דף הנושא — העתקות לינאריות

הגדרה, גרעין ותמונה, אריתמטיקה והפיכות

21 תכונות

9 מהתרגול בלבד

6 מלכודות

בשורה אחת

העתקה לינארית היא פונקציה ששומרת על צירופים לינאריים: $T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)$ — ולכן היא נקבעת לגמרי על בסיס אחד, ושתי הקבוצות שכל השאר נתלה בהן הן $\mathrm{Ker}\,T\subseteq V$ ו- $\mathrm{Im}\,T\subseteq W$ .

מה צריך לדעת קודם

0דטרמיננטה: $\det\ne0$ הוא מה שמאמת שקבוצה היא בסיס (תרגיל 2 בהרצאה 1) ומה שמכריע אם $\mathrm{Ker}\,T_A=\{0\}$ (תרגיל 3 בהרצאה 1)
0מסמסטר א׳: מרחב האפס ומרחב העמודות של מטריצה — הם בדיוק הגרעין והתמונה של $T_A$ (תרגול 2)

למה זה מוביל

2משפט הקיום והיחידות (ה"ל נקבעת ביחידות ע"י ערכיה על בסיס) ומשפט המימדים $\dim V=\dim\mathrm{Ker}\,T+\dim\mathrm{Im}\,T$ — שניהם מנוסחים על $\mathrm{Ker}$ ו- $\mathrm{Im}$
3איזומורפיזם והמטריצה המייצגת: "בסיס לבסיס" הוא הקריטריון להפיכות שכל הפרק ההוא נשען עליו
5ערכים עצמיים: $T(v_2)=T(v_3)$ עם $v_2\ne v_3$ ⟹ $\mathrm{Ker}\,T\ne\{0\}$ ⟹ $0$ הוא ע"ע (מבחן 2021ב׳ ש׳1(א))

מה נובע מלינאריות — ומה לא

עמודה עם ✓ היא כלי בחינם. עמודה עם ✗ או ~ היא בדיוק המקום שבו מפילים סעיפים.

תכונה	נובע?	למה, ואיך משתמשים בזה
$T(0_V)=0_W$		משפט 1. בדיקת ההפרכה הראשונה תמיד, שתי שניות. מפילה כל נוסחה עם איבר חופשי: דוגמה 3 בהרצאה, מטלה 2 ש׳1(א), $T(x,y)=(x+3,y+1)$ בתרגול 2.
$T(-v)=-T(v)$		מסקנה 2 בתרגול 2 — לא מופיעה בהערה 1 בהרצאה. ההפרכה הזולה השנייה: $T\binom{x}{y}=xy$ מקיימת $T(0)=0$ ונופלת כאן, כי $T(-v)=xy=T(v)$ .
$T(\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k)=\sum\alpha_iT(v_i)$		הערה 1 סעיף 3, באינדוקציה. זה מה שמאפשר לחשב את $T$ על כל וקטור מהערכים על בסיס — הבסיס של כל שאלת "חשבו $T(v)$ ".
$\mathrm{Ker}\,T$ תמ"ו של $V$ , $\mathrm{Im}\,T$ תמ"ו של $W$		משפטים 3 ו-4. שימי לב לצדדים: $\mathrm{Ker}$ יושב ב-תחום, $\mathrm{Im}$ ב-טווח.
תלות לינארית עוברת קדימה: $v_i$ ת"ל ⟹ $T(v_i)$ ת"ל		מטלה 2 ש׳5(ג). ההוכחה: לוקחים את הצירוף המאפס ומפעילים $T$ . בלי שום הנחה על $T$ .
אי-תלות עוברת קדימה: $v_i$ בת"ל ⟹ $T(v_i)$ בת"ל		רק אם $T$ חח"ע (משפט 12). בלי חח"ע זה נופל מיד — העתקת האפס הורסת כל בת"ל.
אי-תלות חוזרת אחורה: $T(v_i)$ בת"ל ⟹ $v_i$ בת"ל		תרגול 2 בלבד, ובלי להניח ש- $T$ חח"ע. זו הצורה הנגדית של מטלה 2 ש׳5(ג), וזה סעיף בחינם שסטודנטים מפספסים.
פרישה עוברת קדימה: $v_i$ פורשים $V$ ⟹ $T(v_i)$ פורשים		משפט 11 — אבל פורשים את $\mathrm{Im}\,T$ , לא בהכרח את $W$ . ההערה הזו מודגשת בהרצאה 1 במפורש. זה משפט ברשימת המשפטים לבוחן 1.
$T$ הפיכה $\iff$ מעבירה בסיס לבסיס		משפט 13, אם"ם. זו הדרך שבה פותרים "הוכיחו ש- $T$ הפיכה" בפועל (מטלה 2 ש׳3(ב)).
$T$ חח"ע $\iff \mathrm{Ker}\,T=\{0_V\}$		משפט 10. גם משפט שמבקשים להוכיח בבוחן (סימולציית בוחן 1 ש׳1(ב), ורשימת המשפטים).
חזקות, מכפלות בין משתנים, ערך מוחלט, הגדרה לפי מקרים		תרגול 2: "כפל בין משתנים הוא דבר חשוד" ו"הוספת קבועים היא דבר חשוד". מטלה 2 ש׳1(ו): $T\binom{x}{y}=\binom{\|x\|}{y}$ נופלת על סקלר שלילי.
הצמוד $\bar z$		תלוי בשדה. $T(z)=\bar z$ אינה לינארית מעל $\mathbb{C}$ (דוגמה 4) אבל כן לינארית כש- $\mathbb{C}$ נחשב מ"ו מעל $\mathbb{R}$ (דוגמה 5), כי $\bar\alpha=\alpha$ לסקלר ממשי.

סדר ההפרכה, מהזול ליקר: $T(0)\ne0$ → $T(-v)\ne-T(v)$ → סקלר יחיד ( $\alpha=2$ או $\alpha=-1$ ) → חיבוריות על שני וקטורים כלליים. אם כולן עוברות — אל תוכיחי בידיים: נסי לכתוב את

T

כ-

T_A

, ולפי משפט 2 סיימת בשורה.

מתי מותר להסיק ש- $T$ הפיכה

חח"ע ועל הם שני תנאים נפרדים. רוב הטעויות הן שכחה של אחד מהם.

תכונה	מספיק להפיכות?	למה, ואיך משתמשים בזה
$\mathrm{Ker}\,T=\{0_V\}$		זה חח"ע בלבד (משפט 10). $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ , $T(x,y)=(x,y,x+y)$ — גרעין טריוויאלי ולא על (מטלה 2 ש׳2(א)).
$\mathrm{Im}\,T=W$		זה על בלבד. $T:\mathbb{R}_3[x]\to\mathbb{R}_1[x]$ שמוחקת מקדמים — על, וגרעינה $\mathrm{Span}\{x^2,x^3\}$ (מטלה 2 ש׳2(ב)).
מעבירה בסיס של $V$ לבסיס של $W$		משפט 13, אם"ם. המהלך המעשי: מטלה 2 ש׳3(ב) — $\binom{2}{-3},\binom{3}{-2}$ בת"ל ולכן בסיס של $\mathbb{R}^2$ ; תמונותיהן $\binom{1}{2},\binom{1}{1}$ בת"ל ולכן בסיס. סיימת.
מעבירה בסיס לקבוצה בת"ל בלבד		מטלה 2 ש׳5(ב), הפרכה מפורשת: $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ , $T(x,y)=(x,y,0)$ . התמונות בת"ל, אבל אינן בסיס של $\mathbb{R}^3$ — ולכן $T$ לא הפיכה.
קיימת $S$ עם $S\circ T=id_V$ ו- $T\circ S=id_W$		ההגדרה השקולה מתרגול 2. הדרך הנוחה כשיש נוסחה מפורשת: $T(p(x))=p(x+1)$ עם $S(p(x))=p(x-1)$ .
$T$ לינארית ו- $V=W$ (אופרטור)		אין קשר. העתקת האפס היא אופרטור לינארי ואינה הפיכה.
ידוע ש- $T(v_2)=T(v_3)$ עבור $v_2\ne v_3$		זה בדיוק ההפך — $T$ אינה חח"ע, ולכן $v_2-v_3\in\mathrm{Ker}\,T\setminus\{0\}$ . מבחן 2021ב׳ ש׳1(א) גוזר מכאן ש- $0$ הוא ע"ע.

"הוכיחו ש-

T

הפיכה" ⟸ בסיס לבסיס, כמעט תמיד. קחי בסיס של

V

, חשבי תמונות, והוכיחי שהן בסיס של

W

— ב-

\mathbb{F}^n

זו בדיוק דטרמיננטה. "הפריכו ש-

T

הפיכה" ⟸ מצאי וקטור לא-אפס בגרעין, או הראי ש-

\dim\mathrm{Im}\,T<\dim W

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (9)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד

$T(-v)=-T(v)$ — מסקנה 2 בתרגול 2. בהערה 1 בהרצאה יש רק שלוש מסקנות (חיבוריות, הומוגניות, צירוף סופי), וזו לא ביניהן. ההפרכה של $T\binom{x}{y}=xy$ בתרגול נעשית בדיוק דרכה.תרגול 2
המסקנות אינן מספיקות: $T\binom{x}{y}=\binom{x^3}{y^3}$ מקיימת גם $T(0)=0$ וגם $T(-v)=-T(v)$ — ואינה לינארית, ואף לא מקיימת אף אחד משני התנאים בהגדרה. תרגול 2 מנסח זאת כמסקנה: "העתקה שמקיימת את המסקנות לא בהכרח מקיימת את התכונות בהגדרה".תרגול 2
אם $\{T(v_1),\dots,T(v_m)\}$ בת"ל אז $\{v_1,\dots,v_m\}$ בת"ל — גם כאשר $T$ אינה חח"ע. מנוסח כטענה נפרדת בתרגול 2 מיד אחרי משפט בת"ל-לבת"ל. זו בדיוק הצורה הנגדית של מטלה 2 ש׳5(ג).תרגול 2
עבור $T=T_A$ : $\mathrm{Ker}\,T=\mathrm{Nul}(A)$ ו- $\mathrm{Im}\,T=\mathrm{Col}(A)$ — הגרעין הוא מרחב הפתרונות של $A\vec x=\vec0$ (גאוס-ז׳ורדן), והתמונה היא פרוש עמודות $A$ . זה מוסבר בתרגול 2 ומופיע בטבלת הסיכום שלו; בהרצאה 1 זה לא מופיע — אבל בהרצאה 2, הערות 1–2, זה מנוסח ומוכח במפורש, ומשם מותר לצטט.תרגול 2; הרצאה 2, הערות 1–2
$T:M_n(\mathbb{F})\to M_n(\mathbb{F})$ , $T(X)=AX$ היא ה"ל — וזו אינה $T_A$ (כופלים מטריצה במטריצה, לא בווקטור עמודה). ובנוסף: $T$ חח"ע אם"ם $A$ הפיכה. הופיע ככתבו במבחן 2024א׳ ש׳2.2.תרגול 2
הטכניקה "בונים העתקה הפיכה": כדי להוכיח ש- $\{p_0(x+1),\dots,p_n(x+1)\}$ בסיס, מגדירים $T(p(x))=p(x+1)$ , מראים ש- $S(p(x))=p(x-1)$ היא ההופכית, ומפעילים "בסיס לבסיס". זה חוסך הוכחת בת"ל ופרישה בידיים.תרגול 2
אם $\dim W=1$ (למשל $W=\mathbb{R}$ ), אז $\mathrm{Im}\,T$ הוא תמ"ו של $W$ ולכן $\{0\}$ או $W$ — מספיק למצוא ערך אחד שונה מאפס כדי להוכיח ש- $T$ על.תרגול 2
לכל $2\le n$ : פונקציה $\Delta:M_n(\mathbb{F})\to\mathbb{F}$ שהיא גם לינארית וגם מולטי-לינארית (לינארית בכל שורה) היא בהכרח $\Delta\equiv0$ . ההנחה $n\ge2$ מופיעה במפורש גם במטלה וגם במבחן, והיא הכרחית: ב- $n=1$ הזהות לינארית ומולטי-לינארית ואינה $0$ . זו הסיבה העמוקה לכך ש- $\det$ אינה לינארית.מטלה 2 ש׳4, מבחן 2025א׳ ש׳3.1
המסקנה תלויה בשדה. מטלה 2 ש׳6: מנתונים $T(v_1)=v_3$ , $T(v_2)=v_2$ , $T(v_3)=-v_1$ נובע ש- $v_1,v_2,v_3$ בת"ל מעל $\mathbb{R}$ — כי ההוכחה מגיעה ל- $\alpha^2+1=0$ שאין לו פתרון ממשי. מעל $\mathbb{Z}_2$ , שבו $-1=1$ , אפשר לקחת $v_1=v_2=v_3$ והם ת"ל.מטלה 2 ש׳6

תכונות קטנות שחייבים לדעת (12)

14 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות

אם אפשר לכתוב $T(\vec x)=A\vec x$ עבור מטריצה $A$ — $T$ לינארית (משפט 2). זו הדרך הזולה ביותר להוכיח לינאריות של נוסחה בקואורדינטות: פשוט כותבים את מטריצת המקדמים ואומרים $T=T_A$ .הרצאה 1, משפט 2
$T(0_V)=0_W$ (משפט 1) — ולכן איבר חופשי בנוסחה שולל לינאריות מיד, בלי חישוב. זו ההפרכה בדוגמה 3 בהרצאה, במטלה 2 ש׳1(א) ובתרגול 2.הרצאה 1, משפט 1
$T$ חח"ע $\iff \mathrm{Ker}\,T=\{0_V\}$ (משפט 10). ההוכחה בכיוון החזק: מ- $T(v_1)=T(v_2)$ מקבלים $T(v_1-v_2)=0$ , ולכן $v_1-v_2\in\mathrm{Ker}\,T=\{0\}$ .הרצאה 1, משפט 10
$T$ הפיכה $\iff$ מעתיקה בסיס לבסיס (משפט 13). זהו משפט אם"ם, ולכן הוא משמש גם להוכחה וגם להפרכה.הרצאה 1, משפט 13
צירוף לינארי של ה"ל הוא ה"ל (משפט 7), הרכבה של ה"ל היא ה"ל (משפט 8), ולכן $Hom(V,W)$ הוא תמ"ו של $W^V$ (מסקנה 1). בפרט $T\circ T$ לינארית — נשאל ישירות במבחן 2024ב׳ ש׳3.1.2 עם דרישה מפורשת "לפי ההגדרה".הרצאה 1, משפטים 7–8
אם $T$ הפיכה אז $T^{-1}$ לינארית (משפט 9). לכן מותר להשתמש בלינאריות כשמחשבים $T^{-1}(w)$ — זה בדיוק מה שעושים במטלה 2 ש׳3(ג).הרצאה 1, משפט 9
העתקת האפס: $\mathrm{Ker}=V$ , $\mathrm{Im}=\{0_W\}$ . העתקת הזהות: $\mathrm{Ker}=\{0_V\}$ , $\mathrm{Im}=V$ . שתיהן לינאריות (משפטים 5,6).הרצאה 1
בסיס של מרחב האפס $\{0\}$ הוא הקבוצה הריקה $\emptyset$ — לא $\{0\}$ ולא $\{\vec0\}$ . וקטור האפס לעולם אינו איבר בבסיס.תרגיל 3 בהרצאה 1, מטלה 2 ש׳2(א)
$T(A)=\mathrm{tr}(A)$ ו- $T(A)=A^t$ הן ה"ל; $T(A)=\det(A)$ אינה — $\det(2I_2)=4\ne2\det(I_2)$ .תרגול 2, מטלה 2 ש׳1(ג)
העתקה שנראית "לא לינארית" יכולה להיות לינארית: $T(p)(x)=p(x+1)-p(1)$ לינארית (מטלה 2 ש׳1(ה)), וגם $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$ , $T(x,y)=ix+y$ לינארית מעל $\mathbb{R}$ (מטלה 2 ש׳1(ד)). אל תפריכי לפי מראה.מטלה 2 ש׳1
אם $\dim(\mathrm{Im}\,T)\le1$ אז קיים $\alpha\in\mathbb{F}$ כך ש- $T\circ T=\alpha T$ . ההוכחה: $\mathrm{Im}\,T=\mathrm{Span}\{w_0\}$ , ו- $T(w_0)=\alpha w_0$ כי $T(w_0)\in\mathrm{Im}\,T$ .מטלה 2 נוספות ש׳1
להוכיח את משפטי הבוחן: ברשימת המשפטים לבוחן 1 מופיעים בדיוק חח"ע $\iff$ גרעין טריוויאלי, פורשת לפורשת, בת"ל לבת"ל, בסיס לבסיס (וכן קיום ויחידות ומשפט המימדים משבוע 2). כולם מהרצאה 1.רשימת משפטים לבוחן 1

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

נתון"הוכיחו או הפריכו:

T

העתקה לינארית", והנוסחה נתונה בקואורדינטות

שואליםזו שאלת זיהוי, לא שאלת הוכחה.

המהלךהציבי

0

: אם

T(0)\ne0

— סיימת בשורה. אחרת, אם כל קואורדינטה בפלט היא צירוף לינארי הומוגני של המשתנים — כתבי את מטריצת המקדמים

A

, אמרי

T=T_A

ולפי משפט 2 סיימת (מטלה 2 ש׳1(ב), ש׳2(א)). אם מופיעה חזקה, מכפלה של משתנים, ערך מוחלט, הגדרה לפי מקרים או צמוד — חפשי דוגמה נגדית עם סקלר יחיד, זה תמיד קצר יותר מחיבוריות.

נתוןנתונים ערכי

T

על כמה וקטורים ושואלים "האם קיימת ה"ל כזו"

שואליםחפשי קשר לינארי בין הוקטורים בתחום.

המהלךאם

w=\alpha u+\beta v

אז חייב להתקיים

T(w)=\alpha T(u)+\beta T(v)

; מציבים ומקבלים סתירה. תרגיל 1 בהרצאה:

\binom{2}{2}=2\binom{1}{1}

אבל

\binom{2}{1}\ne2\binom{1}{2}

. מטלה 2 ש׳5(א):

-5x^2+7x-4=2(1+2x-x^2)-3(2-x+x^2)

— הקשר לא ברור לעין וצריך לפתור מערכת כדי למצוא אותו. אם הוקטורים בת"ל — אין סתירה אפשרית, והתשובה "כן" (משפט הקיום והיחידות, שבוע 2).

נתוןנתונים ערכי

T

על בסיס ומבקשים

T(v)

או

T^{-1}(w)

שואליםכתבי את הוקטור כצירוף לינארי — של הנתונים ל-

T

, של התמונות ל-

T^{-1}

המהלךמטלה 2 ש׳3:

\binom{0}{-5}=3\binom{2}{-3}-2\binom{3}{-2}

⟹

T\binom{0}{-5}=3\binom{1}{2}-2\binom{1}{1}=\binom{1}{4}

. ל-

T^{-1}

הכיוון מתהפך:

\binom{4}{6}=2\binom{1}{2}+2\binom{1}{1}

⟹

T^{-1}\binom{4}{6}=2\binom{2}{-3}+2\binom{3}{-2}=\binom{10}{-10}

. חובה קודם להצדיק ש- $T$ הפיכה ושלכן $T^{-1}$ לינארית (משפט 9).

נתון"מצאו בסיס ל-

\mathrm{Im}\,T

ול-

\mathrm{Ker}\,T

שואליםשתי מכניקות שונות לגמרי — אל תערבבי.

המהלך

\mathrm{Im}

: הפעילי

T

על בסיס של

V

וקחי

\mathrm{Span}

(משפט 11), ואז נקי לתלות. ב-

T_A

זה בדיוק

\mathrm{Col}(A)

\mathrm{Ker}

: פתרי

T(v)=0

— ב-

\mathbb{F}^n

זו מערכת הומוגנית, כלומר

\mathrm{Nul}(A)

בגאוס-ז׳ורדן; במרחבי פולינומים או מטריצות זו פשוט משוואה על המקדמים. אם יצא

\mathrm{Ker}=\{0\}

— הבסיס הוא

\emptyset

ו-

T

חח"ע.

נתוןמבקשים להוכיח שקבוצה כלשהי היא בסיס, והיא נראית כמו "תמונה" של בסיס מוכר

שואליםבני העתקה לינארית הפיכה שמעבירה את הבסיס המוכר אל הקבוצה.

המהלךתרגול 2: כדי להראות ש-

\{p_0(x+1),\dots,p_n(x+1)\}

בסיס, מגדירים

T(p)=p(x+1)

, מוכיחים לינאריות, מציגים את

S(p)=p(x-1)

ומראים

T\circ S=S\circ T=id

— ואז "בסיס לבסיס" נותן את התוצאה. חוסך הוכחת בת"ל ופרישה ידנית.

נתוןנתון ש-

T

אינה חח"ע, או ש-

T(v_2)=T(v_3)

עם

v_2\ne v_3

שואלים

\mathrm{Ker}\,T\ne\{0_V\}

— ובהמשך הקורס:

0

הוא ערך עצמי של

T

המהלך

T(v_2-v_3)=0_W

ו-

v_2-v_3\ne0_V

. במבחן 2021ב׳ ש׳1(א) זה בדיוק המהלך: מ-

T(v_1)=v_1

מקבלים ע"ע

1

, ומ-

T(v_2)=T(v_3)

מקבלים ע"ע

0

— שני ע"ע שונים ב-

\dim V=2

⟹ לכסינה.

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית

בדקתי ש-

T(0)=0

, אז

T

לינארית

תנאי הכרחי בלבד.

T\binom{x}{y}=\binom{x^3}{y^3}

מקיימת

T(0)=0

וגם

T(-v)=-T(v)

ואינה לינארית (תרגול 2).

T(0)=0

שימושי רק להפרכה, לעולם לא להוכחה.

הוכחתי חיבוריות, זה מספיק

צריך גם הומוגניות.

T(A)=\det(A)

על

M_2(\mathbb{R})

\det(2I_2)=4\ne2\det(I_2)

(מטלה 2 ש׳1(ג)) — נופלת דווקא על הסקלר.

T\binom{x}{y}=\binom{|x|}{y}

נופלת רק על סקלר שלילי (מטלה 2 ש׳1(ו)). אם הפרכת רק תנאי אחד — ציינִי איזה.

T

מעבירה בסיס לקבוצה בת"ל ⟹

T

הפיכה

צריך בסיס של $W$ — כלומר גם פורשת את

W

. מטלה 2 ש׳5(ב):

T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3

T(x,y)=(x,y,0)

מעבירה בסיס לזוג בת"ל ואינה הפיכה. אותה טעות בכיוון השני: "התמונות פורשות את

W

" לבד גם לא מספיק.

T(v_1),\dots,T(v_m)

פורשים את

W

הם פורשים את

\mathrm{Im}\,T

בלבד — ההערה הזו כתובה מפורשות בהרצאה 1 ליד משפט 11. הם פורשים את

W

רק אם $T$ על, וזה בדיוק מה שמוסיפים בהוכחת "בסיס לבסיס".

v_1,\dots,v_k

בת"ל ⟹

T(v_1),\dots,T(v_k)

בת"ל

רק אם

T

חח"ע (משפט 12). שני הכיוונים שכן חינם: אם התמונות בת"ל אז המקורות בת"ל (תרגול 2, בלי הנחות), ואם המקורות ת"ל אז התמונות ת"ל (מטלה 2 ש׳5(ג)). שלושת הניסוחים נראים דומים — סמני לעצמך איזה דורש חח"ע.

התוצאה לא תלויה בשדה

מטלה 2 ש׳6: אותם נתונים בדיוק נותנים