דף הנושא — גרם–שמידט

התהליך, קיום בסיס אורתוגונלי והמשלים הניצב

23 תכונות

12 מהתרגול בלבד

6 מלכודות

בשורה אחת

גרם-שמידט הופך כל בסיס לבסיס אורתוגונלי (או אורתונורמלי) בלי לשנות אף $span$ של רישא — ומכאן שלכל ממ"פ נ"ס יש בסיס אורתונורמלי, ולכן ההיטל והמשלים הניצב $U^{\perp}$ מוגדרים היטב על כל תת-מרחב.

מה צריך לדעת קודם

11נוסחת ההיטל — הצעד ה- $k$ בגרם-שמידט הוא בדיוק $v_k$ פחות ההיטל שלו על מה שכבר נבנה
11קבוצה אורתוגונלית ללא $0_V$ היא בת"ל — זה מה שהופך את הפלט של התהליך לבסיס, ולא רק לקבוצה
9חיוביות לחלוטין: $\langle v,v\rangle=0\Rightarrow v=0_V$ . זו ההוכחה בשורה אחת ל- $U\cap U^{\perp}=\{0_V\}$

למה זה מוביל

13לכסון אורתוגונלי: מפעילים גרם-שמידט על כל מרחב עצמי בנפרד ומאחדים לעמודות $P$ עם $P^tAP=D$
13ריבועים פחותים: $proj_{ColA}(\vec b)$ , ושקילותו למשוואה $A^tA\vec x_0=A^t\vec b$

מה גרם-שמידט מבטיח — ומה בכלל לא

אין למטלה 12 המשך משלה לשבוע הזה; כל התרגול הוא תרגול 13 והמבחנים.

תכונה	מובטח?	למה, ואיך משתמשים בזה
בכל שלב $u_1,\dots,u_k$ אורתוגונליים		משפט 1. ההוכחה באינדוקציה מראה רק ש- $u_k$ מאונך לקודמים — השאר מהנחת האינדוקציה.
שוויון רישות: $span\{u_1,\dots,u_k\}=span\{v_1,\dots,v_k\}$ לכל $k$		משפט 1, החלק החשוב באמת. הוא זה שמאפשר להשלים בסיס של $U$ לבסיס של $V$ , להריץ את התהליך, ולדעת ש- $k$ הראשונים עדיין פורשים את $U$ .
$u_k\ne 0_V$ בכל שלב		אבל רק בגלל ש- $v_1,\dots,v_n$ בת"ל. ההוכחה מראה שאם $u_k=0_V$ אז $v_k\in span\{v_1,\dots,v_{k-1}\}$ — סתירה לבסיס.
הפלט מנורמל		לא בגרסת ההרצאה ( $u_1=v_1$ ) — וזו גם הגרסה שעל דף הנוסחאות. הגרסה המנרמלת מוגדרת בנפרד (הרצאה 12, סוף) ובתרגול 13, ובה המכנה $\\|u_i\\|^2$ נעלם.
קלט אורתוגונלי נשאר כמו שהוא ( $u_k=v_k$ )		מסקנה 2. לכן מותר להתחיל מאמצע התהליך — בתרגול 13 מדלגים על השלב הראשון שוב ושוב כשהווקטור הראשון כבר מנורמל, וגם בתרגיל הריבועים הפחותים שם.
אי-תלות בסדר הוקטורים		תרגול 13 מריץ את אותו בסיס בשני סדרים ומקבל שני בסיסים אורתונורמליים שונים לגמרי. שניהם נכונים — אבל אם ביקשו להשלים וקטור נתון, הוא חייב להיות ראשון.
אי-תלות במכפלה הפנימית		תרגול 13: אותו בסיס עם $\langle x,y\rangle=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3$ מייצר בסיס אחר לגמרי. "ניצבות" ו"אורך" מוגדרים ע"י המ"פ, לא ע"י הקואורדינטות.
שימור וקטורים עצמיים		תרגול 12: גרם-שמידט על שני ו"ע בת"ל עלול להחזיר וקטור שאינו ו"ע כלל. אין שום קשר בין התהליך לבין $T$ .
עובד על קבוצה פורשת (לא בת"ל)		קורס: מקבלים $u_k=0_V$ ואז חלוקה ב- $\\|u_k\\|^2=0$ . מטלה 12 ש׳1א פותחת בדיוק בזיהוי $\vec v_3=-3\vec v_1+\vec v_2$ והשמטתו לפני התהליך.

שוויון הרישות הוא כל התועלת שבמשפט. ממנו נובעות שלוש טכניקות: השלמת בסיס אורתונורמלי, מציאת בסיס ל-

U^{\perp}

(הוקטורים ה"חדשים"), והדילוג על שלבים כשהתחלת מקבוצה אורתוגונלית.

תכונות $U^{\perp}$ — ומה כל אחת דורשת

שימי לב: $U^{\perp}$ אינו מוגדר בהרצאות 11-12 בכלל. כל השורות כאן מגיעות מהתרגול ומהמבחנים.

תכונה	נכון תמיד?	למה, ואיך משתמשים בזה
$U^{\perp}$ הוא תת-מרחב		ולמעשה $A^{\perp}$ תמ"ו לכל קבוצה לא ריקה $A\subseteq V$ , גם אם $A$ עצמה אינה תמ"ו (מבחן 2024 סימולציה ש׳4.2). ההוכחה: $0_V\in A^{\perp}$ , וסגירות דרך $\langle w,\alpha_1v_1+\alpha_2v_2\rangle=\overline{\alpha_1}\langle w,v_1\rangle+\overline{\alpha_2}\langle w,v_2\rangle$ .
$U\cap U^{\perp}=\{0_V\}$		שורה אחת: אם $v$ בשניהם אז $\langle v,v\rangle=0$ , ומחיוביות לחלוטין $v=0_V$ . לא צריך מימד סופי.
$U\subseteq W\Rightarrow W^{\perp}\subseteq U^{\perp}$ (היפוך סדר)		ישירות מההגדרה: אם $v$ מאונך לכל $W$ אז בפרט לכל $U$ . לא דורש נ"ס, ולא דורש כלום.
$V=U\oplus U^{\perp}$		דורש נ"ס — הבנייה עוברת דרך בסיס אורתונורמלי של $U$ וההיטל: $v=proj_U(v)+(v-proj_U(v))$ . זו האם של כל השורות שמתחתיה.
$\dim U^{\perp}=\dim V-\dim U$		נ"ס, נובע מהסכום הישר. הכלי הראשון בכל שאלת "מצאו בסיס ל- $U^{\perp}$ ": קודם כול סופרים כמה וקטורים מחפשים. מבחן 2023א ש׳5א(ii) פותר את כל הסעיף כך.
$(U^{\perp})^{\perp}=U$		נ"ס. ההכלה $U\subseteq(U^{\perp})^{\perp}$ מיידית מההגדרה; השוויון מגיע רק משיקול מימדים. נשאל כהוכחה: 2022ב ש׳3.1 ו-2023ב ש׳4(b)i.
$(U+W)^{\perp}=U^{\perp}\cap W^{\perp}$		הכלה דו-כיוונית ישירה מההגדרה, בלי מימדים. מבחן 2023ב ש׳4(b)ii.
$(U\cap W)^{\perp}=U^{\perp}+W^{\perp}$		נ"ס — לא מוכיחים ישירות: מפעילים את השורה הקודמת על $U^{\perp},W^{\perp}$ ואז $\perp$ על שני האגפים, ובדרך משתמשים ב- $(X^{\perp})^{\perp}=X$ . מבחן 2023ב ש׳4(b)iii.
$proj_{U^{\perp}}(v)=v-proj_U(v)$		תרגול 12/13. דורש קיום בסיס אורתונורמלי, כלומר נ"ס. זהו קיצור הדרך למרחקים ולמטריצת ההיטל.
$U^{\perp}=\{0_V\}\iff U=V$		נובע ממשוואת המימדים, ולכן נ"ס. הפרכה זולה: אם מצאת אפילו וקטור אחד שאינו $0_V$ ומאונך לכל $U$ , אז $U\ne V$ .

כל שורה עם "דורש נ"ס" נשענת על אותו משפט:

V=U\oplus U^{\perp}

. וכל שאלות ה"הוכיחו" במבחנים נפתרות באותה תבנית: הכלה קלה בכיוון אחד

+

שוויון מימדים.

מה שעלה בתרגול ולא בהרצאה (12)

בדיוק החלק שנופל בין הכיסאות — כאן הוא במקום אחד

$(RowA)^{\perp}=NulA$ לכל $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ — הוכח בתרגול 11, ולא בהרצאה. זו הדרך הכי מהירה למצוא $U^{\perp}$ : בונים $A$ ששורותיה בסיס של $U$ , ואז $U^{\perp}=NulA$ — מערכת הומוגנית אחת. הכיוון ההפוך, $(NulA)^{\perp}=RowA$ , הוא בדיוק מה שנשאל במבחן 2021א ש׳4א. ההנחה "ממשית" היא חלק מהטענה — מעל $\mathbb{C}$ מתקיים $(RowA)^{\perp}=Nul(\overline{A})$ , ועבור $A=(1\ \ i)$ שני האגפים באמת שונים.תרגול 11 (הטענה וההוכחה); תרגול 13 דרך (ג); מבחן 2021א ש׳4א
ההפך, וזה החוסך הגדול: אם $U$ נתון ע"י משוואות הומוגניות מעל $\mathbb{R}$ , כלומר $U=NulA$ , אז $U^{\perp}=RowA$ — וקטורי המקדמים של המשוואות פורשים את $U^{\perp}$ ואין מה לפתור (מעל $\mathbb{C}$ לוקחים את הוקטורים הצמודים למקדמים, ראי את התבנית למטה). מטלה 12 ש׳3ב עושה זאת: מ- $W=\{x-2y+2z=0\}$ ישר ל- $W^{\perp}=span\{(1,-2,2)\}$ , ומשם $proj_{W^{\perp}}(\vec x)=\frac{x-2y+2z}{9}(1,-2,2)$ .נובע מהקשר שהוכח בתרגול 13; בשימוש במטלה 12 ש׳3ב
הפירוק היחיד $V=U\oplus U^{\perp}$ — המסקנה שמופיעה בתרגול 12 ובתרגול 13, ולא בהרצאות 11-12: כל $v$ נכתב ביחידות כ- $v=u+u^{\perp}$ עם $u=proj_U(v)$ ו- $u^{\perp}=v-proj_U(v)=proj_{U^{\perp}}(v)$ . עליה נשענות כל שאלות ה- $\perp$ במבחנים.תרגול 12 (מסקנה) ותרגול 13
השלמה $+$ גרם-שמידט $=$ בסיס ל- $U^{\perp}$ : משלימים בסיס של $U$ לבסיס של $V$ ומריצים את התהליך; $k$ הראשונים נשארים בסיס אורתונורמלי של $U$ , ו- $n-k$ החדשים הם בסיס אורתונורמלי של $U^{\perp}$ . הנימוק שצריך לכתוב: הם אורתוגונליים לכל $u_1,\dots,u_k$ ולכן ב- $U^{\perp}$ ; ויש בדיוק $n-k$ מהם, שזה $\dim U^{\perp}$ .תרגול 13 ש׳2 (דרך א); אותה טכניקה במבחן 2023א ש׳5א(ii)
התרגול מונה שלוש דרכים למצוא בסיס ל- $U^{\perp}$ , וכדאי לבחור לפי הנתון: (א) השלמה לבסיס $+$ גרם-שמידט; (ב) וקטור כללי, כפל בבסיס של $U$ והשוואה ל- $0$ ; (ג) $U^{\perp}=NulA$ כששורות $A$ הן בסיס של $U$ . אחרי (ב) ו-(ג) עדיין צריך גרם-שמידט אם ביקשו אורתונורמלי.תרגול 13 ש׳2
סדר משנה: תרגול 13 מריץ את $\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}$ ומקבל בחזרה את הבסיס הסטנדרטי; מריץ את אותה קבוצה בסדר $\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}$ ומקבל $\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1),\frac{1}{\sqrt6}(1,1,-2),\frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)$ . המסקנה נכתבת שם במפורש.תרגול 13
שינוי המכפלה הפנימית משנה את הכול: אותה קבוצה עם $\langle x,y\rangle=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3$ נותנת בסיס אורתונורמלי אחר לגמרי. ובאותה הזדמנות — לפני שמריצים על מ"פ "חדשה" צריך לוודא שהיא באמת מכפלה פנימית.תרגול 13
$A^{\perp}$ הוא תת-מרחב לכל קבוצה לא ריקה $A\subseteq V$ , גם כשהיא לא תמ"ו — ההוכחה משתמשת בצמידות המקדמים ברכיב השני. זו שאלת "הוכיחו" קצרה שנשאלה במבחן.מבחן 2024 סימולציה ש׳4.2
$(U+W)^{\perp}=U^{\perp}\cap W^{\perp}$ (ישיר), ומיד אחריו $(U\cap W)^{\perp}=U^{\perp}+W^{\perp}$ — שאותו לא מוכיחים ישירות אלא ע"י הפעלת הראשון על $U^{\perp},W^{\perp}$ ולקיחת $\perp$ . שלושת הסעיפים הופיעו יחד כשאלה אחת.מבחן 2023ב ש׳4(b)
תרגול 13 מציג את לכסון אורתוגונלי (חומר הרצאה 13) כבר כאן: $A$ סימטרית ממשית $\Rightarrow$ קיימת $P$ אורתוגונלית עם $P^tAP=D$ . הנקודה החוסכת: ו"ע של ע"ע שונים של מטריצה סימטרית כבר ניצבים, ולכן מפעילים גרם-שמידט על כל מרחב עצמי בנפרד ומאחדים.תרגול 13; מטלה 12 ש׳2
פתרון מקורב (ריבועים פחותים) — מופיע בתרגול 13 לפני ההרצאה: מחפשים $x_0$ שממזער $\|A\vec x-\vec b\|$ . האלגוריתם: בסיס אורתונורמלי ל- $ColA$ $\to$ $proj_{ColA}(\vec b)$ $\to$ פותרים $A\vec x_0=proj_{ColA}(\vec b)$ . דרך שנייה, ובד"כ מהירה יותר: $A^tA\vec x_0=A^t\vec b$ , וכשעמודות $A$ בת"ל $\vec x_0=(A^tA)^{-1}A^t\vec b$ .תרגול 13; מטלה 12 ש׳6 (נפתרה שם דרך $A^tA\vec x=A^t\vec b$ )
מטריצה אורתוגונלית מוגדרת בתרגול 13 כ- $PP^t=I$ (והמקבילה מעל $\mathbb{C}$ היא אוניטרית, $PP^{*}=I$ — עם צמוד, למרות שבדף התרגול הפס נעלם בדפוס), והמשמעות המעשית: עמודותיה בסיס אורתונורמלי. זה הקישור שהופך כל שאלת גרם-שמידט לשאלת מטריצות.תרגול 13; מטלה 12 ש׳5

תכונות קטנות שחייבים לדעת (11)

11 מסומנות בצהוב — אלה שמכריעות שאלות

הנוסחה שעל דף הנוסחאות (הגרסה שאינה מנרמלת): $u_1=v_1$ , ולכל $2\le k\le n$ : $u_k=v_k-\sum_{i=1}^{k-1}\dfrac{\langle v_k,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i$ . במילים: מחסרים מ- $v_k$ את ההיטל שלו על מה שכבר נבנה.הרצאה 12, משפט 1; דף הנוסחאות
הגרסה המנרמלת: $u_1=\dfrac{v_1}{\|v_1\|}$ , ואז $u^{*}_{k+1}=v_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\langle v_{k+1},u_i\rangle u_i$ ו- $u_{k+1}=\dfrac{u^{*}_{k+1}}{\|u^{*}_{k+1}\|}$ . שימי לב שהמכנה $\|u_i\|^2$ נעלם — בדיוק כי הקודמים כבר מנורמלים.הרצאה 12 (סוף) ותרגול 13
שוויון הרישות: $span\{u_1,\dots,u_k\}=span\{v_1,\dots,v_k\}$ לכל $k$ , לא רק בסוף. ההוכחה: הכלה אחת מהגדרת $u_k$ , והשנייה מ- $v_k=u_k+\sum\frac{\langle v_k,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i$ (או משיקול מימדים).הרצאה 12, משפט 1
לכל ממ"פ נוצר סופית יש בסיס אורתוגונלי, ולכן גם אורתונורמלי. זה מה שסוגר את השאלה שפתחה את ההרצאה: ההיטל מוגדר היטב על כל תמ"ו.הרצאה 12, מסקנות 1 ו-3
אם הקלט כבר אורתוגונלי — התהליך לא משנה כלום, $u_k=v_k$ לכל $k$ . מסקנה מעשית: אפשר להתחיל מהשלב שבו הוקטורים מפסיקים להיות אורתוגונליים, ואין טעם "להריץ" על משהו שכבר ניצב.הרצאה 12, מסקנה 2 (וחוזר בתרגול 13)
הגדרת המשלים: $U^{\perp}=\{v\in V:\langle w,v\rangle=0\ \ \forall w\in U\}$ . מספיק לבדוק מול וקטורי בסיס של $U$ — מלינאריות ברכיב הראשון זה גורר את כל $U$ . וגם: לתנאי הניצבות הסדר לא משנה, כי $\langle w,v\rangle=\overline{\langle v,w\rangle}$ מתאפס יחד איתו.תרגול 12-13; מבחן 2024 סימולציה ש׳4.2
המבנה של שאלת גרם-שמידט על תת-מרחב נתון: (1) מתרגמים את התנאי לבסיס — פותרים את המערכת ההומוגנית; (2) בודקים בת"ל; (3) מריצים את התהליך. שלב (1) הוא רוב הזמן. דוגמאות: הרצאה 12 תרגיל 2 ( $x-y+2z=0$ ), מטלה 12 ש׳3א, תרגול 13.הרצאה 12 תרגיל 2; מטלה 12 ש׳3א
התהליך לא מכיר "וקטורים" — הוא מכיר מכפלה פנימית. על פולינומים עם $\langle p,q\rangle=p(1)q(1)+p(2)q(2)+p(3)q(3)$ מקבלים $\{1,\ x-2,\ x^2-4x+\frac{10}{3}\}$ מהבסיס הסטנדרטי; עם $\langle p,q\rangle=\int_0^1 pq$ מקבלים $\{1,\ \sqrt{12}(x-\frac12),\ \sqrt{180}(x^2-x+\frac16)\}$ .מטלה 12 ש׳1ב; הרצאה 12 תרגיל 3; תרגול 12
השלמה לבסיס אורתוגונלי של המרחב כולו: משלימים לבסיס רגיל (בדיקת בת"ל בדטרמיננטה, זול), ואז מריצים את התהליך על הרשימה כולה. הוקטורים הראשונים לא ישתנו אם כבר היו אורתוגונליים.הרצאה 12, תרגיל 1ב
עבודה עם שברים: מותר להחליף כל $u_k$ בכפולה סקלרית שלו ( $\frac15(-2,1,5)$ במקום $(-0.4,0.2,1)$ ) — האורתוגונליות והרישות נשמרות, והחישוב הבא נקי יותר. בסוף בכל מקרה מנרמלים.הרצאה 12 תרגיל 1; מטלה 12 ש׳1א
ה- $\perp$ תלוי במרחב האם: $U^{\perp}$ שמחשבים ב- $\mathbb{R}^4$ שונה מזה שמחשבים בתוך תמ"ו אחר. תמיד לכתוב ביחס למי לוקחים משלים — במיוחד בשאלות עם שרשרת $U\subseteq W\subseteq V$ .נובע מההגדרה

אם נתון לי כך — באמת שואלים אותי את זה (6)

נתון"מצאו בסיס ל-

U^{\perp}

שואליםמערכת משוואות הומוגנית — לא גרם-שמידט.

המהלךקודם כול סופרים:

\dim U^{\perp}=\dim V-\dim U

, וזה כבר אומר כמה וקטורים לחפש. אחר כך:

A

ששורותיה בסיס של

U

, ו-

U^{\perp}=NulA

. אם ביקשו אורתונורמלי — עוד גרם-שמידט על מה שיצא. במבחן 2023א ש׳5א(ii)

\dim U^{\perp}=3-2=1

, ולכן הספיק למצוא וקטור אחד מאונך לשניים.

נתון

U

נתון ע"י משוואות הומוגניות (מישור, על-מישור, מערכת)

שואליםאת כבר יודעת את

U^{\perp}

: וקטורי המקדמים של המשוואות.

המהלךמטלה 12 ש׳3ב:

W=\{x-2y+2z=0\}=span\{(1,-2,2)\}^{\perp}

, ולכן

W^{\perp}=span\{(1,-2,2)\}

מיד. ומכאן גם

proj_W=id-proj_{W^{\perp}}

והמרחק — בלי להריץ גרם-שמידט על

W

בכלל. אזהרה מעל $\mathbb{C}$ : המשוואה

\sum a_ix_i=0

היא

\langle\vec x,\overline{\vec a}\rangle=0

, כלומר הבסיס של

U^{\perp}

מורכב מהוקטורים הצמודים למקדמים.

נתון"השלימו את

u_1

(או בסיס אורתונורמלי של

U

) לבסיס אורתונורמלי של

V

שואליםמשלימים לבסיס רגיל ומריצים גרם-שמידט; הראשונים לא ישתנו.

המהלךהצדקה: מסקנה 2 (קלט אורתוגונלי נשאר)

+

שוויון הרישות. בונוס חינם: הוקטורים החדשים הם בסיס ל-

U^{\perp}

. הדגמות: הרצאה 12 תרגיל 1ב, תרגול 13 ש׳2(א).

נתון"הוכיחו ש-

U=(U^{\perp})^{\perp}

" / "

(U+W)^{\perp}=U^{\perp}\cap W^{\perp}

שואליםשאלת בוקוורק — התבנית קבועה ושווה לשנן אותה.

המהלךהכלה אחת ישירות מההגדרה (

u\in U

w\in U^{\perp}

, אז

\langle u,w\rangle=0

ולכן

u\in(U^{\perp})^{\perp}

), ואז או הכלה שנייה ישירה, או שוויון מימדים דרך

V=U\oplus U^{\perp}

ומשפט המימדים. את

(U\cap W)^{\perp}=U^{\perp}+W^{\perp}

מקבלים רק בהפעלת הסעיף הקודם על

U^{\perp},W^{\perp}

(2023ב ש׳4b).

נתון"פרקו את

v

ל-

u+u^{\perp}

עם

u\in U

u^{\perp}\in U^{\perp}

שואליםאין מה לפתור:

u=proj_U(v)

ו-

u^{\perp}=v-u

, והפירוק יחיד.

המהלךתרגול 13 ש׳3 עושה זאת בשתי דרכים: פירוק לפי בסיס אורתונורמלי מלא של

V

(שני האיברים הראשונים ב-

U

, השניים האחרונים ב-

U^{\perp}

), או ישירות

proj_U(v)+proj_{U^{\perp}}(v)

— ומראה שהתוצאה זהה. הדרך הזולה: לחשב את ההיטל על התת-מרחב בעל המימד הקטן יותר ולחסר.

נתוןמכפלה פנימית לא סטנדרטית (משקלים, הצבות בנקודות, אינטגרל)

שואליםאותו אלגוריתם בדיוק — רק שהחישובים הם אינטגרלים או הצבות, והבסיס הסטנדרטי כמעט תמיד לא אורתוגונלי.

המהלךתמיד לחשב

\|u_i\|^2=\langle u_i,u_i\rangle

מפורשות לפי המ"פ הנתונה ולא "לפי הקואורדינטות". הדגמות: הרצאה 12 תרגיל 3, מטלה 12 ש׳1ב, תרגול 12 (אינטגרל), תרגול 13 (משקלים

1,2,3

מלכודות (6)

השורה האדומה היא מה שהמוח אומר לך אוטומטית

הרצתי גרם-שמידט (הגרסה מההרצאה) וקיבלתי בסיס אורתונורמלי

קיבלת בסיס אורתוגונלי בלבד —

u_1=v_1

, אין שם נרמול. לנרמל בסוף, או להשתמש בגרסה המנרמלת. וכל שימוש ב-

proj_W(v)=\sum\langle v,u_i\rangle u_i

עם הפלט הלא-מנורמל שגוי: שם חייב להופיע

\|u_i\|^2

במכנה.

הזנתי לתהליך קבוצה פורשת של

U

צריך בסיס. עם קבוצה תלויה מתקבל

u_k=0_V

והצעד הבא מחלק ב-

0

. מטלה 12 ש׳1א פותחת בדיוק בזיהוי

\vec v_3=-3\vec v_1+\vec v_2

ובהשמטתו. אם באמצע התהליך יצא לך

0_V

— זו לא תקלה חשבונית, זו תלות לינארית.

השתמשתי ב-

(U^{\perp})^{\perp}=U

בלי לומר כלום

נכון רק ב-נ"ס, וההוכחה עוברת דרך

\dim U^{\perp}=\dim V-\dim U

. בחינם יש רק את ההכלה

U\subseteq(U^{\perp})^{\perp}

. וזה משפט שנשאל כ"הוכיחו" (2022ב ש׳3.1, 2023ב ש׳4b) — צריך לדעת לכתוב אותו, לא רק לצטט.

סדר הוקטורים בגרם-שמידט לא משנה — בסוף זה בסיס אורתונורמלי ממילא

תרגול 13 מדגים את אותו בסיס בשני סדרים ומקבל שני בסיסים שונים לחלוטין. שניהם תשובות נכונות לשאלה "מצאו בסיס אורתונורמלי", אבל אם ביקשו להשלים וקטור נתון — הוא חייב להיות ראשון ברשימה, אחרת הוא ישתנה.

מצאתי בסיס ל-

U^{\perp}

ע"י פתרון המערכת, סיימתי

זה בסיס כלשהו. אם השאלה ביקשה בסיס אורתונורמלי (תרגול 13 ש׳2, מטלה 12 ש׳3א) צריך להריץ גרם-שמידט על התוצאה. גם ההפך: אם נתון לך בסיס אורתונורמלי של