מטלה 7

עד כה חיפשנו ערכים עצמיים בניחוש. הפולינום האופייני הופך את זה לאלגוריתם: הע"ע הם בדיוק השורשים של p_A(λ) = det(λI − A). לאורך הדרך מתגלה שהפולינום מקודד גם את העקבה וגם את הדטרמיננטה, ושהוא שמור תחת דמיון.

• 1p_A(λ) = det(λI − A) — בסדר הזה. ההיפך הופך סימנים ומקלקל את המתוקנוּת.
• 2p_A מתוקן ממעלה n. המקדם של λ^{n-1} הוא −tr(A), והמקדם החופשי הוא (−1)ⁿdet(A).
• 3למטריצות דומות אותו פולינום אופייני — אבל ההפך לא נכון.
• 4בפולינום של מטריצת בלוקים משולשית מכפילים את הפולינומים של הבלוקים.

• ·A לכסינה ⟺ קיים בסיס של המרחב שכולו וקטורים עצמיים. לא מספיק שיהיו הרבה ו"ע.
• ·וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם תמיד בת"ל — זה מה שמאפשר להרכיב בסיס.
• ·V_λ = Null(λI − A) הוא תת-מרחב, ולכן אפשר לדבר על המימד שלו.
• ·הווקטור 0 לעולם אינו וקטור עצמי, אבל 0 יכול בהחלט להיות ערך עצמי.