MentoraLINEAR 2

דף הנושא — קואורדינטות ומטריצה מייצגת

וקטור קואורדינטות, המטריצה המייצגת והרכבה

19 תכונות
8 מהתרגול בלבד
6 מלכודות
בשורה אחת

בחירת בסיסים סדורים מחליפה כל וקטור בעמודת מספרים וכל העתקה במטריצה אחת, כך ש-[T]BA [v]A=[T(v)]B[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\,[v]_{\mathcal{A}}=[T(v)]_{\mathcal{B}} — הפעלת העתקה הופכת לכפל מטריצה, והרכבה הופכת למכפלת מטריצות.

מה צריך לדעת קודם
  • 2משפט הקיום והיחידות — הוא שמוכיח שכל מטריצה ב-Mm×nM_{m\times n} היא מטריצה מייצגת של העתקה אחת ויחידה
  • 2משפט המימדים: הוא שיתרגם ל-dim⁡ker⁡T=dim⁡null\dim\ker T=\dim\mathrm{null} ו-dim⁡Im T=rank\dim\mathrm{Im}\,T=\mathrm{rank} של המטריצה המייצגת
  • 0דירוג, דרגה, דטרמיננטה ואלגוריתם ההיפוך — כל החישוב בשבוע הזה מתבצע על המטריצה
למה זה מוביל
  • 4דמיון: [T]BB=[id]BA [T]AA [id]AB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}=[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\,[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}\,[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}} — שתי מטריצות דומות אם"ם הן מייצגות את אותו אופרטור בשני בסיסים
  • 5לכסון = חיפוש בסיס שבו [T]BB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}} אלכסונית. כל שאלת לכסון היא שאלה על המטריצה המייצגת

מה המטריצה המייצגת שומרת ומה משתנה עם הבסיס

תהי T:V→WT:V\to W ה"ל, dim⁡V=n\dim V=n, dim⁡W=m\dim W=m, ובסיסים סדורים A\mathcal{A} של VV ו-B\mathcal{B} של WW.

תכונהלא תלוי בבחירת הבסיסים?למה, ואיך משתמשים בזה
הגודל: [T]BA∈Mm×n(F)[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\in M_{m\times n}(\mathbb{F})
העליון (התחום) קובע את מספר העמודות, התחתון (הטווח) את מספר השורות. בדיקת שפיות ראשונה לכל תשובה.
דרגה: rank[T]BA=dim⁡Im T\mathrm{rank}[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}=\dim\mathrm{Im}\,T
הוכח בתרגול 4, לא בהרצאה: Im T≅Col[T]BA\mathrm{Im}\,T\cong\mathrm{Col}[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}. לכן כל המטריצות המייצגות של אותה TT, בכל זוג בסיסים, בעלות אותה דרגה.
מימד הגרעין: dim⁡Null[T]BA=dim⁡ker⁡T\dim\mathrm{Null}[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}=\dim\ker T
תרגול 4, ובאופן מפורש: v∈ker⁡T  ⟺  [v]A∈Null[T]BAv\in\ker T \iff [v]_{\mathcal{A}}\in\mathrm{Null}[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}. ככה מוצאים בסיס לגרעין של העתקה על פולינומים או מטריצות.
הפיכות (כאשר dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W)
תרגול 4 (מסקנה): TT הפיכה אם"ם [T]BA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} הפיכה. נשאל כהוכחה במבחן 2022א׳ ש׳5.1.
הכניסות עצמן
ברור אבל קריטי: אותה TT בבסיסים אחרים = מטריצה אחרת לגמרי. בתרגול 4 אותה TT נותנת [T]EE=(301−1)[T]^{\mathcal{E}}_{\mathcal{E}}=\begin{pmatrix}3&0\\1&-1\end{pmatrix}, [T]BB=(300−1)[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix} ו-[T]BE=(3/401/4−1)[T]^{\mathcal{E}}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}3/4&0\\1/4&-1\end{pmatrix}.
עקבה ודטרמיננטה כשמשנים רק בסיס אחד
הדוגמה של תרגול 4: det⁡[T]EE=−3\det[T]^{\mathcal{E}}_{\mathcal{E}}=-3 אבל det⁡[T]BE=−34\det[T]^{\mathcal{E}}_{\mathcal{B}}=-\tfrac34. הסיבה: הוכפלת במטריצת מעבר שהדטרמיננטה שלה אינה 11.
עקבה ודטרמיננטה של [T]AA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}} מול [T]BB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}} (אותו בסיס משני הצדדים)
התרגול עוצר על זה במפורש ("האם מדובר בצירוף מקרים?"). התשובה היא שבוע 4: שתיהן דומות, ולכן שוות עקבה ודטרמיננטה.
המטריצה של idid
[id]AA=In[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}=I_n תמיד, אבל [id]BA≠I[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\ne I כאשר A≠B\mathcal{A}\ne\mathcal{B} — וגם שינוי סדר בתוך אותו בסיס נותן מטריצת תמורה.
האפשרות לקבל צורה פשוטה במיוחד
תרגול 4: לכל T:V→VT:V\to V קיימים בסיסים B,C\mathcal{B},\mathcal{C} שבהם [T]CB=(Ir000)[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix} עם r=dim⁡Im Tr=\dim\mathrm{Im}\,T. עם בסיס אחד משני הצדדים כבר אי אפשר — שם מתחיל הלכסון.
כל מה שהוא תכונה של TT עצמה (דרגה, מימד גרעין, הפיכות) שווה בכל המטריצות המייצגות שלה; כל מה שהוא תכונה של המספרים (כניסות, עקבה, דטרמיננטה בבסיסים מעורבים) — לא. לכן לשאלת "האם קיים בסיס שבו המטריצה היא KK" עונים בהשוואת דרגה או הפיכות.

מפת האינדקסים — אילו זהויות חוקיות

הקונבנציה של הקורס: [T]BA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} — למעלה בסיס התחום, למטה בסיס הטווח. העמודה ה-jj היא [T(vj)]B[T(v_j)]_{\mathcal{B}}: מפעילים TT על איברי A\mathcal{A} ומבטאים ב-B\mathcal{B}.

תכונהחוקי?למה, ואיך משתמשים בזה
[T]BA [v]A=[T(v)]B[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\,[v]_{\mathcal{A}}=[T(v)]_{\mathcal{B}}
משפט 7. הבסיס של הווקטור חייב להתאים ל-אינדקס העליון. אם כתבת [v]B[v]_{\mathcal{B}} מימין — טעות.
[S]CB [T]BA=[S∘T]CA[S]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}\,[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}=[S\circ T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{C}}
משפט 9. האינדקסים הפנימיים (עליון של השמאלית, תחתון של הימנית) חייבים להיות שווים ומתקזזים; החיצוניים שורדים. זו בדיקת האינדקסים שתופסת כל טעות כיוון.
[T]BA [S]CB[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\,[S]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}
לא חוקי — האינדקסים הפנימיים הם A\mathcal{A} ו-C\mathcal{C} ואינם מתקזזים. לרוב גם הגדלים לא יתאימו לכפל, וזה מציל אותך.
([T]BA)−1=[T−1]AB\left([T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\right)^{-1}=[T^{-1}]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}
משפט 10 (מופיע גם בדף הנוסחאות). ההיפוך מחליף את שני האינדקסים. במטלה 4 ש׳1(ג) זה בדיוק מה שחוסך חישוב מחדש.
[αT+βS]BA=α[T]BA+β[S]BA[\alpha T+\beta S]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}=\alpha[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}+\beta[S]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}
משפט 5. חיבור וכפל בסקלר לא נוגעים באינדקסים — רק אותם בסיסים בשני האגפים.
[T]BA=[T]AB[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}=[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}} אם רק "מסובבים"
לא. אלה שתי מטריצות שונות לגמרי (ולרוב בגדלים שונים). אזהרה מתרגול 4: בחצי מספרי הלימוד מסמנים הפוך — בבחינה הזו הולכים לפי הקונבנציה של הקורס.
מטריצת מעבר: P=[id]BAP=[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} מעבירה [v]A↦[v]B[v]_{\mathcal{A}}\mapsto[v]_{\mathcal{B}}
הגדרה + משפט 7. העמודה ה-jj שלה היא [vj]B[v_j]_{\mathcal{B}}: מבטאים את איברי הבסיס הישן A\mathcal{A} בעזרת החדש B\mathcal{B}. תמיד הפיכה, ו-P−1=[id]ABP^{-1}=[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}.
לפני שאת מחשבת משהו — כתבי את שרשרת האינדקסים ובדקי שהיא מתקזזת מימין לשמאל. אם [T]BB=[id]?? [T]AA [id]??[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}=[id]^{?}_{?}\,[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}\,[id]^{?}_{?} — הימנית חייבת להתחיל ב-B\mathcal{B} למעלה ולהסתיים ב-A\mathcal{A} למטה, כלומר [id]AB[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}, והשמאלית היא [id]BA[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}.

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (8)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד
  • ker⁡T≅Null[T]BA\ker T\cong\mathrm{Null}[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} ו-Im T≅Col[T]BA\mathrm{Im}\,T\cong\mathrm{Col}[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} — ובניסוח שמשתמשים בו בפועל: v∈ker⁡T  ⟺  [v]A∈Nullv\in\ker T\iff[v]_{\mathcal{A}}\in\mathrm{Null}, ו-w∈Im T  ⟺  [w]B∈Colw\in\mathrm{Im}\,T\iff[w]_{\mathcal{B}}\in\mathrm{Col}. זה לא בהרצאה 3, וזה מה שהופך כל שאלת גרעין/תמונה במרחב מופשט לדירוג מטריצה.תרגול 4
  • מסקנה: כאשר dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W, ההעתקה TT הפיכה אם"ם [T]BA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} הפיכה. ההרצאה (משפט 10) נותנת רק את הכיוון "אם TT הפיכה אז ההופכית של המטריצה היא המטריצה של ההופכית", וזה גם הכיוון שנשאל כהוכחה במבחן 2022א׳ ש׳5.1; הכיוון השני — ממטריצה הפיכה להעתקה הפיכה — מגיע מהתרגול, ומשמש בפתרונות כמסקנה.תרגול 4
  • קבוצה C⊆VC\subseteq V היא בת"ל / פורשת / בסיס אם"ם קבוצת וקטורי הקואורדינטות שלה היא כזו ב-Fn\mathbb{F}^n (ביחס לכל בסיס, ובפועל תמיד הסטנדרטי). זו הדרך לבדוק אם שלושה פולינומים או שלוש מטריצות הם בסיס: הופכים לעמודות, מדרגים או מחשבים דטרמיננטה.תרגול 4
  • אם [T]BB=αIn[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}=\alpha I_n עבור בסיס אחד — זו המטריצה המייצגת שלה ביחס ל-כל בסיס. הסיבה: מהמטריצה נובע [T(v)]B=α[v]B[T(v)]_{\mathcal{B}}=\alpha[v]_{\mathcal{B}} לכל vv, ומחח"ע של וקטור הקואורדינטות T=α⋅idT=\alpha\cdot id. זה התאום המדויק של "מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה" משבוע 4.תרגול 4
  • צורת הדרגה: לכל T:V→VT:V\to V (נ"ס) קיימים בסיסים סדורים B,C\mathcal{B},\mathcal{C} שעבורם [T]CB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}} היא 11-ים על תחילת האלכסון ואפסים בכל השאר, כאשר מספר ה-11-ים הוא dim⁡Im T\dim\mathrm{Im}\,T ומספר שורות האפס הוא dim⁡ker⁡T\dim\ker T. הבנייה: בסיס לתמונה →\to מקורות שלו →\to משלימים בבסיס לגרעין. אותו רעיון בדיוק נשאל במבחן 2021א׳ ש׳3(א),(ב) — אבל שימי לב שהמבחן ההוא כותב [T]B1B2[T]^{B_2}_{B_1} כאשר B1B_1 הוא בסיס התחום, כלומר בסימון ההפוך לזה של הקורס.תרגול 4
  • עבור T(X)=A⋅XT(X)=A\cdot X על M2(F)M_2(\mathbb{F}): det⁡[T]EE=(det⁡A)2\det[T]^{\mathcal{E}}_{\mathcal{E}}=(\det A)^2, ולכן TT הפיכה אם"ם AA הפיכה. שווה לזכור כדוגמה — היא חוזרת בבחינות בניסוח "אם TT חח"ע האם KK הפיכה?".תרגול 4
  • אזהרת סימון מפורשת בתרגול: בחצי מספרי הלימוד (ובסיכומים ישנים) המטריצה המייצגת מסומנת עם האינדקסים ההפוכים. בקורס הזה — ובדף הנוסחאות — [T]BA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} פירושו מ-A\mathcal{A} (תחום) אל B\mathcal{B} (טווח). אל תעתיקי נוסחה ממקור חיצוני.תרגול 4, הערת שוליים
  • התופעה שפותחת את שבוע 4: בדוגמה של התרגול det⁡\det ו-tr\mathrm{tr} של [T]EE[T]^{\mathcal{E}}_{\mathcal{E}} ושל [T]BB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}} יצאו שווים. התרגול שואל "האם זה צירוף מקרים?" — התשובה היא לא, וזה בדיוק משפט הדמיון של שבוע 4.תרגול 4

תכונות קטנות שחייבים לדעת (11)

11 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות
  • וקטור הקואורדינטות מוגדר היטב כי ההצגה בבסיס יחידה, וההתאמה v↦[v]Av\mapsto[v]_{\mathcal{A}} היא איזומורפיזם V→FnV\to\mathbb{F}^n. לכן היא לינארית: [αu+βv]A=α[u]A+β[v]A[\alpha u+\beta v]_{\mathcal{A}}=\alpha[u]_{\mathcal{A}}+\beta[v]_{\mathcal{A}}.הרצאה 3, משפטים 2–3
  • שלושה ערכים שכדאי לדעת בעל פה: [v⃗]E=v⃗[\vec v]_{\mathcal{E}}=\vec v בבסיס הסטנדרטי (משפט 4), [vi]A=e⃗i[v_i]_{\mathcal{A}}=\vec e_i לאיבר בסיס, ו-[0V]A=0⃗[0_V]_{\mathcal{A}}=\vec 0.הרצאה 3, משפט 4 + תרגול 4 ("בדיקת שפיות")
  • הגדרת המטריצה המייצגת מילה במילה: "[T]BA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} היא המטריצה מסדר m×nm\times n שהעמודה ה-jj שלה היא [T(vj)]B[T(v_j)]_{\mathcal{B}}", כאשר A=(v1,…,vn)\mathcal{A}=(v_1,\dots,v_n) בסיס VV ו-B=(w1,…,wm)\mathcal{B}=(w_1,\dots,w_m) בסיס WW. הסדר בבסיס הסדור קובע: החלפת סדר ב-A\mathcal{A} מחליפה עמודות, החלפת סדר ב-B\mathcal{B} מחליפה שורות.הרצאה 3, הגדרה
  • ψ(T)=[T]BA\psi(T)=[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} היא איזומורפיזם Hom(V,W)→Mm×n(F)\mathrm{Hom}(V,W)\to M_{m\times n}(\mathbb{F}). המסקנה שמשמשת בכל הוכחה: אם שתי העתקות מיוצגות ע"י אותה מטריצה ביחס לאותם בסיסים — הן שוות.הרצאה 3, משפט 6
  • dim⁡Hom(V,W)=dim⁡V⋅dim⁡W\dim\mathrm{Hom}(V,W)=\dim V\cdot\dim W. משמש בשאלות מסוג "נתון dim⁡Hom(V,W)=10\dim\mathrm{Hom}(V,W)=10 ו-TT על — מצאו dim⁡ker⁡T\dim\ker T": בתרגיל שבהרצאה נתון גם dim⁡V,dim⁡W>1\dim V,\dim W>1, ולכן הפירוק היחיד הוא 10=2⋅510=2\cdot5; מ-TT על נובע dim⁡V≥dim⁡W\dim V\ge\dim W ולכן dim⁡V=5\dim V=5, dim⁡W=2\dim W=2, ומשפט המימדים נותן dim⁡ker⁡T=3\dim\ker T=3.הרצאה 3, מסקנה 3 + תרגיל (שקף 26)
  • למטריצה שמייצגת כפל: A=[TA]EmEnA=[T_A]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_m}. כלומר עבור Fn→Fm\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m בבסיסים הסטנדרטיים, המטריצה המייצגת היא בדיוק המטריצה שכופלת.הרצאה 3, תרגיל
  • מטריצת מעבר: P=[id]BAP=[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}, תמיד הפיכה, P−1=[id]ABP^{-1}=[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}, ומחשבים אותה פשוט ע"י ביטוי כל איבר של A\mathcal{A} כצירוף של איברי B\mathcal{B} (כי idid ניטרלית).הרצאה 3, הגדרה + הערה
  • אם B=(T(v1),…,T(vn))\mathcal{B}=(T(v_1),\dots,T(v_n)) הוא בסיס, אז [T]BA=In[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}=I_n, ומכאן ש-[T]AA=[T]BB[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}=[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}. ההוכחה כולה היא שרשרת אינדקסים: [T]AA=[id]AB[T]BA=[id]AB=[T]BA[id]AB=[T]BB[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}=[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}=[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}=[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}=[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}.מטלה 4 ש׳5
  • לחשב [T]BA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} כשהבסיס B\mathcal{B} אינו סטנדרטי דורש פתרון מערכת לכל עמודה — לכן כשאפשר, עוברים דרך הבסיס הסטנדרטי ומכפילים במטריצת מעבר במקום לפתור nn מערכות.derived (מהחישובים בתרגול 4 ובמטלה 4 ש׳1)
  • שאלת ההרכבה במטלה 4 ש׳4: מהנתון [S]AB[T]BA=[T]AB[S]BA[S]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}=[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}[S]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} מקבלים [S∘T]AA=[T∘S]AA[S\circ T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}=[T\circ S]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}} ולכן S∘T=T∘SS\circ T=T\circ S. שימי לב שהאינדקסים בשני האגפים חייבים לצאת זהים לפני שמסיקים.מטלה 4 ש׳4
  • מטריצה מייצגת מעל שדה סופי עובדת בדיוק אותו דבר — פשוט כל החשבון מודולו pp. במטלה 4 ש׳1 החישוב כולו ב-Z5\mathbb{Z}_5, כולל אלגוריתם ההיפוך.מטלה 4 ש׳1

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

נתוןנתונה [T]BA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} ווקטור vv, ומבקשים את T(v)T(v) (או נוסחה כללית ל-TT)
שואליםלא מחשבים את TT. שלושה צעדים מכניים.
המהלך(1) [v]A[v]_{\mathcal{A}} — פתרי צירוף לינארי בבסיס A\mathcal{A}. (2) הכפילי: [T]BA[v]A=[T(v)]B[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{A}}=[T(v)]_{\mathcal{B}}. (3) חזרי למרחב: T(v)=∑βiwiT(v)=\sum\beta_i w_i. במטלה 4 ש׳1(א) הדרך המהירה עוד יותר: העמודות של המטריצה הן [T(1)]B,[T(x)]B,[T(x2)]B[T(1)]_{\mathcal{B}},[T(x)]_{\mathcal{B}},[T(x^2)]_{\mathcal{B}}, אז קוראים מהן ישירות ומשתמשים בלינאריות.
נתוןנתונה מטריצה מייצגת ומבקשים dim⁡ker⁡T\dim\ker T, dim⁡Im T\dim\mathrm{Im}\,T או "האם TT הפיכה"
שואליםשאלת דרגה על המטריצה, בלי לגעת במרחב המופשט.
המהלךדרגי: dim⁡Im T=rank\dim\mathrm{Im}\,T=\mathrm{rank}, dim⁡ker⁡T=n−rank\dim\ker T=n-\mathrm{rank} (מספר העמודות פחות הדרגה), ובמקרה הריבועי TT הפיכה אם"ם det⁡≠0\det\ne0. אם צריך בסיס לגרעין — פתרי [T]BAx⃗=0⃗[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\vec x=\vec 0 ואז תרגמי כל פתרון חזרה x⃗↦∑xivi\vec x\mapsto\sum x_iv_i.
נתון"הוכיחו או הפריכו: קיים בסיס D\mathcal{D} שעבורו [T]DB=K[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{D}}=K"
שואליםמשווים אינווריאנט: דרגה או הפיכות. אין צורך למצוא בסיס.
המהלךכותבים [T]DB=[id]DC [T]CB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{D}}=[id]^{\mathcal{C}}_{\mathcal{D}}\,[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}; מטריצת מעבר הפיכה, ולכן שני האגפים באותה דרגה. במבחן 2024א׳ ש׳5.1.3: הנתונה הפיכה, המבוקשת עם det⁡=0\det=0 — סתירה, שתי שורות.
נתוןנתונה זהות בין מטריצות מייצגות, ומבקשים להוכיח זהות בין העתקות (S∘T=T∘SS\circ T=T\circ S, Tn=idT^n=id)
שואליםתרגם הכול למטריצות מייצגות ביחס לאותו זוג בסיסים, ואז השתמש בחח"ע של ψ\psi.
המהלךמשפט 9 מתרגם הרכבה למכפלה, משפט 8 מתרגם idid ל-InI_n; מסיימים במשפט "אותה מטריצה מייצגת ⇒\Rightarrow אותה העתקה". כך במטלה 4 ש׳4, במטלה 4 נוספת ש׳1 (מטריצות מתחלפות) ובמבחן 2025א׳.
נתוןנתונות [T]AA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}} ו-[T]AB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}} ומבקשים מטריצת מעבר או [T]BB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}
שואליםמשחק אינדקסים טהור — מבודדים את [id][id] מתוך זהות ההרכבה.
המהלךמטלה 4 ש׳3: מ-[T]AB=[T]AA[id]AB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}=[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}} מקבלים [id]AB=([T]AA)−1[T]AB[id]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}=\left([T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}}\right)^{-1}[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}}, ו-[id]BA[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} הוא ההופכי. ואז [T]BB=[id]BA[T]AB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}=[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{A}} — קיצור דרך במקום הסנדוויץ המלא. זו כבר שאלת דמיון: ראי שבוע 4.
נתוןשואלים אם אוסף פולינומים / מטריצות הוא בת"ל או בסיס
שואליםלא בודקים ישירות. עוברים לקואורדינטות.
המהלךתרגול 4: מחשבים [ui]B[u_i]_{\mathcal{B}} ביחס לבסיס הסטנדרטי, שמים כעמודות, ואז דירוג (דרגה מלאה?) או דטרמיננטה (≠0\ne0?). אם מספר הווקטורים שווה ל-dim⁡V\dim V, מספיק לבדוק אחד משני התנאים.

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית
לקרוא את [T]BA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} כ"מ-B\mathcal{B} ל-A\mathcal{A}", או לבנות עמודות מ-[T(wj)]A[T(w_j)]_{\mathcal{A}}
האינדקס העליון הוא בסיס התחום: מפעילים TT על איברי A\mathcal{A} ומבטאים את התוצאה ב-B\mathcal{B}, כך שהעמודה ה-jj היא [T(vj)]B[T(v_j)]_{\mathcal{B}}. תרגול 4 מזהיר במפורש שבחצי מספרי הלימוד הסימון הפוך — לכי לפי ההגדרה של ההרצאה ודף הנוסחאות.
לכפול [T]BA [v]B[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\,[v]_{\mathcal{B}}
הבסיס של הווקטור חייב להתאים לאינדקס העליון: [T]BA[v]A=[T(v)]B[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{A}}=[T(v)]_{\mathcal{B}}. בדיקה מהירה: הבסיס נעלם מלמעלה ומופיע למטה.
לכתוב [S∘T]=[T]⋅[S][S\circ T]=[T]\cdot[S] לפי סדר ההפעלה
הפוך: [S∘T]CA=[S]CB[T]BA[S\circ T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{C}}=[S]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} — הראשונה שפועלת היא הימנית. הבדיקה: האינדקסים הפנימיים (B\mathcal{B}) מתקזזים; אם הם לא, סימן שהפכת סדר.
לבנות את מטריצת המעבר [id]BA[id]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}} מהעמודות [wj]A[w_j]_{\mathcal{A}}
העמודות הן [vj]B[v_j]_{\mathcal{B}} — כותבים את איברי A\mathcal{A} (העליון) בעזרת B\mathcal{B} (התחתון). זו בדיוק אותה חוקיות כמו של [T][T], עם T=idT=id. אם התבלבלת קיבלת את המטריצה ההופכית.
לעצור ב-[T(v)]B[T(v)]_{\mathcal{B}} ולהגיש אותו כתשובה ל-"מצאו T(v)T(v)"
זו רק רשימת מקדמים. התשובה היא ∑βiwi\sum\beta_iw_i. בתרגול 4: [T(q)]C=(1,7,13)t[T(q)]_{\mathcal{C}}=(1,7,13)^t אבל T(q)=(8,14,20)tT(q)=(8,14,20)^t.
"קיבלתי מטריצה אחרת מהפתרון, כנראה טעיתי" — או ההפך, "כל המטריצות המייצגות שוות עקבה"
מטריצה אחרת בבסיסים אחרים היא צפויה. מה שחייב לצאת זהה: הדרגה, מימד הגרעין וההפיכות. עקבה ודטרמיננטה משותפות רק כשמדובר באותו בסיס משני הצדדים ([T]AA[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{A}} מול [T]BB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}) — וזה כבר שבוע 4.
קואורדינטות ומטריצה מייצגת
הסיכומון וההגדרות המלאות
הדף הקודם
קיום ויחידות ומשפט המימדים
הדף הבא
דמיון מטריצות