דף הנושא — אורתוגונליות

זווית, אי-שוויון המשולש, פיתגורס וקבוצות אורתוגונליות

22 תכונות

10 מהתרגול בלבד

6 מלכודות

בשורה אחת

אורתוגונליות היא בדיוק $\langle u,v\rangle=0$ (בלי דרישה ש- $u,v\ne0_V$ ), וכל השבוע הוא ארבעת הדברים שנובעים ממנה או מקושי-שוורץ: הזווית $\cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}$ מוגדרת היטב, פיתגורס $\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$ , אי-שוויון המשולש $\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|$ , וקבוצה אורתוגונלית שאינה מכילה את $0_V$ היא בת"ל.

מה צריך לדעת קודם

9קושי-שוורץ — בלעדיו $\left|\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}\right|\le1$ לא נכון והזווית בכלל לא מוגדרת (הערה 2)
9לינאריות ברכיב הראשון + צמוד ברכיב השני, ו- $\|u\|=0\iff u=0_V$ — שתי אלה הן כל הכלים בהוכחות של השבוע
1הגדרת בת"ל ותת-מרחב — הטענות המרכזיות של תרגול 11 ( $U^\perp$ תמ"ו, אורתוגונליות $\Rightarrow$ בת"ל) הן טענות בשפה הזו

למה זה מוביל

11נוסחת המקדמים, ההיטל האורתוגונלי, אי-שוויון בסל ושוויון פרסבל — כולם מניחים בסיס אורתוגונלי/אורתונורמלי
12גרם-שמידט: הוא בסך הכול חזרה על $w=u-\sum\frac{\langle u,v_i\rangle}{\|v_i\|^2}v_i$ שכבר הוכח בהרצאה (תרגיל מבחן 2017)
13מטריצות אורתוגונליות והמשפט הספקטרלי — תרגול 11 כבר נותן את כל תכונות $PP^t=I$

מה אורתוגונליות נותנת — ומה היא לא נותנת

השורות המסויגות (לא ✓ ולא ✗) הן כמעט כולן אותם שני תנאים: "רק מעל $\mathbb{R}$ " או "רק אם הוקטורים אינם $0_V$ ". שם נמצאות כל הטעויות.

תכונה	נובע?	למה, ואיך משתמשים בזה
קבוצה אורתוגונלית $\Rightarrow$ בת"ל		רק אם $0_V$ אינו בקבוצה. $\{0_V,v\}$ אורתוגונלית (כי $\langle0_V,v\rangle=0$ ) וגם ת"ל. הניסוח המדויק מתרגול 11: "קבוצת וקטורים ניצבים שלא מכילה את וקטור האפס היא בת"ל".
פיתגורס: $u\perp v\Rightarrow\\|u+v\\|^2=\\|u\\|^2+\\|v\\|^2$		משפט 4. נכון גם מעל $\mathbb{C}$ — כי מה שמתאפס הוא $\langle u,v\rangle+\overline{\langle u,v\rangle}$ . וגם $\\|u-v\\|^2=\\|u\\|^2+\\|v\\|^2$ , כי $\langle u,-v\rangle=-\langle u,v\rangle=0$ .
ההפך של פיתגורס: $\\|u+v\\|^2=\\|u\\|^2+\\|v\\|^2\Rightarrow u\perp v$		רק מעל $\mathbb{R}$ . הפיתוח נותן $2\mathrm{Re}\langle u,v\rangle=0$ בלבד. נגדית ב- $V=\mathbb{C}$ : $u=1,v=i$ — $\\|u+v\\|^2=\|1+i\|^2=2=1+1$ אבל $\langle u,v\rangle=-i\ne0$ .
$u\perp v$ $\Rightarrow$ הזווית ביניהם $\frac{\pi}{2}$		הערה 3 + מסקנה 1: רק אם $u,v\ne0_V$ ובמרחב אוקלידי. מסקנה 1 מנוסחת בדיוק כך: אורתוגונליים אם"ם מאונכים או שלפחות אחד מהם $\vec0$ .
$\\|u\\|=\\|v\\|$ $\Rightarrow$ $u+v\perp u-v$		רק מעל $\mathbb{R}$ (מטלה 11 ש׳1א): $\langle u+v,u-v\rangle=\\|u\\|^2-\langle u,v\rangle+\langle v,u\rangle-\\|v\\|^2$ , והאמצע מתקזז בזכות סימטריה. מעל $\mathbb{C}$ הפרכה: $u=1,v=i$ נותן $\langle1+i,1-i\rangle=(1+i)^2=2i\ne0$ .
שוויון באי-שוויון המשולש כאשר $u,v$ ת"ל		לא! ת"ל מרשה $\alpha<0$ : עבור $u=-v\ne0$ מקבלים $\\|u+v\\|=0<2\\|v\\|$ . התנאי הנכון (מטלה 11 ש׳3ב), עבור $v\ne0_V$ : $\\|u+v\\|=\\|u\\|+\\|v\\|$ אם"ם $u=\alpha v$ עם $\alpha\ge0$ ממשי. בלי ההנחה $v\ne0_V$ ה-אם"ם נשבר ( $v=0_V$ , $u\ne0_V$ ).
כפל בסקלרים שומר אורתוגונליות של קבוצה		הערה 4 בהרצאה: אם $\{u_1,\dots,u_k\}$ אורתוגונלית אז גם $\{\alpha_1u_1,\dots,\alpha_ku_k\}$ . לכן תמיד אפשר לנרמל אורתוגונלי לאורתונורמלי בלי לאבד דבר.
העתקה הפיכה שומרת אורתוגונליות		תרגול 11, הפרכה מפורשת: $T\binom{x}{y}=\binom{x+y}{y}$ הפיכה, ושולחת את הבסיס הניצב $\left\{\binom10,\binom01\right\}$ ל- $\left\{\binom10,\binom11\right\}$ שאינו ניצב ( $\langle\cdot,\cdot\rangle=1$ ).
מטריצה אורתוגונלית $P$ ( $PP^t=I$ ) שומרת אורתוגונליות ונורמה		תרגול 11: $\langle Pu,Pv\rangle=u^tP^tPv=\langle u,v\rangle$ , ולכן $\\|Pv\\|=\\|v\\|$ , ובסיס אורתונורמלי עובר לבסיס אורתונורמלי. זה ההבדל בין "הפיכה" ל"אורתוגונלית".
סימטרית $\perp$ אנטי-סימטרית ב- $M_n(\mathbb{R})$		מטלה 11 ש׳4(ו). $\langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(B^tA)=\mathrm{tr}(-BA^t)=-\mathrm{tr}(AB^t)=-\mathrm{tr}(B^tA)=-\langle A,B\rangle$ , ולכן $\langle A,B\rangle=0$ . תמיד, בלי תנאים.
ניצבות לכל איברי בסיס $\Rightarrow$ ניצבות לכל התמ"ו		תרגול 11. מלינאריות ברכיב הראשון: $\langle\sum\alpha_iv_i,w\rangle=\sum\alpha_i\langle v_i,w\rangle=0$ . חוסך לך בדיקה של אינסוף וקטורים.
אורתוגונליות $\Rightarrow$ אחד מהם $0_V$ או שהם שונים		וקטור יכול להיות ניצב לעצמו רק אם הוא $0_V$ — כי $\langle v,v\rangle=0\iff v=0_V$ . זו למה קטנה שמשמשת להוכחת $U\cap U^\perp=\{0\}$ . מה שכן שגוי: "אורתוגונליים $\Rightarrow$ הוקטורים שונים" — $\{0_V,0_V\}$ מפריכה.

לפני שאת משתמשת בכל טענה מהטבלה מעל

\mathbb{C}

, שאלי: האם ההוכחה מקזזת $\langle u,v\rangle$ מול $\langle v,u\rangle$ ? אם כן — היא נשענת על סימטריה והיא שגויה מעל

\mathbb{C}

, וההפרכה תמיד היא

V=\mathbb{C}

u=1

v=i

המשלים הניצב $U^\perp$ — טבלה שכולה מתרגול 11

$U^\perp=\{v\in V\mid \langle u,v\rangle=0\ \forall u\in U\}$ . אף אחת מהשורות האלה לא נמצאת בהרצאה 10, וכולן מופיעות במטלות ובמבחנים.

תכונה	נכון?	למה, ואיך משתמשים בזה
$U^\perp$ הוא תת-מרחב		ולכל תת-קבוצה $U$ , לא רק לתמ"ו. שלוש הבדיקות: $0\in U^\perp$ (כי $\langle0,s\rangle=0$ ), סגירות לחיבור (אדיטיביות), סגירות לכפל בסקלר (הומוגניות).
$U\cap U^\perp=\{0_V\}$		אם $v$ בשניהם אז $\langle v,v\rangle=0$ ולכן $v=0_V$ . זו ההוכחה בת השורה האחת שכדאי לדעת בעל-פה.
$V=U\oplus U^\perp$		רק ל- $V$ נוצר-סופית ו- $U$ תמ"ו. ההוכחה בתרגול היא דרך $T(v)=(\langle v,u_1\rangle,\dots,\langle v,u_k\rangle)$ , $\ker T=U^\perp$ , ומשפט המימדים.
$U\subseteq(U^\perp)^\perp$		תמיד, ובשורה אחת מההגדרה. שוויון מתקיים במימד סופי עבור $U$ תמ"ו (משיקולי מימד), אבל לא בהכרח אם $U$ רק תת-קבוצה.
$(\mathrm{Row}A)^\perp=\mathrm{Null}A$ עבור $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$		תרגול 11, ושם מנוסח במפורש למטריצה ממשית. כי אז $A\vec v$ הוא בדיוק וקטור המכפלות $\langle r_i,\vec v\rangle$ של שורות $A$ עם $\vec v$ . מסקנה: $(\mathrm{Col}A)^\perp=\mathrm{Null}A^t$ . מעל $\mathbb{C}$ זה נשבר — שם $(\mathrm{Row}A)^\perp=\mathrm{Null}(\overline{A})$ ; עבור $A=(1\ \ i)$ מתקבל $\mathrm{Null}A=\mathrm{span}\{(-i,1)\}$ אבל $(\mathrm{Row}A)^\perp=\mathrm{span}\{(i,1)\}$ .
"מצאו את כל הניצבים ל- $w$ " = מערכת הומוגנית		משוואה אחת ב- $n$ נעלמים, ולכן התשובה היא $\mathrm{span}$ של $n-1$ וקטורים. מעל $\mathbb{C}$ אל תשכחי את הצמודים בכתיבת המשוואה — תרגול 11 עושה זאת עבור $(1,2i,3)^t$ ומקבל $x-2iy+3z=0$ .

"מצאו את

\{B\mid B\perp A\}

" בכל מרחב — מטריצות, פולינומים,

\mathbb{C}^n

— היא תמיד אותה שאלה: כתבי את

\langle\cdot,A\rangle=0

כמשוואה לינארית אחת במקדמים, פתרי, וכתבי כ-

\mathrm{span}

. המימד יהיה

\dim V-1

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (10)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד

$U^\perp$ הוא תת-מרחב לכל תת-קבוצה $U\subseteq V$ , מתקיים $U\cap U^\perp=\{0_V\}$ , ובמימד סופי $V=U\oplus U^\perp$ . כל שלוש הטענות מתרגול 11 בלבד. ההוכחה של הסכום הישר: מגדירים $T(v)=(\langle v,u_1\rangle,\dots,\langle v,u_k\rangle)$ עבור בסיס של $U$ , מראים $\ker T=U^\perp$ , ומפעילים משפט המימדים.תרגול 11
מספיק לבדוק ניצבות מול איברי בסיס. אם $\langle v_i,w\rangle=0$ לכל $i$ אז $\langle v,w\rangle=0$ לכל $v\in\mathrm{span}\{v_1,\dots,v_k\}$ . זה מה שהופך כל שאלת $U^\perp$ למערכת סופית של משוואות.תרגול 11
$(\mathrm{Row}A)^\perp=\mathrm{Null}A$ ו- $(\mathrm{Col}A)^\perp=\mathrm{Null}A^t$ . הגשר בין כל פרק המכפלה הפנימית לבין מרחבי המטריצות מסמסטר א׳ — ופתאום "מצאו את המשלים הניצב של $\mathrm{span}\{\dots\}$ " זה סתם דירוג מטריצה.תרגול 11
נוסחת המקדמים: אם $B=(u_1,\dots,u_n)$ בסיס אורתונורמלי אז $v=\sum_{i=1}^n\langle v,u_i\rangle u_i$ ; אם $B$ רק אורתוגונלי אז $v=\sum_{i=1}^n\frac{\langle v,u_i\rangle}{\langle u_i,u_i\rangle}u_i$ . תרגול 11 מדגים זאת על אותה שאלה פעמיים — קודם בדירוג מטריצה $3\times4$ , ואז בשלוש מכפלות פנימיות. זה נשאל כהוכחת בוקוורק במבחן 2023ב׳ ש׳3(א).תרגול 11 (+ מבחן 2023ב׳ ש׳3א)
העתקה הפיכה לא שומרת אורתוגונליות. ההפרכה מתרגול 11: $T\binom{x}{y}=\binom{x+y}{y}$ . מה שכן שומר: מטריצה אורתוגונלית $P$ ( $PP^t=I$ ), ואז $P^t=P^{-1}$ , $\det P=\pm1$ , $\|Pv\|=\|v\|$ , כל ע"ע ממשי הוא $\pm1$ (בכלליות רק $|\lambda|=1$ — לסיבוב $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ יש ע"ע $\pm i$ ), והשורות והעמודות של $P$ הן בסיסים אורתונורמליים.תרגול 11
" $\langle T(v),v\rangle=0$ לכל $v$ " — שלושה מצבים שונים: מעל $\mathbb{R}$ זה לא גורר $T=0$ (הפרכה: סיבוב ב- $90^\circ$ , $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ ); מעל $\mathbb{R}$ עם $T$ לכסינה זה כן גורר $T=0$ (כי כל ע"ע מקיים $\lambda\|v\|^2=0$ ); מעל $\mathbb{C}$ זה גורר ש- $T$ נילפוטנטית, דרך המשפט היסודי של האלגברה + קיילי-המילטון — ולמעשה $T=0$ , כפי שהתרגול מציין בשורה שאחרי ההוכחה וכפי שנשאל במבחן 2024ב׳ ש׳5.1. כלומר על טענת נכון/לא נכון "מעל $\mathbb{C}$ נובע $T=0$ " התשובה נכון.תרגול 11 (+ מבחן 2024ב׳ ש׳5.1)
מטלה 11 ש׳2: אם $u+v$ , $v+w$ , $w+u$ אורתוגונליים זה לזה במרחב אוקלידי אז $\|u\|=\|v\|=\|w\|$ . המנגנון: כל אחת משלוש המשוואות יוצאת בצורה " $\|\cdot\|^2+S=0$ " עם אותו $S=\langle u,v\rangle+\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle$ — ולכן משווים ומקבלים את התוצאה בלי לחשב את $S$ בכלל.מטלה 11 ש׳2
מטלה 11 ש׳4(ב): אם $|\langle u,w\rangle|=\|u\|\|w\|$ לכל $u\in V$ ו- $\dim V>1$ אז $w=0_V$ . ההוכחה: אילו $w\ne0_V$ , מ- $\dim V>1$ קיים $u$ שאינו ת"ל ב- $w$ , ואז קושי-שוורץ חד. שימי לב שההנחה $\dim V>1$ היא הכרחית ומופיעה במפורש.מטלה 11 ש׳4(ב)
מטלה 11 ש׳4(ז): המטריצה הסימטרית הקרובה ביותר ל- $A$ היא $A_0=\frac{A+A^t}{2}$ . ההוכחה כולה בשתי עובדות: $A-A_0=\frac{A-A^t}{2}$ אנטי-סימטרית ולכן ניצבת לכל סימטרית, ואז פיתגורס: $\|A-B\|^2=\|A-A_0\|^2+\|A_0-B\|^2\ge\|A-A_0\|^2$ .מטלה 11 ש׳4(ז)
מטלה 11 ש׳1: $\|u\|=\|v\|\Rightarrow u+v\perp u-v$ נכון במרחב אוקלידי ושגוי במרחב הרמיטי. ההפרכה המינימלית בקורס: $V=\mathbb{C}$ , $u=1$ , $v=i$ .מטלה 11 ש׳1

תכונות קטנות שחייבים לדעת (12)

14 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות

קבוצת וקטורים אורתוגונליים שאינה מכילה את $0_V$ היא בת"ל. זה המשפט המרכזי של השבוע — והוא מופיע בתרגול 11, לא בהרצאה 10. השימוש: כשמבקשים "הוכיחי שזה בסיס" ויש לך אורתוגונליות — נשאר רק לספור מימד.תרגול 11
משפט פיתגורס: $u,v$ אורתוגונליים $\Rightarrow\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$ . תקף בכל ממ"פ, גם מעל $\mathbb{C}$ , כי מה שמתאפס בפיתוח הוא $\langle u,v\rangle+\overline{\langle u,v\rangle}$ .הרצאה 10, משפט 4
אי-שוויון המשולש $\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|$ , ושרשרת ההוכחה היא שני אי-שוויונות שונים: $2\mathrm{Re}\langle u,v\rangle\le2|\langle u,v\rangle|$ (כי $\mathrm{Re}\,z\le|z|$ ) ואז $2|\langle u,v\rangle|\le2\|u\|\|v\|$ (קושי-שוורץ). בכל הוכחת בוקוורק חייבים לצטט את שניהם.הרצאה 10, משפט 2 (נשאל כהוכחה במבחן 2023א׳ ש׳1a)
תנאי השוויון באי-שוויון המשולש, שחסר בהרצאה: עבור $v\ne0_V$ , מתקיים $\|u+v\|=\|u\|+\|v\|$ אם"ם קיים $\alpha\ge0$ ממשי כך ש- $u=\alpha v$ . לא "ת"ל" — כיווניות חיובית. מטלה 11 ש׳3 בונה את זה במפורש כתיקון לניסוח מההרצאה.מטלה 11 ש׳3
הזווית מוגדרת היטב בזכות קושי-שוורץ: $\left|\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}\right|\le1$ , ולכן הביטוי בקטע $[-1,1]$ ו- $\cos$ חח"ע ב- $[0,\pi]$ . אם המבחן מבקש "הוכיחו שהזווית מוגדרת היטב" — זו כל התשובה.הרצאה 10, הערה 2
הזווית מוגדרת בין כל שני איברים בממ"פ אוקלידי — גם בין מטריצות ובין פולינומים, לא רק ב- $\mathbb{R}^2$ . מטלה 11 ש׳4(ד) מחשבת את הזווית בין מטריצת סיבוב $A_\theta$ לבין $I_2$ (עבור $0\le\theta\le\pi$ ) ומקבלת בדיוק $\theta$ .הרצאה 10, הגדרת זווית; החישוב עצמו — מטלה 11 ש׳4(ד)
$\theta=\pi$ $\Rightarrow$ $v=\alpha u$ עם $\alpha<0$ . הדרך: $\cos\pi=-1$ נותן $|\langle u,v\rangle|=\|u\|\|v\|$ , ומקושי-שוורץ הם ת"ל; אז מציבים $v=\alpha u$ ומקבלים $\frac{\alpha}{|\alpha|}=-1$ .הרצאה 10, תרגיל
אורתונורמליות: $\langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij}$ — כלומר אורתוגונליים וגם כל אחד וקטור יחידה. הבסיס הסטנדרטי של $\mathbf{F}^n$ הוא אורתונורמלי ביחס למ"פ הסטנדרטית.הרצאה 10, הגדרה + תרגול 11
וקטור אורתוגונלי לכל $v_1,\dots,v_k$ הוא אורתוגונלי לכל $\mathrm{span}\{v_1,\dots,v_k\}$ — מלינאריות. במרחב אוקלידי זה עובד גם כשמוציאים סקלרים מהרכיב השני (ההרצאה מציינת "השדה הוא $\mathbb{R}$ " בדיוק בצעד הזה).הרצאה 10, תרגיל מבחן 2017 ש׳5א + תרגול 11
ההיטל בזעיר-אנפין: $w=u-\sum_{i=1}^k\frac{\langle u,v_i\rangle}{\langle v_i,v_i\rangle}v_i$ אורתוגונלי ל- $\mathrm{span}\{v_1,\dots,v_k\}$ (עבור קבוצה אורתוגונלית). זו כבר הנוסחה של גרם-שמידט, והיא כבר הופיעה בהוכחת קושי-שוורץ במקרה $k=1$ .הרצאה 10, תרגיל מבחן 2017 ש׳5א
קבוצה אורתוגונלית נשארת אורתוגונלית אחרי כפל כל וקטור בסקלר (הערה 4), ולכן כל בסיס אורתוגונלי אפשר לנרמל לאורתונורמלי — ואת החישוב הזה עושים תמיד בסוף, לא באמצע.הרצאה 10, הערה 4
המרחק בין $u$ ל- $v$ מוגדר כ- $\|v-u\|$ . "הוקטור הקרוב ביותר" הוא תמיד זה שההפרש ממנו ניצב לתת-המרחב — וזו הסיבה שהמינימיזציה תמיד מסתדרת יפה.תרגול 11

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

נתוןנתונות מספר אורתוגונליות בין צירופים (

u+v\perp v+w

\{v_1+v_2,v_1-v_2\}

אורתונורמלית, ...)

שואליםזו מערכת משוואות ב-

\|u\|^2,\|v\|^2

ובמכפלות המעורבות. פותחים הכול ומחסרים.

המהלךפתחי כל תנאי בלינאריות לצורת

\|\cdot\|^2\pm2\langle\cdot,\cdot\rangle+\|\cdot\|^2

, סמני את המשוואות

(\mathrm{I}),(\mathrm{II}),(\mathrm{III})

, וחסרי. בתרגיל מבחן 2017 (בהרצאה) חיסור

(\mathrm{I})-(\mathrm{II})

נותן מיד

4\langle v_1,v_2\rangle=0

; במטלה 11 ש׳2 שלוש המשוואות חולקות את אותו איבר מעורב ולכן

\|u\|^2=\|v\|^2=\|w\|^2

ברגע.

נתוןנתונה קבוצה אורתוגונלית / אורתונורמלית ומבקשים את המקדמים של

v

בצירוף

שואליםאל תדרגי מטריצה. המקדם הוא מכפלה פנימית אחת.

המהלךאורתונורמלי:

\alpha_i=\langle v,u_i\rangle

. אורתוגונלי בלבד:

\alpha_i=\frac{\langle v,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}

. תרגול 11 מדגים בדיוק את ההשוואה — דירוג מלא מול שלוש מכפלות. וזו גם הוכחת הבוקוורק של מבחן 2023ב׳ ש׳3(א): מכפילים

v=\sum\alpha_iv_i

ב-

v_j

וכל שאר האיברים מתאפסים.

נתון"מצאו את כל הוקטורים הניצבים ל-

w

" או "מצאו את

U^\perp

שואליםמערכת משוואות הומוגנית. התשובה היא

\mathrm{span}

, והמימד הוא

\dim V-\dim U

המהלךרשמי

\langle x,w\rangle=0

עם הנעלמים כמקדמים — במטריצות זה

\mathrm{tr}(BA^t)=0

שיוצא משוואה אחת ב-

a,b,c,d

(תרגול 11:

a+b+c=0

), ב-

\mathbb{C}^n

זה

\sum x_i\overline{w_i}=0

(עם הצמודים). אם

U

נתון ע"י פורש — מספיק לדרוש ניצבות לאיברי הפורש. ואם

U

הוא מרחב שורות/עמודות של מטריצה —

U^\perp

הוא פשוט

\mathrm{Null}A

או

\mathrm{Null}A^t

נתון"מצאו את הוקטור הקרוב ביותר ל-

v

ב-

U

" / "הוכיחו ש-

x_0

ממזער את

\|v-x\|

שואליםמאפיינים לפי ניצבות ומוכיחים מינימליות בפיתגורס.

המהלךהראי ש-

v-x_0\perp U

, ואז לכל

x\in U

כתבי

v-x=(v-x_0)+(x_0-x)

כאשר שני האיברים ניצבים, ולכן

\|v-x\|^2=\|v-x_0\|^2+\|x_0-x\|^2\ge\|v-x_0\|^2

(מטלה 11 ש׳4ז). הדרך הישירה בתרגול 11 — פרמטריזציה והשלמה לריבוע — עובדת רק כשהתמ"ו חד-מימדי.

נתון"הוכיחו ש-

\{v_1,\dots,v_k\}

בסיס" כשנתונה אורתוגונליות

שואליםבת"ל מגיע חינם — נשאר רק לספור.

המהלךשלב 1: ודאי שאף וקטור אינו $0_V$ (זו לא פורמליות — זה בדיוק התנאי במשפט). שלב 2: אורתוגונלית + ללא

0_V

\Rightarrow

בת"ל (תרגול 11). שלב 3:

k=\dim V

\Rightarrow

בסיס. אם צריך אורתונורמלי — חלקי כל וקטור בנורמה שלו (הערה 4 מבטיחה שהאורתוגונליות נשמרת).

נתוןטענה על אורתוגונליות שנשמעת נכונה, במרחב הרמיטי (

\mathbb{C}

)

שואליםחשד גבוה שזו הפרכה, וההפרכה קטנה.

המהלךבדקי אם ההוכחה ה"ממשית" מקזזת

\langle u,v\rangle

מול

\langle v,u\rangle

או מסיקה

\langle u,v\rangle=0

מ-

\mathrm{Re}\langle u,v\rangle=0

. אם כן — קחי

V=\mathbb{C}

מעל

\mathbb{C}

u=1

v=i

\|u\|=\|v\|=1

\langle u,v\rangle=-i

\langle u+v,u-v\rangle=2i

. זה מפריך גם את "

u+v\perp u-v

" וגם את ההפך של פיתגורס.

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית

קבוצה אורתוגונלית היא תמיד בת"ל

צריך שלא תכיל את $0_V$ .

\langle0_V,v\rangle=0

לכל

v

, ולכן

\{0_V,v\}

אורתוגונלית וגם ת"ל. בכל שימוש במשפט — כתבי במפורש "וכל הוקטורים שונים מ-

0_V

\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2

, אז

u\perp v

זה נותן רק

\mathrm{Re}\langle u,v\rangle=0

. מעל

\mathbb{R}

זה שקול לאורתוגונליות, מעל

\mathbb{C}

לא:

u=1,v=i

ב-

\mathbb{C}

מקיימים

2=1+1

אבל

\langle u,v\rangle=-i

שוויון באי-שוויון המשולש

\iff

u,v

ת"ל

ת"ל זה תנאי השוויון של קושי-שוורץ, לא של המשולש. במשולש צריך

u=\alpha v

עם

\alpha\ge0

: עבור

u=-v

הם ת"ל, אבל

\|u+v\|=0

ואילו

\|u\|+\|v\|=2\|v\|

. מטלה 11 ש׳3 מוכיחה זאת דרך

\mathrm{Re}(\alpha)=|\alpha|\Rightarrow\alpha\ge0

לחשב זווית בין וקטורים ב-

\mathbb{C}^n

הגדרת הזווית בהרצאה פותחת ב-"יהי

V

מרחב אוקלידי". מעל

\mathbb{C}

המונה

\langle u,v\rangle

בכלל לא ממשי. מה שכן מוגדר מעל

\mathbb{C}

: אורתוגונליות (

\langle u,v\rangle=0

), פיתגורס, קושי-שוורץ ואי-שוויון המשולש.

T

הפיכה, אז היא לוקחת בסיס ניצב לבסיס ניצב

הפיכות מבטיחה רק שהתמונה היא בסיס.

T\binom{x}{y}=\binom{x+y}{y}

הפיכה ושולחת

\left\{\binom10,\binom01\right\}

ל-

\left\{\binom10,\binom11\right\}

שאינו ניצב (תרגול 11). מה ששומר ניצבות הוא

P

אורתוגונלית,

PP^t=I

u

ניצב לוקטור אחד ב-

U

, אז

u\in U^\perp

U^\perp

דורש ניצבות לכל איברי

U

. הקיצור הלגיטימי (תרגול 11): מספיק לבדוק מול איברי בסיס של

U

— ואז הלינאריות ברכיב הראשון סוגרת את השאר.

אורתוגונליות

הסיכומון וההגדרות המלאות