LINEAR 2

דף הנושא — היטל, בסל ופרסבל

בסיס אורתונורמלי, ההיטל הניצב ותכונותיו

23 תכונות
11 מהתרגול בלבד
6 מלכודות
בשורה אחת

בסיס אורתונורמלי הופך כל שאלת קואורדינטות למכפלות פנימיות בלבד, וההיטל projW(v)=∑i=1k⟨v,ui⟩uiproj_W(v)=\sum_{i=1}^{k}\langle v,u_i\rangle u_i הוא הווקטור היחיד ב-WW הקרוב ביותר ל-vv — כי ההפרש v−projW(v)v-proj_W(v) מאונך לכל WW.

מה צריך לדעת קודם
  • 9המכפלה הפנימית לינארית ברכיב הראשון וצמודה ברכיב השני: ⟨v,αu⟩=α‾⟨v,u⟩\langle v,\alpha u\rangle=\overline{\alpha}\langle v,u\rangle, וב-Fn\mathbf{F}^n מתקיים ⟨v⃗,u⃗⟩=∑viui‾\langle\vec v,\vec u\rangle=\sum v_i\overline{u_i}. כל נוסחה בשבוע הזה מניחה את הסדר הזה
  • 10נורמה, וקטור יחידה ונרמול u/∥u∥u/\|u\|; משפט פיתגורס ∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2 כש-u⊥vu\perp v — הוא המנוע של כמעט כל הוכחה כאן
למה זה מוביל
  • 12גרם-שמידט מייצר את הבסיס האורתונורמלי שההיטל דורש; והמשלים הניצב U⊥U^{\perp} הוא בדיוק ker⁡(projU)\ker(proj_U)
  • 13ריבועים פחותים: הפתרון המקורב של Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec b הוא הפתרון של Ax⃗0=projColA(b⃗)A\vec x_0=proj_{ColA}(\vec b). וגם המשפט הספקטרלי

אורתוגונלי מול אורתונורמלי — איפה בדיוק נכנס ∥ui∥2\|u_i\|^2

זו הטבלה שחוסכת את הטעות הכי נפוצה בפרק. כל שורה: אותה נוסחה, שתי גרסאות.

תכונהחייבים לחלק ב-∥ui∥2\|u_i\|^2?למה, ואיך משתמשים בזה
נוסחת המקדמים, בסיס אורתוגונלי (לא מנורמל)
v=∑i=1k⟨v,ui⟩∥ui∥2uiv=\sum_{i=1}^{k}\dfrac{\langle v,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i — הרצאה 11 משפט 4. שתי הנחות שחייבות להיאמר: ui≠0Vu_i\ne 0_V (אחרת הביטוי לא מוגדר) ו-v∈span{u1,…,uk}v\in span\{u_1,\dots,u_k\}.
נוסחת המקדמים, בסיס אורתונורמלי
v=∑i=1n⟨v,ui⟩uiv=\sum_{i=1}^{n}\langle v,u_i\rangle u_i — מסקנה 3. אותה נוסחה בדיוק, רק שהמכנה הוא 11.
ההיטל, בסיס אורתונורמלי
projW(v)=∑i=1k⟨v,ui⟩uiproj_W(v)=\sum_{i=1}^{k}\langle v,u_i\rangle u_i — זו ההגדרה בהרצאה, והיא נאמרת רק לוקטורים אורתונורמליים.
ההיטל, בסיס אורתוגונלי בלבד
projW(v)=∑i=1k⟨v,ui⟩∥ui∥2uiproj_W(v)=\sum_{i=1}^{k}\dfrac{\langle v,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i. הצורה הזו לא מוגדרת בהרצאה 11, אבל בה משתמשים בפועל: הרצאה 12 תרגיל 3, ומבחן 2017 מועד א ש׳5א.
פיתגורס המוכלל ∥u1+⋯+uk∥2=∑∥ui∥2\|u_1+\dots+u_k\|^2=\sum\|u_i\|^2
משפט 2. דורש אורתוגונליות בלבד — אין שום דרישת נרמול, ואין מכנה. זה הכלי שמוכיח את בסל, את המינימיזציה ואת בת"ל.
בת"ל של הקבוצה
משפט 3: אורתוגונלית ללא 0V0_V ⇒\Rightarrow בת"ל. נרמול לא נדרש; ההנחה ui≠0Vu_i\ne0_V כן.
∥projW(v)∥2=∑∣⟨v,ui⟩∣2\|proj_W(v)\|^2=\sum|\langle v,u_i\rangle|^2
משפט 5 סעיף 1 — רק לאורתונורמליים. עבור אורתוגונליים בלבד הביטוי הוא ∑∣⟨v,ui⟩∣2∥ui∥2\sum\dfrac{|\langle v,u_i\rangle|^2}{\|u_i\|^2} (נובע מפיתגורס על ∑ciui\sum c_iu_i).
בסל: ∑i=1k∣⟨v,ui⟩∣2≤∥v∥2\sum_{i=1}^{k}|\langle v,u_i\rangle|^2\le\|v\|^2
רק לאורתונורמליים. אם הוקטורים לא מנורמלים והצבת בנוסחה הזו — קיבלת אי-שוויון שגוי לחלוטין.
פרסבל: ∥v∥2=∑i=1n∣⟨v,ui⟩∣2\|v\|^2=\sum_{i=1}^{n}|\langle v,u_i\rangle|^2
מסקנה 4 — אורתונורמלי וגם בסיס של כל VV. שתי ההנחות נחוצות.
לפני שאת כותבת מקדם אחד, שאלי שאלה אחת: הוקטורים מנורמלים? אם לא — כל מקדם מתחלק ב-∥ui∥2\|u_i\|^2. שימי לב שגרם-שמידט בגרסה שעל דף הנוסחאות אינו מנרמל, ולכן הפלט שלו כמעט תמיד דורש את המכנה.

תכונות ההיטל — ומה מהן באמת הוכח, ואיפה

ההפרדה הזו קריטית: חצי מהתכונות שנשאלות במבחן לא נאמרו בהרצאה בכלל.

תכונההוכח בהרצאה?למה, ואיך משתמשים בזה
projW(v)∈Wproj_W(v)\in W
הרצאה 11, הערה 2. מיידי מההגדרה — ההיטל הוא צירוף של u1,…,uku_1,\dots,u_k. בדיקת שפיות ראשונה על כל תשובה מספרית.
v−projW(v)v-proj_W(v) מאונך לכל u∈Wu\in W
משפט 5 סעיפים 2-3. זה המנוע של כל השאר — כל הוכחה בפרק מתחילה מהפירוק v=(v−v~)+v~v=(v-\tilde v)+\tilde v ופיתגורס.
מזעור מרחק: ∥v−v~∥≤∥v−w∥\|v-\tilde v\|\le\|v-w\| לכל w∈Ww\in W
משפט 5 סעיף 4, ושוויון אם"ם w=v~w=\tilde v — כלומר הווקטור הקרוב ביותר לא רק קיים אלא יחיד. אל תוותרי על חלק ה-אם"ם, הוא זה שמוכיח את מסקנה 5.
בסל: ∥v~∥≤∥v∥\|\tilde v\|\le\|v\|, שוויון אם"ם v∈Wv\in W
משפט 6. ההוכחה שורה אחת: ∥v∥2=∥v−v~∥2+∥v~∥2\|v\|^2=\|v-\tilde v\|^2+\|\tilde v\|^2.
v∈W⇒projW(v)=vv\in W\Rightarrow proj_W(v)=v
הערה 3 בהרצאה 11, ומוכח כמשפט 1 בהרצאה 12 (דרך חיוביות לחלוטין). זו התכונה שממנה נובעת האידמפוטנטיות.
ההיטל אינו תלוי בבחירת הבסיס האורתונורמלי
מסקנה 5, ורק בזכותה מותר לכתוב projWproj_W במקום proju1,…,ukproj_{u_1,\dots,u_k}. ההוכחה עוברת דרך תכונת המינימום — זה לא "ברור מאליו".
projWproj_W היא העתקה לינארית
נאמר בתרגול 12 בלבד. ההרצאה מגדירה נוסחה, לא אופרטור. בלי זה אי אפשר בכלל לדבר על ker⁡\ker, Im\mathrm{Im}, לכסינות או מטריצה מייצגת.
projW∘projW=projWproj_W\circ proj_W=proj_W
תרגול 12 ומטלה 12 ש׳4א. ההוכחה שתי שורות: לינאריות ++ projW(u)=uproj_W(u)=u לכל u∈Wu\in W.
Im(projW)=W\mathrm{Im}(proj_W)=W ו-ker⁡(projW)=W⊥\ker(proj_W)=W^{\perp}
מטלה 12 ש׳4ב-ג. מכאן מיד: projWproj_W לכסינה, ע"ע 11 בריבוי dim⁡W\dim W ו-00 בריבוי dim⁡W⊥\dim W^{\perp}.
⟨projW(u),v⟩=⟨u,projW(v)⟩\langle proj_W(u),v\rangle=\langle u,proj_W(v)\rangle
מטלה 12 ש׳4ד. הטריק: מוסיפים ומחסרים projW(v)proj_W(v) ומנצלים ש-u−projW(u)⊥Wu-proj_W(u)\perp W ו-projW(v)∈Wproj_W(v)\in W.
∥projW(v)∥=∥v∥\|proj_W(v)\|=\|v\|
לא. רק ≤\le (בסל), ושוויון אם"ם v∈Wv\in W. אם קיבלת היטל ארוך מ-vv — יש טעות חשבונית, ודאי.
projW(v)proj_W(v) מאונך ל-vv
בלבול נפוץ. מה שמאונך ל-WW הוא ההפרש v−projW(v)v-proj_W(v), לא ההיטל עצמו.
ארבע השורות שאינן מההרצאה (לינאריות, P2=PP^2=P, Im\mathrm{Im} ו-ker⁡\ker, צמידות עצמית) הן כל מטלה 12 ש׳4. אם השאלה מתייחסת ל-projWproj_W כאל אופרטור ולא כאל נוסחה, זה המקור שממנו צריך לצטט.

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (11)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד
  • projUproj_U היא העתקה לינארית, ומקיימת projU∘projU=projUproj_U\circ proj_U=proj_U. ההרצאה מגדירה רק נוסחה ולא אומרת אף אחת משתי העובדות. ההוכחה: לינאריות מפרקת את projU(projU(v))proj_U(proj_U(v)) לצירוף של projU(ui)proj_U(u_i), וכל ui∈Uu_i\in U ולכן projU(ui)=uiproj_U(u_i)=u_i.תרגול 12; מטלה 12 ש׳4א
  • הכיוון ההפוך, שנשאל כ"הוכיחו": אם T:V→VT:V\to V לינארית מקיימת T2=TT^2=T וגם (ker⁡T)⊥=Im T(\ker T)^{\perp}=\mathrm{Im}\,T, אז קיים UU כך ש-T=projUT=proj_U (ובפרט U=Im TU=\mathrm{Im}\,T). ההערה בשוליים של התרגול: מעל R\mathbb{R} התנאי הזה גורר ש-TT מיוצגת בבסיס אורתונורמלי ע"י מטריצה סימטרית, ומעל C\mathbb{C} ע"י הרמיטית.תרגול 12
  • הפירוק היחיד: כל v∈Vv\in V נכתב ביחידות כ-v=u+u⊥v=u+u^{\perp} עם u=projU(v)∈Uu=proj_U(v)\in U ו-u⊥=v−projU(v)∈U⊥u^{\perp}=v-proj_U(v)\in U^{\perp} — כלומר v−projU(v)=projU⊥(v)v-proj_U(v)=proj_{U^{\perp}}(v). ההוכחה בתרגול: לוקחים בסיס אורתונורמלי של VV שחציו בסיס של UU וחציו של U⊥U^{\perp}, ומפצלים את הסכום.תרגול 12 (מסקנה), חוזר בתרגול 13
  • קיצור הדרך למרחק: מכיוון ש-v−projW(v)=projW⊥(v)v-proj_W(v)=proj_{W^{\perp}}(v), מתקיים d(v,W)=∥projW⊥(v)∥d(v,W)=\|proj_{W^{\perp}}(v)\|. כשמישור ב-R3\mathbb{R}^3 נתון ע"י משוואה אחת עם וקטור מקדמים n⃗\vec n, זה ∣⟨v,n⃗⟩∣∥n⃗∥\dfrac{|\langle v,\vec n\rangle|}{\|\vec n\|} — שורה אחת במקום גרם-שמידט. אימות מול מטלה 12 ש׳3ד: v⃗=(3,3,0)\vec v=(3,3,0), n⃗=(1,−2,2)\vec n=(1,-2,2), ומקבלים ∣3−6∣/3=1|3-6|/3=1, בדיוק תשובת הפתרון.נובע מהמסקנה בתרגול 12; מאמת את מטלה 12 ש׳3ד
  • Im(projW)=W\mathrm{Im}(proj_W)=W ו-ker⁡(projW)=W⊥\ker(proj_W)=W^{\perp}, ומכאן ש-projWproj_W לכסינה עם ע"ע 11 ו-00 בלבד. התרגול מפנה לטענה הכללית מתרגול 8: T2=T⇒TT^2=T\Rightarrow T לכסינה עם ע"ע 0,10,1 ו-V=ker⁡T⊕Im TV=\ker T\oplus\mathrm{Im}\,T.מטלה 12 ש׳4ב-ג; תרגול 12 (מפנה לתרגול 8)
  • ⟨projW(u),v⟩=⟨u,projW(v)⟩\langle proj_W(u),v\rangle=\langle u,proj_W(v)\rangle לכל u,v∈Vu,v\in V — "ההיטל עובר בין הרכיבים". ההוכחה משתמשת פעמיים בכך שהשארית מאונכת ל-WW וההיטל בתוך WW.מטלה 12 ש׳4ד
  • מטריצת גרם: אם Aij=⟨vi,vj⟩A_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle עבור v1,…,vnv_1,\dots,v_n בממ"פ ממשי ממימד nn, אז det⁡A≥0\det A\ge0. ההוכחה: לוקחים בסיס אורתונורמלי e1,…,ene_1,\dots,e_n, מגדירים Bij=⟨vi,ej⟩B_{ij}=\langle v_i,e_j\rangle ומראים A=BBtA=BB^t, ולכן det⁡A=(det⁡B)2\det A=(\det B)^2.תרגול 12
  • הפרכה ששווה לזכור בעל פה: הפעלת גרם-שמידט על שני ו"ע בת"ל לא בהכרח מחזירה ו"ע. הדוגמה: TT עם T(1,1)=2(1,1)T(1,1)=2(1,1) ו-T(1,0)=3(1,0)T(1,0)=3(1,0); גרם-שמידט על {(1,0),(1,1)}\{(1,0),(1,1)\} מחזיר את הבסיס הסטנדרטי, ו-T(0,1)=2(1,1)−3(1,0)=(−1,2)T(0,1)=2(1,1)-3(1,0)=(-1,2) אינו כפולה של (0,1)(0,1).תרגול 12
  • מטריצת המעבר בין שני בסיסים אורתונורמליים של ממ"פ ממשי היא אורתוגונלית (PtP=InP^tP=I_n). הסיבה: Pij=⟨uj,vi⟩P_{ij}=\langle u_j,v_i\rangle, ואז (PtP)ij=∑k⟨ui,vk⟩⟨uj,vk⟩=⟨ui,uj⟩=δij(P^tP)_{ij}=\sum_k\langle u_i,v_k\rangle\langle u_j,v_k\rangle=\langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij} — פרסבל בתחפושת.מטלה 12 ש׳5
  • ייצוג פונקציונל לינארי (נסמך על משפט מלפני שבועיים): כל T:V→FT:V\to\mathbb{F} לינארית היא φq(p)=⟨p,q⟩\varphi_q(p)=\langle p,q\rangle עבור qq יחיד, ומעל R\mathbb{R} מוצאים אותו בשורה אחת מבסיס אורתונורמלי: q=∑T(pi) piq=\sum T(p_i)\,p_i. בתרגול: מציאת qq עם p(1)=∫01p qp(1)=\int_0^1 p\,q נותנת q(x)=30x2−24x+3q(x)=30x^2-24x+3.תרגול 12
  • אם A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) סימטרית עם ע"ע חיוביים, אז ⟨Av⃗,v⃗⟩≥0\langle A\vec v,\vec v\rangle\ge0 לכל v⃗\vec v — פותחים את v⃗\vec v בבסיס אורתונורמלי של ו"ע ומקבלים ∑αi2λi\sum\alpha_i^2\lambda_i. כך נפתרת "הוכיחו או הפריכו: קיים v⃗\vec v עם ⟨Av⃗,v⃗⟩<0\langle A\vec v,\vec v\rangle<0".מטלה 12 ש׳2ב(ii)

תכונות קטנות שחייבים לדעת (12)

12 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות
  • ההיטל על וקטור בודד — הנוסחה שהכי הרבה שאלות מתחילות בה: עבור 0V≠u0_V\ne u מתקיים projspan{u}(v)=⟨v,u⟩∥u∥2uproj_{span\{u\}}(v)=\dfrac{\langle v,u\rangle}{\|u\|^2}u, וכש-∥u∥=1\|u\|=1 פשוט ⟨v,u⟩u\langle v,u\rangle u.הרצאה 11, הערה 1 ותרגיל 4 (היטל על הישר y=2xy=2x)
  • הסדר במכפלה קבוע: תמיד ⟨v,ui⟩\langle v,u_i\rangle — הווקטור המוטל ראשון. מעל C\mathbb{C} מתקיים ⟨ui,v⟩=⟨v,ui⟩‾\langle u_i,v\rangle=\overline{\langle v,u_i\rangle}, ולכן החלפת סדר מחזירה את המקדם הצמוד ותשובה שגויה.הרצאה 9 (הגדרת המ"פ) ++ הרצאה 11 משפט 4
  • קבוצה אורתוגונלית שאין בה 0V0_V היא בת"ל. מסקנה מעשית: kk וקטורים אורתוגונליים שונים מאפס במרחב ממימד kk הם כבר בסיס — אין מה לבדוק בת"ל בנפרד.הרצאה 11, משפט 3 ומסקנה 2
  • בסל בצורה המספרית שבה משתמשים: לכל קבוצה אורתונורמלית u1,…,uku_1,\dots,u_k (לאו דווקא בסיס) ולכל vv: ∑i=1k∣⟨v,ui⟩∣2≤∥v∥2\sum_{i=1}^{k}|\langle v,u_i\rangle|^2\le\|v\|^2. וההפרש המדויק הוא ∥v−v~∥2\|v-\tilde v\|^2.הרצאה 11, משפט 6 יחד עם משפט 5 סעיף 1
  • מתי בסל הופך לפרסבל: בדיוק כאשר v=v~v=\tilde v, כלומר כאשר v∈Wv\in W. לכן אם u1,…,unu_1,\dots,u_n בסיס אורתונורמלי של כל VV — יש שוויון לכל vv, וזו מסקנה 4.הרצאה 11, משפט 6 ++ מסקנה 4
  • נרמול לא הורס כלום: אם u1,…,uku_1,\dots,u_k אורתוגונליים ושונים מ-0V0_V אז u1∥u1∥,…,uk∥uk∥\dfrac{u_1}{\|u_1\|},\dots,\dfrac{u_k}{\|u_k\|} אורתונורמליים, ופורשים בדיוק את אותו תת-מרחב.הרצאה 11, מסקנה 1
  • פיתגורס המוכלל: ∥u1+⋯+uk∥2=∥u1∥2+⋯+∥uk∥2\|u_1+\dots+u_k\|^2=\|u_1\|^2+\dots+\|u_k\|^2 לכל קבוצה אורתוגונלית. שימי לב שההוכחה היא אינדוקציה שבה מראים ש-u1+⋯+uk−1u_1+\dots+u_{k-1} אורתוגונלי ל-uku_k.הרצאה 11, משפט 2
  • מרחק מווקטור לתת-מרחב מוגדר רק דרך ההיטל: d(v,W)=∥v−projW(v)∥d(v,W)=\|v-proj_W(v)\|, וזה באמת מינימום (מושג, ויחיד) ולא רק חסם תחתון.הרצאה 11, משפט 5 סעיף 4; מטלה 12 ש׳3ד
  • בבסיס אורתונורמלי וקטור הקואורדינטות שומר על נורמה: ∥[v]B∥=∥v∥\|[v]_{\mathcal{B}}\|=\|v\|. זו בדיוק פרסבל, והיא בדיקת שפיות מצוינת על חישוב מקדמים.נובע ממסקנה 4 בהרצאה 11
  • ההיטל מוגדר היטב על כל תמ"ו של ממ"פ נ"ס — שתי עובדות נדרשות: קיים בסיס אורתונורמלי (שבוע 12) והתוצאה אינה תלויה בבחירתו (מסקנה 5). זו בדיוק השאלה שהרצאה 12 פותחת בה.הרצאה 11 מסקנה 5 ++ הרצאה 12 מסקנה 3
  • במרחב מטריצות הכול עובד זהה עם ⟨A,B⟩=trace(Bt‾A)\langle A,B\rangle=trace\left(\overline{B^t}A\right). בהרצאה 11 תרגיל 1 המטריצות (1000),(0110),(0i−i0),(0001)\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} כבר אורתוגונליות, והנורמות הן 1,2,2,11,\sqrt2,\sqrt2,1 — כל העבודה היא הנרמול.הרצאה 9 (הגדרה) ++ הרצאה 11 תרגיל 1
  • הבסיס הסטנדרטי אורתונורמלי ביחס למ"פ הסטנדרטית, ולכן שם "קואורדינטה" ו"מכפלה פנימית" הם אותו דבר. במ"פ אחרת זה כמעט תמיד לא נכון — בדקי לפני שאת מניחה.הרצאה 11 (דוגמת הבסיס הסטנדרטי); הרצאה 12 תרגיל 3

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

נתון"מצאו את הווקטור ב-WW הקרוב ביותר ל-vv" או "מצאו את המינימום של {∥v−w∥:w∈W}\{\|v-w\|:w\in W\}"
שואליםזה ההיטל, ואין מועמד אחר — משפט 5 סעיף 4 נותן שוויון אם"ם w=v~w=\tilde v.
המהלךבסיס כלשהו ל-WW →\to גרם-שמידט →\to נוסחת ההיטל. המינימום עצמו הוא ∥v−projW(v)∥\|v-proj_W(v)\|. אם WW נתון ע"י משוואה הומוגנית אחת ב-Rn\mathbb{R}^n — מהיר בהרבה לחשב את ההיטל על W⊥W^{\perp} (שהוא חד-ממדי) ולחסר. הדגמה מלאה: הרצאה 12 תרגיל 3, הפולינום הקרוב ביותר ב-R1[x]\mathbb{R}_1[x].
נתוןנתון בסיס אורתונורמלי ומבקשים קואורדינטות, הצגה של vv, או מטריצה מייצגת
שואליםאפס מערכות משוואות. המקדמים הם ⟨v,ui⟩\langle v,u_i\rangle, נקודה.
המהלךמסקנה 3. אם הבסיס אורתוגונלי בלבד — מחלקים ב-∥ui∥2\|u_i\|^2. בדיקה בסוף: פרסבל, ∑∣⟨v,ui⟩∣2\sum|\langle v,u_i\rangle|^2 חייב לצאת בדיוק ∥v∥2\|v\|^2; אם לא — טעית במקדם.
נתוןנתון ש-{v1+v2, v1−v2}\{v_1+v_2,\ v_1-v_2\} (או צירוף דומה) אורתונורמלית, ושואלים על v1,v2v_1,v_2
שואליםלפתוח כל ∥⋅∥2\|\cdot\|^2 ו-⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle ולקבל מערכת משוואות בסקלרים ∥v1∥2,∥v2∥2,⟨v1,v2⟩\|v_1\|^2,\|v_2\|^2,\langle v_1,v_2\rangle.
המהלךמבחן 2017 מועד א ש׳5ב (מופיע בהרצאה 11): שלוש משוואות; חיסור שתיים נותן ⟨v1,v2⟩=0\langle v_1,v_2\rangle=0, השלישית נותנת ∥v1∥=∥v2∥\|v_1\|=\|v_2\|, ומכאן ∥v1∥=1/2\|v_1\|=1/\sqrt2 והזווית בין v1v_1 ל-v1+v2v_1+v_2 היא π/4\pi/4. מעל R\mathbb{R} מותר להשתמש ב-⟨v1,v2⟩=⟨v2,v1⟩\langle v_1,v_2\rangle=\langle v_2,v_1\rangle — מעל C\mathbb{C} לא.
נתוןצריך להוכיח אי-שוויון שבו סכום ריבועים של מכפלות פנימיות חסום ע"י נורמה
שואליםזו בסל, כמעט תמיד.
המהלךמשלימים/מאחדים לקבוצה אורתונורמלית אחת ומפעילים ∥v~∥≤∥v∥\|\tilde v\|\le\|v\|. הדגמה: הרצאה 13 תרגיל 4 — כאשר U⊥WU\perp W, איחוד הבסיסים האורתונורמליים שלהם הוא קבוצה אורתונורמלית, ומכאן ∥v∥2≥∥vU∥2+∥vW∥2\|v\|^2\ge\|v_U\|^2+\|v_W\|^2.
נתוןנתון אופרטור עם T2=TT^2=T, או שואלים "האם TT היא היטל אורתוגונלי"
שואליםT2=TT^2=T לבדו נותן: ע"ע 0,10,1 בלבד, V=ker⁡T⊕Im TV=\ker T\oplus\mathrm{Im}\,T, ו-TT לכסינה. כדי שתהיה היטל אורתוגונלי צריך בנוסף (ker⁡T)⊥=Im T(\ker T)^{\perp}=\mathrm{Im}\,T.
המהלךתרגול 12 מוכיח את שני הכיוונים. על תשובה מספרית: המטריצה המייצגת בבסיס הסטנדרטי חייבת לצאת סימטרית ולקיים P2=PP^2=P — ראי מטלה 12 ש׳3ג, שם התוצאה 19(82−2254−245)\frac19\begin{pmatrix}8&2&-2\\2&5&4\\-2&4&5\end{pmatrix} מקיימת את שתיהן.
נתוןמבקשים את המטריצה המייצגת של projWproj_W בבסיס הסטנדרטי
שואליםעמודה ii היא projW(e⃗i)proj_W(\vec e_i) — אין קיצור, אבל יש שלוש בדיקות.
המהלךמטלה 12 ש׳3ג. בדיקות: (1) המטריצה סימטרית; (2) P2=PP^2=P; (3) trace=dim⁡Wtrace=\dim W (כי הע"ע הם 11 בריבוי dim⁡W\dim W ו-00 אחרת) — בדוגמה 8+5+59=2=dim⁡W\frac{8+5+5}{9}=2=\dim W; (4) [projW]+[projW⊥]=In[proj_W]+[proj_{W^{\perp}}]=I_n.

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית
הרצתי גרם-שמידט, קיבלתי u1,u2u_1,u_2 אורתוגונליים, והצבתי projW(v)=⟨v,u1⟩u1+⟨v,u2⟩u2proj_W(v)=\langle v,u_1\rangle u_1+\langle v,u_2\rangle u_2
הנוסחה הזו תקפה רק לוקטורים מנורמלים. הגרסה של גרם-שמידט שבהרצאה 12 ושעל דף הנוסחאות מתחילה ב-u1=v1u_1=v_1 ואינה מנרמלת. או שמנרמלים בסוף, או שמשתמשים ב-∑⟨v,ui⟩∥ui∥2ui\sum\frac{\langle v,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i.
כתבתי ⟨ui,v⟩\langle u_i,v\rangle במקום ⟨v,ui⟩\langle v,u_i\rangle — זה סימטרי
מעל R\mathbb{R} לא קרה כלום, מעל C\mathbb{C} קיבלת את המקדם הצמוד. בקורס הזה המ"פ לינארית ברכיב הראשון וצמודה בשני, ⟨v⃗,u⃗⟩=∑viui‾\langle\vec v,\vec u\rangle=\sum v_i\overline{u_i}, ולכן הווקטור המוטל תמיד ראשון.
קבוצה אורתוגונלית היא בת"ל
רק אם אין בה 0V0_V: הקבוצה {0V,u}\{0_V,u\} אורתוגונלית ותלויה. גם בהוכחה זה נחוץ — מקבלים αi∥ui∥2=0\alpha_i\|u_i\|^2=0, ורק מ-∥ui∥≠0\|u_i\|\ne0 נובע αi=0\alpha_i=0.
פרסבל: ∥v∥2=∑i=1k∣⟨v,ui⟩∣2\|v\|^2=\sum_{i=1}^{k}|\langle v,u_i\rangle|^2 לכל קבוצה אורתונורמלית
רק אם היא בסיס של כל VV. אחרת זו בסל, עם ≤\le, וההפרש המדויק הוא ∥v−projW(v)∥2\|v-proj_W(v)\|^2. זה בדיוק ההבדל בין משפט 6 למסקנה 4.
בסל נותן ∥v∥≥∥v~∥\|v\|\ge\|\tilde v\|, אז שוויון פירושו ששניהם "קרובים"
שוויון אם"ם v=v~v=\tilde v אם"ם v∈Wv\in W. זה תנאי דו-כיווני, וכך בדיוק פותרים "הוכיחו ש-v∈Wv\in W": מראים ∥v∥=∥projW(v)∥\|v\|=\|proj_W(v)\|. אותו דבר במינימיזציה: ∥v−w∥=∥v−v~∥\|v-w\|=\|v-\tilde v\| אם"ם w=v~w=\tilde v — ההיטל יחיד.
חישבתי היטל וקיבלתי וקטור כלשהו, ממשיכים
שתי בדיקות של חמש שניות: ההיטל חייב להיות בתוך WW (הוא צירוף של uiu_i), וההפרש חייב לקיים ⟨v−v~,ui⟩=0\langle v-\tilde v,u_i\rangle=0 לכל ii. שתיהן נכשלות מיד על טעות אריתמטית.
היטל, בסל ופרסבל
הסיכומון וההגדרות המלאות
הדף הקודם
אורתוגונליות
הדף הבא
גרם–שמידט