מטלה 6
שבוע 5 — לכסון. ערכים ווקטורים עצמיים, מרחב עצמי, קריטריון ראשון ללכסינות
למה הרשימה הזאת
מטלה 6 בודקת את החומר של הרצאה 5. ההגדרות והמשפטים שלמטה הם מה שהשאלות משתמשות בו — אם אחד מהם לא ברור, כדאי לחזור אליו לפני שמתחילים לפתור.
סימנתי שאני יודעת: 0 מתוך 110%
על מה המטלה הזאת
השאלה שמניעה את כל הפרק: האם אפשר למצוא בסיס שבו ההעתקה היא סתם מתיחה בכל ציר? הווקטורים העצמיים הם בדיוק הכיוונים שההעתקה לא מסובבת, והמרחב העצמי אוסף את כולם עבור ערך עצמי נתון.
ערך עצמיוקטור עצמימרחב עצמילכסינות
הגדרות שחייבים לדעת
0/5משפטים שחייבים לדעת
0/6נקודות שנופלים עליהן
- 1A לכסינה ⟺ קיים בסיס של המרחב שכולו וקטורים עצמיים. לא מספיק שיהיו הרבה ו"ע.
- 2וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם תמיד בת"ל — זה מה שמאפשר להרכיב בסיס.
- 3V_λ = Null(λI − A) הוא תת-מרחב, ולכן אפשר לדבר על המימד שלו.
- 4הווקטור 0 לעולם אינו וקטור עצמי, אבל 0 יכול בהחלט להיות ערך עצמי.
רענון משבוע 4 — דמיון מטריצות
- ·A ~ B ⟺ קיימת P הפיכה כך ש-B = P⁻¹AP ⟺ שתיהן מייצגות את אותו אופרטור בבסיסים שונים.
- ·שמורות דמיון: det, tr, דרגה, פולינום אופייני, ע"ע עם ריבויים, הפיכות.
- ·מה שלא נשמר: הווקטורים העצמיים עצמם, והכניסות של המטריצה.
- ·מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה — כי P⁻¹(λI)P = λI לכל P.