LINEAR 2

גיאומטריה חוזרת למרחב

שבועות 9–13 · פעולה אחת חדשה מחזירה אורך, זווית וניצבות — ומה שהיא קונה בסוף

הקו בשורה אחת
עד שבוע 8 למרחב וקטורי אין אורך ואין זווית — רק מבנה לינארי. שבוע 9 מוסיף פעולה אחת, המכפלה הפנימית, וממנה נגזרים בזה אחר זה הנורמה, הזווית, הניצבות, הבסיס האורתונורמלי, וסוף-סוף המשפט הספקטרלי: הלכסון של שבועות 5–8, אותו סיפור בדיוק, אבל הפעם בבסיס אורתונורמלי ובלי שום קריטריון שצריך לבדוק.
עצרי רגע על מה שאין לך בסוף שבוע 8. יש גרעין, תמונה, בסיס, מטריצה מייצגת, ערכים עצמיים, לכסינות וקיילי-המילטון — וכל אלה נאמרים בשפה של צירופים לינאריים בלבד. אבל אי אפשר לשאול "כמה ארוך vv", אי אפשר לשאול "מה הזווית בין שני פולינומים", ואי אפשר לשאול "איזה וקטור ב-WW הכי קרוב ל-vv". המילים האלה פשוט לא מופיעות באקסיומות של מרחב וקטורי. הבלוק הזה מוסיף אותן — ומוסיף אותן במכה אחת.
שבוע 9 מוסיף פעולה אחת: ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbf{F} עם ארבע תכונות — אדיטיביות והומוגניות ברכיב הראשון, הרמיטיות, וחיוביות לחלוטין. שימי לב לקונבנציה של הקורס, כי היא נבלעת מעל R\mathbb{R} ולכן נלמדת שגוי: לינאריות ברכיב הראשון, צמוד ברכיב השני — ⟨αu,v⟩=α⟨u,v⟩\langle\alpha u,v\rangle=\alpha\langle u,v\rangle אבל ⟨u,αv⟩=αˉ⟨u,v⟩\langle u,\alpha v\rangle=\bar\alpha\langle u,v\rangle, והמכפלה הסטנדרטית היא ⟨v⃗,u⃗⟩=∑viui‾\langle\vec v,\vec u\rangle=\sum v_i\overline{u_i} — הפס על השני. קורסים אחרים נוקטים בקונבנציה ההפוכה; ההרצאה כאן לא.
ומכאן, מיד, שני דברים שלא מוגדרים בנפרד אלא נגזרים: הנורמה ∥v∥=⟨v,v⟩\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} (היא מוגדרת היטב כי ⟨v,v⟩\langle v,v\rangle ממשי ואי-שלילי גם מעל C\mathbb{C}), ואי-שוויון קושי-שוורץ ∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|, ששוויון בו מתקיים אם"ם u,vu,v תלויים לינארית. תנאי השוויון הוא חלק מהמשפט, לא נספח. והוקטור שמניע את ההוכחה — w=u−⟨u,v⟩∥v∥2vw=u-\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v — הוא כבר, בלי שאמרו לך, ההיטל של שבוע 11.
שבוע 10 לוקח את קושי-שוורץ וגוזר ממנו זווית. הביטוי ⟨u,v⟩∥u∥∥v∥\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|} יושב בקטע [−1,1][-1,1] רק בזכות קושי-שוורץ, ולכן מותר להציב אותו ב-arccos⁡\arccos — וגם זה רק במרחב אוקלידי, כי מעל C\mathbb{C} המונה בכלל לא ממשי. מה שכן מוגדר בשני המקרים הוא המקרה הפרטי ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0: ניצבות. משם נופלים פיתגורס ∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2 ואי-שוויון המשולש — ושימי לב שתנאי השוויון במשולש אינו "ת"ל" אלא u=αvu=\alpha v עם α≥0\alpha\ge0 ממשי; זה תיקון שמגיע ממטלה 11 ש3 ולא מההרצאה.
אבל הטענה שבאמת קונה את כל השבוע היא אחרת, והיא מגיעה מתרגול 11 ומהרצאה 11 (משפט 3): קבוצה אורתוגונלית שאינה מכילה את 0V0_V היא בת"ל. ההוכחה שורה אחת — מכפילים ∑αiui=0V\sum\alpha_iu_i=0_V ב-uju_j ומקבלים αj∥uj∥2=0\alpha_j\|u_j\|^2=0 — אבל המשמעות עצומה: אי-תלות, שעד עכשיו עלתה דירוג מטריצה, הופכת לחינם. kk וקטורים אורתוגונליים שונים מאפס במרחב ממימד kk הם כבר בסיס, ואין מה לבדוק. זו הסיבה הראשונה לרצות בסיס אורתוגונלי.
שבוע 11 מראה מה עוד הבסיס הזה קונה, וזה הרבה יותר. בבסיס אורתונורמלי הקואורדינטות נופלות מהשמיים: v=∑⟨v,ui⟩uiv=\sum\langle v,u_i\rangle u_i, מכפלה פנימית אחת לכל מקדם, אפס מערכות משוואות (ובבסיס אורתוגונלי בלבד אותה נוסחה עם המכנה ∥ui∥2\|u_i\|^2 — זו הטעות הכי נפוצה בפרק). מאותה נוסחה בדיוק נולד ההיטל proj⁡W(v)=∑i=1k⟨v,ui⟩ui\operatorname{proj}_W(v)=\sum_{i=1}^{k}\langle v,u_i\rangle u_i, שההרצאה מגדירה רק לוקטורים אורתונורמליים, ושתי תכונותיו הן כל השבוע: v−proj⁡W(v)v-\operatorname{proj}_W(v) מאונך לכל WW, ולכן proj⁡W(v)\operatorname{proj}_W(v) הוא הוקטור היחיד ב-WW הקרוב ביותר ל-vv. מכאן בשורה אחת בסל, ∑∣⟨v,ui⟩∣2≤∥v∥2\sum|\langle v,u_i\rangle|^2\le\|v\|^2 לכל קבוצה אורתונורמלית, ופרסבל — אותו ביטוי בשוויון — כשהקבוצה היא בסיס של כל VV.
שבוע 12 עונה על השאלה שכל נוסחה בשבוע 11 מתחמקת ממנה: ואם אין לי בסיס כזה? גרם-שמידט מייצר אותו מכל בסיס, ו-ההבטחה החזקה שלו היא לא רק אורתוגונליות אלא שוויון הרישות — span⁡{u1,…,uk}=span⁡{v1,…,vk}\Span\{u_1,\dots,u_k\}=\Span\{v_1,\dots,v_k\} לכל kk. זה מה שמאפשר להשלים בסיס של UU לבסיס של VV ולקבל את U⊥U^{\perp} בחינם, וזה מה שמאפשר לדלג על שלבים כשהקלט כבר אורתוגונלי. שתי המסקנות: לכל ממ"פ נוצר-סופית יש בסיס אורתונורמלי (ולכן ההיטל מוגדר היטב על כל תת-מרחב), ו-V=U⊕U⊥V=U\oplus U^{\perp} (U⊥U^{\perp} — מהתרגול ומהמבחנים, לא מההרצאה). אזהרה מעשית: הגרסה הראשית בהרצאה ושעל דף הנוסחאות מתחילה ב-u1=v1u_1=v_1 ואינה מנרמלת (המנרמלת מופיעה בסוף הרצאה 12 ובתרגול 13) — לכן הפלט שלה כמעט תמיד דורש את המכנה ∥ui∥2\|u_i\|^2.
שבוע 13 גובה את כל הריבית. מטריצה אורתוגונלית היא O∈Mn(R)O\in M_n(\mathbb{R}) שעמודותיה בסיס אורתונורמלי של Rn\mathbb{R}^n — שקול ל-OtO=InO^tO=I_n, שקול ל-O−1=OtO^{-1}=O^t. ומטריצה סימטרית ממשית: המנוע היחיד הוא הזהות ⟨Ax⃗,y⃗⟩=⟨x⃗,Aty⃗⟩\langle A\vec x,\vec y\rangle=\langle\vec x,A^t\vec y\rangle, וממנה נובעים כל הע"ע ממשיים, ווקטורים עצמיים של ע"ע שונים ניצבים מאליהם. המשפט הספקטרלי (ניתן בהרצאה ללא הוכחה, ורק ל-A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R}) סימטרית) סוגר: AA לכסינה, ויתרה מזו קיימת OO אורתוגונלית עם OtAOO^tAO אלכסונית. ניסוח הרמיטי או אוניטרי אין בקורס — התרגול מגדיר "אוניטרית" ו"לכסינה אוניטרית" מעל C\mathbb{C} אבל אינו נותן משפט.
ולכן זו בדיוק הסיבה שהבלוק הזה הוא סוף הקורס ולא נספח לו: שבוע 7 נתן קריטריון ללכסינות שצריך לבדוק (הפ"א מתפרק, ו-GM⁡(λ)=AM⁡(λ)\GM(\lambda)=\AM(\lambda) לכל ע"ע), ושבוע 13 נותן הבטחה — סימטרית ממשית עוברת אותו בלי בדיקה, ובנוסף מקבלת בסיס טוב יותר. מעל R\mathbb{R} זה אפילו אם"ם: לכסינה אורתוגונלית   ⟺  \iff סימטרית, כלומר שאלת נכון/לא נכון שלמה נחתכת בבדיקה אם aij=ajia_{ij}=a_{ji}. ובקצה, כיישום אחרון של ההיטל, מגיעים ריבועים פחותים: כשל-Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec b אין פתרון, הפתרון "הכי טוב" הוא זה שמקיים Ax⃗0=proj⁡Col⁡(A)(b⃗)A\vec x_0=\operatorname{proj}_{\Col(A)}(\vec b), ומוצאים אותו דרך המשוואה הנורמלית AtAx⃗0=Atb⃗A^tA\vec x_0=A^t\vec b. שווה לדעת שהנושא הזה לא הופיע באף אחד מ-12 המבחנים שנבדקו, ותוכנית הלימוד מסמנת את מטלה 12 ש6 כשאלה לדילוג.
9מכפלה פנימית ונורמהדף הנושא ←
הצורךלמרחב וקטורי אין אורך. אי אפשר לומר "כמה גדול vv", ולכן גם לא "מה המרחק" ולא "מי הכי קרוב" — האקסיומות פשוט לא מכילות את המילים האלה.
מוסר הלאהפעולה אחת חדשה (רק מעל R\R או C\C), וממנה נגזרות הנורמה וקושי-שוורץ, כולל תנאי השוויון.
⟨αu,v⟩=α⟨u,v⟩,    ⟨u,αv⟩=αˉ⟨u,v⟩\langle\alpha u,v\rangle=\alpha\langle u,v\rangle,\;\;\langle u,\alpha v\rangle=\bar\alpha\langle u,v\rangle
∥v∥=⟨v,v⟩,    ∥v∥=0  ⟺  v=0V\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle},\;\;\|v\|=0\iff v=0_V
∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥ ∥v∥,   שוויון  ⟺  u,v ת"ל|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|,\;\text{ שוויון}\iff u,v\ \text{ת"ל}
10ניצבות, זווית ואי-שוויון המשולשדף הנושא ←
הצורךיש אורך אבל אין כיוון יחסי: אי אפשר לומר "uu ו-vv מאונכים", ובלי זה אין בסיס אורתוגונלי ואין היטל.
מוסר הלאהההגדרה ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0, הזווית (אוקלידי בלבד), פיתגורס והמשולש — ובעיקר: אורתוגונליות בלי 0V0_V גוררת בת"ל.
cos⁡θ=⟨u,v⟩∥u∥ ∥v∥    (מרחב אוקלידי בלבד)\cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}\;\;(\text{מרחב אוקלידי בלבד})
u⊥v  ⇒  ∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2u\perp v\;\Rightarrow\;\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2
{u1,…,uk} אורתוגונלית, ui≠0V  ⇒  בת"ל\{u_1,\dots,u_k\}\ \text{אורתוגונלית},\ u_i\ne0_V\;\Rightarrow\;\text{בת"ל}
11בסיס אורתונורמלי, היטל, בסל ופרסבלדף הנושא ←
הצורךקואורדינטות בבסיס עדיין עולות פתרון מערכת, ו"הוקטור הקרוב ביותר ל-vv בתוך WW" עדיין לא מוגדר בכלל.
מוסר הלאהמקדמים במכפלה אחת, ההיטל האורתוגונלי כמינימום יחיד של המרחק, ואי-שוויון בסל ושוויון פרסבל.
v=∑i=1n⟨v,ui⟩ui    (בסיס אורתונורמלי)v=\sum_{i=1}^{n}\langle v,u_i\rangle u_i\;\;(\text{בסיס אורתונורמלי})
proj⁡W(v)=∑i=1k⟨v,ui⟩ui    (בסיס אורתונורמלי של W),    v−proj⁡W(v)⊥W\operatorname{proj}_W(v)=\sum_{i=1}^{k}\langle v,u_i\rangle u_i\;\;(\text{בסיס אורתונורמלי של }W),\;\;v-\operatorname{proj}_W(v)\perp W
∑i=1k∣⟨v,ui⟩∣2≤∥v∥2    (בסל, ui אורתונורמליים)\sum_{i=1}^{k}|\langle v,u_i\rangle|^2\le\|v\|^2\;\;(\text{בסל, }u_i\ \text{אורתונורמליים})
12גרם-שמידט והמשלים הניצבדף הנושא ←
הצורךכל נוסחה בשבוע 11 פותחת ב"יהי בסיס אורתונורמלי של WW" — ואף אחד לא הבטיח שקיים כזה, ובוודאי לא נתן דרך לייצר אותו.
מוסר הלאהתהליך שהופך כל בסיס לאורתוגונלי בלי לשנות אף span⁡\Span של רישא; ומכאן קיום בסיס אורתונורמלי לכל ממ"פ נ"ס, ו-V=U⊕U⊥V=U\oplus U^{\perp}.
u1=v1,    uk=vk−∑i=1k−1⟨vk,ui⟩∥ui∥2uiu_1=v_1,\;\;u_k=v_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i
span⁡{u1,…,uk}=span⁡{v1,…,vk}    ∀k\Span\{u_1,\dots,u_k\}=\Span\{v_1,\dots,v_k\}\;\;\forall k
V=U⊕U⊥,    dim⁡U⊥=dim⁡V−dim⁡U    (V נ"ס)V=U\oplus U^{\perp},\;\;\dim U^{\perp}=\dim V-\dim U\;\;(V\ \text{נ"ס})
13מטריצות אורתוגונליות והמשפט הספקטרלידף הנושא ←
הצורךהלכסון של שבועות 5–8 נתן PP הפיכה כלשהי ולא הבטיח כלום על הבסיס. עכשיו יש שפה לדרוש בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים.
מוסר הלאהמטריצה אורתוגונלית (OtO=InO^tO=I_n), והמשפט הספקטרלי לסימטרית ממשית — ובנוסף היישום האחרון של ההיטל, ריבועים פחותים.
OtO=In  ⟺  O−1=Ot  ⟺  העמודות בסיס אורתונורמליO^tO=I_n\iff O^{-1}=O^t\iff \text{העמודות בסיס אורתונורמלי}
A∈Mn(R), At=A  ⇒  ∃O אורתוגונלית: OtAO=DA\in M_n(\R),\ A^t=A\;\Rightarrow\;\exists O\ \text{אורתוגונלית}:\ O^tAO=D
AtAx⃗0=Atb⃗    (Ax⃗0=proj⁡Col⁡(A)(b⃗))A^tA\vec x_0=A^t\vec b\;\;(A\vec x_0=\operatorname{proj}_{\Col(A)}(\vec b))
8 ← 9קיילי–המילטון ותת-מרחב שמור ← מרחב מכפלה פנימית
מה נשאר פתוח
כל מה שנאמר עד כאן — גרעין, תמונה, לכסינות, קיילי-המילטון — כתוב בשפה של צירופים לינאריים בלבד. איפה בכלל אפשר לשאול "כמה ארוך vv" או "מה המרחק בין שני פולינומים"?
איך זה נסגר
בשום מקום, עד שמוסיפים פעולה. שבוע 9 מוסיף בדיוק אחת, ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle (וזה מכריח את השדה להיות R\R או C\C), והנורמה נגזרת ממנה: ∥v∥=⟨v,v⟩\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}. אין בקורס הגדרה נפרדת ל"אורך".
9 ← 10מרחב מכפלה פנימית ← אורתוגונליות
מה נשאר פתוח
יש נורמה ויש קושי-שוורץ — אבל "זווית" ו"ניצבות" עדיין לא הוגדרו, ולא ברור למה בכלל צריך אותן.
איך זה נסגר
קושי-שוורץ אומר בדיוק ∣⟨u,v⟩∥u∥∥v∥∣≤1\left|\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}\right|\le1 (לכל u,v≠0Vu,v\ne0_V), ולכן מותר להציב את הביטוי ב-arccos⁡\arccos — כך נולדת הזווית (במרחב אוקלידי). והמקרה הפרטי ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0, שמוגדר גם מעל C\C, מביא את ההפתעה: קבוצה אורתוגונלית ללא 0V0_V היא בת"ל בחינם.
10 ← 11אורתוגונליות ← היטל, בסל ופרסבל
מה נשאר פתוח
אם אורתוגונליות נותנת בת"ל בחינם — מה עוד היא נותנת? למה שארצה דווקא בסיס אורתוגונלי ולא כל בסיס אחר?
איך זה נסגר
קואורדינטות בלי מערכת משוואות: בבסיס אורתונורמלי αi=⟨v,ui⟩\alpha_i=\langle v,u_i\rangle, מכפלה אחת לכל מקדם (ובבסיס אורתוגונלי בלבד — חלוקה ב-∥ui∥2\|u_i\|^2). ומאותה נוסחה בדיוק נולד ההיטל, שהוא הוקטור היחיד ב-WW הקרוב ביותר ל-vv.
11 ← 12היטל, בסל ופרסבל ← גרם–שמידט
מה נשאר פתוח
כל משפט בשבוע 11 מניח בסיס אורתונורמלי של WW. ומה אם אין לי כזה — או אם בכלל לא ידוע שקיים?
איך זה נסגר
גרם-שמידט מייצר אותו מכל בסיס, וההבטחה החזקה היא שוויון הרישות. מכאן שלוש תוצאות: לכל ממ"פ נ"ס יש בסיס אורתונורמלי, ההיטל מוגדר היטב על כל תת-מרחב (ואינו תלוי בבחירה), ו-V=U⊕U⊥V=U\oplus U^{\perp}.
12 ← 13גרם–שמידט ← מטריצות סימטריות ולכסון אורתוגונלי
מה נשאר פתוח
יש עכשיו מכונה שמייצרת בסיסים אורתונורמליים. איפה זה משנה משהו שכבר ניסינו ונתקענו בו?
איך זה נסגר
בלכסון. שבוע 7 נתן קריטריון שצריך לבדוק (GM⁡=AM⁡\GM=\AM לכל ע"ע); המשפט הספקטרלי אומר שמטריצה סימטרית ממשית עוברת אותו בלי בדיקה, ושהבסיס אפשר לבחור אורתונורמלי — ואז P−1=PtP^{-1}=P^t והלכסון נכתב OtAO=DO^tAO=D.
מקושי-שוורץ לאי-שוויון המשולש — ולמה תנאי השוויון שונה
∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥ ∥v∥|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|⟸Re⟨u,v⟩≤∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥ ∥v∥\mathrm{Re}\langle u,v\rangle\le|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|⟸∥u+v∥2=∥u∥2+2 Re⟨u,v⟩+∥v∥2\|u+v\|^2=\|u\|^2+2\,\mathrm{Re}\langle u,v\rangle+\|v\|^2⟸∥u+v∥2≤(∥u∥+∥v∥)2\|u+v\|^2\le(\|u\|+\|v\|)^2⟸∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|
שני תנאי השוויון אינם אותו דבר. בקושי-שוורץ: u,vu,v ת"ל. במשולש (עבור v≠0Vv\ne0_V): u=αvu=\alpha v עם α≥0\alpha\ge0 ממשי — כיווניות, לא רק תלות. ההפרכה: u=−v≠0Vu=-v\ne0_V ת"ל, אבל ∥u+v∥=0<2∥v∥\|u+v\|=0<2\|v\|. התנאי הזה לא נאמר בהרצאה; הוא מטלה 11 ש3.
למה בסיס אורתוגונלי שווה משהו
⟨ui,uj⟩=0 (i≠j),    ui≠0V\langle u_i,u_j\rangle=0\ (i\ne j),\;\;u_i\ne0_V⟸{u1,…,uk} בת"ל\{u_1,\dots,u_k\}\ \text{בת"ל}⟸ui∈W, k=dim⁡W  ⇒  בסיס של Wu_i\in W,\ k=\dim W\;\Rightarrow\;\text{בסיס של }W⟸v=∑i=1k⟨v,ui⟩∥ui∥2uiv=\sum_{i=1}^{k}\frac{\langle v,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i⟸proj⁡W(v)=∑i=1k⟨v,ui⟩∥ui∥2ui\operatorname{proj}_W(v)=\sum_{i=1}^{k}\frac{\langle v,u_i\rangle}{\|u_i\|^2}u_i
ההוכחה לבת"ל היא שורה: מכפילים ∑αiui=0V\sum\alpha_iu_i=0_V ב-uju_j ומקבלים αj∥uj∥2=0\alpha_j\|u_j\|^2=0 — ורק מ-uj≠0Vu_j\ne0_V נובע αj=0\alpha_j=0. אחרי נרמול המכנה נעלם, וזו הצורה שההרצאה מנסחת: proj⁡W(v)=∑⟨v,ui⟩ui\operatorname{proj}_W(v)=\sum\langle v,u_i\rangle u_i — רק לוקטורים אורתונורמליים. שימי לב ש-vv הוא תמיד הרכיב הראשון במכפלה.
סימטרית ממשית ⇒\Rightarrow לכסינה אורתוגונלית
A∈Mn(R),  At=AA\in M_n(\R),\;A^t=A⟸⟨Ax⃗,y⃗⟩=⟨x⃗,Aty⃗⟩=⟨x⃗,Ay⃗⟩\langle A\vec x,\vec y\rangle=\langle\vec x,A^t\vec y\rangle=\langle\vec x,A\vec y\rangle⟸λ∥v⃗∥2=⟨Av⃗,v⃗⟩=⟨v⃗,Av⃗⟩=λˉ∥v⃗∥2  ⇒  λ∈R\lambda\|\vec v\|^2=\langle A\vec v,\vec v\rangle=\langle\vec v,A\vec v\rangle=\bar\lambda\|\vec v\|^2\;\Rightarrow\;\lambda\in\R⟸λ1≠λ2  ⇒  Vλ1⊥Vλ2\lambda_1\ne\lambda_2\;\Rightarrow\;V_{\lambda_1}\perp V_{\lambda_2}⟸∃O אורתוגונלית:  OtAO=D\exists O\ \text{אורתוגונלית}:\;O^tAO=D
המשפט הספקטרלי ניתן בהרצאה 13 ללא הוכחה, ורק ל-AA ממשית סימטרית — אין בקורס ניסוח הרמיטי או אוניטרי (התרגול מגדיר את המושגים מעל C\C אך לא נותן משפט). המסקנה המעשית: הניצבות בין מרחבים עצמיים שונים חינם, ולכן מריצים גרם-שמידט בתוך כל מרחב עצמי בנפרד ואז מנרמלים. ומעל R\R זה אם"ם: מ-A=ODOtA=ODO^t נובע מיד At=AA^t=A.
המכפלה הפנימית — מאקסיומה לתנאי על מטריצה
9
נולדת: ארבע אקסיומות, לינארית ברכיב הראשון וצמודה בשני (⟨v⃗,u⃗⟩=∑viui‾\langle\vec v,\vec u\rangle=\sum v_i\overline{u_i}). הנורמה נגזרת ממנה, לא להיפך.
10
הופכת לגיאומטריה: ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 היא ניצבות, והמנה ⟨u,v⟩∥u∥∥v∥\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|} היא קוסינוס — חוקית רק בזכות קושי-שוורץ, ורק מעל R\R.
11
הופכת למכשיר חישוב: ⟨v,ui⟩\langle v,u_i\rangle הוא המקדם, וההיטל הוא סכום של kk מכפלות כאלה. הסדר קבוע — הוקטור המוטל ראשון.
12
קובעת את התהליך: גרם-שמידט לא מכיר קואורדינטות, רק מ"פ. אותו בסיס עם ⟨x,y⟩=x1y1+2x2y2+3x3y3\langle x,y\rangle=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3 נותן פלט אחר לגמרי.
13
הופכת לתנאי על מטריצה: ⟨Ox⃗,Oy⃗⟩=⟨x⃗,y⃗⟩\langle O\vec x,O\vec y\rangle=\langle\vec x,\vec y\rangle לכל x⃗,y⃗\vec x,\vec y אם"ם OtO=InO^tO=I_n — ההוכחה בכיוון אחד היא הצבת e⃗i,e⃗j\vec e_i,\vec e_j.
הבסיס — מ"סתם בסיס" לעמודות של מטריצה אורתוגונלית
9
עדיין בסיס רגיל — אבל כבר אפשר למדוד את אבריו, ולנרמל: u∥u∥\frac{u}{\|u\|} הוא וקטור יחידה לכל u≠0Vu\ne0_V.
10
נולד "בסיס אורתוגונלי", והוא זול: אורתוגונליות ++ אין 0V0_V ++ ספירת מימד == בסיס. אין דירוג.
11
נעשה שימושי — "אורתונורמלי" (שהוגדר כבר בהרצאה 10), וההבדל הוא בדיוק המכנה ∥ui∥2\|u_i\|^2 — בבסיס מנורמל הוא נעלם מכל נוסחה (מקדמים, היטל, בסל, פרסבל).
12
מובטח שקיים: גרם-שמידט מייצר אחד מכל בסיס, ומשוויון הרישות מקבלים בדרך גם בסיס אורתונורמלי ל-U⊥U^{\perp}.
13
הופך לאובייקט: nn וקטורים אורתונורמליים ב-Rn\R^n בעמודות == מטריצה אורתוגונלית (מעל C\C — אוניטרית). וגם: מטריצת המעבר בין שני בסיסים אורתונורמליים היא אורתוגונלית.
הלכסון, פעם שנייה
7
קריטריון שצריך לבדוק: מעל C\C — לכסינה   ⟺  \iff לכל ע"ע GM⁡(λ)=AM⁡(λ)\GM(\lambda)=\AM(\lambda); מעל שדה כללי נדרש גם שהפ"א יתפרק לגורמים לינאריים. לפעמים התשובה פשוט "לא".
9
הע"ע נכנסים לפרק מהדלת האחורית: תרגול 10 בודק אם AA סימטרית מגדירה מ"פ, והתנאי השקול הוא כל הע"ע של AA חיוביים — פולינום אופייני במקום ארבע אקסיומות.
11
הדוגמה הראשונה ללכסון "בחינם": proj⁡W\operatorname{proj}_W מקיימת proj⁡W2=proj⁡W\operatorname{proj}_W^2=\operatorname{proj}_W, ולכן היא לכסינה עם ע"ע 11 (בריבוי dim⁡W\dim W) ו-00 (בריבוי dim⁡W⊥\dim W^{\perp}).
12
הכלי מוכן. תרגול 13 כבר מציג את הלכסון האורתוגונלי: גרם-שמידט בתוך כל מרחב עצמי בנפרד, כי בין מרחבים שונים אין מה לעשות.
13
ההבטחה מחליפה את הקריטריון: AA ממשית סימטרית ⇒\Rightarrow לכסינה, ואף OtAO=DO^tAO=D עם OO אורתוגונלית. ומעל R\R זה אם"ם — לכסינה אורתוגונלית   ⟺  \iff סימטרית.

מה את יודעת לעשות בסוף הבלוק

✓לחשב קואורדינטות, מרחקים והיטלים בלי לפתור אף מערכת משוואות — מכפלה פנימית אחת לכל מקדם, ובדיקת פרסבל בסוף.
✓לענות על "מי הוקטור הקרוב ביותר" בכל מרחב שהוא — פולינומים, מטריצות, Rn\R^n — באותה נוסחה בדיוק, ולדעת שהתשובה יחידה.
✓לזהות אי-שוויון אלגברי סתמי כקושי-שוורץ, ולדעת בדיוק מה תנאי השוויון שלו — ולמה הוא שונה מזה של אי-שוויון המשולש.
✓לענות על "האם AA לכסינה אורתוגונלית" בבדיקה של שתי שניות (aij=ajia_{ij}=a_{ji}) במקום פולינום אופייני, מרחבים עצמיים וספירת ריבויים.
9מרחב מכפלה פנימית10אורתוגונליות11היטל, בסל ופרסבל12גרם–שמידט13מטריצות סימטריות ולכסון אורתוגונלי
הבלוק הקודם
הדרך לאלכסון