מטלה 9

שני נושאים שנשענים על כל מה שקדם. קיילי־המילטון אומר שכל מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני של עצמה — כלי חזק לחישוב הופכית ולחזקות גבוהות. תת-מרחב שמור הוא תת-מרחב שההעתקה לא "מוציאה" ממנו, ומאפשר לפרק בעיה גדולה לחלקים.

• 1p_A(A) = 0. מכאן מקבלים A⁻¹ כפולינום ב-A, וגם דרך לחשב A^k בלי לכסון.
• 2אם (λ,v) זוג עצמי של A אז (q(λ),v) זוג עצמי של q(A) לכל פולינום q.
• 3הגרעין, התמונה, וכל מרחב עצמי — כולם שמורים תחת ההעתקה.
• 4אופרטור לכסין ⟺ קיים בסיס שבו המטריצה המייצגת [T]^B_B אלכסונית.

• ·GM(λ) = n − rank(λI − A), ותמיד 1 ≤ GM(λ) ≤ AM(λ).
• ·A לכסינה ⟺ p_A מתפרק לגורמים לינאריים וגם GM = AM לכל ע"ע ⟺ סכום ה-GM הוא n.
• ·n ערכים עצמיים שונים ⇒ לכסינה. תנאי מספיק בלבד — לא הכרחי.
• ·לכסינות תלויה בשדה. תמיד לשאול קודם: מעל איזה שדה עובדים?