מטלה 3

שני משפטים שהם עמוד השדרה של כל הקורס. הראשון אומר שהעתקה לינארית נקבעת לחלוטין ע"י מה שהיא עושה לבסיס — ולכן אפשר "להמציא" העתקה פשוט ע"י בחירת תמונות לאיברי הבסיס. השני, משפט המימדים, קושר בין הגרעין לתמונה ומאפשר להסיק מימד אחד מהשני.

• 1משפט המימדים הוא על dim V — מימד התחום. זו הטעות הקלאסית במבחן.
• 2כששני המרחבים מאותו מימד סופי: חח"ע ⟺ על ⟺ הפיכה. אחד מספיק כדי להסיק את השאר.
• 3איזומורפיזם הוא יחס שקילות, וכל מ"ו נ"ס ממימד n איזומורפי ל-Fⁿ — ולכן מספיק להבין את Fⁿ.

• ·לינאריות = שמירה על צירוף לינארי. מספיק לבדוק תנאי אחד: T(αv₁+βv₂)=αT(v₁)+βT(v₂).
• ·ker T ⊆ V ואילו Im T ⊆ W — קל להתבלבל לאיזה מרחב כל אחד שייך.
• ·T(0_V)=0_W תמיד. אם העתקה לא מעבירה אפס לאפס — היא בוודאות לא לינארית, וזו דרך מהירה להפריך.
• ·Hom(V,W) הוא בעצמו מרחב וקטורי — עובדה שנשתמש בה כשנספור מימדים.