MentoraLINEAR 2

דף הנושא — קיום ויחידות ומשפט המימדים

הגדרת ה"ל על בסיס, משפט המימדים השני, איזומורפיזם

20 תכונות
8 מהתרגול בלבד
6 מלכודות
בשורה אחת

העתקה לינארית נקבעת לחלוטין ע"י מה שהיא עושה לבסיס אחד של VV — ומרגע ש-VV נוצר סופית, המספר dim⁡V\dim V מתפצל בדיוק לשניים: dim⁡ker⁡T+dim⁡Im T\dim\ker T+\dim\mathrm{Im}\,T. לכן כל שאלה על חח"ע / על / הפיכות היא שאלת ספירת מימדים.

מה צריך לדעת קודם
  • 1TT חח"ע אם"ם ker⁡T={0V}\ker T=\{0_V\}, ו-TT מעתיקה פורשת של VV לפורשת של Im T\mathrm{Im}\,T — שני אלה הם הדלק של כל ההוכחות כאן
  • 1TT הפיכה אם"ם היא מעתיקה בסיס לבסיס; הרכבה של ה"ל היא ה"ל ו-T−1T^{-1} היא ה"ל
  • 0השלמת קבוצה בת"ל לבסיס, ו-U⊆VU\subseteq V תמ"ו עם dim⁡U=dim⁡V<∞\dim U=\dim V<\infty ⇒U=V\Rightarrow U=V — הצעד האחרון בחצי מהתרגילים
למה זה מוביל
  • 3משפט הקיום והיחידות הוא מה שמוכיח ש-ψ(T)=[T]BA\psi(T)=[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} היא על — כל מטריצה מייצגת איזושהי העתקה
  • 3V≅FnV\cong\mathbb{F}^n הוא בדיוק וקטור הקואורדינטות; dim⁡Im T\dim\mathrm{Im}\,T ייקרא שם דרגת המטריצה המייצגת
  • 5הפירוק V=ker⁡T⊕Im TV=\ker T\oplus\mathrm{Im}\,T (במטלה 3 ש׳3) הוא הדגם הראשון של פירוק לסכום ישר של תת-מרחבים אינוואריאנטיים

חח"ע / על / איזומורפיזם — כל המסקנות, ומי צריך מימד סופי

תהי T:V→WT:V\to W ה"ל. כל שורה: האם המסקנה נכונה תמיד, או רק תחת הנחה נוספת. עמודת ההערה אומרת איזו.

תכונהנכון תמיד?למה, ואיך משתמשים בזה
TT חח"ע   ⟺  ker⁡T={0V}  ⟺  dim⁡ker⁡T=0\iff \ker T=\{0_V\} \iff \dim\ker T=0
לא צריך שום הנחת מימד. זו ההגדרה השימושית של חח"ע, וזו נקודת הפתיחה של כל תרגיל.
TT על   ⟺  Im T=W\iff \mathrm{Im}\,T=W
הגדרה. שימי לב שזה לא אותו דבר כמו dim⁡Im T=dim⁡W\dim\mathrm{Im}\,T=\dim W — ראי השורה הבאה.
dim⁡Im T=dim⁡W⇒T\dim\mathrm{Im}\,T=\dim W \Rightarrow T על
דורש dim⁡W<∞\dim W<\infty. אז Im T⊆W\mathrm{Im}\,T\subseteq W תמ"ו עם אותו מימד, ולכן שווה ל-WW. במימד אינסופי זה קורס.
dim⁡V=dim⁡ker⁡T+dim⁡Im T\dim V=\dim\ker T+\dim\mathrm{Im}\,T
משפט המימדים השני (משפט 2). דורש רק ש-VV נוצר סופית — WW יכול להיות כל דבר. זו הטעות הכי נפוצה בציטוט המשפט.
TT חח"ע ⇒dim⁡Im T=dim⁡V\Rightarrow \dim\mathrm{Im}\,T=\dim V
דורש VV נ"ס. הצבה של dim⁡ker⁡T=0\dim\ker T=0 במשפט המימדים. מכאן נובע מיד dim⁡V≤dim⁡W\dim V\le\dim W.
dim⁡V>dim⁡W⇒T\dim V>\dim W \Rightarrow T אינה חח"ע
מסקנה 3. הכלי הכי זול בשבוע הזה: מיד יש לך 0≠v∈ker⁡T0\ne v\in\ker T, בלי לחשב כלום. יתרה מזו dim⁡ker⁡T≥dim⁡V−dim⁡W\dim\ker T\ge\dim V-\dim W.
dim⁡V<dim⁡W⇒T\dim V<\dim W \Rightarrow T אינה על
מסקנה 2. dim⁡Im T≤dim⁡V<dim⁡W\dim\mathrm{Im}\,T\le\dim V<\dim W.
TT חח"ע   ⟺  T\iff T על
מסקנה 1, ודורשת גם dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W וגם מימד סופי. הכשל הכי מסוכן: בלי אחד מהתנאים זה פשוט לא נכון.
TT איזומורפיזם ⇒dim⁡V=dim⁡W\Rightarrow \dim V=\dim W
TT הפיכה מעתיקה בסיס לבסיס, ולכן משמרת מימד. הכיוון ההפוך נותן רק ש-V≅WV\cong W, לא שה-TT הספציפית שלך הפיכה.
TT חח"ע ⇒\Rightarrow מעתיקה בת"ל לבת"ל
משפט מהרצאה 1 (וברשימת המשפטים לבוחן 1). בלי חח"ע זה נשבר — העתקת האפס הורסת כל בת"ל.
כל TT מעתיקה פורשת של VV לפורשת של Im T\mathrm{Im}\,T
ולכן Im T=span{T(v1),…,T(vn)}\mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{T(v_1),\dots,T(v_n)\} עבור כל קבוצה פורשת. ככה מחשבים תמונה בפועל.
dim⁡Im T≤min⁡(dim⁡V,dim⁡W)\dim\mathrm{Im}\,T\le\min(\dim V,\dim W)
derived, ושווה זהב: ≤dim⁡V\le\dim V ממשפט המימדים, ≤dim⁡W\le\dim W כי Im T⊆W\mathrm{Im}\,T\subseteq W. זה החסם שסוגר את רוב שאלות ההפרכה.
סדר הבדיקות, מהזול ליקר: השוואת dim⁡V\dim V ל-dim⁡W\dim W (שתי שניות) →\to חישוב ker⁡T\ker T →\to משפט המימדים נותן את dim⁡Im T\dim\mathrm{Im}\,T בחינם →\to שוויון מימדים בתוך WW נותן "על". כמעט אף פעם לא צריך לחשב את התמונה ישירות.

מה נשבר כשמורידים את "נוצר סופית"

התרגול מקדיש לזה מקום מפורש, וזו בדיוק השאלה ש"מפילה" בסעיפי הוכח/הפרך.

תכונהעדיין נכון?למה, ואיך משתמשים בזה
"חח"ע אם"ם על" כאשר V=WV=W
תרגול 3: T:R[x]→R[x]T:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x], T(p)=x⋅pT(p)=x\cdot p חח"ע ולא על (ל-11 אין מקור). מטלה 3 נוספת: T(p)=p′T(p)=p' על ולא חח"ע (T(1)=0T(1)=0).
משפט המימדים עצמו
המשפט מנוסח רק ל-VV נ"ס. בלי זה אין מה להציב — dim⁡V\dim V אינו מספר.
U⊆VU\subseteq V, dim⁡U=dim⁡V⇒U=V\dim U=\dim V\Rightarrow U=V
נופל יחד עם השאר. זה הצעד שבו משתמשים בהרצאה כדי לסגור Im T=R2[x]\mathrm{Im}\,T=\mathbb{R}_2[x] ו-ker⁡T=span{e1,e2}\ker T=\mathrm{span}\{e_1,e_2\}.
משפט הקיום והיחידות (הגדרה על בסיס)
הניסוח בהרצאה מניח VV נ"ס, אבל הרעיון — "בסיס קובע הכול" — נשאר. הכיוון שבאמת חשוב: שתי ה"ל שמסכימות על בסיס שוות, וזה נכון תמיד.
הטריק ההפוך: להוכיח ש-VV אינו נ"ס
מטלה 3 נוספת ש׳2(ג): מצאנו T:R[x]→R[x]T:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x] שהיא על ולא חח"ע, ולכן לפי מסקנה 1 המרחב אינו נוצר סופית. הפרכה בשורה אחת.
לפני שאת כותבת "לפי משפט המימדים" — בדקי שבשאלה נכתב נוצר סופית. אם לא נכתב, זו כמעט תמיד רמז שהתשובה היא הפרכה, והדוגמה הנגדית היא R[x]\mathbb{R}[x] עם כפל ב-xx או עם גזירה.

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (8)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד
  • מבחן העקביות — ההפרכה הכי זולה בשבוע הזה. אם הווקטורים שנתנו לך תלויים לינארית, אין לך זכות להשתמש במשפט הקיום, ובנוסף כל תלות חייבת להישמר בתמונות. דוגמת התרגול: נתונים T(100)=1T\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=1, T(111)=2T\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=2, T(411)=10T\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}=10; מתקיים 3(100)+(111)−(411)=0⃗3\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}=\vec 0, אבל 3⋅1+2=5≠103\cdot 1+2=5\ne 10 — ולכן לא קיימת TT כזו. שורה אחת, בלי לפתור מערכת.תרגול 3
  • הצד השני של אותו מטבע: תנאי עודף שהוא צירוף לינארי של הקודמים אינו פוסל כלום — הוא פשוט נובע. בתרגול: T(2x)=T(2(1+x)−2⋅1)=2T(1+x)−2T(1)=−2T(2x)=T(2(1+x)-2\cdot 1)=2T(1+x)-2T(1)=-2, ולכן ההעתקה עדיין קיימת ויחידה.תרגול 3
  • אם הווקטורים הנתונים בת"ל אך אינם פורשים — TT קיימת אבל אינה יחידה: משלימים לבסיס באינסוף דרכים. מעל שדה אינסופי יש אינסוף העתקות כאלה, מעל שדה סופי מספר סופי. לכן "מצאו את TT" בשאלה כזו הוא ניסוח שגוי — יש לומר "מצאו TT אפשרית".תרגול 3
  • משפט ההרחבה מתת-מרחב (לא בהרצאה): אם U⊆VU\subseteq V תמ"ו ו-S:U→WS:U\to W ה"ל, אז קיימת T:V→WT:V\to W ה"ל המקיימת T(u)=S(u)T(u)=S(u) לכל u∈Uu\in U. ההוכחה: משלימים בסיס של UU לבסיס של VV ושולחים את התוספת ל-0W0_W. זה הכלי שמייצר העתקות "לפי דרישה".תרגול 3
  • הוכח/הפרך: ker⁡T+Im T=V\ker T+\mathrm{Im}\,T=V — הפרכה. עבור T(xy)=(y0)T\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\0\end{pmatrix} ב-R2\mathbb{R}^2 מתקיים ker⁡T=Im T=span{e1}\ker T=\mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{e_1\}, ולכן הסכום הוא span{e1}≠R2\mathrm{span}\{e_1\}\ne\mathbb{R}^2. שימי לב לניגוד: שוויון המימדים dim⁡ker⁡+dim⁡Im=dim⁡V\dim\ker+\dim\mathrm{Im}=\dim V אינו אומר שהסכום הוא VV — צריך גם חיתוך טריוויאלי (וזה בדיוק מה שנתון במטלה 3 ש׳3).תרגול 3
  • ספירה מעל שדה סופי: מספר ההעתקות הלינאריות Fp n→Fp m\mathbb{F}_p^{\,n}\to\mathbb{F}_p^{\,m} הוא (pm)n=pmn(p^m)^n=p^{mn} — בדיוק מספר המטריצות ב-Mm×n(Fp)M_{m\times n}(\mathbb{F}_p). זה הרמז המספרי לאיזומורפיזם Hom(V,W)≅Mm×n\mathrm{Hom}(V,W)\cong M_{m\times n} של שבוע 3.תרגול 3
  • איך מוצאים T−1T^{-1} כשלא מדובר ב-Fn→Fm\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m: אם TT הפיכה אז המקורות של בסיס של WW הם בסיס של VV, ולכן משפט הקיום והיחידות בונה את T−1T^{-1} ישירות. עבור Fn→Fm\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m פשוט פותרים את המערכת T(x)=αT(x)=\alpha בדירוג, והתשובה היא A−1A^{-1}.תרגול 3
  • הפרכת הפיכות בלי חישוב: T:R2→R3T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 לא יכולה להיות הפיכה כי הפיכות גוררת "על", ו-dim⁡Im T≤2<3\dim\mathrm{Im}\,T\le 2<3. אבל אותה נוסחה בדיוק אל תוך span\mathrm{span} דו-ממדי כן הפיכה — הטווח שכתוב בשאלה הוא חצי מהתשובה.תרגול 3

תכונות קטנות שחייבים לדעת (12)

10 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות
  • משפט הקיום והיחידות: אם v1,…,vnv_1,\dots,v_n בסיס של VV ו-w1,…,wn∈Ww_1,\dots,w_n\in W כלשהם, קיימת ה"ל יחידה עם T(vi)=wiT(v_i)=w_i. ה-wiw_i לא חייבים להיות בת"ל, לא חייבים בסיס, ו-dim⁡W\dim W לא חייב להיות nn.הרצאה 2, משפט 1
  • הצד השימושי של היחידות: אם S,TS,T ה"ל ומתקיים S(vi)=T(vi)S(v_i)=T(v_i) לכל איברי בסיס — אז S=TS=T. זה הצעד האחרון שסוגר הוכחות "הראו ש-Tn=idT^n=id" או "הראו ש-S∘T=T∘SS\circ T=T\circ S".הרצאה 2 משפט 1; מנוסח כמסקנה נפרדת בתרגול 3
  • משפט המימדים השני: dim⁡V=dim⁡ker⁡T+dim⁡Im T\dim V=\dim\ker T+\dim\mathrm{Im}\,T. ההנחה היחידה היא ש-VV נוצר סופית; על WW אין שום הנחה.הרצאה 2, משפט 2
  • שלוש המסקנות, בניסוח שאפשר לצטט בבחינה — וההנחה שפותחת את שלושתן בהרצאה היא ש-V,WV,W נוצרים סופית: dim⁡V=dim⁡W⇒\dim V=\dim W\Rightarrow (חח"ע אם"ם על); dim⁡V<dim⁡W⇒\dim V<\dim W\Rightarrow לא על; dim⁡V>dim⁡W⇒\dim V>\dim W\Rightarrow לא חח"ע. בלי הסופיות הראשונה פשוט נכשלת (R[x]\mathbb{R}[x] עם T(p)=xpT(p)=xp), ובבחינה דורשים לצטט כל תנאי.הרצאה 2, מסקנות חשובות
  • Rank–nullity: לכל A∈Mm×n(F)A\in M_{m\times n}(\mathbb{F}) מתקיים dim⁡null(A)+rank(A)=n\dim\mathrm{null}(A)+\mathrm{rank}(A)=n — ו-nn הוא מספר העמודות (מספר המשתנים), לא מספר השורות.הרצאה 2, מסקנה 4
  • הגשר בין מטריצות להעתקות: col(A)=Im(TA)\mathrm{col}(A)=\mathrm{Im}(T_A) ו-null(A)=ker⁡(TA)\mathrm{null}(A)=\ker(T_A). לכן rank(A)=dim⁡Im(TA)\mathrm{rank}(A)=\dim\mathrm{Im}(T_A) — משפט המימדים ורנק-נוליטי הם אותו משפט.הרצאה 2, הערות 1–2
  • דירוג שומר על מרחב השורות, לא בהכרח על מרחב העמודות — אבל כן על המימד שלו. לכן מותר לדרג כדי למצוא rank\mathrm{rank}, אבל אסור לקרוא בסיס לתמונה מהעמודות של המטריצה המדורגת.הרצאה 2, הערה למסקנה 4
  • איזומורפיזם = ה"ל + הפיכה. ≅\cong הוא יחס שקילות: V≅VV\cong V (זהות), סימטרי (T−1T^{-1} ה"ל והפיכה), טרנזיטיבי (S∘TS\circ T).הרצאה 2, הגדרה + הערה 3
  • ker⁡T=Im T\ker T=\mathrm{Im}\,T אפשרי רק כאשר dim⁡V\dim V זוגי: המשפט נותן dim⁡V=2dim⁡Im T\dim V=2\dim\mathrm{Im}\,T. ב-R3\mathbb{R}^3 זה בלתי אפשרי (1.51.5), ב-R4\mathbb{R}^4 בונים דוגמה: e1,e2↦0e_1,e_2\mapsto 0, e3↦e1e_3\mapsto e_1, e4↦e2e_4\mapsto e_2.הרצאה 2, תרגילים 2–3
  • אם T∘T=TT\circ T=T (הטלה) אז V=ker⁡T⊕Im TV=\ker T\oplus\mathrm{Im}\,T. הלב: w∈ker⁡T∩Im T⇒w=T(v)=T(T(v))=T(w)=0w\in\ker T\cap\mathrm{Im}\,T\Rightarrow w=T(v)=T(T(v))=T(w)=0; ואת השוויון סוגרים במימדים.מטלה 3 ש׳3
  • מעל R\mathbb{R}: Null(AtA)=Null(A)\mathrm{Null}(A^tA)=\mathrm{Null}(A) ולכן rank(AtA)=rank(A)\mathrm{rank}(A^tA)=\mathrm{rank}(A). הלמה שמאחורי זה: y⃗ ty⃗=∑yi2=0⇒y⃗=0\vec y^{\,t}\vec y=\sum y_i^2=0\Rightarrow\vec y=0 — נכון מעל R\mathbb{R} בלבד.מטלה 3 ש׳6
  • לבנות TT עם גרעין ותמונה מוזמנים מראש: מגדירים על בסיס. לדוגמה T(A)=A−AtT(A)=A-A^t על Mn(R)M_n(\mathbb{R}) נותנת ker⁡T=\ker T= הסימטריות ו-Im T=\mathrm{Im}\,T= האנטי-סימטריות, כשההכלה ⊆\subseteq קלה והשוויון נסגר במימדים.מטלה 3 ש׳2

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

נתון"קבעו האם קיימת ה"ל TT המקיימת T(u1)=w1,…,T(uk)=wkT(u_1)=w_1,\dots,T(u_k)=w_k"
שואליםזו קודם כול שאלה על ה-uiu_i, לא על ה-wiw_i. שלושה מצבים, וכל אחד עם תשובה קבועה.
המהלך(1) ה-uiu_i בסיס ⇒\Rightarrow קיימת ויחידה (משפט 1). (2) בת"ל ולא פורשים ⇒\Rightarrow קיימת, לא יחידה — משלימים לבסיס ובוחרים תמונות שרירותיות. (3) תלויים ⇒\Rightarrow כתבי את התלות המפורשת ∑αiui=0\sum\alpha_iu_i=0 ובדקי אם ∑αiwi=0\sum\alpha_iw_i=0; אם לא — הפרכה בשורה אחת, אם כן — התנאי העודף פשוט נובע.
נתוןT:V→WT:V\to W עם dim⁡V>dim⁡W\dim V>\dim W (למשל R9→R4\mathbb{R}^9\to\mathbb{R}^4)
שואליםבאמת מבקשים ממך וקטור לא-אפס בגרעין, או חסם על dim⁡ker⁡T\dim\ker T.
המהלךמסקנה 3 נותנת מיד ker⁡T≠{0}\ker T\ne\{0\}, ומשפט המימדים נותן את החסם המדויק dim⁡ker⁡T=dim⁡V−dim⁡Im T≥dim⁡V−dim⁡W\dim\ker T=\dim V-\dim\mathrm{Im}\,T\ge\dim V-\dim W. במטלה 3 ש׳5(א): 9=dim⁡ker⁡+dim⁡Im≤2dim⁡Im≤89=\dim\ker+\dim\mathrm{Im}\le 2\dim\mathrm{Im}\le 8 — סתירה.
נתוןנתון S∘T=0S\circ T=0 (או "Im T⊆ker⁡S\mathrm{Im}\,T\subseteq\ker S")
שואליםמבקשים אי-שוויון בין מימדי תמונות. זהו תרגיל חסמים, לא תרגיל חישוב.
המהלךמ-S(T(v))=0S(T(v))=0 לכל vv נובע Im T⊆ker⁡S\mathrm{Im}\,T\subseteq\ker S ולכן dim⁡Im T≤dim⁡ker⁡S\dim\mathrm{Im}\,T\le\dim\ker S; מציבים במשפט המימדים ל-SS ומקבלים dim⁡Im T+dim⁡Im S≤dim⁡W\dim\mathrm{Im}\,T+\dim\mathrm{Im}\,S\le\dim W. נשאל ככה בסימולציה 2024.
נתוןנתונות תלויות/בת"ל של T(vi)T(v_i) או T2(vi)T^2(v_i), ומבקשים חסם על dim⁡V\dim V
שואליםכל בת"ל בתמונה מרימה את dim⁡Im T\dim\mathrm{Im}\,T; כל וקטור שנופל לאפס מרים את dim⁡ker⁡T\dim\ker T. סוכמים.
המהלךמטלה 3 ש׳4 (וחזר כמעט מילה במילה בסימולציה 2024): T(v1),T(v2)T(v_1),T(v_2) בת"ל ⇒dim⁡Im T≥2\Rightarrow\dim\mathrm{Im}\,T\ge2; T2(v1),T2(v2)T^2(v_1),T^2(v_2) ת"ל ⇒\Rightarrow יש צירוף לא טריוויאלי α1T(v1)+α2T(v2)∈ker⁡T\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)\in\ker T שאינו 00 ⇒dim⁡ker⁡T≥1\Rightarrow\dim\ker T\ge1. סה"כ dim⁡V≥3\dim V\ge3.
נתון"האם V≅WV\cong W?" עבור מרחבים שנראים שונה לגמרי (מטריצות סימטריות מול פולינומים)
שואליםאין מה לבנות העתקה. סופרים מימדים בלבד.
המהלךמטלה 3 ש׳5(ב): dim⁡{A∈M2:At=A}=3=dim⁡F2[x]\dim\{A\in M_2:A^t=A\}=3=\dim\mathbb{F}_2[x], ושני מרחבים נ"ס מעל אותו שדה עם אותו מימד הם איזומורפיים. אזהרה: זה נותן שקיים איזומורפיזם — לא שהעתקה מסוימת שנתונה לך היא כזו.
נתון"בנו/הוכיחו שקיימת TT שעבורה ker⁡T=X\ker T=X ו-Im T=Y\mathrm{Im}\,T=Y"
שואליםזו הזמנה להשתמש במשפט הקיום: מגדירים על בסיס ואז סוגרים במימדים.
המהלךבחרי בסיס ל-XX, שלחי אותו ל-00, והשלימי לבסיס של VV כך שהתמונות של השאר יפרשו את YY. אחר כך: הכלה אחת קלה (⊆\subseteq), משפט המימדים נותן שוויון מימדים, ומשוויון מימדים בתמ"ו נובע שוויון קבוצות. בדיוק כך בתרגיל 3 בהרצאה ובמטלה 3 ש׳2.

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית
לצטט את משפט המימדים כשנתון רק ש-WW נוצר סופית, או בלי שום הנחת סופיות
המשפט דורש VV נוצר סופית, ורק אותו. אם בשאלה לא נאמר ש-VV נ"ס — כנראה שהתשובה היא הפרכה, והדוגמה היא R[x]\mathbb{R}[x].
"TT חח"ע ולכן TT על"
מסקנה 1 דורשת גם dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W וגם מימד סופי. T(p)=x⋅pT(p)=x\cdot p על R[x]\mathbb{R}[x] חח"ע ולא על — אותו מרחב בדיוק בשני הצדדים, ועדיין נכשל.
dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W ולכן ה-TT שנתונה לי היא איזומורפיזם
שוויון מימדים נותן רק ש-קיים איזומורפיזם, כלומר V≅WV\cong W. העתקת האפס גם היא T:V→WT:V\to W עם dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W. עבור TT ספציפית עדיין צריך לחשב ker⁡T\ker T.
dim⁡ker⁡T+dim⁡Im T=dim⁡V\dim\ker T+\dim\mathrm{Im}\,T=\dim V ולכן ker⁡T⊕Im T=V\ker T\oplus\mathrm{Im}\,T=V
לא. חסר החיתוך הטריוויאלי. ההפרכה מתרגול 3: T(xy)=(y0)T\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\0\end{pmatrix} מקיימת ker⁡T=Im T\ker T=\mathrm{Im}\,T, המימדים מסתדרים, והסכום הוא קו ולא המישור. הסכום הישר נכון תחת T∘T=TT\circ T=T (מטלה 3 ש׳3).
להשתמש במשפט הקיום והיחידות על קבוצת וקטורים כלשהי
רק על בסיס. על קבוצה תלויה — אין משפט, וצריך לבדוק עקביות ידנית; על קבוצה בת"ל שאינה פורשת — יש קיום בלי יחידות.
רנק-נוליטי בצורה dim⁡null(A)+rank(A)=m\dim\mathrm{null}(A)+\mathrm{rank}(A)=m (מספר השורות)
=n=n, מספר העמודות — כי TA:Fn→FmT_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m והמשפט מדבר על מימד התחום. בדיקת שפיות: null(A)⊆Fn\mathrm{null}(A)\subseteq\mathbb{F}^n.
קיום ויחידות ומשפט המימדים
הסיכומון וההגדרות המלאות
הדף הקודם
העתקות לינאריות
הדף הבא
קואורדינטות ומטריצה מייצגת