מטלה 11

עם המכפלה הפנימית ביד אפשר סוף סוף לדבר על ניצבות. הפרק מראה שאורתוגונליות היא תכונה חזקה מאוד: היא גוררת אי-תלות לינארית בחינם, והופכת את משפט פיתגורס למשפט על וקטורים מופשטים.

• 1קבוצה אורתוגונלית שאינה מכילה את 0 היא תמיד בת"ל.
• 2פיתגורס: u ⟂ v ⟺ ‖u+v‖² = ‖u‖² + ‖v‖² (מעל ℝ).
• 3אי-שוויון המשולש נובע ישירות מקושי־שוורץ.
• 4בסיס אורתוגונלי ≠ אורתונורמלי — ההבדל קריטי בנוסחת ההיטל.

• ·מעל ℂ: לינאריות ברכיב הראשון, צמידות בשני — ⟨v,αw⟩ = ᾱ⟨v,w⟩.
• ·חיוביות: ⟨v,v⟩ ≥ 0 ושוויון רק עבור v = 0. זה מה שמאפשר להגדיר נורמה.
• ·|⟨u,v⟩| ≤ ‖u‖·‖v‖, ושוויון ⟺ u,v תלויים לינארית.
• ·אותו מרחב וקטורי יכול לשאת מכפלות פנימיות שונות — והגיאומטריה משתנה איתן.