LINEAR 2

מהעתקה למטריצה

שבועות 0–4 · איך פונקציה מופשטת הופכת לטבלת מספרים — ומה המחיר

הקו בשורה אחת
כל הבלוק הזה הוא תרגום אחד ארוך: לוקחים העתקה לינארית — יצור מופשט בין מרחבים וקטוריים — ומחליפים אותה במטריצה. התרגום עובד רק אחרי שבוחרים בסיסים, ולכן המטריצה תלויה בבחירה; ומכאן נולדת שאלת הדמיון, שהיא כל שבוע 4.
תחשבי על השאלה הבסיסית ביותר: יש לי פונקציה TT בין שני מרחבים וקטוריים. איך אני מחשבת איתה משהו? מרחב וקטורי יכול להיות מרחב הפולינומים, מרחב המטריצות, מרחב הפונקציות — אין שם "מספרים" להכניס למחשבון. הבלוק הזה עונה על השאלה הזו, ובדרך מייצר את כל התשתית של הקורס.
שבוע 1 מגדיר את התכונה היחידה שהופכת פונקציה למעניינת: שמירה על צירופים לינאריים. מהתכונה הזו נובע מיד דבר שאי אפשר להפריז בחשיבותו — TT נקבעת לחלוטין ע"י מה שהיא עושה לבסיס אחד. זו הסיבה שכל השאר אפשרי: אם ידעתי TT על nn וקטורים, ידעתי אותה על אינסוף.
באותו שבוע נולדות שתי הקבוצות שמלוות אותך עד סוף הקורס: הגרעין — מה נמחק, חי בתחום; והתמונה — מה מתקבל, חיה בטווח. שימי לב שהן לא גרות באותו מקום. זו הטעות הכי נפוצה בשבוע 1, וזו גם הסיבה שמשפט המימדים נראה מוזר בהתחלה.
שבוע 2 לוקח את "נקבעת ע"י בסיס" ומחדד אותו לשני חצאים: קיום — מותר לי להגדיר TT איך שאני רוצה על הבסיס, ותמיד תתקבל העתקה לינארית; ויחידות — יש רק אחת כזו. ואז מגיע משפט המימדים, ומכאן והלאה כל שאלת "חח"ע? על? הפיכה?" מפסיקה להיות שאלת פתרון מערכת והופכת לשאלת ספירה.
שבוע 3 הוא הרגע שבו התרגום קורה בפועל. בוחרים בסיס סדור, וכל וקטור מופשט הופך לעמודת מספרים — וקטור הקואורדינטות. וכל העתקה הופכת למטריצה. וזה עובד בצורה מושלמת: הפעלת TT הופכת לכפל מטריצה, והרכבת העתקות הופכת למכפלת מטריצות. משם והלאה כל הקורס עובד עם מטריצות בלבד.
שבוע 4 גובה את המחיר. אם המטריצה תלויה בבסיס שבחרתי, אז לאותו אופרטור יש הרבה מטריצות מייצגות. שתי מטריצות שמייצגות את אותו אופרטור נקראות דומות, והשאלה "מה משותף לכולן" היא בדיוק השאלה "מה באמת תכונה של האופרטור, ומה רק ארטיפקט של הבסיס שבחרתי".
וזו הנקודה שבה כל הקורס מסתובב: מהרגע שיש לך את המילה "דומות", השאלה הטבעית הבאה היא מה הבסיס הכי טוב שאפשר לבחור — כלומר, מה המטריצה הכי פשוטה במחלקת הדמיון. התשובה "אלכסונית" היא שבוע 5, וזו כל שאר המחצית הראשונה של הקורס.
ושבוע 0? הוא לא באמת חלק מהסיפור — הוא ארגז הכלים מסמסטר א׳ (דטרמיננטה, adj\mathrm{adj}, כלל קרמר) שבלעדיו אי אפשר לחשב כלום בשבועות 5–8. בפרט: det⁡\det הוא מה שיהפוך בשבוע 6 לפולינום האופייני.
0ארגז הכלים מסמסטר א׳דף הנושא ←
הצורךכל חישוב בבלוק הלכסון עובר דרך דטרמיננטה. בלי זה אין פולינום אופייני ואין קריטריון הפיכות.
מוסר הלאהדטרמיננטה, מטריצה מצורפת, כלל קרמר, והקשר det⁡A≠0  ⟺  A\det A\ne0\iff A הפיכה.
A⋅adj⁡(A)=adj⁡(A)⋅A=det⁡(A)⋅InA\cdot\adj(A)=\adj(A)\cdot A=\det(A)\cdot I_n
det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB)=\det A\cdot\det B
A−1=1det⁡Aadj⁡(A)(det⁡A≠0)A^{-1}=\tfrac{1}{\det A}\adj(A)\quad(\det A\ne0)
1העתקה לינארית, גרעין ותמונהדף הנושא ←
הצורךלזהות אילו פונקציות בין מרחבים וקטוריים "מכבדות" את המבנה — ולכן ניתנות לתיאור סופי.
מוסר הלאהההגדרה, והתובנה ש-TT נקבעת ע"י ערכיה על בסיס; Ker⁡T⊆V\Ker T\subseteq V ו-Im⁡T⊆W\Imm T\subseteq W.
T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)
Ker⁡T={v∈V∣T(v)=0W}\Ker T=\{v\in V\mid T(v)=0_W\}
T חח"ע  ⟺  Ker⁡T={0V}T \text{ חח"ע} \iff \Ker T=\{0_V\}
2קיום, יחידות ומשפט המימדיםדף הנושא ←
הצורךשבוע 1 אמר ש-TT נקבעת ע"י בסיס, אבל לא אמר שמותר לבחור את הערכים בחופשיות — ולא נתן דרך לספור.
מוסר הלאהמשפט הקיום והיחידות, ומשפט המימדים שהופך כל שאלת חח"ע/על לשאלת חשבון.
dim⁡Ker⁡T+dim⁡Im⁡T=dim⁡V\dim\Ker T+\dim\Imm T=\dim V
dim⁡V=dim⁡W  ⇒  (חח"ע  ⟺  על  ⟺  הפיכה)\dim V=\dim W \;\Rightarrow\; \big(\text{חח"ע}\iff\text{על}\iff\text{הפיכה}\big)
3קואורדינטות ומטריצה מייצגתדף הנושא ←
הצורךלחשב בפועל. וקטור מופשט הוא לא מספרים — צריך דרך להפוך אותו לעמודה.
מוסר הלאהוקטור קואורדינטות, מטריצה מייצגת, ומטריצת מעבר בין בסיסים.
[T]BA [v]A=[T(v)]B[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}\,[v]_{\mathcal{A}}=[T(v)]_{\mathcal{B}}
העמודה ה-j היא [T(vj)]B\text{העמודה ה-}j\text{ היא }[T(v_j)]_{\mathcal{B}}
[S∘T]CA=[S]CB[T]BA[S\circ T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{C}}=[S]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{C}}[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}
4דמיון מטריצותדף הנושא ←
הצורךשבוע 3 יצר בעיה: לאותו אופרטור יש מטריצה שונה לכל בחירת בסיס. מה מכל זה שייך לאופרטור עצמו?
מוסר הלאהיחס הדמיון, ורשימת השמורות — כל מה שחייב להיות שווה בשתי מטריצות דומות.
A∼B  ⟺  ∃P הפיכה:B=P−1APA\sim B \iff \exists P \text{ הפיכה}: B=P^{-1}AP
[T]CC=([id]BC) [T]BB ([id]BC)−1[T]^{\mathcal{C}}_{\mathcal{C}}=([id]^{\mathcal{C}}_{\mathcal{B}})\,[T]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}\,([id]^{\mathcal{C}}_{\mathcal{B}})^{-1}
1 ← 2העתקות לינאריות ← קיום ויחידות ומשפט המימדים
מה נשאר פתוח
"TT נקבעת ע"י בסיס" — אבל האם מותר לבחור את הערכים על הבסיס איך שרוצים? ואיך סופרים כמה "נמחק" וכמה "נשאר"?
איך זה נסגר
משפט הקיום והיחידות אומר: כן, כל בחירה חוקית, ויש בדיוק אחת. משפט המימדים אומר: dim⁡V\dim V מתחלק בדיוק לשניים בין הגרעין לתמונה — אין דליפה.
2 ← 3קיום ויחידות ומשפט המימדים ← קואורדינטות ומטריצה מייצגת
מה נשאר פתוח
יש לי מספרים (dim⁡ker⁡\dim\ker, dim⁡Im⁡\dim\Imm) אבל עדיין אין לי דרך לחשב את T(v)T(v) עבור וקטור קונקרטי במרחב מופשט.
איך זה נסגר
בוחרים בסיס סדור. כל וקטור הופך לעמודה, TT הופכת למטריצה, והפעלה הופכת לכפל. עכשיו אפשר לדרג, להפוך ולחשב דטרמיננטה.
3 ← 4קואורדינטות ומטריצה מייצגת ← דמיון מטריצות
מה נשאר פתוח
המטריצה שקיבלתי תלויה בבסיס שבחרתי. אם חבר בחר בסיס אחר וקיבל מטריצה אחרת — מי צודק?
איך זה נסגר
שניכם. שתי המטריצות דומות, וכל תכונה אמיתית של האופרטור (det⁡\det, tr⁡\tr, rank⁡\rank, הפיכות, ובהמשך: ע"ע ולכסינות) יוצאת אותו דבר בשתיהן. מה שלא שווה — היה מלכתחילה ארטיפקט של הבסיס.
4 ← 5דמיון מטריצות ← לכסון
מה נשאר פתוח
אם יש למחלקת הדמיון הרבה נציגים — מה הנציג הכי פשוט שאפשר לבחור?
איך זה נסגר
אלכסונית, אם אפשר. זו בדיוק ההגדרה של "לכסינה", וזה כל שבוע 5. הבסיס שנותן את זה הוא בסיס של וקטורים עצמיים.
משרשרת חח"ע עד הפיכות (במימדים שווים)
Ker⁡T={0V}\Ker T=\{0_V\}⟸T חח"עT \text{ חח"ע}⟸dim⁡Im⁡T=dim⁡V=dim⁡W\dim\Imm T=\dim V=\dim W⟸Im⁡T=W\Imm T=W⟸T עלT \text{ על}⟸T הפיכהT \text{ הפיכה}
השרשרת הזו קורסת רק כש-dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W. במימדים שונים חח"ע ועל הן טענות בלתי תלויות לגמרי, ואסור לגזור אחת מהשנייה.
מהעתקה למטריצה ובחזרה
T:V→W לינאריתT:V\to W \text{ לינארית}⟸בוחרים A,B\text{בוחרים } \mathcal{A},\mathcal{B}⟸A=[T]BAA=[T]^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}⟸[T(v)]B=A[v]A[T(v)]_{\mathcal{B}}=A[v]_{\mathcal{A}}⟸rank⁡T=rank⁡A\rank T=\rank A⟸dim⁡Ker⁡T=n−rank⁡A\dim\Ker T=n-\rank A
זו הסיבה שמותר לענות על שאלה מופשטת לגמרי (על פולינומים, על מטריצות) ע"י דירוג מטריצת מספרים.
למה מטריצות דומות מתנהגות אותו דבר
B=P−1APB=P^{-1}AP⟸det⁡B=det⁡(P−1)det⁡Adet⁡P=det⁡A\det B=\det(P^{-1})\det A\det P=\det A⟸tr⁡(B)=tr⁡(P−1AP)=tr⁡(APP−1)=tr⁡A\tr(B)=\tr(P^{-1}AP)=\tr(APP^{-1})=\tr A⟸Bk=P−1AkPB^k=P^{-1}A^kP⟸pB=pA  (שבוע 6)p_B=p_A \;(\text{שבוע }6)
הצעד ב-tr⁡\tr משתמש ב-tr⁡(XY)=tr⁡(YX)\tr(XY)=\tr(YX). זה הטריק שחוזר בכל הוכחת שמורה תחת דמיון.
הגרעין — מה קורה לו לאורך הבלוק
1
מוגדר: Ker⁡T={v∣T(v)=0W}\Ker T=\{v\mid T(v)=0_W\}, ומוכיחים שהוא תת-מרחב של VV — התחום.
2
הופך למספר: dim⁡Ker⁡T=dim⁡V−dim⁡Im⁡T\dim\Ker T=\dim V-\dim\Imm T. מכאן "חח"ע" נבדק בספירה ולא בפתרון.
3
הופך למרחב אפס של מטריצה: dim⁡Ker⁡T=n−rank⁡[T]\dim\Ker T=n-\rank[T]. עכשיו מחשבים אותו בדירוג.
4
נשמר תחת דמיון — rank⁡\rank שווה בשתי מטריצות דומות, ולכן גם מימד הגרעין.
5
חוזר בתחפושת: Vλ=Ker⁡(λI−A)V_\lambda=\Ker(\lambda I-A). המרחב העצמי הוא גרעין.
הדטרמיננטה — מסמסטר א׳ עד הפולינום האופייני
0
כלי חישוב: det⁡A≠0  ⟺  A\det A\ne0\iff A הפיכה, ו-A−1=1det⁡Aadj⁡(A)A^{-1}=\frac{1}{\det A}\adj(A).
3
קריטריון הפיכות של העתקה, דרך המטריצה המייצגת שלה.
4
שמורה תחת דמיון — ולכן היא תכונה של האופרטור, לא של הבסיס.
6
הופכת לפונקציה של λ\lambda: pA(λ)=det⁡(λIn−A)p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A). אותו חישוב בדיוק, רק עם משתנה.
הבסיס — מבחירה טכנית לכלי מרכזי
1
סתם קבוצה פורשת ובת"ל; משמשת רק כדי לומר "TT נקבעת עליה".
2
מותר לקבוע את TT עליה חופשית לגמרי — זה משפט הקיום.
3
הופך לסדור (הסדר קובע את סדר העמודות), ומייצר את כל המטריצות בקורס.
4
שינוי בסיס == הצמדה ב-PP. מכאן: בחירת בסיס היא בחירת נציג במחלקת דמיון.
5
השאלה מתהפכת: לא "נתון בסיס, מה המטריצה" אלא "איזה בסיס יעשה את המטריצה אלכסונית".

מה את יודעת לעשות בסוף הבלוק

✓לקחת שאלה על מרחב מופשט לגמרי — פולינומים, מטריצות, פונקציות — ולהפוך אותה למטריצת מספרים שאפשר לדרג.
✓לענות על "חח"ע / על / הפיכה" בשורת חשבון אחת במקום בפתרון מערכת.
✓לדעת מיד אילו נתונים על מטריצה הם תכונות של האופרטור (det⁡\det, tr⁡\tr, rank⁡\rank) ואילו רק של הבסיס.
✓להבין למה השאלה "האם AA ו-BB דומות" היא שאלה לגיטימית בכלל — ולמה התשובה "יש להן אותו det⁡\det" אף פעם לא מספיקה.
0חזרה מסמסטר א׳1העתקות לינאריות2קיום ויחידות ומשפט המימדים3קואורדינטות ומטריצה מייצגת4דמיון מטריצות
הבלוק הבא
הדרך לאלכסון