מטלה 8

כאן מתקבל הקריטריון המלא ללכסינות. לכל ערך עצמי יש שני מספרים: כמה פעמים הוא מופיע כשורש (ריבוי אלגברי) וכמה ו"ע בת"ל הוא תורם (ריבוי גיאומטרי). לכסינות היא בדיוק השאלה האם יש מספיק ו"ע — כלומר האם GM = AM לכל ע"ע.

• 1GM(λ) = n − rank(λI − A), ותמיד 1 ≤ GM(λ) ≤ AM(λ).
• 2A לכסינה ⟺ p_A מתפרק לגורמים לינאריים וגם GM = AM לכל ע"ע ⟺ סכום ה-GM הוא n.
• 3n ערכים עצמיים שונים ⇒ לכסינה. תנאי מספיק בלבד — לא הכרחי.
• 4לכסינות תלויה בשדה. תמיד לשאול קודם: מעל איזה שדה עובדים?

• ·p_A(λ) = det(λI − A) — בסדר הזה. ההיפך הופך סימנים ומקלקל את המתוקנוּת.
• ·p_A מתוקן ממעלה n. המקדם של λ^{n-1} הוא −tr(A), והמקדם החופשי הוא (−1)ⁿdet(A).
• ·למטריצות דומות אותו פולינום אופייני — אבל ההפך לא נכון.
• ·בפולינום של מטריצת בלוקים משולשית מכפילים את הפולינומים של הבלוקים.