דף הנושא — חזרה מסמסטר א׳

מטריצה מצורפת וכלל קרמר

21 תכונות

9 מהתרגול בלבד

6 מלכודות

בשורה אחת

אין הרצאה — זו חזרה על סוף סמסטר א׳: הדטרמיננטה, המטריצה המצורפת שמקיימת $A\cdot\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(A)\cdot A=\det(A)\cdot I_n$ , וכלל קרמר. בפועל כל השבוע הוא תרגום של שאלות על $\mathrm{adj}$ לשאלות על $\det$ ועל הפיכות.

מה צריך לדעת קודם

0מסמסטר א׳ (הרצאות 24–26): פיתוח לפי שורה/עמודה, $\det(A)\ne0 \iff A$ הפיכה, $\det(AB)=\det A\det B$
0מסמסטר א׳: מרחב האפס $\mathrm{Nul}(A)$ , מרחב העמודות $\mathrm{Col}(A)$ , ו- $\mathrm{rank}(A)+\dim\mathrm{Nul}(A)=n$

למה זה מוביל

1 $\det(A)\ne0$ הוא מה שמכריע אם $\mathrm{Ker}\,T_A=\{0\}$ , ומה שמאמת שקבוצת וקטורים היא בסיס (תרגיל 2 בהרצאה 1)
4 $\det$ נשמרת תחת דמיון — הבדיקה השנייה בהפרכת דמיון, מיד אחרי העקבה
5הפולינום האופייני $\det(\lambda I_n-A)$ — כל חישוב ע"ע הוא חישוב דטרמיננטה עם פרמטר

מה קורה ל- $\det$ תחת כל פעולה

עמודה עם ✓ פירושה "הדטרמיננטה לא משתנה". כל שורה עם ✗ צריכה נוסחה, לא ניחוש.

תכונה	$\det$ נשמרת?	למה, ואיך משתמשים בזה
$R_i \to R_i + cR_j$ (הוספת כפולה של שורה)		הפעולה היחידה שהיא חינם. זה מה שמאפשר לרדד למשולשית בלי לעקוב אחרי מקדמים. תרגול 1 מחשב כך $\det$ של $3\times3$ ; מבחן 2024א׳ ש׳1.2.2 מנסח זאת מפורשות.
$R_i \leftrightarrow R_j$ (החלפת שתי שורות)		הסימן מתהפך: $\det \to -\det$ . במבחן 2025ב׳ ש׳4.1 מבצעים $1012$ החלפות — מספר זוגי, ולכן $\det$ לא משתנה — ומקבלים $2025!$ . סִפרי את ההחלפות.
$R_i \to cR_i$ (כפל שורה בסקלר)		$\det \to c\cdot\det$ . שימי לב שזו שורה אחת בלבד; ראי את השורה על $\alpha A$ למטה.
שחלוף $A^t$		$\det(A^t)=\det(A)$ . דף הנוסחאות נותן פיתוח לפי שורה ולפי עמודה — זו בדיוק אותה אמירה. מסקנה מעשית: כל כלל על שורות תקף גם על עמודות.
מכפלה $AB$		אבל יש נוסחה מלאה: $\det(AB)=\det A\cdot\det B$ . מכאן $\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det A}$ ו- $\det(A^k)=(\det A)^k$ .
כפל בסקלר $\alpha A$		$\det(\alpha A)=\alpha^n\det(A)$ — החזקה $n$ , לא $1$ . הדוגמה שמופיעה במטלה 2 ש׳1(ג): $\det(2I_2)=4$ ולא $2$ .
סכום $A+B$		אין שום נוסחה. $\det(A+B)\ne\det A+\det B$ בדרך כלל: $A=B=I_2$ נותן $4$ מול $2$ . אם את כותבת שוויון כזה — הפסדת את הסעיף.
שורה (או עמודה) של אפסים		$\det=0$ מיידית. במטלה 1 ש׳5(ב) יש שתי שורות אפסים, ולכן כל מינור מסדר $n-1$ מכיל שורת אפסים ומתקבל $\mathrm{adj}(A)=0$ — שורת אפסים אחת בלבד אינה מאפסת את $\mathrm{adj}$ .
שתי שורות זהות / תלויות לינארית		$\det=0$ , כי הדטרמיננטה מתחלפת ( $\text{alternating}$ ). מטלה 1 ש׳6(ה) בנויה כולה על זה.
מטריצה משולשית (עליונה או תחתונה)		אין מה "לשמר" — פשוט $\det=$ מכפלת האלכסון. זו נקודת העצירה של כל רידוד.
המצורפת $\mathrm{adj}(A)$		$\det(\mathrm{adj}(A))=(\det A)^{n-1}$ — מתרגול 1, ולא על דף הנוסחאות. זה הכלי שפותר את כל שאלות ה" $\mathrm{adj}$ ⟸ $\det$ ".

סדר החישוב של

\det

, מהזול ליקר: שורת אפסים או שתי שורות זהות ⟹ $\det=0$ , סיימת → רידוד ב- $R_i\to R_i+cR_j$ בלבד → ספירת החלפות שורות → מכפלת האלכסון. פיתוח לפי שורה שווה רק כשיש שורה או עמודה עם הרבה אפסים.

זהויות של $\mathrm{adj}$ — מה נכון ומה מלכודת

רוב הזהויות הוכחו בקורס בהנחה ש- $A,B$ הפיכות; שם ההוכחה היא שורה אחת.

תכונה	נכון?	למה, ואיך משתמשים בזה
$A\cdot\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(A)\cdot A=\det(A)I_n$		לכל $A\in M_n(\mathbb{F})$ עם $n\ge2$ , בלי הנחת הפיכות. תרגול 1 מדגיש: אלה שני משפטים — שהן מתחלפות, ושהמכפלה סקלרית.
$A$ לא הפיכה $\Rightarrow A\cdot\mathrm{adj}(A)=0_n$		נובע ישירות ( $\det A=0$ ). זה מה שהופך את $\mathrm{adj}(A)$ לתשובה מוכנה לשאלה "מצאו $B\ne0$ עם $AB=BA=0$ ".
$\mathrm{adj}(A^t)=(\mathrm{adj}(A))^t$		תרגול 1, נובע ישירות מההגדרה. מסקנה: $A$ סימטרית $\Rightarrow \mathrm{adj}(A)$ סימטרית.
$\mathrm{adj}(A^{-1})=(\mathrm{adj}(A))^{-1}=\dfrac{A}{\det A}$		תרגול 1 ומטלה 1 ש׳3(א). דורש $A$ הפיכה.
$\mathrm{adj}(A)\,\mathrm{adj}(B)=\mathrm{adj}(BA)$		הסדר מתהפך, כמו בהופכי ובשחלוף. מטלה 1 ש׳3(ב), ונשאל שוב כלשונו במבחן 2024א׳ ש׳3.2. הוכח בקורס עבור $A,B$ הפיכות.
$\mathrm{adj}(A)\,\mathrm{adj}(B)=\mathrm{adj}(AB)$		הסדר הפוך. זו הטעות הכי נפוצה בכל הפרק.
$\det(\mathrm{adj}(A))=(\det A)^{n-1}$		תרגול 1. בשימוש במטלה 1 ש׳6(ד) ובמבחן 2024ב׳ ש׳2.2. לא על דף הנוסחאות — לשנן.
$A$ הפיכה $\iff \mathrm{adj}(A)$ הפיכה		תרגול 1. הכיוון $\Leftarrow$ קל; הכיוון $\Rightarrow$ דורש קודם להראות ש- $A\ne 0$ .
$\mathrm{adj}(\alpha A)=\alpha\,\mathrm{adj}(A)$		האמת: $\mathrm{adj}(\alpha A)=\alpha^{n-1}\mathrm{adj}(A)$ (כל מינור הוא מסדר $n-1$ ). מטלה 1 ש׳6(ב) מפריכה את $\mathrm{adj}(-A)=-\mathrm{adj}(A)$ עם $A=I_3$ : $\mathrm{adj}(-I_3)=I_3$ .
$\mathrm{adj}(A+B)=\mathrm{adj}(A)+\mathrm{adj}(B)$		מטלה 1 ש׳6(ג): $A=\mathrm{diag}(1,0,0)$ , $B=\mathrm{diag}(0,1,0)$ — שתי המצורפות $0_3$ , אבל $\mathrm{adj}(A+B)=\mathrm{diag}(0,0,1)$ .
$\mathrm{adj}(\mathrm{diag}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3))=\mathrm{diag}(\alpha_2\alpha_3,\alpha_1\alpha_3,\alpha_1\alpha_2)$		מטלה 1 ש׳6(א). מכונת ההפרכות שלך — כל טענה כללית על $\mathrm{adj}$ נבדקת קודם על אלכסוניות.
$\mathrm{adj}(A)$ סימטרית $\Rightarrow A$ סימטרית		נכון רק אם $A$ הפיכה (מטלה 1 ש׳5(א)). דוגמה נגדית: $A$ עם $1$ יחיד בפינה הימנית העליונה — שתי שורות אפסים, ולכן $\mathrm{adj}(A)=0_3$ סימטרית ו- $A$ לא (מטלה 1 ש׳5(ב)).

המהלך שפותר כמעט כל שאלת

\mathrm{adj}

עם מטריצות הפיכות: החליפי מיד כל

\mathrm{adj}(X)

ב-

\det(X)\cdot X^{-1}

. מטלה 1 ש׳3 כולה, מבחן 2024א׳ ש׳3.2 ומבחן 2025ב׳ ש׳5.2 מתקצרים לשתי שורות.

מתי מותר להשתמש בכלל קרמר

קרמר הוא נוסחה, לא שיטת פתרון. הוא משתלם רק בשני מצבים.

תכונה	מותר / משתלם?	למה, ואיך משתמשים בזה
$A$ ריבועית והפיכה		תנאי המשפט המדויק. אז יש פתרון יחיד ו- $x_j=\dfrac{\det(A_j)}{\det(A)}$ , כאשר $A_j$ מתקבלת מהחלפת העמודה ה- $j$ ב- $\vec b$ .
$A$ ריבועית עם $\det(A)=0$		המכנה מתאפס — אין מה לעשות. אם יש פרמטר בשאלה, קודם מוצאים לאילו ערכי הפרמטר $\det\ne0$ .
$A$ אינה ריבועית		לא ישירות. מעבירים משתנה אחד לאגף ימין ומתייחסים אליו כאל קבוע, ואז בודקים שמטריצת המקדמים שנשארה הפיכה. מטלה 1 ש׳1(ב), תרגול 1.
מבקשים רק משתנה אחד		זה היתרון האמיתי. מחשבים $\det(A)$ ואת המונה היחיד הדרוש. במבחן 2023א׳ מבקשים "חשבו את $y$ " — ולא פותרים את המערכת בכלל.
מערכת הומוגנית ( $\vec b=\vec 0$ ) עם $A$ הפיכה		חוקי אבל חסר תועלת: בכל $A_j$ יש עמודת אפסים, ולכן כל המונים $0$ והפתרון הוא $\vec x=\vec 0$ . זה מנסח מחדש "הפיכה ⟹ גרעין טריוויאלי".

לפני שאת כותבת שבר אחד — כתבי במפורש "

\det(A)=\dots\ne0

ולכן קיים פתרון יחיד". בלי המשפט הזה כלל קרמר לא חוקי, וזה הניקוד הראשון שנופל.

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (9)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד

$\mathrm{adj}(A^t)=(\mathrm{adj}(A))^t$ , ומסקנה מיידית: אם $A$ סימטרית אז $\mathrm{adj}(A)$ סימטרית. ההוכחה היא שורה אחת מההגדרה, כי $M_{ij}(A^t)=M_{ji}(A)$ .תרגול 1
$\mathrm{adj}(A^{-1})=(\mathrm{adj}(A))^{-1}$ עבור $A$ הפיכה. ההוכחה: מכפילים $\mathrm{adj}(A)\mathrm{adj}(A^{-1})$ ומשחילים $A\cdot A^{-1}$ באמצע. במטלה 1 ש׳3(א) מקבלים את הצורה המפורשת $\mathrm{adj}(A^{-1})=\dfrac{A}{\det A}$ .תרגול 1, מטלה 1 ש׳3(א)
$\det(\mathrm{adj}(A))=(\det A)^{n-1}$ לכל $A$ . ההוכחה: $(\det A)^n=\det(\det(A)I_n)=\det(\mathrm{adj}(A)A)=\det(\mathrm{adj}(A))\det(A)$ ; המקרה הלא-הפיך מטופל בנפרד. זה הכלי היחיד שמתרגם זהות עם $\mathrm{adj}$ לזהות עם $\det$ .תרגול 1
$A$ הפיכה $\iff \mathrm{adj}(A)$ הפיכה. בכיוון $\Rightarrow$ (מ- $\mathrm{adj}(A)$ הפיכה ל- $A$ הפיכה) מראים קודם ש- $A\ne0$ (אחרת $\mathrm{adj}(A)=0$ ), ואז מ- $\mathrm{adj}(A)A=\det(A)I$ מקבלים $A=\det(A)(\mathrm{adj}(A))^{-1}$ ; אם היה $\det(A)=0$ היה יוצא $A=0$ — סתירה.תרגול 1
אם $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ הפיכות, $n\ge3$ , ומתקיים $\mathrm{adj}(A)\cdot B=A\cdot\mathrm{adj}(B)$ — אז $|\det(A)|=|\det(B)|$ . מפעילים $\det$ על שני האגפים, מקבלים $\det(A)^{n-2}=\det(B)^{n-2}$ , ומ- $n\ge3$ מוציאים שורש. הופיע ככתבו במבחן 2024ב׳ ש׳2.2.תרגול 1
אם $\mathrm{adj}(A),\mathrm{adj}(B)$ מתחלפות — $A,B$ לא בהכרח מתחלפות. אבל: אם $A,B$ הפיכות זה כן נכון, ולפי תרגול 1 גם כל זוג $2\times2$ מקיים את הטענה. לכן דוגמה נגדית חייבת להיות מסדר $\ge3$ ולא הפיכה: שתי מטריצות מדרגה $1$ מסדר $3$ — כל מינור $2\times2$ שלהן מתאפס, ולכן $\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(B)=0_3$ מתחלפות, בעוד $AB\ne BA$ .תרגול 1
התשובה המוכנה ל"מצאו $B\ne0$ כך ש- $AB=BA=0$ ": $B=\mathrm{adj}(A)$ , כי $A\,\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(A)A=\det(A)I=0$ . בתרגול עם $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$ (שתי שורות זהות ⟹ $\det=0$ ) מקבלים $B=\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&0&-1\\1&0&-1\end{pmatrix}$ .תרגול 1
בקרמר עם פרמטר חופשי — הבחירה איזה משתנה לשחרר היא חלק מהפתרון. בתרגול 1, במערכת $2\times3$ , שחרור $z$ נתן מטריצת מקדמים הפיכה ושחרור $y$ נתן מטריצה לא הפיכה שבה אסור להשתמש בקרמר.תרגול 1
מטלה 1 ש׳4 מוכיחה שהתוצאה אינה תלויה בבחירת הפרמטר החופשי: $\left\{\frac{\det(A_2)}{\det(A)}\right\}=\left\{\frac{\det(B_2)}{\det(B)}\right\}$ — שתי הבחירות מייצרות את אותה קבוצת ערכים למשתנה הנדון (לא מרחב וקטורי). ההוכחה מתפצלת: אם $\vec c_1,\vec c_3$ בת"ל שתי הקבוצות שוות ל- $\mathbb{F}$ כולו; אם הן ת"ל שתי הקבוצות הן אותה נקודה בודדת.מטלה 1 ש׳4

תכונות קטנות שחייבים לדעת (12)

12 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות

$[\mathrm{adj}(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ji}$ — האינדקסים מתהפכים. ניסוח שקול: $[\mathrm{adj}(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}(A^t)$ . זהו שחלוף מטריצת הקופקטורים.תרגול 1 / דף נוסחאות
המשפט $A\cdot\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(A)\cdot A=\det(A)I_n$ מנוסח עבור $n\ge2$ בלבד. אין מה לומר על $1\times1$ .תרגול 1
הסיבה שהמכפלה יוצאת אלכסונית: פיתוח לפי שורה "לא נכונה" נותן אפס. מפורשות, $\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}[A]_{2j}M_{1j}(A)=0_{\mathbb{F}}$ — זו הדטרמיננטה של המטריצה שבה שורה 1 הוחלפה בשורה 2, ולכן יש שתי שורות שוות.מטלה 1 ש׳6(ה)
$A$ הפיכה $\Rightarrow A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\mathrm{adj}(A)$ . בכיוון הפוך זה הכלי לחשב $\mathrm{adj}$ בלי מינורים: $\mathrm{adj}(A)=\det(A)\cdot A^{-1}$ .תרגול 1, מטלה 1 ש׳2(ב)
כשנתונה $A^{-1}$ ומבקשים $\mathrm{adj}(A)$ : קודם מנמקים ש- $A$ קיימת (כלומר $\det(A^{-1})\ne0$ ), אחר כך $\det(A)=\dfrac{1}{\det(A^{-1})}$ , ולבסוף $\mathrm{adj}(A)=\det(A)A^{-1}$ .מטלה 1 ש׳2(ב) + שאלות נוספות ש׳1
הנוסחה ל- $2\times2$ מסמסטר א׳ היא מקרה פרטי: $\mathrm{adj}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ . תרגול 1 מציין שבגללה טענות מסוימות נכונות תמיד ב- $2\times2$ — ולכן דוגמה נגדית חייבת להיות מסדר $3$ ומעלה.תרגול 1
$\det(\alpha A)=\alpha^n\det(A)$ , ולכן $\det:M_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ אינה העתקה לינארית: $\det(2I_2)=4\ne2=2\det(I_2)$ .מטלה 2 ש׳1(ג)
מעל $\mathbb{Z}_{11}$ : אם $K\in M_{11}(\mathbb{Z}_{11})$ הפיכה אז $\det(\mathrm{adj}(K))=\det(K)^{10}\equiv1$ — $(\det K)^{n-1}$ ועוד המשפט הקטן של פרמה. המבנה "חזקה $n-1$ מעל $\mathbb{Z}_p$ " הוא דגל אדום לפרמה.מטלה 1 ש׳6(ד)
למטריצה שלמה $A\in M_n(\mathbb{Z})$ הפיכה: $A^{-1}$ שלמה אם"ם $|\det(A)|=1$ . הכיוון החזק נובע מכך ש- $\mathrm{adj}(A)$ תמיד שלמה (מינורים של שלמים), ו- $A^{-1}=\mathrm{adj}(A)/\det(A)$ .מבחן 2024 סימולציה ש׳3.1
כלל קרמר: $A_j$ מתקבלת מהחלפת העמודה ה- $j$ ב- $\vec b$ (לא השורה). קל לבדוק את עצמך: $A_j$ חייבת להישאר בגודל $n\times n$ ולהכיל את $\vec b$ כעמודה.תרגול 1 / דף נוסחאות
דף הנוסחאות מכיל רק את $[\mathrm{adj}(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ji}$ , את $A^{-1}=\mathrm{adj}(A)/\det(A)$ ואת כלל קרמר. כל שאר תכונות ה- $\mathrm{adj}$ (שחלוף, הופכי, מכפלה, $\det(\mathrm{adj})$ ) אינן שם.דף נוסחאות מורחב
להוכיח את $A\cdot\mathrm{adj}(A)=\det(A)I_n$ נשאל ישירות במבחן, 15 נקודות ("See lectures"). זה משפט לשינון מלא, לא רק לשימוש.מבחן 2025א׳ ש׳2.1

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

נתוןנתונות

A,B

הפיכות ומבקשים להוכיח זהות שמערבת

\mathrm{adj}

שואליםזו שאלת אלגברה של מטריצות, לא שאלה על מינורים.

המהלךהחליפי מיד כל

\mathrm{adj}(X)

ב-

\det(X)\cdot X^{-1}

, ותני לסקלרים לזוז חופשי. כך נפתרות מטלה 1 ש׳3(א),(ב),(ג), מבחן 2024א׳ ש׳3.2 ומבחן 2025ב׳ ש׳5.2 — כל אחת בשתי שורות. הנתון

B^2=I_n

פירושו

B^{-1}=B

, והנתון

\det(B)=1

פירושו

\mathrm{adj}(B)=B

נתוןנתונה זהות עם

\mathrm{adj}

ומבקשים מסקנה על הדטרמיננטות

שואליםהפעילי

\det

על שני האגפים.

המהלךשני הכלים היחידים:

\det(XY)=\det X\det Y

ו-

\det(\mathrm{adj}(X))=(\det X)^{n-1}

. מצמצמים ב-

\det(A)^{-1}\det(B)^{-1}

, מקבלים

\det(A)^{n-2}=\det(B)^{n-2}

, ומ-

n\ge3

מוציאים שורש ומקבלים ערך מוחלט (תרגול 1, מבחן 2024ב׳ ש׳2.2). שימי לב למה

n\ge3

הכרחי: ב-

n=2

המעריך הוא

0

ואין מידע.

נתון"מצאו

B\ne0

כך ש-

AB=BA=0

" או "הראו שקיימת

B

לא טריוויאלית עם

AB=0

שואליםבדקי ש-

\det(A)=0

וקחי

B=\mathrm{adj}(A)

המהלךמזהים

\det(A)=0

בעין (שתי שורות שוות / שורת אפסים / תלות), מחשבים

\mathrm{adj}(A)

ומצטטים

A\,\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(A)A=\det(A)I=0

. חובה לוודא ש- $\mathrm{adj}(A)\ne0$ — אם כל המינורים מסדר

n-1

מתאפסים (למשל

\mathrm{rank}(A)\le n-2

) הטריק נכשל וצריך דרך אחרת.

נתוןמערכת לא ריבועית, או מערכת עם אינסוף פתרונות, ומבקשים "פתרון כללי בעזרת קרמר"

שואליםהעבירי משתנה אחד לאגף ימין והתייחסי אליו כאל קבוע.

המהלךמטלה 1 ש׳1(ב) ותרגול 1: מ-

2\times3

עוברים ל-

2\times2

בפרמטר

z

, מחשבים

x(z),y(z)

, וכותבים את הפתרון כווקטור

(x(z),y(z),z)

לכל

z

. אחרי ההעברה חובה לוודא שהמטריצה שנשארה הפיכה — לא כל בחירת פרמטר עובדת.

נתוןמבקשים רק ערך של משתנה אחד, או שיש פרמטר

t

במערכת

שואליםקרמר, ורק המונה הרלוונטי.

המהלךמחשבים

\det(A)

פעם אחת (וגם מנמקים בעזרתו למה יש פתרון יחיד לכל

t

), ואז רק את

\det(A_j)

הדרוש. מטלה 1 ש׳1(א):

\det(A)=-77

קבוע, והפתרון יוצא פונקציה ליניארית של

t

. מבחן 2023א׳: "חשבו את

y

" — סעיף שלם בלי לפתור מערכת.

נתון"הוכיחו או הפריכו" טענה כללית על

\mathrm{adj}

שואליםקודם בודקים על אלכסוניות ועל

\pm I_n

— רק אז מנסים להוכיח.

המהלךמטלה 1 ש׳6: הנוסחה

\mathrm{adj}(\mathrm{diag}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3))=\mathrm{diag}(\alpha_2\alpha_3,\alpha_1\alpha_3,\alpha_1\alpha_2)

מפריכה גם את

\mathrm{adj}(-A)=-\mathrm{adj}(A)

(עם

A=I_3

) וגם את

\mathrm{adj}(A+B)=\mathrm{adj}A+\mathrm{adj}B

(עם

\mathrm{diag}(1,0,0)

ו-

\mathrm{diag}(0,1,0)

). מטריצות שכל המינורים שלהן

0

הן המכונה השנייה — הן נותנות

\mathrm{adj}=0

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית

[\mathrm{adj}(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}

M_{ji}

— האינדקסים מתהפכים.

\mathrm{adj}

היא השחלוף של מטריצת הקופקטורים. אם תשכחי, תקבלי את

A^{-1}

משוחלפת, וזה נראה נכון עד שהיא לא סימטרית.

\mathrm{adj}(A)\,\mathrm{adj}(B)=\mathrm{adj}(AB)

\mathrm{adj}(A)\,\mathrm{adj}(B)=\mathrm{adj}(BA)

. הסדר מתהפך, בדיוק כמו

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

ו-

(AB)^t=B^tA^t

— כי ההוכחה עוברת דרכם.

\det(A+B)=\det A+\det B

, או

\det(\alpha A)=\alpha\det A

אין כלל לסכום כלל, ו-

\det(\alpha A)=\alpha^n\det A

. הבדיקה:

\det(2I_2)=4\ne2

. יתר על כן — מטלה 2 ש׳4 מוכיחה שלכל

2\le n

, פונקציה

\Delta:M_n(\mathbb{F})\to\mathbb{F}

שהיא גם לינארית וגם מולטי-לינארית היא בהכרח

0

(ההנחה

n\ge2

הכרחית: ב-

n=1

הזהות היא דוגמה נגדית). כלומר

\det

לא יכולה להיות לינארית, זו לא במקרה.

כתבתי

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{adj}(A)

ישר

הנוסחה חוקית רק אחרי שנימקת ש-

\det(A)\ne0

. באותה מידה: כשנתונה

A^{-1}

ומבקשים

\mathrm{adj}(A)

, מטלה 1 ש׳2(ב) דורשת קודם להסביר למה $A$ בכלל קיימת — כלומר ש-

A^{-1}

הפיכה.

\mathrm{adj}(A)

סימטרית ⟹

A

סימטרית

רק כש-

A

הפיכה (מטלה 1 ש׳5(א), וההוכחה מסתמכת על

A=\det(A)(\mathrm{adj}(A))^{-1}

). בלי הפיכות זה נופל: מטריצה

3\times3

עם

1

בודד בפינה —

\mathrm{adj}(A)=0_3

סימטרית,

A

לא.

הפעלתי קרמר על המערכת כמו שהיא

קרמר דורש

A

ריבועית והפיכה. מערכת

2\times3

אינה עונה על הדרישה — צריך קודם להעביר משתנה לאגף ימין, ואז לבדוק שהמטריצה

2\times2

שנשארה הפיכה. תרגול 1 מראה בחירה שעובדת ובחירה שלא.

חזרה מסמסטר א׳

הסיכומון וההגדרות המלאות

הדף הבא

העתקות לינאריות