LINEAR 2

הדרך לאלכסון

שבועות 5–8 · איך מוצאים את המטריצה הפשוטה ביותר במחלקת דמיון — ומה עושים כשאין כזו

הקו בשורה אחת
שבוע 4 הותיר שאלה אחת פתוחה: מה הנציג הפשוט ביותר במחלקת דמיון. הבלוק הזה עונה "אלכסונית", ואז מבלה שלושה שבועות בבניית המכונה שמכריעה מתי זה אפשרי — הפולינום האופייני מוצא את המועמדים, הריבוי הגיאומטרי סופר אם יש מספיק וקטורים עצמיים — ובשבוע 8 מהפך: "לכסינה" מפסיקה להיות תשובה והופכת לכלי חישוב, ולמי שנשארה בחוץ מחכה קיילי־המילטון.
שבוע 4 סיים במילה "דומות" ובשאלה שנובעת ממנה מיד: אם לאותו אופרטור יש מטריצה מייצגת שונה לכל בחירת בסיס, ואם כולן חולקות את אותן שמורות — det⁡\det, tr⁡\tr, rank⁡\rank, הפיכות — אז איזו מהן הכי נוחה לעבוד איתה? מחלקת דמיון היא אוסף אינסופי של מטריצות שכולן "אותו דבר", וכל הבלוק הזה הוא ניסיון לבחור מתוכו נציג אחד שאפשר לחשב איתו בלי דמעות.
שבוע 5 נותן את התשובה בשורה אחת: אלכסונית. ואז מסביר מה המחיר. אם A=PDP−1A=PDP^{-1} עם D=diag⁡(λ1,…,λn)D=\diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n), אז לכל עמודה v⃗j\vec v_j של PP מתקיים Av⃗j=λjv⃗jA\vec v_j=\lambda_j\vec v_j — כלומר הבסיס שמלכסן הוא בדיוק בסיס שכולו וקטורים עצמיים. מכאן ההגדרה העובדת: AA לכסינה אם"ם קיים בסיס של Fn\F^n מווקטורים עצמיים. זה תנאי אם"ם, לא רק מספיק, וכל שאר הקריטריונים בפרק הם קיצורי דרך אליו.
אלא ששבוע 5 מוסר קריטריון בלי לספק דרך למצוא את λ\lambda. הוא נותן טריקים: מטריצה משולשית מוסרת את הע"ע על האלכסון בחינם; ב-2×22\times2 המערכת λ1+λ2=tr⁡(A)\lambda_1+\lambda_2=\tr(A), λ1λ2=det⁡(A)\lambda_1\lambda_2=\det(A) פותרת הכול; אם סכום כל שורה שווה ל-λ\lambda אז λ\lambda ע"ע (זה מתרגול 6, לא מההרצאה). אבל עבור מטריצה כללית — ניחוש. וזו בדיוק החזית שנפתחת בשבוע הבא.
שבוע 6 בונה את המכונה. pA(λ)=det⁡(λIn−A)p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A) — זו הקונבנציה של הקורס, וההרצאה כותבת במפורש שההגדרה det⁡(A−λIn)\det(A-\lambda I_n) "לא אצלנו". התובנה היא ש-λ\lambda הוא ע"ע אם"ם λI−A\lambda I-A אינה הפיכה אם"ם הדטרמיננטה מתאפסת — כלומר det⁡\det משבוע 0, אותו חישוב בדיוק, רק עם משתנה במקום מספר. ההרצאה מוכיחה על המקדמים דבר אחד ויחיד: הפולינום מתוקן וממעלה nn בדיוק (משפט 2), ומכאן שיש לכל היותר nn ע"ע שונים. משפט המקדמים — שהמקדם של λn−1\lambda^{n-1} הוא −tr⁡(A)-\tr(A) ושהמקדם החופשי הוא (−1)ndet⁡(A)(-1)^n\det(A) — מוכח בתרגול 7 בלבד, ובכל זאת הוא מה שהופך כל שאלת "נתון pAp_A" לשתי שורות.
ואז מגיע החור. pAp_A מספר לך מי המועמדים ומה הריבוי שלהם, אבל הוא לא רואה לכסינות: ל-I2I_2 ול-(1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} אותו (λ−1)2(\lambda-1)^2 בדיוק, אותה עקבה ואותה דטרמיננטה — והראשונה לכסינה והשנייה לא. הפולינום מודד כמה פעמים λ\lambda מופיע, ואילו הלכסינות שואלת כמה ו"ע בת"ל λ\lambda באמת מספק. שני המספרים האלה לא חייבים להיות שווים, וזה כל שבוע 7.
שבוע 7 נותן להם שמות ומכניס אותם ללחיצה אחת. הריבוי האלגברי AM⁡(λ)\AM(\lambda) הוא החזקה של (λ−λ0)(\lambda-\lambda_0) בפ"א — נקרא מהפולינום. הריבוי הגיאומטרי GM⁡(λ)=dim⁡Vλ=n−rank⁡(λIn−A)\GM(\lambda)=\dim V_\lambda=n-\rank(\lambda I_n-A) — נמדד בדירוג, מינוס הדרגה ולא הדרגה. תמיד 1≤GM⁡≤AM⁡≤n1\le\GM\le\AM\le n, תמיד ∑GM⁡(λi)≤n\sum\GM(\lambda_i)\le n, והשוויון ∑GM⁡=n\sum\GM=n שקול ללכסינות. מכאן נגזר האלגוריתם: AM⁡=1\AM=1 סוגר את עצמו בחינם, ו-AM⁡≥2\AM\ge2 הוא המקום היחיד שבו באמת מדרגים. שימי לב לניסוח המלא: מעל שדה כללי צריך שני תנאים — שהפ"א יתפרק לגורמים לינאריים וגם ש-GM⁡=AM⁡\GM=\AM לכל ע"ע. רק מעל C\C (או כל שדה שבו הפ"א מתפרק ממילא) התנאי הראשון אוטומטי ומספיק לבדוק את השני.
שבוע 8 מהפך את הכיוון. עד כה "לכסינה" הייתה התשובה; עכשיו היא הכלי: A∼DA\sim D נותן Ak=PDkP−1A^k=PD^kP^{-1}, tr⁡(Ak)=∑λik\tr(A^k)=\sum\lambda_i^k, ולכל פולינום pp מתקיים P−1p(A)P=diag⁡(p(λ1),…,p(λn))P^{-1}p(A)P=\diag(p(\lambda_1),\dots,p(\lambda_n)) — באותה PP בדיוק. במקביל הכול מתורגם לשפת אופרטורים: TT לכסינה אם"ם המטריצה המייצגת [T]BB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}} לכסינה, לכל בסיס, ולכן מותר לבחור את הבסיס הנוח ביותר. ולצד זה נכנס המושג "תת-מרחב שמור", שבו Ker⁡T\Ker T, Im⁡T\Imm T וכל VλV_\lambda הם דוגמאות חינם.
ומה עם המטריצות שנפלו בשבוע 7? בשבילן יש קיילי־המילטון: pA(A)=0np_A(A)=0_n — כל מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה, בלי שום הנחת לכסינות. מכאן ש-AnA^n הוא צירוף של In,A,…,An−1I_n,A,\dots,A^{n-1}, וכל AkA^k עם k≥nk\ge n קורס לאותה מעלה דרך חילוק עם שארית; וכש-det⁡A≠0\det A\ne0 — ורק אז, כי אחרת המקדם החופשי a0=(−1)ndet⁡Aa_0=(-1)^n\det A מתאפס והמהלך נשבר — גם A−1A^{-1} הוא פולינום ב-AA. שלוש אזהרות: התוצאה היא מטריצת האפס ולא הסקלר 00; הרצאה 8 מציגה בשקף 12 הוכחה שגויה בכוונה (pA(A)=∣AI−A∣=∣0∣=0p_A(A)=|AI-A|=|0|=0) כדי שלא תכתבי אותה — אי אפשר להציב מטריצה בתוך כניסות של מטריצה; ומ-pA(A)=0p_A(A)=0 אסור להסיק ש-AA מאפסת גורם לינארי של pAp_A, כי לחוג המטריצות יש מחלקי אפס ((A+I)(A−4I)=0(A+I)(A-4I)=0 בלי שאף גורם יתאפס).
בסוף הבלוק את מחזיקה נוהל שלם: מ-AA אל pAp_A, מ-pAp_A אל המועמדים והריבויים, מהדרגות אל GM⁡\GM, ומשם או ל-PP ו-DD או להצהרה "לא לכסינה" — ובשני המקרים יש דרך לחשב חזקות. הכיוון קדימה כבר מונח: שבוע 13 יחזור לשאלה הזו עם דרישה חזקה יותר — לא סתם בסיס של ו"ע, אלא בסיס אורתונורמלי של ו"ע — וזה כבר יצריך את המכפלה הפנימית שנבנית משבוע 9.
5ערכים עצמיים ולכסוןדף הנושא ←
הצורךשבוע 4 הראה שלאופרטור יש אינסוף מטריצות מייצגות דומות. צריך לבחור מתוכן נציג שאפשר לחשב איתו — ולדעת מתי הוא קיים.
מוסר הלאהע"ע, ו"ע, המרחב העצמי VλV_\lambda, וההגדרה: לכסינה אם"ם קיים בסיס של Fn\F^n מווקטורים עצמיים. בנוסף: nn ע"ע שונים ⇒\Rightarrow לכסינה, ומטריצה סקלרית דומה רק לעצמה.
Av⃗=λv⃗,v⃗≠0⃗A\vec v=\lambda\vec v,\quad \vec v\ne\vec 0
A=PDP−1,D=diag⁡(λ1,…,λn)A=PDP^{-1},\quad D=\diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)
Vλ=Null(λIn−A),dim⁡Vλ=n−rank⁡(λIn−A)V_\lambda=\mathrm{Null}(\lambda I_n-A),\quad \dim V_\lambda=n-\rank(\lambda I_n-A)
6הפולינום האופיינידף הנושא ←
הצורךשבוע 5 נתן קריטריון אבל לא נתן דרך למצוא את הערכים העצמיים. מעבר למשולשית ול-2×22\times2 נשאר רק ניחוש.
מוסר הלאהpA(λ)=det⁡(λIn−A)p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A): הע"ע הם בדיוק שורשיו בשדה. ההרצאה מוכיחה שהוא מתוקן ממעלה nn בדיוק (משפט 2); משפט המקדמים (−tr⁡-\tr ו-(−1)ndet⁡(-1)^n\det) הוא תרגול 7 בלבד. וגם: A∼B⇒pA=pBA\sim B\Rightarrow p_A=p_B, ולא הפוך.
pA(λ)=det⁡(λIn−A)p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)
λ ע"ע של A  ⟺  pA(λ)=0F\lambda \text{ ע"ע של } A \iff p_A(\lambda)=0_{\F}
pA(λ)=λn−tr⁡(A)λn−1+⋯+(−1)ndet⁡(A)p_A(\lambda)=\lambda^n-\tr(A)\lambda^{n-1}+\dots+(-1)^n\det(A)
7ריבוי אלגברי מול ריבוי גיאומטרידף הנושא ←
הצורךשבוע 6 מסר את רשימת המועמדים ואת הריבויים שלהם — אבל pAp_A לא רואה לכסינות: ל-I2I_2 ול-(1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} אותו פ"א בדיוק, ורק הראשונה לכסינה.
מוסר הלאהשני מספרים לכל ע"ע והלחיצה ביניהם, ומכאן הקריטריון הסופי: לכסינה אם"ם ∑GM⁡=n\sum\GM=n. מעל שדה כללי — הפ"א מתפרק וגם GM⁡=AM⁡\GM=\AM לכל ע"ע.
GM⁡(λ)=dim⁡Vλ=n−rank⁡(λIn−A)\GM(\lambda)=\dim V_\lambda=n-\rank(\lambda I_n-A)
1≤GM⁡(λ)≤AM⁡(λ)≤n1\le\GM(\lambda)\le\AM(\lambda)\le n
∑iGM⁡(λi)=n  ⟺  A לכסינה\textstyle\sum_i\GM(\lambda_i)=n \iff A \text{ לכסינה}
8קיילי־המילטון ולכסון אופרטוריםדף הנושא ←
הצורךשבוע 7 החזיר "כן" או "לא" — ולא אמר מה עושים עם התשובה. ה"כן" עוד לא הפך לחישוב, וה"לא" השאיר אותך בלי שום כלי.
מוסר הלאההצבת מטריצה בפולינום, pA(A)=0np_A(A)=0_n לכל AA (גם לא לכסינה), רדוקציה של כל חזקה למעלה ≤n−1\le n-1, A−1A^{-1} כפולינום ב-AA כש-det⁡A≠0\det A\ne0; ובמקביל: TT לכסינה אם"ם [T]BB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}} לכסינה, ותתי-מרחבים שמורים.
p(A)=a0In+a1A+⋯+akAkp(A)=a_0I_n+a_1A+\dots+a_kA^k
pA(A)=0np_A(A)=0_n
A−1=−1a0(An−1+an−1An−2+⋯+a1In)(det⁡A≠0)A^{-1}=\tfrac{-1}{a_0}\big(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots+a_1I_n\big)\quad(\det A\ne0)
4 ← 5דמיון מטריצות ← לכסון
מה נשאר פתוח
מחלקת דמיון מכילה אינסוף מטריצות שכולן "אותו אופרטור". מה הנציג הכי פשוט שאפשר לבחור בה?
איך זה נסגר
אלכסונית — כשאפשר. ומתי אפשר? בדיוק כשקיים בסיס של Fn\F^n שכולו וקטורים עצמיים. אז PP היא מטריצת הו"ע בעמודות ו-DD היא הע"ע באותו סדר. אין אפשרות שלישית: או שהבסיס הזה קיים, או שהיא לא לכסינה.
5 ← 6לכסון ← הפולינום האופייני
מה נשאר פתוח
הקריטריון מדבר על ע"ע — אבל איך מוצאים אותם? משולשית נותנת אותם על האלכסון, ב-2×22\times2 פותרים tr⁡\tr/det⁡\det, ובכל שאר המקרים פשוט מנחשים.
איך זה נסגר
λ\lambda ע"ע אם"ם λIn−A\lambda I_n-A אינה הפיכה אם"ם det⁡(λIn−A)=0\det(\lambda I_n-A)=0. זו אותה דטרמיננטה משבוע 0, רק עם משתנה — וכך נולד pAp_A, פולינום מתוקן ממעלה nn בדיוק ששורשיו הם כל הע"ע.
6 ← 7הפולינום האופייני ← ריבוי אלגברי וגיאומטרי
מה נשאר פתוח
יש לי את רשימת המועמדים ואת הריבויים האלגבריים — אבל pAp_A שווה ל-I2I_2 ול-(1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, ורק אחת מהן לכסינה. מה הפולינום פספס?
איך זה נסגר
את מימד המרחב העצמי. AM⁡\AM סופר הופעות בפולינום, GM⁡=n−rank⁡(λIn−A)\GM=n-\rank(\lambda I_n-A) סופר ו"ע בת"ל. תמיד GM⁡≤AM⁡\GM\le\AM, ולכסינות היא בדיוק המקרה שבו אין הפסד: ∑GM⁡=n\sum\GM=n.
7 ← 8ריבוי אלגברי וגיאומטרי ← קיילי–המילטון ותת-מרחב שמור
מה נשאר פתוח
קיבלתי הכרעה בינארית. מה עושים עם "כן" מעבר לרישום התשובה — ומה בכלל עושים עם "לא"?
איך זה נסגר
"כן" הופך למכונת חישוב: Ak=PDkP−1A^k=PD^kP^{-1}, tr⁡(Ak)=∑λik\tr(A^k)=\sum\lambda_i^k, p(A)p(A) מלוכסנת באותה PP. "לא" מקבל תחליף: קיילי־המילטון, pA(A)=0np_A(A)=0_n, שמצמצם כל חזקה למעלה ≤n−1\le n-1 ונותן את A−1A^{-1} כפולינום ב-AA — בלי שום הנחת לכסינות.
8 ← 9קיילי–המילטון ותת-מרחב שמור ← מרחב מכפלה פנימית
מה נשאר פתוח
לכסון בחר בסיס נוח — אבל שום דבר עד כאן לא יודע לומר מה האורך של וקטור או מה הזווית בין שניים. אפילו לא הוגדרה מכפלה סקלרית מופשטת.
איך זה נסגר
שבוע 9 מוסיף את המבנה החסר: מכפלה פנימית, ומתוכה נורמה וקושי־שוורץ. משם הדרך חזרה לפרק הזה: בשבוע 13 השאלה "האם לכסינה" תשוב עם דרישה חזקה יותר — בסיס אורתונורמלי של ו"ע, כלומר לכסון אורתוגונלי.
שרשרת ההחלטה — האם AA לכסינה, מהזול ליקר
pA(λ)=det⁡(λIn−A)p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)⟸פירוק לגורמים מעל F\text{פירוק לגורמים מעל } \F⟸n שורשים שונים⇒לכסינהn \text{ שורשים שונים} \Rightarrow \text{לכסינה}⟸לא מתפרק⇒לא לכסינה\text{לא מתפרק} \Rightarrow \text{לא לכסינה}⟸AM⁡(λ)=1⇒GM⁡(λ)=1\AM(\lambda)=1 \Rightarrow \GM(\lambda)=1⟸AM⁡(λ)≥2⇒GM⁡(λ)=n−rank⁡(λIn−A)\AM(\lambda)\ge2 \Rightarrow \GM(\lambda)=n-\rank(\lambda I_n-A)⟸GM⁡(λ)<AM⁡(λ)⇒לא לכסינה\GM(\lambda)<\AM(\lambda) \Rightarrow \text{לא לכסינה}
שני הצעדים האמצעיים הם היציאות המהירות: אם יש nn שורשים שונים סיימת ב"כן", ואם הפ"א לא מתפרק סיימת ב"לא". מדרגים רק עבור ע"ע עם AM⁡≥2\AM\ge2, ועוצרים בראשון שבו GM⁡<AM⁡\GM<\AM. וקיצור נוסף שקודם לכל השרשרת: ע"ע יחיד cc עם A≠cInA\ne cI_n ⇒\Rightarrow לא לכסינה, בלי לחשב אף דרגה.
הלחיצה 1≤GM⁡≤AM⁡≤n1\le\GM\le\AM\le n
GM⁡(λ)≥1  ⟺  λ ע"ע\GM(\lambda)\ge1 \iff \lambda \text{ ע"ע}⟸GM⁡(λ)≤AM⁡(λ)\GM(\lambda)\le\AM(\lambda)⟸∑iAM⁡(λi)≤n\textstyle\sum_i\AM(\lambda_i)\le n⟸∑iGM⁡(λi)≤n\textstyle\sum_i\GM(\lambda_i)\le n⟸∑iGM⁡(λi)=n  ⟺  A לכסינה\textstyle\sum_i\GM(\lambda_i)=n \iff A \text{ לכסינה}
החסם מלמעלה ∑GM⁡≤n\sum\GM\le n נובע מכך שאיחוד בסיסים של מרחבים עצמיים של ע"ע שונים הוא קבוצה בת"ל (הסכום ישר). ∑AM⁡=n\sum\AM=n מתקיים אם"ם הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים — אוטומטי מעל C\C, ועלול להיכשל מעל R\R או Zp\Z_p. הדפוס המנצח במבחן: דוחפים את ∑GM⁡\sum\GM מלמטה עד שהוא נוגע ב-nn, ואז השוויון מוכיח לכסינות בלי לחשב עוד כלום.
קיילי־המילטון — כל חזקה קורסת מתחת ל-nn
pA(λ)=λn+an−1λn−1+⋯+a1λ+a0p_A(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_1\lambda+a_0⟸pA(A)=0np_A(A)=0_n⟸An=−(an−1An−1+⋯+a1A+a0In)A^n=-\big(a_{n-1}A^{n-1}+\dots+a_1A+a_0I_n\big)⟸xk=q(x)pA(x)+r(x), deg⁡r<nx^k=q(x)p_A(x)+r(x),\ \deg r<n⟸Ak=q(A)pA(A)+r(A)=r(A)A^k=q(A)p_A(A)+r(A)=r(A)⟸a0=(−1)ndet⁡A≠0⇒A−1=−1a0(An−1+⋯+a1In)a_0=(-1)^n\det A\ne0 \Rightarrow A^{-1}=\tfrac{-1}{a_0}\big(A^{n-1}+\dots+a_1I_n\big)
הצעד האחרון תקף רק כש-det⁡A≠0\det A\ne0 — אחרת a0=0a_0=0 ואי אפשר לחלק. שתי מלכודות בדרך: התוצאה של pA(A)p_A(A) היא מטריצת האפס 0n0_n ולא הסקלר 00 (זו בדיוק הסיבה שההוכחה שבשקף 12 של הרצאה 8 שגויה); ומ-pA(A)=0p_A(A)=0 אין להסיק ש-AA מאפסת גורם לינארי של pAp_A — במטריצות יש מחלקי אפס, ו-(A+I)(A−4I)=02(A+I)(A-4I)=0_2 מתקיים גם כש-A≠−IA\ne-I וגם A≠4IA\ne4I.
המרחב העצמי VλV_\lambda — מגרעין למספר, וממספר לתת-מרחב שמור
1
עדיין רק "גרעין": Ker⁡T={v∣T(v)=0}\Ker T=\{v\mid T(v)=0\}, תת-מרחב של התחום. VλV_\lambda יהיה בדיוק אותו יצור עם λI−A\lambda I-A במקום AA.
5
מוגדר: Vλ=Null(λIn−A)V_\lambda=\mathrm{Null}(\lambda I_n-A), תמ"ו שמכיל את 0⃗\vec 0 (למרות שהוא עצמו אינו ו"ע), ומחושב תמיד כ-n−rank⁡(λIn−A)n-\rank(\lambda I_n-A). ובפרט V0=Null(A)=Ker⁡TV_0=\mathrm{Null}(A)=\Ker T.
6
הפ"א קובע אילו λ\lambda נותנים Vλ≠{0⃗}V_\lambda\ne\{\vec 0\} — אבל לא כמה גדול הוא. את המימד pAp_A לא רואה בכלל.
7
המימד מקבל שם: GM⁡(λ)=dim⁡Vλ\GM(\lambda)=\dim V_\lambda, נלחץ בין 11 ל-AM⁡(λ)\AM(\lambda), וסכומו על כל הע"ע חסום ב-nn — עם שוויון אם"ם לכסינה.
8
הופך לתת-מרחב שמור תחת TT (בחינם, יחד עם Ker⁡T\Ker T ו-Im⁡T\Imm T), ואם TT לכסינה אז Im⁡T\Imm T הוא סכום ישר של המרחבים העצמיים של הע"ע השונים מאפס.
הפולינום האופייני — מדטרמיננטה למשוואה שהמטריצה מקיימת
0
רק det⁡\det: כלי חישוב, ו-det⁡M≠0  ⟺  M\det M\ne0\iff M הפיכה. זה כל מה שנחוץ כדי להתחיל.
5
מוזכר בהרצאה (שקף 34) אבל לא מוכח עליו דבר. בשבוע 5 עדיין מוצאים ע"ע בטריקים — אלכסון של משולשית, tr⁡\tr/det⁡\det ב-2×22\times2, סכום שורות קבוע.
6
מוגדר רשמית pA(λ)=det⁡(λIn−A)p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A); מוכח שהוא מתוקן ממעלה nn בדיוק, ששורשיו הם הע"ע, ושהוא שמור תחת דמיון. משפט המקדמים (−tr⁡-\tr, (−1)ndet⁡(-1)^n\det) — תרגול 7 בלבד.
7
מקדמיו נקראים כריבויים: AM⁡(λ0)\AM(\lambda_0) היא החזקה של (λ−λ0)(\lambda-\lambda_0) בפירוק, ו-∑AM⁡=n\sum\AM=n אם"ם הוא מתפרק לגורמים לינאריים.
8
המטריצה מאפסת אותו: pA(A)=0np_A(A)=0_n. הפולינום מפסיק להיות מכשיר אבחון והופך לזהות מטריצית שמותר להשתמש בה בחישוב.
"לכסינה" — מהגדרה, לקריטריון, לכלי
4
המילה עוד לא קיימת. יש רק "דומות", ורשימת שמורות שאומרת מה לא מבדיל בין נציגים.
5
הגדרה: A∼DA\sim D אלכסונית, שקול לקיום בסיס של ו"ע. תנאים מספיקים (nn ע"ע שונים) ומכונת הפרכה (ע"ע יחיד ++ לא סקלרית).
6
מתברר ש-pAp_A אינו קובע אותה: אותו פ"א לשתי מטריצות שאחת לכסינה והשנייה לא. השבוע נותן מועמדים, לא הכרעה.
7
קריטריון מדויק: ∑GM⁡(λi)=n\sum\GM(\lambda_i)=n; שקול לכך שהפ"א מתפרק וגם GM⁡=AM⁡\GM=\AM לכל ע"ע. מעל C\C התנאי הראשון אוטומטי.
8
כלי: Ak=PDkP−1A^k=PD^kP^{-1}, tr⁡(Ak)=∑λik\tr(A^k)=\sum\lambda_i^k, P−1p(A)P=diag⁡(p(λi))P^{-1}p(A)P=\diag(p(\lambda_i)). ובשפת אופרטורים — TT לכסינה אם"ם [T]BB[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}} לכסינה, לכל בסיס.
13
הגרסה החזקה: לכסון אורתוגונלי — בסיס אורתונורמלי של ו"ע. מעל R\R דרישת הסימטריות מחליפה את כל הבדיקות מכאן — סימטרית ממשית לכסינה אוטומטית.

מה את יודעת לעשות בסוף הבלוק

✓לקבוע בוודאות אם מטריצה קונקרטית לכסינה — ואם כן, לכתוב PP ו-DD מפורשות — בנוהל קבוע: pAp_A, שורשים, GM⁡=n−rank⁡\GM=n-\rank, סכום.
✓לענות על "נתון pAp_A, מצאי nn, det⁡\det, tr⁡\tr, הפיכות" בארבע שורות בלי לראות את המטריצה בכלל — אבל לא את rank⁡\rank: ל-020_2 ול-(0100)\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} אותו λ2\lambda^2 ודרגות שונות.
✓לחשב A2024A^{2024}, tr⁡(A10)\tr(A^{10}) או A−1A^{-1} בשני מסלולים: לכסון כשהיא לכסינה, וקיילי־המילטון כשהיא לא — כולל כשהפ"א בכלל לא מתפרק מעל F\F.
✓להפריך קיום מטריצה שמקיימת זהות נתונה: מציבים ו"ע ומקבלים משוואה סקלרית ב-λ\lambda, או בונים את pAp_A מהע"ע ומציבים — ומראים סתירה.
5לכסון6הפולינום האופייני7ריבוי אלגברי וגיאומטרי8קיילי–המילטון ותת-מרחב שמור
הבלוק הקודם
מהעתקה למטריצה
הבלוק הבא
גיאומטריה חוזרת למרחב