מטלה 5

אותה העתקה נראית אחרת בבסיסים שונים — וזה בדיוק מה שיחס הדמיון מתאר. מטריצת המעבר היא ה"מילון" שמתרגם בין שתי השפות. הרעיון הזה הוא מה שנותן משמעות ללכסון: לכסון = חיפוש הבסיס שבו ההעתקה נראית הכי פשוט.

• 1A ~ B ⟺ קיימת P הפיכה כך ש-B = P⁻¹AP ⟺ שתיהן מייצגות את אותו אופרטור בבסיסים שונים.
• 2שמורות דמיון: det, tr, דרגה, פולינום אופייני, ע"ע עם ריבויים, הפיכות.
• 3מה שלא נשמר: הווקטורים העצמיים עצמם, והכניסות של המטריצה.
• 4מטריצה סקלרית דומה רק לעצמה — כי P⁻¹(λI)P = λI לכל P.

• ·הכלל המרכזי: [T(v)]_B = [T]^A_B · [v]_A — המטריצה פועלת על הקואורדינטות, לא על הווקטור.
• ·העמודה ה-j של [T]^A_B היא [T(a_j)]_B. זו כל ההגדרה, וממנה בונים הכל.
• ·בהרכבה הבסיס האמצעי "מצטמצם": [S∘T]^A_C = [S]^B_C·[T]^A_B.
• ·ψ: Hom(V,W) → M_{m×n}(F) הוא איזומורפיזם — ולכן dim Hom(V,W) = m·n.