתקיים:
D=P−1AP\boldsymbol{D}=\boldsymbol{P^{-1}AP} (P\boldsymbol{P} נקראת גם המטריצה המלכסנת)
(λ10⋱0λn)=(■…■⋮⋱⋮■…■)⋅A⋅(∣∣v⃗1…v⃗n∣∣)\begin{pmatrix}\boldsymbol{\lambda_1}& &\boldsymbol{0}\\ &\ddots& \\ \boldsymbol{0}& &\boldsymbol{\lambda_n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\blacksquare&\dots&\blacksquare\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \blacksquare&\dots&\blacksquare\end{pmatrix}\cdot\boldsymbol{A}\cdot\begin{pmatrix}|& &|\\ \boldsymbol{\vec{v}_1}&\dots&\boldsymbol{\vec{v}_n}\\ |& &|\end{pmatrix} בסיס ל-Fn\mathbb{F}^n
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
תרגיל 4

אם A2=−InA^2=-I_n אז AA לא לכסינה

תהי A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) . נניח ש-A2=−InA^2=-I_n .
הוכיחו ש-AA לא לכסינה.
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
משפט 3

לערכים עצמיים שונים מתאימים וקטורים עצמיים בת"ל

הוכח בכיתה
תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . יהיו λ1,…,λk∈F\lambda_1,\dots,\lambda_k\in\mathbb{F} kk ערכים עצמיים שונים של AA ויהיו v⃗1,…,v⃗k∈Fn\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k\in\mathbb{F}^n וקטורים עצמיים המתאימים להם. כלומר Av⃗i=λiv⃗iA\vec{v}_i=\lambda_i\vec{v}_i לכל 1≤i≤k1\le i\le k .
אזי v1,…,vkv_1,\dots,v_k בת"ל.
לערכים עצמיים שונים מתאימים וקטורים עצמיים שונים ובת"ל!
k\boldsymbol{k} הוא מספר הערכים העצמיים השונים של A\boldsymbol{A} .
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
תרגיל 4

הוכיחו ש-λ1,2=±3\lambda_{1,2}=\pm3 הם ע"ע ומצאו PP מלכסנת

תהי A=(124−1)A=\begin{pmatrix}1&2\\4&-1\end{pmatrix}
הוכיחו ש-λ1,2=±3\lambda_{1,2}=\pm3 הם ע"ע של AA ומצאו מטריצה הפיכה P∈M2(R)P\in M_2(\mathbb{R}) כך ש-P−1AP=diag(−3,3)P^{-1}AP=diag(-3,3) .
Av⃗=λv⃗\boldsymbol{A\vec{v}}=\boldsymbol{\lambda\vec{v}}
שבוע 5 · הרצאה 5 · דמיון מטריצות, לכסון וערכים עצמיים
משפט 4

המרחב העצמי הוא תמ"ו ושווה ל-Null(λIn−A)Null(\lambda I_n-A)

הוכח בכיתה
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, תהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} ותהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . אזי: VλV_\lambda הוא תמ"ו של Fn\mathbb{F}^n .
∙\bullet בנוסף: Vλ=Null(λIn−A)\boldsymbol{V_\lambda}=\boldsymbol{Null}(\boldsymbol{\lambda I_n}-\boldsymbol{A})
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
משפט 1

הע"ע הם שורשים של הפולינום האופייני

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) ויהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} .
אזי: λ\lambda ע"ע של AA אם"ם pA(λ)=0Fp_A(\lambda)=0_{\mathbb{F}} .
הע"ע הם שורשים של הפולינום האופייני.
pA(λ)=det⁡(λIn−A)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\mathbf{\det}(\boldsymbol{\lambda I_n}-\boldsymbol{A})
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
תרגיל 1

קביעת לכסינות באמצעות הפולינום האופייני והמרחב העצמי

תהי A=(2102)∈M2(R)A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R}) .
קבעו האם קיימת מטריצה הפיכה P∈M2(R)P\in M_2(\mathbb{R}) כך ש-P−1APP^{-1}AP אלכסונית.
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
תרגיל 1

עוד פתרון - דמיון למטריצה סקלרית

תהי A=(2102)∈M2(R)A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R}) .
קבעו האם קיימת מטריצה הפיכה P∈M2(R)P\in M_2(\mathbb{R}) כך ש-P−1APP^{-1}AP אלכסונית.
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
תרגיל 2

ערכים עצמיים, בסיס למרחב העצמי וקביעת לכסינות

תהי A=(22−213−1111)∈M3(R)A=\begin{pmatrix}2&2&-2\\1&3&-1\\1&1&1\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{R}) .
חשבו את כל הערכים העצמיים של AA . לכל ערך עצמי חשבו את הבסיס למרחב העצמי שלו וקבעו אם AA לכסינה.
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
למה 1

דטרמיננטה של מטריצת פולינומים ממעלה ראשונה

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} . תהי A∈Mn(F1[x])A\in M_n(\mathbb{F}_1[x]) .
אזי det⁡(A)∈Fn[x]\det(A)\in\mathbb{F}_n[x] .
הערה: A\boldsymbol{A} היא מטריצה שאיבריה הם פולינומים ממעלה ראשונה לכל היותר.
למשל: deg⁡∣1−x31+x2∣=1\deg\begin{vmatrix}1-x&3\\1+x&2\end{vmatrix}=1 , deg⁡∣1+x121−x∣=2\deg\begin{vmatrix}1+x&1\\2&1-x\end{vmatrix}=2
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
משפט 2

הפולינום האופייני הוא מתוקן ממעלה nn

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} . תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
אזי pAp_A הוא פולינום מתוקן ממעלה n\boldsymbol{n} .
הפולינום האופייני הוא מתוקן והוא ממעלה n\boldsymbol{n} בדיוק!
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
משפט 3

נוסחת BinetBinet לסדרת פיבונאצ'י

הוכח בכיתה
∙\bullet נתבונן בסדרת פיבונאצ'י המוגדרת על ידי נוסחת הנסיגה הבאה: {Fn=Fn−1+Fn−2∀n≥2F1=1F0=0\begin{cases}F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\quad \forall n\ge2\\ F_1=1\\ F_0=0\end{cases}
∙\bullet אזי לכל n∈Nn\in\mathbb{N} מתקיים: Fn=(1+52)n−(1−52)n5\boldsymbol{F_n}=\dfrac{\left(\dfrac{\boldsymbol{1+\sqrt{5}}}{\boldsymbol{2}}\right)^{\boldsymbol{n}}-\left(\dfrac{\boldsymbol{1-\sqrt{5}}}{\boldsymbol{2}}\right)^{\boldsymbol{n}}}{\boldsymbol{\sqrt{5}}}
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
משפט 4

הפולינום האופייני של מטריצת בלוקים משולשית

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי AA מטריצת בלוקים משולשית, שהבלוקים שלה הם מטריצות ריבועיות A1,…,AkA_1,\dots,A_k .
∙\bullet כלומר AA היא מהצורה: A=(A1∗…∗A2…⋮⋱∗0Ak)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}A_1&*&\dots&*\\ &A_2&\dots&\vdots\\ &&\ddots&*\\ \boldsymbol{0}&&&A_k\end{pmatrix}
∙\bullet אזי: pA(λ)=pA1(λ)⋅⋯⋅pAk(λ)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\boldsymbol{p_{A_1}}(\boldsymbol{\lambda})\cdot\dots\cdot\boldsymbol{p_{A_k}}(\boldsymbol{\lambda})
הפולינום האופייני של מטריצת בלוקים משולשית הוא מכפלת הפולינומים האופייניים של הבלוקים.
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
מסקנה 1

ע"ע וז"ע של מטריצה אלכסונית

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A=diag(λ1,…,λn)A=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) מטריצה אלכסונית.
∙\bullet אזי AA לכסינה, הערכים העצמיים של AA הם λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n והזוגות העצמיים של AA הם (λ1,e⃗1),…,(λn,e⃗n)(\lambda_1,\vec{e}_1),\dots,(\lambda_n,\vec{e}_n) .
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
תרגיל 3

תנאי ללכסינות של מטריצה משולשית 2×22\times2

יהיו α,λ1,λ2∈R\alpha,\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R} ונתבונן במטריצה: A=(λ1α0λ2)A=\begin{pmatrix}\lambda_1&\alpha\\0&\lambda_2\end{pmatrix}
הוכיחו ש-AA לכסינה אם ורק אם λ1≠λ2\lambda_1\ne\lambda_2 או (λ1=λ2\lambda_1=\lambda_2 וגם α=0\alpha=0 .)
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
משפט 5

למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} . תהיינה A,B∈Mn(F)A,B\in M_n(\mathbb{F}) , המקיימות A∼BA\sim B .
אזי pA(λ)=pB(λ)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\boldsymbol{p_B}(\boldsymbol{\lambda}) .
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: המטריצות הן דומות

הוכיחו או הפריכו: המטריצות A=(−1320),B=(230−1)A=\begin{pmatrix}-1&3\\2&0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2&3\\0&-1\end{pmatrix} הן דומות.
שבוע 6 · הרצאה 6 · הפולינום האופייני
מסקנה 5

הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים מעל המרוכבים

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(C)A\in M_n(\mathbb{C}) .
∙\bullet אזי קיימים λ1,…,λn∈C\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{C} כך ש-pA(λ)=(λ−λ1)⋅⋯⋅(λ−λn)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=(\boldsymbol{\lambda}-\boldsymbol{\lambda_1})\cdot\dots\cdot(\boldsymbol{\lambda}-\boldsymbol{\lambda_n})
כל פ"א מתפרק לגורמים לינאריים מעל המרוכבים.
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
משפט 4

תזכורת - הפולינום האופייני של מטריצת בלוקים

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי AA מטריצת בלוקים משולשית, שהבלוקים שלה הם מטריצות ריבועיות A1,…,AkA_1,\dots,A_k .
∙\bullet כלומר AA היא מהצורה: A=(A1∗…∗A2…⋮⋱∗0Ak)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}A_1&*&\dots&*\\ &A_2&\dots&\vdots\\ &&\ddots&*\\ \boldsymbol{0}&&&A_k\end{pmatrix}
∙\bullet אזי: pA(λ)=pA1(λ)⋅⋯⋅pAk(λ)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\boldsymbol{p_{A_1}}(\boldsymbol{\lambda})\cdot\dots\cdot\boldsymbol{p_{A_k}}(\boldsymbol{\lambda})
הפולינום האופייני של מטריצת בלוקים משולשית הוא מכפלת הפולינומים האופייניים של הבלוקים.
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
מסקנה 1

ע"ע וז"ע של מטריצה אלכסונית

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A=diag(λ1,…,λn)A=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) מטריצה אלכסונית.
∙\bullet אזי AA לכסינה, הערכים העצמיים של AA הם λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n והזוגות העצמיים של AA הם (λ1,e⃗1),…,(λn,e⃗n)(\lambda_1,\vec{e}_1),\dots,(\lambda_n,\vec{e}_n) .
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
תרגיל 3

תנאי ללכסינות של מטריצה משולשית 2×22\times2

יהיו α,λ1,λ2∈R\alpha,\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R} ונתבונן במטריצה: A=(λ1α0λ2)A=\begin{pmatrix}\lambda_1&\alpha\\0&\lambda_2\end{pmatrix}
הוכיחו ש-AA לכסינה אם ורק אם λ1≠λ2\lambda_1\ne\lambda_2 או (λ1=λ2\lambda_1=\lambda_2 וגם α=0\alpha=0 .)
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
משפט 5

למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} . תהיינה A,B∈Mn(F)A,B\in M_n(\mathbb{F}) , המקיימות A∼BA\sim B .
אזי pA(λ)=pB(λ)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\boldsymbol{p_B}(\boldsymbol{\lambda}) .
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: המטריצות הן דומות

הוכיחו או הפריכו: המטריצות A=(−1320),B=(230−1)A=\begin{pmatrix}-1&3\\2&0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2&3\\0&-1\end{pmatrix} הן דומות.
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
מסקנה 5

הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים מעל המרוכבים

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(C)A\in M_n(\mathbb{C}) .
∙\bullet אזי קיימים λ1,…,λn∈C\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{C} כך ש-pA(λ)=(λ−λ1)⋅⋯⋅(λ−λn)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=(\boldsymbol{\lambda}-\boldsymbol{\lambda_1})\cdot\dots\cdot(\boldsymbol{\lambda}-\boldsymbol{\lambda_n})
כל פ"א מתפרק לגורמים לינאריים מעל המרוכבים.
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
תרגיל 1

שורשים וריבוי אלגברי ב-Z3\mathbb{Z}_3

נתבונן בפולינום p(x)=1+x+x2∈Z3[x]p(x)=1+x+x^2\in\mathbb{Z}_3[x] .
מצאו את כל השורשים של p(x)p(x) ב-Z3\mathbb{Z}_3 ואת הריבוי האלגברי שלהם.
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
תרגיל 2

שורשים וריבוי אלגברי ב-R\mathbb{R}

נתבונן בפולינום p(x)=1+x+x2∈R[x]p(x)=1+x+x^2\in\mathbb{R}[x] .
מצאו את כל השורשים של p(x)p(x) ב-R\mathbb{R} ואת הריבוי האלגברי שלהם.
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
תרגיל 3

שורשים וריבוי אלגברי ב-C\mathbb{C}

נתבונן בפולינום p(x)=1+x+x2∈C[x]p(x)=1+x+x^2\in\mathbb{C}[x] .
מצאו את כל השורשים של p(x)p(x) ב-C\mathbb{C} ואת הריבוי האלגברי שלהם.
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
משפט 1

GM(α)=n−rank(αIn−A)GM(\alpha)=n-rank(\alpha I_n-A)

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) ויהי α∈F\alpha\in\mathbb{F} . אזי:
GM(α)=n−rank(α⋅In−A)\boldsymbol{GM}(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{n}-\boldsymbol{rank}(\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{I_n}-\boldsymbol{A})
מספר המשתנים החופשיים שווה ל-n−rank\boldsymbol{n}-\boldsymbol{rank}(מטריצה)
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
משפט 2

ר"ג ≤\le ר"א

הוכח בכיתה
יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} . תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) . ויהי α∈F\alpha\in\mathbb{F} .
אזי GM(α)≤AM(α)\boldsymbol{GM}(\boldsymbol{\alpha})\le\boldsymbol{AM}(\boldsymbol{\alpha}) .
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
משפט 3

איחוד הבסיסים של מרחבים עצמיים של ע"ע שונים הוא בת"ל

הוכח בכיתה
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} . תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
∙\bullet יהיו λ1,…,λk∈F\lambda_1,\dots,\lambda_k\in\mathbb{F} ע"ע של AA השונים זה מזה.
∙\bullet יהיו Vλ1,Vλ2…,VλkV_{\lambda_1},V_{\lambda_2}\dots,V_{\lambda_k} המרחבים העצמיים המתאימים ל-λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k .
∙\bullet יהיו l1,…,lkl_1,\dots,l_k הריבויים הגיאומטריים של λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k בהתאמה.
∙\bullet נסמן: l1+l2+⋯+lk=rl_1+l_2+\dots+l_k=r
∙\bullet נסמן את הבסיסים של Vλ1,…,VλkV_{\lambda_1},\dots,V_{\lambda_k} באופן הבא:
v⃗1,…,v⃗l1∈Vλ1\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_{l_1}\in V_{\lambda_1} בסיס ל-Vλ1V_{\lambda_1}
v⃗l1+1,…,v⃗l1+l2∈Vλ2\vec{v}_{l_1+1},\dots,\vec{v}_{l_1+l_2}\in V_{\lambda_2} בסיס ל-Vλ2V_{\lambda_2}
⋮\vdots
v⃗l1+l2+⋯+lk−1+1,…,v⃗r∈Vλk\vec{v}_{l_1+l_2+\dots+l_{k-1}+1},\dots,\vec{v}_r\in V_{\lambda_k} בסיס ל-VλkV_{\lambda_k}
∙\bullet אזי v⃗1,…,v⃗r\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_r בת"ל.
איחוד הבסיסים של מרחבים עצמיים של ע"ע שונים הוא קבוצה בת"ל.
(סכום המרחבים העצמיים הוא סכום ישר)
k\boldsymbol{k} הוא מספר הערכים העצמיים השונים של A\boldsymbol{A} .
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
משפט 4

שלושה תנאים שקולים ללכסינות

הוכח בכיתה
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה. יהי n∈Nn\in\mathbb{N} ותהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) .
∙\bullet יהיו λ1,…,λk∈F\lambda_1,\dots,\lambda_k\in\mathbb{F} כל הע"ע של AA השונים זה מזה.
∙\bullet יהיו l1,…,lkl_1,\dots,l_k הריבויים הגיאומטריים של λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k בהתאמה.
אזי שלושת התנאים הבאים שקולים:
1. l1+l2+⋯+lk=nl_1+l_2+\dots+l_k=n .
2. AA לכסינה.
3. הפולינום האופייני של AA מתפרק לגורמים לינאריים באופן הבא: pA(λ)=(λ−λ1)l1⋅⋯⋅(λ−λk)lkp_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{l_1}\cdot\dots\cdot(\lambda-\lambda_k)^{l_k}
סכום הר"ג הוא n\boldsymbol{n} ⇕\Updownarrow המטריצה לכסינה ⇕\Updownarrow הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים כמתואר
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
מסקנה 1

מעל C\mathbb{C} : AA לכסינה אם"ם לכל ע"ע GM(λ)=AM(λ)GM(\lambda)=AM(\lambda)

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(C)A\in M_n(\mathbb{C}) . אזי AA לכסינה אם ורק אם לכל ערך עצמי λ\lambda של AA מתקיים GM(λ)=AM(λ)\boldsymbol{GM}(\boldsymbol{\lambda})=\boldsymbol{AM}(\boldsymbol{\lambda}) .
שבוע 7 · הרצאה 7 · ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי
תרגיל 4

ממבחן 2022 מועד ב' - ע"ע, ריבויים ולכסינות כתלות ב-aa

נתבונן במטריצה A=(a20a02a000a+2)∈M3(R)A=\begin{pmatrix}a^2&0&a\\0&2a&0\\0&0&a+2\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{R}) .
א. (6 נקודות) לכל a∈Ra\in\mathbb{R} מצאו את הע"ע של AA ואת הריבויים האלגבריים המתאימים.
ב. (7 נקודות) מצאו עבור אילו ערכי a∈Ra\in\mathbb{R} המטריצה AA לכסינה. לכל aa כזה מצאו מטריצה אלכסונית דומה ל-AA .
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
תרגיל 1

הצבת מטריצות בפולינומים

K1=(1232)\boldsymbol{K_1}=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix} , K2=(010001000)\boldsymbol{K_2}=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
למה 1

העלאה בחזקה משמרת זוג עצמי

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) , תהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} .
∙\bullet נניח ש-(λ,v⃗)(\lambda,\vec{v}) הוא זוג עצמי של AA .
∙\bullet אזי: לכל k∈Nk\in\mathbb{N} מתקיים: (λk,v⃗)(\boldsymbol{\lambda^k},\boldsymbol{\vec{v}}) הוא זוג עצמי של Ak\boldsymbol{A^k} .
לא פורמלי: העלאה בחזקה משמרת את הקשר בין מטריצה לערך העצמי שלה.
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
משפט 1

הצבה בפולינום משמרת זוג עצמי

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) , תהי λ∈F\lambda\in\mathbb{F} ויהי p(x)∈F[x]p(x)\in\mathbb{F}[x] .
∙\bullet נניח ש-(λ,v⃗)(\lambda,\vec{v}) הוא זוג עצמי של AA .
∙\bullet אזי: (p(λ),v⃗)(\boldsymbol{p}(\boldsymbol{\lambda}),\boldsymbol{\vec{v}}) הוא זוג עצמי של p(A)\boldsymbol{p}(\boldsymbol{A}) .
לא פורמלי: הצבה בפולינום משמרת את הקשר בין מטריצה לערך העצמי שלה.
תזכורת: p(A)\boldsymbol{p}(\boldsymbol{A}) זו מטריצה!
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
מסקנה 1

אם AA לכסינה אז p(A)p(A) לכסינה באותה מטריצה מלכסנת

הוכח בכיתה
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) ויהי p(x)∈F[x]p(x)\in\mathbb{F}[x] .
∙\bullet נניח ש-AA לכסינה.
∙\bullet אזי p(A)p(A) לכסינה והמטריצה המלכסנת זהה.
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
משפט 2

משפט קיילי המילטון

הוכח בכיתה
∙\bullet יהי F\mathbb{F} שדה, יהי n∈Nn\in\mathbb{N} .
∙\bullet תהי A∈Mn(F)A\in M_n(\mathbb{F}) ויהי pA(λ)p_A(\lambda) הפולינום האופייני של AA .
∙\bullet אזי pA(A)=0np_A(A)=0_n .
כל מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה.
דוגמאות: A=I3\boldsymbol{A}=I_3 : pA(λ)=∣λ−1000λ−1000λ−1∣=(λ−1)3\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\begin{vmatrix}\lambda-1&0&0\\0&\lambda-1&0\\0&0&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)^3 , pA(I3)=(I3−I3)3=03\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{I_3})=(I_3-I_3)^3=0_3
A=(123456789)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix} : pA(λ)=∣λ−1−2−3−4λ−5−6−7−8λ−9∣=⋯=λ(λ2−15λ−18)\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{\lambda})=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2&-3\\-4&\lambda-5&-6\\-7&-8&\lambda-9\end{vmatrix}=\dots=\lambda(\lambda^2-15\lambda-18) , pA(A)=A(A2−15A−18I3)=⋯=03\boldsymbol{p_A}(\boldsymbol{A})=A(A^2-15A-18I_3)=\dots=0_3
רקע היסטורי: במאמר משנת 1855 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות מסדר 2×22\times2 .
הוא מציין שבדק את הטענה גם עבור מטריצות מסדר 3×33\times3 אך "לא מצא לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל סדר".
מעט לאחר מכן גילה המילטון את נכונות המשפט עבור מטריצות מסדר 4×44\times4 .
את המקרה הכללי הוכיח פרדיננד ג'ורג' פרובניוס ב-1878 .
ארתור קיילי 1821-1895 , וויליאם רואן המילטון 1805-1865
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
תרגיל 3

ביטוי A−1A^{-1} כצירוף של I3,A,A2I_3,A,A^2

תהי A=(123045006)A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix} . מצאו a,b,c∈Ra,b,c\in\mathbb{R} כך ש-A−1=aI3+bA+cA2A^{-1}=aI_3+bA+cA^2 .
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
תרגיל

הכללת התרגיל - A−1A^{-1} כצירוף של In,A,A2,…,An−1I_n,A,A^2,\dots,A^{n-1}

תהי A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) מטריצה הפיכה.
השתמשו במשפט קיילי המילטון והוכיחו ש-A−1A^{-1} היא צירוף של המטריצות In,A,A2,…,An−1I_n,A,A^2,\dots,A^{n-1} .
0 הוא ע"ע אם"ם המטריצה לא הפיכה.
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
משפט 3

TT לכסינה אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה לכסינה

הוכח בכיתה
∙\bullet יהי VV מ"ו נ"ס מעל שדה F\mathbb{F} ויהי T:V→VT:V\to V אופרטור לינארי.
∙\bullet יהי A\mathcal{A} בסיס סדור של VV .
∙\bullet אזי TT לכסינה אם ורק אם [T]AA[T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} לכסינה.
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
תרגיל 4

האם TT לכסין?

יהי האופרטור הלינארי T:R3→R3T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 המוגדר כך:
T(xyz)=(yx0)∀x,y,z,∈RT\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\x\\0\end{pmatrix}\qquad \forall x,y,z,\in\mathbb{R}
האם TT לכסין?
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
משפט 4

תתי-מרחבים שמורים תחת TT

הוכח בכיתה
∙\bullet יהי VV מ"ו מעל שדה F\mathbb{F} ויהי T:V→VT:V\to V אופרטור לינארי. אזי:
1. VV שמור תחת TT .
2. {0V}\{0_V\} שמור תחת TT .
3. Ker(T)Ker(T) שמור תחת TT .
4. Im(T)Im(T) שמור תחת TT .
5. לכל λ∈F\lambda\in\mathbb{F} , המרחב העצמי VλV_\lambda שמור תחת TT .
W\boldsymbol{W} שמור תחת T\boldsymbol{T} אם לכל w∈W\boldsymbol{w}\in\boldsymbol{W} מתקיים: T(w)∈W\boldsymbol{T}(\boldsymbol{w})\in\boldsymbol{W}
שבוע 8 · הרצאה 8 · הצבת מטריצה בפולינום ומשפט קיילי-המילטון
תרגיל 5

הוכיחו ש-WW שמור תחת TT

יהי האופרטור הלינארי T:R3→R3T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 המוגדר כך:
T(xyz)=(yx0)∀x,y,z,∈RT\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\x\\0\end{pmatrix}\qquad \forall x,y,z,\in\mathbb{R}
הוכיחו ש-W={(xy0) | x,y,∈R}W=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}\ \middle|\ x,y,\in\mathbb{R}\right\} שמור תחת TT .
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
הערה

לא ניתן להגדיר סימטריה רגילה מעל C\mathbb{C}

שימו לב:
לא היה ניתן להגדיר סימטריה רגילה מעל C\mathbb{C}.
אם תכונת ההרמיטיות היתה סימטריה, היינו מקבלים סתירה.
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
דוגמה

חישוב לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית

חשבו לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית:
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 1

Fn\mathbf{F}^n עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית הוא ממ"פ

הוכח בכיתה
לכל v⃗=(v1⋮vn),u⃗=(u1⋮un),w⃗=(w1⋮wn)∈Fn\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n\end{pmatrix},\vec u=\begin{pmatrix}u_1\\ \vdots\\ u_n\end{pmatrix},\vec w=\begin{pmatrix}w_1\\ \vdots\\ w_n\end{pmatrix}\in\mathbf{F}^n ולכל α∈F\alpha\in\mathbf{F}
Fn\mathbf{F}^n יחד עם ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle הינו מרחב מכפלה פנימית.
⟨v⃗,u⃗⟩=∑i=1nviuˉi\langle\vec v,\vec u\rangle=\sum_{i=1}^{n}v_i\bar u_i
הערה: ניתן להוכיח את כל התכונות גם בהתבסס על ההגדרה: ⟨v⃗,u⃗⟩=(u⃗)‾ t⋅v⃗\langle\vec v,\vec u\rangle=\overline{(\vec u)}^{\,t}\cdot\vec v במקום לפי הסיגמאות. נסו לבד!
אפשר גם להוכיח בבת אחת לפי תבנית של לינאריות.
1. z1+z2‾=zˉ1+zˉ2\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2 2. z1⋅z2‾=zˉ1⋅zˉ2\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2 3. zˉˉ=z\bar{\bar z}=z
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
דוגמה

חישוב מכפלה פנימית של מטריצות

דוגמאות: חשבו:
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 2

המכפלה הסטנדרטית ב-Mm×n(F)M_{m\times n}(\mathbf{F}) היא מכפלה פנימית (ללא הוכחה)

יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה.
לכל A,B∈Mm×n(F)A,B\in M_{m\times n}(\mathbf{F}) ההגדרה מהעמוד הקודם מהווה מכפלה פנימית על Mm×n(F)M_{m\times n}(\mathbf{F}).
⟨A,B⟩=trace(Bt‾A)\langle A,B\rangle=trace\left(\overline{B^t}A\right)
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
תרגיל 1

פונקציה שאינה ממ"פ

נגדיר את הפונקציה הבאה ב-R2\mathbb{R}^2 (מעל R\mathbb{R}) ⟨⋅,⋅⟩:R2→R\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} לכל u⃗=(u1u2),v⃗=(v1v2)\vec u=\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix},\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}:
⟨u⃗,v⃗⟩=u1v2+u2v1\langle\vec u,\vec v\rangle=u_1v_2+u_2v_1
הוכיחו ש-⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle אינו ממ"פ.
הערה: גם אם היינו מקבלים שהמכפלה של וקטור עם עצמו תמיד גדולה שווה 0 זה לא בהכרח אומר שיש חיוביות לחלוטין. צריך גם להראות שרק 0 מאפס.
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
תרגיל 2

הוכחה שפונקציה היא מ"פ ב-R2\mathbb{R}^2

נגדיר את הפונקציה הבאה ב-R2\mathbb{R}^2 (מעל R\mathbb{R}) לכל u⃗=(u1u2),v⃗=(v1v2)\vec u=\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix},\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}:
⟨u⃗,v⃗⟩=u1v1−u2v1−u1v2+4u2v2\langle\vec u,\vec v\rangle=u_1v_1-u_2v_1-u_1v_2+4u_2v_2
הוכיחו שזו מ"פ ב-R2\mathbb{R}^2.
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 3

הכללת לינאריות בשני הרכיבים

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. אזי לכל u1,…,uk,v∈Vu_1,\dots,u_k,v\in V ולכל α1,…,αk∈F\alpha_1,\dots,\alpha_k\in\mathbf{F} מתקיים:
א. ⟨α1u1+⋯+αkuk,v⟩=α1⟨u1,v⟩+⋯+αk⟨uk,v⟩\langle\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k,v\rangle=\alpha_1\langle u_1,v\rangle+\cdots+\alpha_k\langle u_k,v\rangle (הכללת לינאריות ברכיב הראשון)
ב. ⟨v,α1u1+⋯+αkuk⟩=α1‾⟨v,u1⟩+⋯+αk‾⟨v,uk⟩\langle v,\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k\rangle=\overline{\alpha_1}\langle v,u_1\rangle+\cdots+\overline{\alpha_k}\langle v,u_k\rangle (ברכיב השני המקדמים הם צמודים)
1. z1+z2‾=zˉ1+zˉ2\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2
2. z1⋅z2‾=zˉ1⋅zˉ2\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 4

מכפלה פנימית עם וקטור האפס

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}.
אזי לכל v∈Vv\in V מתקיים ⟨v,0V⟩=⟨0V,v⟩=0F\langle v,0_V\rangle=\langle 0_V,v\rangle=0_{\mathbf{F}}.
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 5

צמצום במכפלה פנימית

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}.
1. יהיו u1,u2∈Vu_1,u_2\in V. אם לכל v∈Vv\in V מתקיים: ⟨u1,v⟩=⟨u2,v⟩\langle u_1,v\rangle=\langle u_2,v\rangle אזי u1=u2u_1=u_2.
2. יהיו v1,v2∈Vv_1,v_2\in V. אם לכל u∈Vu\in V מתקיים: ⟨u,v1⟩=⟨u,v2⟩\langle u,v_1\rangle=\langle u,v_2\rangle אזי v1=v2v_1=v_2.
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
תרגיל

חישוב נורמות סטנדרטיות

חשבו את הנורמות הסטנדרטיות הבאות:
z⋅zˉ=∣z∣2z\cdot\bar z=|z|^2
∣a+bi∣=a2+b2|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 6

תכונות הנורמה

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. אזי:
1. לכל α∈F\alpha\in\mathbf{F}, u∈Vu\in V מתקיים ∥αu∥=∣α∣⋅∥u∥\|\alpha u\|=|\alpha|\cdot\|u\|
2. לכל u∈Vu\in V מתקיים: ∥u∥=0 ⇔ u=0V\|u\|=0\ \Leftrightarrow\ u=0_V
נסמן: z=x+yiz=x+yi. מתקיים: z⋅zˉ=x2+y2=∣z∣2z\cdot\bar z=x^2+y^2=|z|^2
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
תרגיל 3

פיתוח ∥u±v∥2\|u\pm v\|^2 במרחב אוקלידי

יהי VV מרחב אוקלידי. הוכיחו שלכל u,v∈Vu,v\in V מתקיים:
∥u±v∥2=∥u∥2±2⟨u,v⟩+∥v∥2\|u\pm v\|^2=\|u\|^2\pm 2\langle u,v\rangle+\|v\|^2
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
משפט 7

אי-שוויון קושי-שוורץ

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי מ"ו VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. יהיו u,v∈Vu,v\in V. אזי: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\|
השוויון מתקיים אם"ם u,vu,v ת"ל.
תזכורות: 1. w=u−⟨u,v⟩∥v∥2⋅vw=u-\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}\cdot v 2. ⟨w,v⟩=0\langle w,v\rangle=0
צ"ל: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\|
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
תרגיל 4

אשק"ש בארבעה משתנים ממשיים

הוכיחו שלכל x,y,z,w∈Rx,y,z,w\in\mathbb{R} מתקיים:
xy+zw≤x2+z2⋅y2+w2xy+zw\le\sqrt{x^2+z^2}\cdot\sqrt{y^2+w^2}
בנוסף הוכיחו ששוויון מתקיים אם"ם xw−yz=0xw-yz=0.
שבוע 9 · הרצאה 9 · מרחב מכפלה פנימית
תרגיל 5

אי-שוויון a2+b2+c2≥13a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}

הוכיחו שלכל a,b,c≥0a,b,c\ge 0 המקיימים a+b+c=1a+b+c=1 מתקיים:
a2+b2+c2≥13a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
תרגיל 1

פיתוח ∥u±v∥2\|u\pm v\|^2 במרחב אוקלידי

יהי VV מרחב אוקלידי. הוכיחו שלכל u,v∈Vu,v\in V מתקיים:
∥u±v∥2=∥u∥2±2⟨u,v⟩+∥v∥2\|u\pm v\|^2=\|u\|^2\pm 2\langle u,v\rangle+\|v\|^2
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
תרגיל 2

זהות הקיטוב - ביטוי מכפלה פנימית בעזרת נורמות

יהי VV מרחב אוקלידי. הוכיחו שלכל u,v∈Vu,v\in V מתקיים:
⟨u,v⟩=14∥u+v∥2−14∥u−v∥2\langle u,v\rangle=\frac{1}{4}\|u+v\|^2-\frac{1}{4}\|u-v\|^2
שימו לב: זה אומר שניתן לבטא כל מכפלה פנימית רק על ידי שימוש בנורמות.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
משפט 1

אי-שוויון קושי-שוורץ

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי מ"ו VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. יהיו u,v∈Vu,v\in V. אזי: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\|
השוויון מתקיים אם"ם u,vu,v ת"ל.
תזכורות: 1. w=u−⟨u,v⟩∥v∥2⋅vw=u-\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}\cdot v 2. ⟨w,v⟩=0\langle w,v\rangle=0
צ"ל: ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥⋅∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\cdot\|v\|
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
דוגמה

הדגמת אשק"ש ב-C3\mathbb{C}^3

הדגימו את אשק"ש לפי המכפלה הסטנדרטית עבור הוקטורים u=(i0i),v=(11i)∈C3u=\begin{pmatrix}i\\ 0\\ i\end{pmatrix},v=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ i\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^3.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
תרגיל 3

אשק"ש בארבעה משתנים ממשיים

הוכיחו שלכל x,y,z,w∈Rx,y,z,w\in\mathbb{R} מתקיים:
xy+zw≤x2+z2⋅y2+w2xy+zw\le\sqrt{x^2+z^2}\cdot\sqrt{y^2+w^2}
בנוסף הוכיחו ששוויון מתקיים אם"ם xw−yz=0xw-yz=0.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
תרגיל 4

אי-שוויון a2+b2+c2≥13a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}

הוכיחו שלכל a,b,c≥0a,b,c\ge 0 המקיימים a+b+c=1a+b+c=1 מתקיים:
a2+b2+c2≥13a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
משפט 2

אי-שוויון המשולש

הוכח בכיתה
יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי מ"ו VV ממ"פ מעל F\mathbf{F}. יהיו u,v∈Vu,v\in V. אזי: ∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|
∥v∥=⟨v,v⟩\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} , ∥v∥2=⟨v,v⟩\|v\|^2=\langle v,v\rangle
נסמן z=x+yiz=x+yi. (1) z+zˉ=2x=2Re(z)z+\bar z=2x=2Re(z)
(2) Re z=x≤∣x∣=x2≤x2+y2=∣z∣Re\ z=x\le|x|=\sqrt{x^2}\le\sqrt{x^2+y^2}=|z|
אינטואיציה ב-R2\mathbb{R}^2 (מ"פ סטנדרטית)
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
משפט 3

נוסחת הזווית ב-R2\mathbb{R}^2

הוכח בכיתה
לכל x⃗,y⃗∈R2\vec x,\vec y\in\mathbb{R}^2 מתקיים: ⟨x⃗,y⃗⟩=cos⁡θ⋅∥x⃗∥⋅∥y⃗∥\langle\vec x,\vec y\rangle=\cos\theta\cdot\|\vec x\|\cdot\|\vec y\|
כאשר 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi היא הזווית בין x⃗\vec x ל-y⃗\vec y.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
דוגמה

חישוב הזווית בין (14)\begin{pmatrix}1\\ 4\end{pmatrix} ל-(44)\begin{pmatrix}4\\ 4\end{pmatrix}

חשבו את הזווית בין הוקטורים (14),(44)\begin{pmatrix}1\\ 4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\ 4\end{pmatrix}.
⟨x⃗,y⃗⟩=cos⁡θ⋅∥x⃗∥⋅∥y⃗∥\langle\vec x,\vec y\rangle=\cos\theta\cdot\|\vec x\|\cdot\|\vec y\|
θ=arccos⁡⟨x⃗,y⃗⟩∥x⃗∥⋅∥y⃗∥\theta=\arccos\dfrac{\langle\vec x,\vec y\rangle}{\|\vec x\|\cdot\|\vec y\|}
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
דוגמה

חישוב הזווית בין (22)\begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix} ל-(30)\begin{pmatrix}3\\ 0\end{pmatrix}

חשבו את הזווית בין הוקטורים (22),(30)\begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\ 0\end{pmatrix}.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
תרגיל 5

מציאת וקטורי יחידה בזווית 60∘60^\circ

מצאו שני וקטורי יחידה ב-R2\mathbb{R}^2 שיוצרים זווית של 60∘60^\circ עם הוקטור u⃗=(2−2)\vec u=\begin{pmatrix}2\\ -2\end{pmatrix}.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
תרגיל

זווית π\pi גוררת כפולה שלילית

יהי VV מרחב אוקלידי. יהיו 0V≠u,v∈V0_V\neq u,v\in V.
נניח שהזווית בין uu ל-vv היא θ=π\theta=\pi.
הוכיחו שקיים α∈R\alpha\in\mathbb{R}, α<0\alpha<0 כך ש-v=αuv=\alpha u.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
הגדרה

אורתוגונליות

יהי F∈{R,C}\mathbf{F}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} שדה. יהי VV ממ"פ מעל F\mathbf{F} ויהיו u,v∈Vu,v\in V.
נאמר ש-u,vu,v אורתוגונליים אם מתקיים ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0.
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
תרגיל

וקטור מאונך לישר

מצאו וקטור v⃗∈R2\vec v\in\mathbb{R}^2 שמאונך לישר y=2x+1y=2x+1.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
משפט 4

משפט פיתגורס

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ ויהיו u,v∈Vu,v\in V. נניח ש-u,vu,v אורתוגונליים. אזי מתקיים:
∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2
דוגמה: ראינו שהוקטורים (21),(−36)\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\ 6\end{pmatrix} הם אורתוגונלים. מתקיים: ∥(21)+(−36)∥2=∥(−17)∥2=50\left\|\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\ 6\end{pmatrix}\right\|^2=\left\|\begin{pmatrix}-1\\ 7\end{pmatrix}\right\|^2=50
∥(21)∥2+∥(−36)∥2=5+45=50\left\|\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\right\|^2+\left\|\begin{pmatrix}-3\\ 6\end{pmatrix}\right\|^2=5+45=50
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
תרגיל

תרגיל ממבחן 2017 מועד א' שאלה 5 - סעיף א'

א. (7 נקודות) תהי {v1,v2,…,vk}\{v_1,v_2,\dots,v_k\} קבוצה אורתוגונלית בממ"פ VV מעל R\mathbb{R} ויהי u∈Vu\in V.
נגדיר: w=u−∑i=1k⟨u,vi⟩⟨vi,vi⟩viw=u-\sum_{i=1}^{k}\dfrac{\langle u,v_i\rangle}{\langle v_i,v_i\rangle}v_i. הוכיחו ש-ww אורתוגונלי ל-span{v1,…,vk}span\{v_1,\dots,v_k\}.
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 10 · הרצאה 10 · נורמה, זווית ואורתוגונליות
תרגיל

תרגיל ממבחן 2017 מועד א' שאלה 5 - סעיף ב'

ב. (13 נקודות) יהי VV ממ"פ מעל R\mathbb{R} ויהיו v1,v2∈Vv_1,v_2\in V.
נניח ש-{v1+v2,v1−v2}\{v_1+v_2,v_1-v_2\} היא קבוצה אורתונורמלית.
(1) הוכיחו ש-{v1,v2}\{v_1,v_2\} קבוצה אורתוגונלית.
(2) חשבו את ∥v1∥\|v_1\| ואת הזווית בין v1v_1 לבין v1+v2v_1+v_2.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
משפט 2

הכללת משפט פיתגורס

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ ותהי {u1,…,uk}⊆V\{u_1,\dots,u_k\}\subseteq V קבוצה אורתוגונלית. אזי מתקיים:
∥u1+⋯+uk∥2=∥u1∥2+⋯+∥uk∥2\|u_1+\cdots+u_k\|^2=\|u_1\|^2+\cdots+\|u_k\|^2
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
משפט 3

קבוצה אורתוגונלית ללא 0V0_V היא בת"ל

הוכח בכיתה
יהי VV מרחב מכפלה פנימית. יהיו 0V≠u1,…,uk∈V0_V\neq u_1,\dots,u_k\in V.
נניח ש-u1,…,uku_1,\dots,u_k אורתוגונליים.
אזי u1,…,uku_1,\dots,u_k הם בת"ל.
כל קבוצה אורתוגונלית ללא 0V0_V היא בת"ל.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
מסקנה 2

קבוצה אורתונורמלית היא בת"ל

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס ויהיו u1,…,uk∈Vu_1,\dots,u_k\in V. נניח ש-u1,…,uku_1,\dots,u_k הם אורתונורמליים.
אזי u1,…,uku_1,\dots,u_k בת"ל.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
משפט 4

נוסחת המקדמים בבסיס אורתוגונלי

הוכח בכיתה
יהי VV מרחב מכפלה פנימית ויהיו 0V≠u1,…,uk∈V0_V\neq u_1,\dots,u_k\in V.
נניח ש-u1,…,uku_1,\dots,u_k אורתוגונליים.
יהי v∈span{u1,…,uk}v\in span\{u_1,\dots,u_k\}.
אזי מתקיים: v=∑i=1k⟨v,ui⟩∥ui∥2uiv=\sum_{i=1}^{k}\dfrac{\langle v,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i
כשהבסיס אורתוגונלי, ניתן לבטא כל מקדם של הצירוף הלינארי בעזרת מ"פ ונורמה.
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
דוגמה

דוגמה לנוסחת המקדמים ב-R3\mathbb{R}^3

ב-R3\mathbb{R}^3, הוקטורים u1=(110),u2=(1−10),u3=(002)u_1=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},u_2=\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix},u_3=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 2\end{pmatrix} הם אורתוגונליים.
יהי v⃗=(202)\vec v=\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 2\end{pmatrix}. אכן מתקיים:
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
מסקנה 3

נוסחת המקדמים בבסיס אורתונורמלי

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס ויהיו u1,…,unu_1,\dots,u_n בסיס אורתונורמלי של VV. יהי v∈Vv\in V. אזי מתקיים:
v=∑i=1n⟨v,ui⟩uiv=\sum_{i=1}^{n}\langle v,u_i\rangle u_i
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
דוגמה

הבסיס הסטנדרטי

אם נבחר את הבסיס הסטנדרטי אשר הינו אורתונורמלי, אזי ברור שלכל v⃗=(xyz)∈R3\vec v=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3 מתקיים:
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
תרגיל 1

בסיס אורתונורמלי לתת-המרחב W={A∈M2(C)∣At‾=A}W=\{A\in M_2(\mathbb{C})\mid\overline{A^t}=A\}

נתבונן בתת המרחב W={A∈M2(C)∣At‾=A}W=\{A\in M_2(\mathbb{C})\mid\overline{A^t}=A\}.
א. האם המטריצות הבאות אורתוגונליות? A=(1i−i1)A=\begin{pmatrix}1&i\\ -i&1\end{pmatrix} , B=(0221)B=\begin{pmatrix}0&2\\ 2&1\end{pmatrix}
ב. חשבו את dim⁡W\dim W.
ג. מצאו בסיס אורתונורמלי ל-WW.
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
תרגיל 2

היטל על e⃗1,e⃗3\vec e_1,\vec e_3

חשבו את ההיטל האורתוגונלי של v⃗=(xyz)\vec v=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} על e⃗1,e⃗3\vec e_1,\vec e_3.
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
תרגיל 3

חישוב היטל על שני וקטורים אורתונורמליים

חשבו את ההיטל האורתוגונלי של v⃗=(123)\vec v=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} על
u⃗1=12(110)\vec u_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} , u⃗2=13(−111)\vec u_2=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
משפט 5

תכונות ההיטל

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ. יהיו u1,…,uk∈Vu_1,\dots,u_k\in V וקטורים אורתונורמלים.
יהי v∈Vv\in V. יהי v~\tilde v ההיטל האורתוגונלי של vv על u1,…,uku_1,\dots,u_k. אזי:
1. ∥v~∥2=∑i=1k∣⟨v,ui⟩∣2\|\tilde v\|^2=\sum_{i=1}^{k}|\langle v,u_i\rangle|^2
2. לכל 1≤j≤k1\le j\le k מתקיים: ⟨v−v~,uj⟩=0\langle v-\tilde v,u_j\rangle=0 (האנך v−v~v-\tilde v מאונך לכל וקטור שפורש את המישור)
3. לכל u∈span{u1,…,uk}u\in span\{u_1,\dots,u_k\} מתקיים: ⟨v−v~,u⟩=0\langle v-\tilde v,u\rangle=0 (האנך v−v~v-\tilde v מאונך לכל וקטור במישור)
4. לכל w∈Ww\in W מתקיים ∥v−v~∥≤∥v−w∥\|v-\tilde v\|\le\|v-w\|. בנוסף, שוויון מתקיים אם ורק אם w=v~w=\tilde v. (זה הוקטור הקצר ביותר מקצה vv אל WW)
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
משפט 6

אי שוויון בסל

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס ויהי WW תמ"ו של VV.
אזי לכל v∈Vv\in V מתקיים: ∥v∥≥∥v~∥\|v\|\ge\|\tilde v\|
בנוסף, שוויון מתקיים אם ורק אם v=v~v=\tilde v.
v~=projW(v)\tilde v=proj_W(v)
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
מסקנה 4

שוויון פרסבל

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס ויהיו u1,…,unu_1,\dots,u_n בסיס אורתונורמלי של VV. יהי v∈Vv\in V. אזי מתקיים:
∥v∥2=∑i=1n∣⟨v,ui⟩∣2\|v\|^2=\sum_{i=1}^{n}|\langle v,u_i\rangle|^2
v~=proju1,…,un(v)\tilde v=proj_{u_1,\dots,u_n}(v)
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
מסקנה 5

ההיטל אינו תלוי בבחירת הבסיס האורתונורמלי

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס ויהי WW תמ"ו של VV.
יהיו u1,…,uku_1,\dots,u_k ו-u~1,…,u~k\tilde u_1,\dots,\tilde u_k שני בסיסים אורתונורמליים של WW.
יהי v∈Vv\in V. אזי מתקיים: proju1,…,un(v)=proju~1,…,u~n(v)proj_{u_1,\dots,u_n}(v)=proj_{\tilde u_1,\dots,\tilde u_n}(v)
משפט 5 סעיף 4: לכל w∈Ww\in W מתקיים ∥v−v~∥≤∥v−w∥\|v-\tilde v\|\le\|v-w\|
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
תרגיל 4

היטל על הישר y=2xy=2x

חשבו את ההיטל האורתוגונלי של v⃗=(13)\vec v=\begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix} על הישר y=2xy=2x.
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
תרגיל

תרגיל ממבחן 2017 מועד א' שאלה 5 - סעיף א'

א. (7 נקודות) תהי {v1,v2,…,vk}\{v_1,v_2,\dots,v_k\} קבוצה אורתוגונלית בממ"פ VV מעל R\mathbb{R} ויהי u∈Vu\in V.
נגדיר: w=u−∑i=1k⟨u,vi⟩⟨vi,vi⟩viw=u-\sum_{i=1}^{k}\dfrac{\langle u,v_i\rangle}{\langle v_i,v_i\rangle}v_i. הוכיחו ש-ww אורתוגונלי ל-span{v1,…,vk}span\{v_1,\dots,v_k\}.
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 11 · הרצאה 11 · קבוצות אורתוגונליות וההיטל האורתוגונלי
תרגיל

תרגיל ממבחן 2017 מועד א' שאלה 5 - סעיף ב'

ב. (13 נקודות) יהי VV ממ"פ מעל R\mathbb{R} ויהיו v1,v2∈Vv_1,v_2\in V.
נניח ש-{v1+v2,v1−v2}\{v_1+v_2,v_1-v_2\} היא קבוצה אורתונורמלית.
(1) הוכיחו ש-{v1,v2}\{v_1,v_2\} קבוצה אורתוגונלית.
(2) חשבו את ∥v1∥\|v_1\| ואת הזווית בין v1v_1 לבין v1+v2v_1+v_2.
שבוע 12 · הרצאה 12 · תהליך גרם-שמידט
משפט 1

ההיטל של וקטור שנמצא בתת-המרחב הוא הוא עצמו

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס. יהיו u1,…,uk∈Vu_1,\dots,u_k\in V וקטורים אורתונורמלים.
יהי v∈span{u1,…,uk}v\in span\{u_1,\dots,u_k\}. אזי proju1,…,uk(v)=vproj_{u_1,\dots,u_k}(v)=v.
אם vv עצמו הוא בתת המרחב אז הוא ההיטל של עצמו.
∑i=1k⟨v,ui⟩ui\sum_{i=1}^{k}\langle v,u_i\rangle u_i
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 12 · הרצאה 12 · תהליך גרם-שמידט
משפט 1

תהליך האורתוגונליזציה של גרם-שמידט

הוכח בכיתה
יהי VV ממ"פ נ"ס. יהיו v1,…,vn∈Vv_1,\dots,v_n\in V בסיס של VV.
נגדיר וקטורים u1,…,un∈Vu_1,\dots,u_n\in V בצורה הבאה באופן אינדוקטיבי:
1. נגדיר את הוקטור הראשון בבסיס: u1=v1u_1=v_1
2. לכל 2≤k≤n2\le k\le n נגדיר: uk=vk−∑i=1k−1⟨vk,ui⟩∥ui∥2uiu_k=v_k-\sum_{i=1}^{k-1}\dfrac{\langle v_k,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i
ואז מתקיים:
u1,…,unu_1,\dots,u_n מהווים בסיס אורתוגונלי של VV.
לכל 1≤k≤n1\le k\le n מתקיים: span{u1,…,uk}=span{v1,…,vk}span\{u_1,\dots,u_k\}=span\{v_1,\dots,v_k\}
נרצה לקחת בסיס של VV ולייצר ממנו בסיס אורתוגונלי.
שימו לב, למעשה מחסרים מ-vv את כל ההיטלים שלו על הוקטורים הקודמים.
u1=v1u_1=v_1 , uk=vk−∑i=1k−1⟨vk,ui⟩∥ui∥2uiu_k=v_k-\sum_{i=1}^{k-1}\dfrac{\langle v_k,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i
תהליך גרם–שמידט
v₁v₂
נתונים שני וקטורים בת״ל v₁, v₂ — אבל הם לא ניצבים זה לזה.
שבוע 12 · הרצאה 12 · תהליך גרם-שמידט
תרגיל 1

בסיס אורתוגונלי ל-WW והשלמה לבסיס אורתוגונלי של R3\mathbb{R}^3

יהי W=Span{v⃗1=(120),v⃗2=(011)}W=Span\left\{\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 0\end{pmatrix},\vec v_2=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
א. מצאו בסיס אורתגונלי ל-WW.
ב. מצאו u3∈R3u_3\in\mathbb{R}^3 כך ש-u1,u2,u3u_1,u_2,u_3 מהווים בסיס אורתוגונלי ל-R3\mathbb{R}^3.
u1=v1u_1=v_1 , uk=vk−∑i=1k−1⟨vk,ui⟩∥ui∥2uiu_k=v_k-\sum_{i=1}^{k-1}\dfrac{\langle v_k,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i
תהליך גרם–שמידט
v₁v₂
נתונים שני וקטורים בת״ל v₁, v₂ — אבל הם לא ניצבים זה לזה.
שבוע 12 · הרצאה 12 · תהליך גרם-שמידט
מסקנה 2

גרם שמידט אינו משנה קבוצה אורתוגונלית

הוכח בכיתה
אם v1,…,vnv_1,\dots,v_n אורתוגונליים, אז vk=ukv_k=u_k לכל 1≤k≤n1\le k\le n.
כלומר אם הבסיס הוא מראש קבוצה אורתוגונלית אז תהליך גרם שמידט לא משנה אותה.
תהליך גרם–שמידט
v₁v₂
נתונים שני וקטורים בת״ל v₁, v₂ — אבל הם לא ניצבים זה לזה.
שבוע 12 · הרצאה 12 · תהליך גרם-שמידט
תרגיל 2

בסיס אורתונורמלי למישור x−y+2z=0x-y+2z=0

מצאו בסיס אורתונורמלי למישור המוגדר על ידי המשוואה: x−y+2z=0x-y+2z=0.
u1=v1∥v1∥u_1=\dfrac{v_1}{\|v_1\|} , uk+1∗=vk+1−∑i=1k⟨vk+1,ui⟩uiu_{k+1}^{*}=v_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\langle v_{k+1},u_i\rangle u_i , uk+1=uk+1∗∥uk+1∗∥u_{k+1}=\dfrac{u_{k+1}^{*}}{\|u_{k+1}^{*}\|}
תהליך גרם–שמידט
v₁v₂
נתונים שני וקטורים בת״ל v₁, v₂ — אבל הם לא ניצבים זה לזה.
שבוע 12 · הרצאה 12 · תהליך גרם-שמידט
תרגיל 3

הפולינום הקרוב ביותר ב-R1[x]\mathbb{R}_1[x]

נגדיר את המכפלה הפנימית על R2[x]\mathbb{R}_2[x] באופן הבא:
⟨p(x),q(x)⟩=p(1)⋅q(1)+p(2)⋅q(2)+p(3)⋅q(3)\langle p(x),q(x)\rangle=p(1)\cdot q(1)+p(2)\cdot q(2)+p(3)\cdot q(3)
ידוע משיעורי הבית שזוהי מכפלה פנימית. מצאו את הפולינום הקרוב ביותר לפולינום q(x)=1+x+x2q(x)=1+x+x^2 מ-R1[x]\mathbb{R}_1[x], כלומר מצאו את המינימום של הקבוצה הבאה:
{∥q(x)−p(x)∥ : p(x)∈R1[x]}\{\|q(x)-p(x)\|\ :\ p(x)\in\mathbb{R}_1[x]\}
u1=v1u_1=v_1 , uk+1=vk+1−∑i=1k⟨vk+1,ui⟩∥ui∥2uiu_{k+1}=v_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\dfrac{\langle v_{k+1},u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
תרגיל 1

הפתרון האופטימלי למערכת לא פתירה - בעזרת היטל

נתבונן במערכת המשוואות הבאה: {x−y=1x+y=2y=0\begin{cases}x-y=1\\ x+y=2\\ y=0\end{cases}
נסמן A=(1−11101),b⃗=(120)A=\begin{pmatrix}1&-1\\ 1&1\\ 0&1\end{pmatrix},\vec b=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 0\end{pmatrix}.
נשים לב שלמערכת Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec b אין פתרון.
מצאו את הוקטור x⃗0∈R2\vec x_0\in\mathbb{R}^2 שעבורו Ax⃗0A\vec x_0 הוא הקרוב ביותר ל-b⃗\vec b, כלומר את הוקטור שעבורו:
∥Ax⃗0−b⃗∥≤∥Ax⃗−b⃗∥ לכל x⃗∈R2\left\|A\vec x_0-\vec b\right\|\le\|A\vec x-\vec b\|\ \text{לכל}\ \vec x\in\mathbb{R}^2
קירוב בריבועים פחותים
נקודות מדידה שלא יושבות על אף ישר אחד.
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
משפט 1

⟨Ax⃗,y⃗⟩=⟨x⃗,Aty⃗⟩\langle A\vec x,\vec y\rangle=\langle\vec x,A^t\vec y\rangle

הוכח בכיתה
תהי A∈Mm×n(R)A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}). אזי לכל x⃗∈Rn,y⃗∈Rm\vec x\in\mathbb{R}^n,\vec y\in\mathbb{R}^m מתקיים: ⟨Ax⃗,y⃗⟩=⟨x⃗,Aty⃗⟩\langle A\vec x,\vec y\rangle=\langle\vec x,A^t\vec y\rangle
Am×nA_{m\times n} , Bn×pB_{n\times p}: (AB)ij=∑k=1n(A)ik⋅(B)kj(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}(A)_{ik}\cdot(B)_{kj}
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
משפט 2

משוואת הריבועים הפחותים AtAx⃗0=Atb⃗A^tA\vec x_0=A^t\vec b

הוכח בכיתה
תהי A∈Mm×n(R)A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}) ויהי b⃗∈Rm\vec b\in\mathbb{R}^m.
יהי x⃗0∈Rn\vec x_0\in\mathbb{R}^n הוקטור שעבורו ∥Ax⃗−b⃗∥\|A\vec x-\vec b\| מינימלי.
אזי: AtAx⃗0=Atb⃗A^tA\vec x_0=A^t\vec b
השימוש: להגיע לקירוב הכי טוב עבור מערכת לא פתירה.
המטרה: להציג כהיטל. לכן צריך להגדיר תת-מרחב.
W={Ax⃗∣x⃗∈Rn}=Col(A)W=\{A\vec x\mid\vec x\in\mathbb{R}^n\}=Col(A) , w0=Ax⃗0w_0=A\vec x_0 , w=Ax⃗w=A\vec x , w0=projWb⃗w_0=proj_W\vec b
קירוב בריבועים פחותים
נקודות מדידה שלא יושבות על אף ישר אחד.
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
תרגיל 2

אותה מערכת - פתרון בעזרת AtAx⃗0=Atb⃗A^tA\vec x_0=A^t\vec b

נתבונן במערכת המשוואות הבאה: {x−y=1x+y=2y=0\begin{cases}x-y=1\\ x+y=2\\ y=0\end{cases}
נסמן A=(1−11101),b⃗=(120)A=\begin{pmatrix}1&-1\\ 1&1\\ 0&1\end{pmatrix},\vec b=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 0\end{pmatrix}.
נשים לב שלמערכת Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec b אין פתרון.
מצאו את הוקטור x⃗0∈R2\vec x_0\in\mathbb{R}^2 שעבורו Ax⃗0A\vec x_0 הוא הקרוב ביותר ל-b⃗\vec b, כלומר את הוקטור שעבורו:
∥Ax⃗0−b⃗∥≤∥Ax⃗−b⃗∥ לכל x⃗∈R2\left\|A\vec x_0-\vec b\right\|\le\|A\vec x-\vec b\|\ \text{לכל}\ \vec x\in\mathbb{R}^2
קירוב בריבועים פחותים
נקודות מדידה שלא יושבות על אף ישר אחד.
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
משפט 3

ערכים עצמיים של מטריצה סימטריה ממשית הם ממשיים

הוכח בכיתה
תהי A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) מטריצה סימטרית. יהי λ∈C\lambda\in\mathbb{C} ערך עצמי של AA. אזי λ∈R\lambda\in\mathbb{R}.
המשפט הספקטרלי
מטריצה סימטרית פועלת על מעגל היחידה…
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
מסקנה 2

לכל מטריצה סימטרית יש ערך עצמי ממשי

הוכח בכיתה
לכל מטריצה סימטרית A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) יש ערך עצמי ממשי.
המשפט הספקטרלי
מטריצה סימטרית פועלת על מעגל היחידה…
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
משפט 4

מרחבים עצמיים של מטריצה סימטרית הם אורתוגונליים

הוכח בכיתה
תהי A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) מטריצה סימטרית. יהיו λ1,λ2∈R\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R} שני ערכים עצמיים שונים של AA.
אזי Vλ1,Vλ2V_{\lambda_1},V_{\lambda_2} הם תתי מרחבים אורתוגונליים.
המשפט הספקטרלי
מטריצה סימטרית פועלת על מעגל היחידה…
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
משפט 5

OO אורתוגונלית אם"ם OtO=InO^tO=I_n

הוכח בכיתה
תהי O∈Mn(R)O\in M_n(\mathbb{R}). אזי OO היא מטריצה אורתוגונלית אם ורק אם OtO=InO^tO=I_n.
מטריצה אורתוגונלית היא הופכית של המשוחלפת שלה!
בסיס אורתונורמלי ופרסבל
u₁u₂
בסיס אורתונורמלי: שני וקטורים ניצבים באורך 1.
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
תרגיל 3

לכסון אורתוגונלי של מטריצה סימטרית

תהי A=(1222)A=\begin{pmatrix}1&\sqrt{2}\\ \sqrt{2}&2\end{pmatrix}. מצאו מטריצה אורתוגונלית P∈Mn(R)P\in M_n(\mathbb{R}) כך ש-PtAPP^tAP אלכסונית.
המשפט הספקטרלי
מטריצה סימטרית פועלת על מעגל היחידה…
שבוע 13 · הרצאה 13 · ריבועים פחותים והמשפט הספקטרלי
תרגיל 4

אי-שוויון בסל עבור שני תתי-מרחבים אורתוגונליים

יהי VV ממ"פ נ"ס. יהיו U,W⊆VU,W\subseteq V שני תתי-מרחבים של VV. יהי v∈Vv\in V.
יהיו u1,…,uku_1,\dots,u_k ו-w1,…,wlw_1,\dots,w_l בסיסים אורתונורמליים של U,WU,W.
יהיו vU,vWv_U,v_W שני ההיטלים האורתוגונליים של vv על הבסיסים הנ"ל.
בנוסף נתון ש-U⊥WU\perp W, כלומר ⟨u,w⟩=0\langle u,w\rangle=0 לכל u∈Uu\in U ולכל w∈Ww\in W.
הוכיחו: ∥v∥2≥∥vU∥2+∥vW∥2\|v\|^2\ge\|v_U\|^2+\|v_W\|^2
∥v~∥2=∑i=1k∣⟨v,ui⟩∣2\|\tilde v\|^2=\sum_{i=1}^{k}|\langle v,u_i\rangle|^2
ההיטל הניצב
Wv
תת‑המרחב W הוא הישר הזה, ו‑v הוא וקטור שלא נמצא עליו.